2025年人教版七年級數(shù)學下冊單元重點 第8章 實數(shù)【5大考點13種題型】

第8章實數(shù)【5大考點13種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1認識無理數(shù)】 1【題型1無理數(shù)近似值的確定】 2【題型2方格中的無理數(shù)】 2【考點2平方根】 3【題型3算術平方根的實際應用】 4【題型4利用平方根的定義解方程】 5【題型5利用算術平方根的非負性求未知數(shù)的值】 5【考點3立方根】 6【題型6開立方運算】 6【題型7平方根和立方根的綜合應用】 7【題型8立方根在實際生活中的應用】 7【考點4估算】 8【題型9估算無理數(shù)的大小】 8【題型10估算的實際應用】 9【考點5實數(shù)】 10【題型11實數(shù)的運算】 11【題型12利用數(shù)軸化簡】 12【題型13實數(shù)與數(shù)軸的關系】 12【考點1認識無理數(shù)】1.定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．2.無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結構的數(shù)，如0.1010010001…注意：凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.【題型1無理數(shù)近似值的確定】【例1】（23-24七年級·吉林長春·開學考試）設a=10，a在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是（

）A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6【變式1-1】（23-24七年級·陜西咸陽·階段練習）已知6在兩個連續(xù)整數(shù)之間，則這兩個連續(xù)整數(shù)的乘積為．【變式1-2】（23-24七年級·廣西南寧·期末）正方形的面積是13，估計它的邊長大小在（

）A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間【變式1-3】（23-24七年級·安徽·期末）（1）在數(shù)學活動課上，老師要求同學利用手中紙片剪出一塊面積為25cm（2）小強的手中有兩塊邊長都為4cm

【題型2方格中的無理數(shù)】【例2】（23-24七年級·山東濱州·期中）如圖，在甲、乙兩個4×4的方格圖中，每個小正方形的邊長都為1．(1)求圖甲中陰影正方形的面積=______；邊長=______（答案直接寫在橫線上即可）；(2)請在圖乙中畫一個與圖甲陰影部分面積不相等的正方形，要求它的邊長為無理數(shù)，并求出它的邊長，及邊長的整數(shù)部分和小數(shù)部分（答案直接寫在橫線上即可）．【變式2-1】（23-24七年級·廣東佛山·期末）由5個邊長為1的小正方形組成的圖形如圖所示．通過剪貼，可以將圖中的5個小正方形拼成一個大正方形．(1)拼成的大正方形的邊長為________；(2)將剪貼示意圖畫在網(wǎng)格圖中．【變式2-2】（23-24七年級·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在數(shù)軸上方有4個方格（每一方格的邊長為1個單位），連接AB，BC，CD，CD得到一個正方形，點A落在數(shù)軸上，用圓規(guī)在點A左側的數(shù)軸上取一點E，使AE=AB，若點A與原點重合，則點E表示的數(shù)是．

【變式2-3】（23-24七年級·吉林·期中）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A在格點上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法．(1)在圖①中找一格點B，連接AB，使線段AB=10(2)在圖②中畫出一個△ACD，點C、D在格點上，且三邊長均是有理數(shù)；(3)在圖③中畫出一個正方形AMEF，點M、E、F在格點上，且邊長是無理數(shù)．【考點2平方根】類型項目平方根被開方數(shù)非負數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；重要結論【題型3算術平方根的實際應用】【方法總結】利用算術平方根解決實際問題時,要注意根據(jù)實際意義進行取舍?！纠?】（23-24七年級·陜西渭南·期末）母親節(jié)，是一個感恩母親的節(jié)日．哥哥小宇和弟弟小旭準備自制節(jié)日禮物送給母親．小旭自制了一張面積為100cm2的正方形賀卡，小宇自制了一個面積為200cm【變式3-1】（23-24七年級·陜西安康·期中）勤儉節(jié)約是中華民族傳統(tǒng)美德，小軒的爸爸是能工巧匠，如圖，他把兩塊廢棄的正方形木板分割重新拼接成一張完整的正方形桌面，其面積為2.25平方米，其中他用的一塊木板的邊長為0.9米，求另一塊木板的邊長是多少米?【變式3-2】（23-24七年級·遼寧大連·期中）小明同學每次回家進入電梯時，總能看見物業(yè)在電梯內(nèi)張貼的提示“高空拋物，害人害己，嚴禁高空拋物”，為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：秒）和高度?（單位：米）近似滿足公式?=12gt2，其中g為重力加速度，g≈10米/平方秒．物體落地時產(chǎn)生的動能=物體質(zhì)量×(1)一個物品從80米的高樓墜落到地面需要幾秒？(2)一個0.5千克的物品墜落到地面產(chǎn)生了200焦耳的動能，請推算該物品墜落到地面用了幾秒？（結果精確到0.1秒，2≈1.41【變式3-3】（23-24七年級·湖北武漢·階段練習）一塊長方形空地面積為1500平方米，其長寬之比為5:3．(1)求這塊長方形空地的周長；(2)如圖，在空地內(nèi)修建“T字型”走道（橫向走道寬度不變）后將空地分割成兩個花壇（花壇1為正方形，花壇2為長方形，其長寬之比為2:1），花壇的總面積為1176平方米，寬度為2.5米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行？【題型4利用平方根的定義解方程】【例4】（23-24七年級·四川成都·期末）定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程．如x2=9，x?22=4，3x2+2x?1=0…都是一元二次方程．根據(jù)平方根的特征，可以將形如x解決問題：（1）解?程x?22解：∵x?2=±4∴x?2=2，或x?2=．∴x1（2）解?程：3x?12?25=0的根為【變式4-1】（23-24七年級·湖南邵陽·期末）解方程3x2+27=0，得該方程的根是（）A．x=±3 B．x=3 C．x=﹣3 D．無實數(shù)根【變式4-2】（23-24七年級·吉林·期末）解方程：3【變式4-3】（23-24七年級·陜西漢中·期末）解方程：3x+22【題型5利用算術平方根的非負性求未知數(shù)的值】【例5】（23-24七年級·云南大理·期末）若x?22+y+5+z+1A．10 B．?10 C．3 D．?3【變式5-1】（23-24七年級·廣東肇慶·期末）如果1?3x和y?27互為相反數(shù)，那么xy的平方根是．【變式5-2】（23-24七年級·陜西西安·階段練習）若x，y都是實數(shù)，且y=x?1+1?x+4，則A．0 B．4 C．2 D．不能確定【變式5-3】（23-24七年級·湖南郴州·期末）當m=時，8?m有最小值．【考點3立方根】類型項目立方根被開方數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結論【題型6開立方運算】【方法總結】開立方運算是立方根的概念和性質(zhì)的應用,是歷年中考出現(xiàn)次數(shù)較多的知識點.【例6】（23-24七年級·廣西崇左·期中）已知有一個數(shù)值轉換器，其流程如圖所示，當輸入x的值是?64時，輸出y的值是（

