中考專題之勾畫隱圓,破解最值教學(xué)設(shè)計(jì) 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

中考專題之勾畫隱圓,破解最值教學(xué)設(shè)計(jì)2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱：中考專題之勾畫隱圓，破解最值

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：九年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2023年11月15日，星期三，第3節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

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同學(xué)們，咱們今天來(lái)點(diǎn)不一樣的數(shù)學(xué)游戲——勾畫隱圓，破解最值！這可是中考數(shù)學(xué)中的一大亮點(diǎn)，咱們得好好研究研究。別急，咱一步步來(lái)，先從課本出發(fā)，再結(jié)合實(shí)際，讓數(shù)學(xué)變得更有趣！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過(guò)勾畫隱圓，學(xué)生能夠提升空間想象力和幾何直觀能力；破解最值問(wèn)題則鍛煉了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，通過(guò)實(shí)際操作和問(wèn)題解決，學(xué)生將增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的靈活性和準(zhǔn)確性。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

同學(xué)們?cè)谥暗膸缀螌W(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)圓的相關(guān)知識(shí)，對(duì)圓的半徑、直徑、周長(zhǎng)和面積等基本概念有所了解。此外，我們之前也學(xué)過(guò)如何利用坐標(biāo)系來(lái)表示點(diǎn)和圖形，這對(duì)于理解隱圓的概念是必要的。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)持有一定的好奇心和興趣，尤其是對(duì)解決幾何問(wèn)題。他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出較強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有的學(xué)生偏好通過(guò)直觀圖形來(lái)理解問(wèn)題，有的則更擅長(zhǎng)通過(guò)公式和代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

部分學(xué)生在理解和應(yīng)用隱圓的概念時(shí)可能會(huì)遇到困難，因?yàn)樗麄兛赡茈y以在腦海中形成隱圓的直觀形象。此外，對(duì)于破解最值問(wèn)題，學(xué)生可能會(huì)在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型和解方程方面感到挑戰(zhàn)。一些學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算不夠熟練，這也可能會(huì)影響他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)的表現(xiàn)。因此，教學(xué)過(guò)程中需要特別關(guān)注這些潛在問(wèn)題，提供足夠的指導(dǎo)和練習(xí)機(jī)會(huì)。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：我將采用講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法，確保學(xué)生對(duì)基本概念有清晰的理解。同時(shí)，通過(guò)小組合作，鼓勵(lì)學(xué)生參與討論，培養(yǎng)他們的合作