）A．?4 B．?34 C．?2 【變式6-1】（23-24七年級·河南信陽·期末）a3=1，則A．1 B．?1 C．1或?1 D．1【變式6-2】（23-24七年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知x3+1=?63，求【變式6-3】（23-24七年級·甘肅定西·期中）已知368.8=4.098，36.88=1.902【題型7平方根和立方根的綜合應用】【方法總結】綜合應用平方根和立方根,主要是應用平方根和立方根的定義和性質(zhì).【例7】（23-24七年級·河北廊坊·期中）已知4m+7的立方根是3，2m+2n+2的算術平方根是4，則m2?n=（A．25 B．23 C．21 D．19【變式7-1】（23-24七年級·廣西百色·期末）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a+1和a?7，b?1的立方根是(1)求a，b的值：(2)求6a?2b的算術平方根和立方根．【變式7-2】（23-24七年級·河南許昌·期末）已知A=m?2m+8是m+8的立方根，B=2m?n?5n?1是【變式7-3】（23-24七年級·遼寧大連·期末）已知a的平方是4，b的算術平方根是4，c的立方根是8(1)求a，b，c的值；(2)求c2b【題型8立方根在實際生活中的應用】【例8】（23-24七年級·河北石家莊·期末）請根據(jù)如圖所示的對話內(nèi)容解答下列問題．(1)求大正方體木塊的棱長(2)求截得的每個小正方體木塊的棱長．【變式8-1】（23-24七年級·黑龍江綏化·期末）運動會期間，體育場前方飄著大氫氣球，其中一個氫氣球的體積V=288000πcm3，求這個氫氣球的半徑．（提示：【變式8-2】（23-24七年級·山西晉中·期中）某地氣象資料表明，當?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間th可以用下面的公式“t2=(1)如果雷雨區(qū)域直徑為4km，那么這場雷雨大約持續(xù)多長時間？（結果精確到0.1(2)如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑是否超過10【變式8-3】（23-24七年級·新疆巴音郭楞·期末）為了制作某城市雕塑，需要把一根截面面積為56cm2，【考點4估算】比較兩個無理數(shù)大小的方法：【題型9估算無理數(shù)的大小】【例9】（23-24七年級·廣西玉林·期中）觀察表格中的數(shù)據(jù)：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289由表格中的數(shù)據(jù)可知275在哪兩個數(shù)之間（

）A．在16.2和16.3之間 B．在16.3和16.4之間C．在16.5和16.6之間 D．在16.6和16.7之間【變式9-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）若2+7的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則a=，a?b=【變式9-2】（23-24七年級·黑龍江佳木斯·期末）若4+15的小數(shù)部分是a，7-15的小數(shù)部分是b，則a+b的值是．【變式9-3】（23-24七年級·河北保定·期中）大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1表示2的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為2的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．已知：2+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，x=，【題型10估算的實際應用】【例10】（23-24七年級·陜西漢中·期中）對于實數(shù)a，我們規(guī)定，用符號a表示不大于a的最大整數(shù)，稱a為a的根整數(shù)，例如：9=3，10=3．我們可以對一個數(shù)連續(xù)求根整數(shù)，如對5連續(xù)兩次求根整數(shù)：5=2→2=1．若對x連續(xù)求兩次根整數(shù)后的結果為1A．5 B．10 C．15 D．16【變式10-1】（23-24七年級·安徽安慶·期末）斐波那契是意大利數(shù)學家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）后來人們在研究它的過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結果，在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草，萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實際生活中也有廣泛的應用．斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用151+52n【變式10-2】（23-24七年級·河南南陽·期中）我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為ba和dc（ba<x<dc，a，b，c，d為正整數(shù)），則b+da+c是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道5=2.236067???，令115<5<125，則第一次用“調(diào)日法”后得到A．五 B．四 C．三 D．二【變式10-3】（23-24七年級·廣西南寧·期中）閱讀材料，完成下列任務：因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來比如：π、2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準確．材料一：∵4<7<9∴7?1的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為材料二：我們還可以用以下方法求一個無理數(shù)的近似值．我們知道面積是2的正方形的邊長是2，易知2>1，因此可設2解：由圖中面積計算，S正方形∵S∴x∵x是2的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略x2∴得方程2x+1=2，解得x=0.5，即2≈1.5解決問題：(1)利用材料一中的方法，求85的小數(shù)部分；(2)利用材料二中的方法，借助面積為5的正方形探究5的近似值．（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）【考點5實數(shù)】1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關系分：實數(shù)【易錯點剖析】所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.2.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.3.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是-；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.4.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【題型11實數(shù)的運算】【例11】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·開學考試）計算：(1)?12021(2)327【變式11-1】（23-24七年級·云南紅河·階段練習）（1）計算：(?2)2（2）3【變式11-2】（23-24七年級·山東德州·期中）計算(1)(?3(2)(?1)2【變式11-3】（23-24七年級·廣西南寧·期末）在信息技術課上，好學的小明制作了一個關于實數(shù)x(|x|<20)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為2時，則輸入的實數(shù)x可取的負整數(shù)值是．【題型12利用數(shù)軸化簡】【例12】（2024七年級·浙江·專題練習）如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點A、B、C所對應的實數(shù)．試化簡：c2【變式12-1】（2019·重慶·一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示那么(b?a)2+|a+b|?3

A．2a+b B．b C．2a?b D．3b【變式12-2】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習）實數(shù)a，b表示的點在數(shù)軸上的位置如圖，則將a+22+b?2【變式12-3】（23-24七年級·福建莆田·期中）已知點A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡：a2+【題型13實數(shù)與數(shù)軸的關系】【例13】（23-24七年級·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，數(shù)軸上有A，B，C三點，表示實數(shù)1和5的對應點分別為A，B，點A到B的距離與點C到原點O的距離相等，設A，B，C三點表示的三個數(shù)之和為m．

(1)求線段AB的長．(2)求m的值．(3)若數(shù)軸上點D表示的數(shù)為x，且滿足(x+1)3=?8．請求出x的值，并在坐標軸上標出點【變式13-1】（23-24七年級·河北邯鄲·期中）已知2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分不可能全部寫出來，但由于1<2<2，所以2的整數(shù)部分為1，將2減去其整數(shù)部分1，差即小數(shù)部分

(1)7的整數(shù)部分是__________，小數(shù)部分是__________；(2)若4+3的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y①填空：y=__________；②如圖，若面積為x的正方形放置在數(shù)軸上，使得正方形的一個頂點和表示?1的點重合，一條邊恰好落在數(shù)軸正方向上，其另一個頂點為數(shù)軸上的點A，求點A表示的數(shù)．【變式13-2】（23-24七年級·福建莆田·期中）在數(shù)軸上點A表示a，點B表示b，且a，b滿足|a?5(1)直接寫出a和b的值：并求點A與點B之間的距離；(2)若點A與點C之間的距離用AC表示，點B與點C之間的距離用BC表示，請在數(shù)軸上找一點C，使得AC=2BC，求點C在數(shù)軸上表示的數(shù)c的值．【變式13-3】（23-24七年級·廣西防城港·期中）操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸如圖所示．(1)折疊紙面，使1表示的點與?1表示的點重合，則?3(2)折疊紙面，使?1表示的點與3表示的點重合，回答以下問題：①4表示的點與__________表示的點重合；②?3(3)已知在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是a，將點A沿數(shù)軸移動6個單位長度，此時點A表示的數(shù)和a互為相反數(shù)，求a的值．

第8章實數(shù)【5大考點13種題型】【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【考點1認識無理數(shù)】 1【題型1無理數(shù)近似值的確定】 2【題型2方格中的無理數(shù)】 3【考點2平方根】 7【題型3算術平方根的實際應用】 8【題型4利用平方根的定義解方程】 11【題型5利用算術平方根的非負性求未知數(shù)的值】 13【考點3立方根】 14【題型6開立方運算】 15【題型7平方根和立方根的綜合應用】 16【題型8立方根在實際生活中的應用】 18【考點4估算】 20【題型9估算無理數(shù)的大小】 21【題型10估算的實際應用】 22【考點5實數(shù)】 25【題型11實數(shù)的運算】 26【題型12利用數(shù)軸化簡】 29【題型13實數(shù)與數(shù)軸的關系】 30【考點1認識無理數(shù)】1.定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．2.無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結構的數(shù)，如0.1010010001…注意：凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.【題型1無理數(shù)近似值的確定】【例1】（23-24七年級·吉林長春·開學考試）設a=10，a在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是（

A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，估算10的大小，即可得出答案，掌握正確的估算方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵3<10∴a在3和4之間，故選：B．【變式1-1】（23-24七年級·陜西咸陽·階段練習）已知6在兩個連續(xù)整數(shù)之間，則這兩個連續(xù)整數(shù)的乘積為．【答案】6【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)算術平方根的定義由4<6<9得出2<6【詳解】∵4<6<9∴即2<∵2×3=6∴兩個連續(xù)整數(shù)的乘積為6故答案為：6．【變式1-2】（23-24七年級·廣西南寧·期末）正方形的面積是13，估計它的邊長大小在（

）A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間【答案】B【分析】本題考查了算術平方根的應用，無理數(shù)的估算，先利用算術平方根的應用求出正方形的邊長，然后利用“夾逼法”估算即可．【詳解】解∶∵正方形的面積是13，∴它的邊長大小為13，∵9<13<16，∴9<13<∴估計正方形的邊長大小在3與4之間，故選∶B．【變式1-3】（23-24七年級·安徽·期末）（1）在數(shù)學活動課上，老師要求同學利用手中紙片剪出一塊面積為25cm（2）小強的手中有兩塊邊長都為4cm

【答案】（1）5cm；（2）邊長的值在5和6【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式即可求得紙板的邊長；（2）由于大正方形是由兩個小正方形所拼成的，易求得大正方形的面積為32，邊長為32；因此大正方形的邊長不是整數(shù)，然后估算出32的大小，從而求出與32相鄰的兩個整數(shù)．【詳解】解：（1）邊長=25（2）大的正方形的面積=4邊長=32，∴∵25<∴5<32【點睛】本題主要考查了正方形的面積公式以及估算無理數(shù)的大小．現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應是我們具備的數(shù)學能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．【題型2方格中的無理數(shù)】【例2】（23-24七年級·山東濱州·期中）如圖，在甲、乙兩個4×4的方格圖中，每個小正方形的邊長都為1．(1)求圖甲中陰影正方形的面積=______；邊長=______（答案直接寫在橫線上即可）；(2)請在圖乙中畫一個與圖甲陰影部分面積不相等的正方形，要求它的邊長為無理數(shù)，并求出它的邊長，及邊長的整數(shù)部分和小數(shù)部分（答案直接寫在橫線上即可）．【答案】(1)10，10；(2)圖見解析，邊長為5，邊長的整數(shù)部分為2；該邊長的小數(shù)部分為5?2【分析】本題考查了算術平方根的應用，無理數(shù)的應用；（1）根據(jù)大正方形減去4個小三角形的面積，進而根據(jù)算術平方根的意義，即可求解；（2）畫出一個面積為5的正方形，則邊長為5，進而求得整數(shù)部分與小數(shù)部分，即可求解．【詳解】（1）解：面積為4×4?4×1邊長為：10；（2）正方形如圖所示，面積為3×3?4×1邊長為：5；2<5該邊長的整數(shù)部分為2；該邊長的小數(shù)部分為5?2【變式2-1】（23-24七年級·廣東佛山·期末）由5個邊長為1的小正方形組成的圖形如圖所示．通過剪貼，可以將圖中的5個小正方形拼成一個大正方形．(1)拼成的大正方形的邊長為________；(2)將剪貼示意圖畫在網(wǎng)格圖中．【答案】(1)5(2)見詳解【分析】本題主要考查了網(wǎng)格的基本作圖以及算術平方根的應用．（1）先求出一個小正方的面積，再求出5個正方形的面積，然后根據(jù)算術平方根的定義即可求的大正方形的邊長；（2）根據(jù)大正方形邊長截得四個三角形和一個正方形即可拼接為大正方形．【詳解】（1）解：∵小正形的邊長為1，∴小正方形的面積為1，∴大正方形的面積為5×1=5，∴大正方形的邊長為5．故答案為：5．（2）剪貼示意圖如圖所示：剪貼后拼接示意圖如圖所示：【變式2-2】（23-24七年級·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在數(shù)軸上方有4個方格（每一方格的邊長為1個單位），連接AB，BC，CD，CD得到一個正方形，點A落在數(shù)軸上，用圓規(guī)在點A左側的數(shù)軸上取一點E，使AE=AB，若點A與原點重合，則點E表示的數(shù)是．

【答案】?【分析】先求出正方形ABCD的面積，再由算術平方根的定義求出AB=2，由點A與原點重合，可得E【詳解】解：∵正方形ABCD的面積4×1∴AB=2∴點A與原點重合，∵AE=AB，∴E點表示的數(shù)是?2故答案為：?2【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，算術平方根的意義，結合數(shù)軸的特點求解是關鍵．【變式2-3】（23-24七年級·吉林·期中）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A在格點上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法．(1)在圖①中找一格點B，連接AB，使線段AB=10(2)在圖②中畫出一個△ACD，點C、D在格點上，且三邊長均是有理數(shù)；(3)在圖③中畫出一個正方形AMEF，點M、E、F在格點上，且邊長是無理數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查無刻度直尺作圖、勾股定理與網(wǎng)格問題；（1）使AB為直角邊分別是1和3的直角三角形的斜邊即可．（2）作一個邊長分別為3，4，5的直角三角形，即可求解．（3）畫一個邊長為5的正方形，即可求解．【詳解】（1）解∶如圖①，點B即為所求．（2）如圖②，△ACD即為所求．（3）如圖③，正方形AMEF即為所求．【考點2平方根】類型項目平方根被開方數(shù)非負數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；重要結論【題型3算術平方根的實際應用】【方法總結】利用算術平方根解決實際問題時,要注意根據(jù)實際意義進行取舍。【例3】（23-24七年級·陜西渭南·期末）母親節(jié)，是一個感恩母親的節(jié)日．哥哥小宇和弟弟小旭準備自制節(jié)日禮物送給母親．小旭自制了一張面積為100cm2的正方形賀卡，小宇自制了一個面積為200cm【答案】能，理由見解析【分析】本題主要考查了平方根的應用．先求出正方形的邊長為100=10cm，然后設長方形的信封的長為5xcm，寬為4x【詳解】解：能，理由如下：∵正方形賀卡的面積為100cm∴正方形的邊長為100=10設長方形的信封的長為5xcm，寬為4x5x×4x=200，即20x∴x2∴x=10或?∴4x=410∴能將這張賀卡不折疊地放入此信封中．【變式3-1】（23-24七年級·陜西安康·期中）勤儉節(jié)約是中華民族傳統(tǒng)美德，小軒的爸爸是能工巧匠，如圖，他把兩塊廢棄的正方形木板分割重新拼接成一張完整的正方形桌面，其面積為2.25平方米，其中他用的一塊木板的邊長為0.9米，求另一塊木板的邊長是多少米?【答案】另一塊木板的邊長為1.2米【分析】本題主要考查了平方根的應用，根據(jù)題意列出方程并用平方根的定義求解是解題的關鍵．設另一塊木板的邊長為x米，根據(jù)面積得到并解方程即可得到答案．【詳解】解：設另一塊木板的邊長為x米，則x2+0.9∵±1.22∴x=1.2，答：另一塊木板的邊長為1.2米．【變式3-2】（23-24七年級·遼寧大連·期中）小明同學每次回家進入電梯時，總能看見物業(yè)在電梯內(nèi)張貼的提示“高空拋物，害人害己，嚴禁高空拋物”，為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：秒）和高度?（單位：米）近似滿足公式?=12gt2，其中g為重力加速度，g≈10米/平方秒．物體落地時產(chǎn)生的動能=物體質(zhì)量×(1)一個物品從80米的高樓墜落到地面需要幾秒？(2)一個0.5千克的物品墜落到地面產(chǎn)生了200焦耳的動能，請推算該物品墜落到地面用了幾秒？（結果精確到0.1秒，2≈1.41【答案】(1)大約需要4秒(2)大約2.8秒【分析】本題考查了平方根的應用，理解公式，正確代入求值是解此題的關鍵．（1）將?=80米代入?=12gt2（2）先求出?=40米，再將?=40米代入?=12gt2【詳解】（1）解：把?=80米代入?=12gt2解得：t=4（負值舍去），答：一個物品從80米的高樓墜落到地面大約需要4秒；（2）解：由題意得：0.5×10?=200，解得?=40，把?=40代入?=12gt2解得t=22∴t≈2.8秒，答：該物品墜落地面用了大約2.8秒．【變式3-3】（23-24七年級·湖北武漢·階段練習）一塊長方形空地面積為1500平方米，其長寬之比為5:3．(1)求這塊長方形空地的周長；(2)如圖，在空地內(nèi)修建“T字型”走道（橫向走道寬度不變）后將空地分割成兩個花壇（花壇1為正方形，花壇2為長方形，其長寬之比為2:1），花壇的總面積為1176平方米，寬度為2.5米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行？【答案】(1)這塊長方形空地的周長為160米(2)寬度為2.5米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行【分析】本題考查了平方根的應用；（1）設長方形空地的長為5x，則寬為3x，根據(jù)面積為1500平方米列式，利用平方根的性質(zhì)求出x，得到長方形空地的長和寬，然后即可計算周長；（2）設花壇2的寬為y，則長為2y，正方形花壇1的邊長為2y，根據(jù)總面積為1176平方米列式，利用平方根的性質(zhì)求出x，計算出“T字型”走道的寬，進行比較即可．【詳解】（1）解：設長方形空地的長為5x，則寬為3x，由題意得：5x?3x=1500，∴x=10（負值已舍去），∴5x=50，3x=30，∴這塊長方形空地的周長為2×50+30（2）設花壇2的寬為y，則長為2y，正方形花壇1的邊長為2y，由題意得：2y2解得：y=14（負值已舍去），∴花壇2的寬為14，正方形花壇1的邊長為28，∵30?28=2<2.5，∴寬度為2.5米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行．【題型4利用平方根的定義解方程】【例4】（23-24七年級·四川成都·期末）定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程．如x2=9，x?22=4，3x2+2x?1=0…都是一元二次方程．根據(jù)平方根的特征，可以將形如x解決問題：（1）解?程x?22解：∵x?2=±4∴x?2=2，或x?2=．∴x1（2）解?程：3x?12?25=0的根為【答案】?202，?【分析】本題考查了利用平方根性質(zhì)進行求解方程，熟練掌握平方根性質(zhì)是解題關鍵．（1）利用開平方的方法解方程即可；（2）利用開平方的方法解方程即可．【詳解】解：（1）解：∵x?2=±4∴x?2=2，或x?2=?2．∴x（2）∵3x?1∴3x?1∴3x?1=±25∴3x?1=5，或3x?1=?5．∴x故答案為：?2；0；x1=2，【變式4-1】（23-24七年級·湖南邵陽·期末）解方程3x2+27=0，得該方程的根是（）A．x=±3 B．x=3 C．x=﹣3 D．無實數(shù)根【答案】D【分析】移項化簡后，方程為x2=﹣9，負數(shù)沒有平方根，所以可以知道此方程根的情況．【詳解】解：移項化簡后得x2=﹣9，∵負數(shù)沒有平方根，∴此方程沒有實數(shù)根．故選D．【點睛】本題考查了平方根的定義，解題的關鍵是掌握負數(shù)沒有平方根．【變式4-2】（23-24七年級·吉林·期末）解方程：3【答案】x1=3【分析】此題考查了用平方根的意義解方程，方程變形為x?12=4，根據(jù)平方根的意義得到【詳解】解：∵3∴3x?1則x?12∴x?1=±2，解得x1=3【變式4-3】（23-24七年級·陜西漢中·期末）解方程：3x+22【答案】x=?2或x=2【分析】本題考查了平方根解方程，利用平方根的性質(zhì)得到3x+2=±4，即可求解．【詳解】解：3x+23x+2=±4，3x=?2±4，x=?2或x=2【題型5利用算術平方根的非負性求未知數(shù)的值】【例5】（23-24七年級·云南大理·期末）若x?22+y+5+z+1A．10 B．?10 C．3 D．?3【答案】A【分析】本題主要考查了絕對值、平方、算術平方根的非負性，熟練掌握絕對值、平方、算術平方根的非負性是解題的關鍵．根據(jù)絕對值、平方、二算術平方根的非負性，可得x=2,y=?5,z=?1，再代入，即可求解．【詳解】解：x?22∵x?2∴x?2=0，解得：x=2,y=?5,z=?1，∴xyz=2×?5故選：A．【變式5-1】（23-24七年級·廣東肇慶·期末）如果1?3x和y?27互為相反數(shù)，那么xy的平方根是．【答案】±3【分析】本題考查了二次根式的非負性，根據(jù)非負式子和為0，它們分別等于0直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵1?3x≥0，y?27≥0，且1?3x和∴1?3x=0，y?27=0，解得：x=13，∴xy=∴xy的平方根是：±3故答案為：±3【變式5-2】（23-24七年級·陜西西安·階段練習）若x，y都是實數(shù)，且y=x?1+1?x+4，則A．0 B．4 C．2 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后計算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，x?1≥0且1?x≥0，解得x≥1且x≤1，∴x=1，∴y=4，∴xy=1×4=4．故選：B【點睛】本題考查了算術平方根有意義的條件，明確被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．【變式5-3】（23-24七年級·湖南郴州·期末）當m=時，8?m有最小值．【答案】8【分析】本題主要考查了算術平方根的非負性，根據(jù)8?m≥0，當且僅當8?m=0【詳解】解：∵8?m≥0，當且僅當8?m=0∴當m=8，8?m有最小值，故答案為：8．【考點3立方根】類型項目立方根被開方數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結論【題型6開立方運算】【方法總結】開立方運算是立方根的概念和性質(zhì)的應用,是歷年中考出現(xiàn)次數(shù)較多的知識點.【例6】（23-24七年級·廣西崇左·期中）已知有一個數(shù)值轉換器，其流程如圖所示，當輸入x的值是?64時，輸出y的值是（

）A．?4 B．?34 C．?2 【答案】B【分析】本題考查了立方根，無理數(shù)，先看懂數(shù)值轉換器，若輸入一個數(shù)，求出的這個數(shù)的立方根，若結果是有理數(shù)，再重新輸入，若結果是無理數(shù)就輸出．據(jù)此作答即可．【詳解】解：當輸入是?64時，取立方根是?4，?4是有理數(shù)；再把?4輸入，?4的立方根是?34，所以輸出是?3故選：B．【變式6-1】（23-24七年級·河南信陽·期末）a3=1，則A．1 B．?1 C．1或?1 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的立方根，根據(jù)a3=1可得出【詳解】解：∵a3∴a=3故選：A【變式6-2】（23-24七年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知x3+1=?63，求【答案】x=?【分析】此題考查了利用立方根解方程的性質(zhì)，根據(jù)立方根的性質(zhì)解方程即可．【詳解】解：x3xx∴x=?【變式6-3】（23-24七年級·甘肅定西·期中）已知368.8=4.098，36.88=1.902【答案】19.02【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的立方根，根據(jù)被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動3位，開立方的結果的小數(shù)點就向右移動1位進行求解即可．【詳解】解：∵36.88∴36880故答案為：19.02．【題型7平方根和立方根的綜合應用】【方法總結】綜合應用平方根和立方根,主要是應用平方根和立方根的定義和性質(zhì).【例7】（23-24七年級·河北廊坊·期中）已知4m+7的立方根是3，2m+2n+2的算術平方根是4，則m2?n=（A．25 B．23 C．21 D．19【答案】B【分析】本題考查了立方根，算術平方根，代數(shù)式求值，正確求出m、n的值是解題關鍵．根據(jù)立方根和算術平方根的定義，求出m=5，n=2，再代入計算求值即可．【詳解】解：∵4m+7的立方根是3，2m+2n+2的算術平方根是4，∴4m+7=33=27∴m=5，n=2，∴m故選：B．【變式7-1】（23-24七年級·廣西百色·期末）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a+1和a?7，b?1的立方根是(1)求a，b的值：(2)求6a?2b的算術平方根和立方根．【答案】(1)a=2，b=?26(2)8，4【分析】本題主要考查了平方根，算術平方根，立方根，解題的關鍵是根據(jù)定義列出方程．（1）根據(jù)平方根的定義、立方根的定義列出方程進行解答便可；（2）根據(jù)算術平方根、立方根的定義進行計算便可．【詳解】（1）解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a+1和a?7，b?1∴2a+1+a?7=0，b?1=?3∴a=2，b=?26；（2）解：當a=2，b=?26時，6a?2b=3×2?2×?26∴6a?2b的算術平方根為64=8，立方根為3【變式7-2】（23-24七年級·河南許昌·期末）已知A=m?2m+8是m+8的立方根，B=2m?n?5n?1是【答案】3【分析】此題主要考查了立方根以及算術平方根，正確得出m,n的值是解題關鍵．首先利用算術平方根的定義以及結合立方根的定義得出n,m的值，再求出A，【詳解】解：由題意得：m?2=3,2m?n?5=2，解得：m=5,n=3，則A=3∴A?B=3【變式7-3】（23-24七年級·遼寧大連·期末）已知a的平方是4，b的算術平方根是4，c的立方根是8(1)求a，b，c的值；(2)求c2b【答案】(1)a=2或a=?2；b=16；c=512(2)6或2【分析】本題考查了乘方、算術平方根、立方根，解題的關鍵是熟練掌握乘方、算術平方根、立方根的性質(zhì)，從而完成求解．（1）結合題意，根據(jù)乘方、算術平方根、立方根的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結合（1）的結論，根據(jù)有理數(shù)混合運算以及算術平方根的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】（1）∵a的平方是4，∴a2=4∴a=2或a=?2；∵b的算術平方根是4，∴b=4∴b=4∵c的立方根是8，∴3c∴c=（2）c2b當a=2時，原式=6，當a=?2時，原式=2．【題型8立方根在實際生活中的應用】【例8】（23-24七年級·河北石家莊·期末）請根據(jù)如圖所示的對話內(nèi)容解答下列問題．(1)求大正方體木塊的棱長(2)求截得的每個小正方體木塊的棱長．【答案】(1)10(2)4【分析】本題考查了立方根的應用，熟練掌握立方根如何開方是解題的關鍵；（1）根據(jù)正方體體積等于棱長×棱長×棱長，即可解答；（2）設每個小正方體棱長為xcm【詳解】（1）∵31000∴大正方體木塊的棱長10（2）截得的每個小正方體木塊的棱長xcm1000?8解得：x=3∴截得的每個小正方體木塊的棱長4cm【變式8-1】（23-24七年級·黑龍江綏化·期末）運動會期間，體育場前方飄著大氫氣球，其中一個氫氣球的體積V=288000πcm3，求這個氫氣球的半徑．（提示：【答案】60【分析】直接利用球的體積公式計算即可．【詳解】解：設這個氫氣球的半徑rcm由題意得：288000π=4解得：r=60．答：這個氫氣球的半徑是60cm【點睛】本題主要考查了認識立體圖形、立方根的應用等知識點，掌握球的體積公式是解答本題的關鍵．【變式8-2】（23-24七年級·山西晉中·期中）某地氣象資料表明，當?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間th可以用下面的公式“t2=(1)如果雷雨區(qū)域直徑為4km，那么這場雷雨大約持續(xù)多長時間？（結果精確到0.1(2)如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑是否超過10【答案】(1)如果雷雨區(qū)域直徑為4km，那么這場雷雨大約能持續(xù)大約持續(xù)(2)如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑?jīng)]有超過【分析】本題主要考查了平方根，立方根的應用．對于（1），將d=4代入關系式，根據(jù)平方根的定義解答；對于（2），將t=1代入關系式，再比較結果，可得答案．【詳解】（1）當d=4時，t2=64答：如果雷雨區(qū)域直徑為4km，那么這場雷雨大約能持續(xù)大約持續(xù)0.3（2）當t=1時，d3即d3=900，所以又因為31000=10，且1000>900，所以答：如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑?jīng)]有超過10【變式8-3】（23-24七年級·新疆巴音郭楞·期末）為了制作某城市雕塑，需要把一根截面面積為56cm2，【答案】這兩個正方體的棱長分別為4cm和【分析】此題主要考查了正方體的體積公式和立方根的定義．解決本題的關鍵是理解鑄造前后總體積不變，需注意正方體的棱長應是體積的三次方根．因為長方體鋼塊鑄成兩個正方體后體積不發(fā)生改變，可設小正方體棱長為xcm，由題意列方程即可求出其棱長的值．【詳解】解：設小正方體棱長為xcm，則大正方體的棱長為3xcm，由題意得：x3即28x∴x∴x=4，∴3x=12，答：這兩個正方體的棱長分別為4cm和12cm．【考點4估算】比較兩個無理數(shù)大小的方法：【題型9估算無理數(shù)的大小】【例9】（23-24七年級·廣西玉林·期中）觀察表格中的數(shù)據(jù)：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289由表格中的數(shù)據(jù)可知275在哪兩個數(shù)之間（

）A．在16.2和16.3之間 B．在16.3和16.4之間C．在16.5和16.6之間 D．在16.6和16.7之間【答案】C【分析】此題考查了估算無理數(shù)的大小，由272.25<275<275.56可得272.25<【詳解】解：∵272.25<275<275.56，∴272.25<即16.5<275故選：C．【變式9-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）若2+7的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則a=，a?b=【答案】46?【分析】本題考查無理數(shù)估算，涉及算術平方根性質(zhì)，估算出2+7【詳解】解：∵4<7<9，∴2<7<3，即∵2+7的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b∴a=4,b=2+∴a?b=4?7故答案為：4；6?7【變式9-2】（23-24七年級·黑龍江佳木斯·期末）若4+15的小數(shù)部分是a，7-15的小數(shù)部分是b，則a+b的值是．【答案】1【分析】估算無理數(shù)4+15，7-15的大小，確定a、b的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵3＜15＜4，∴-4＜-15＜-3，∴7＜4+15＜8，3＜7-15＜4，∴4+15的小數(shù)部分是a=4+15-7=15-3，7-15的小數(shù)部分是b=7-15-3=4-15，∴a+b=15-3+4-15=1．故答案為：1【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術平方根的定義是正確解答的前提．【變式9-3】（23-24七年級·河北保定·期中）大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1表示2的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為2的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．已知：2+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，x=，【答案】33【分析】根據(jù)1<3<2，2+3=x+y，且0<y<1，x是整數(shù)，可以確定出【詳解】解：∵1<3<2，2+3=x+y，且∴x=2+1=3，y=3故答案為：3，3?1【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，確定無理數(shù)的整數(shù)部分是解答本題的關鍵．【題型10估算的實際應用】【例10】（23-24七年級·陜西漢中·期中）對于實數(shù)a，我們規(guī)定，用符號a表示不大于a的最大整數(shù)，稱a為a的根整數(shù)，例如：9=3，10=3．我們可以對一個數(shù)連續(xù)求根整數(shù)，如對5連續(xù)兩次求根整數(shù)：5=2→2=1．若對x連續(xù)求兩次根整數(shù)后的結果為1A．5 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】對各選項中的數(shù)分別連續(xù)求根整數(shù)即可判斷得出答案．【詳解】解：當x＝5時，5=2→當x＝10時，10=3→當x＝15時，15=3→當x＝16時，16=4→∴滿足條件的整數(shù)x的最大值為15，故答案為：C．【點睛】本題考查了無理數(shù)估算的應用，主要考查學生的閱讀能力和理解能力，解題的關鍵是讀懂題意．【變式10-1】（23-24七年級·安徽安慶·期末）斐波那契是意大利數(shù)學家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）后來人們在研究它的過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結果，在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草，萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實際生活中也有廣泛的應用．斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用151+52n【答案】2【分析】運用無理數(shù)的估算直接解題即可．【詳解】解：∵2<5∴3<5即32∴1+52最接近的整數(shù)為故答案為：2．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算是解題的關鍵．【變式10-2】（23-24七年級·河南南陽·期中）我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為ba和dc（ba<x<dc，a，b，c，d為正整數(shù)），則b+da+c是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道5=2.236067???，令115<5<125，則第一次用“調(diào)日法”后得到A．五 B．四 C．三 D．二【答案】B【分析】本題考查無理數(shù)的估算；根據(jù)定義逐次計算，直到滿足近似分數(shù)與實際誤差小于0.01即可．【詳解】解：第一次用“調(diào)日法”后得到115第二次用“調(diào)日法”后得到115第三次用“調(diào)日法”后得到115第四次用“調(diào)日法”后得到115即用“調(diào)日法”得到5的近似分數(shù)與實際值誤差小于0.01的次數(shù)為四次．故選：B．【變式10-3】（23-24七年級·廣西南寧·期中）閱讀材料，完成下列任務：因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來比如：π、2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準確．材料一：∵4<7<9∴7?1的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為材料二：我們還可以用以下方法求一個無理數(shù)的近似值．我們知道面積是2的正方形的邊長是2，易知2>1，因此可設2解：由圖中面積計算，S正方形∵S∴x∵x是2的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略x2∴得方程2x+1=2，解得x=0.5，即2≈1.5解決問題：(1)利用材料一中的方法，求85的小數(shù)部分；(2)利用材料二中的方法，借助面積為5的正方形探究5的近似值．（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）【答案】(1)85(2)5≈2.25【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，解題關鍵是準確理解題目給出的方法，熟練進行計算．（1）根據(jù)材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法畫出圖形，寫出過程即可．【詳解】（1）解：∵81<∴85∴85的小數(shù)部分為85（2）解：∵面積是5的正方形的邊長是5，5>2∴可設5畫出示意圖如圖所示由圖中面積計算，S正方形∵S∴∵x是5的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略x2∴得方程4x+4=5，解得x=0.25，即5【考點5實數(shù)】1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關系分：實數(shù)【易錯點剖析】所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.2.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.3.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是-；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.4.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【題型11實數(shù)的運算】【例11】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·開學考試）計算：(1)?12021(2)327【答案】(1)4(2)6【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)乘方的意義、有理數(shù)的加法法則、減法法則、立方根的定義、算術平方根的定義和絕對值是解題關鍵．（1）根據(jù)絕對值、算術平方根的定義和乘方運算計算即可．（2）根據(jù)立方根的定義、算術平方根的定義和乘方運算計算即可．【詳解】（1）解：原式=?1?7+3×4=4；（2）解：原式=3+4×=3+3=6．【變式11-1】（23-24七年級·云南紅河·階段練習）（1）計算：(?2)2（2）3【答案】（1）4；（2）23?4．【分析】本題考查了實數(shù)的運算與二元一次方程組的解法，熟練掌握運算法則與步驟是解題關鍵．（1）利用乘方、立方根、絕對值、算術平方根分別計算即可．（2）利用乘方、立方根、絕對值、算術平方根及二次根式的加減分別計算即可．【詳解】解：（1）原式=4?3+4?1=4；（2）原式=【變式11-2】（23-24七年級·山東德州·期中）計算(1)(?3(2)(?1)2【答案】(1)?(2)7【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算，（1）利用平方根的性質(zhì)、算術平方根、絕對值進行化簡計算即可；（2）利用平方根的性質(zhì)、算術平方根、立方根進行化簡計算即可．【詳解】（1）解：(?=3?4+1?=?（2）解：(?1)=1+=1+2+4=7【變式11-3】（23-24七年級·廣西南寧·期末）在信息技術課上，好學的小明制作了一個關于實數(shù)x(|x|<20)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為2時，則輸入的實數(shù)x可取的負整數(shù)值是．【答案】?2或?14【分析】本題考查了實數(shù)的運算，理解程序的運算步驟是解題的關鍵．按照程序的運算步驟進行計算，即可解答．【詳解】解：若1次運算輸出的值是2時，∴|x?2|=2，∴x?2=±2，解得：x=4或x=0；若2次運算輸出的值是2時，∴|x?2|=4，∴x?2=±4，解答：x=6或x=?2；若3次運算輸出的值是2時，∴|x?2|=16，∴x?2=±16，解答：x=18或x=?14；∵|x|<20，且x取負整數(shù)，∴x=?2或?14，故答案為：?2或?14．【題型12利用數(shù)軸化簡】【例12】（2024七年級·浙江·專題練習）如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點A、B、C所對應的實數(shù)．試化簡：c2【答案】b【分析】此題主要考查了實數(shù)運算以及實數(shù)與數(shù)軸，平方根，立方根的求解，化簡絕對值，直接利用數(shù)軸得出c>0，【詳解】解：由數(shù)軸可得：c>0，原式=c?a?b+a+b【變式12-1】（2019·重慶·一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示那么(b?a)2+|a+b|?3

A．2a+b B．b C．2a?b D．3b【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置可得b<0<a，b?a<0，a+b>0，再根據(jù)算術平方根，絕對值和立方根的定義化簡即可．【詳解】由數(shù)軸可得b<0<a，b?a<0，a+b>0，∴(b?a)＝a?b+a+b?b＝2a?b故選C．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值，算術平方根和立方根，熟練掌握算術平方根和立方根的運算是解題的關鍵．【變式12-2】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習）實數(shù)a，b表示的點在數(shù)軸上的位置如圖，則將a+22+b?2【答案】4【分析】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，由a,b在數(shù)軸上的位置可得：0<a+2<1,?1<b?2<0,a?b<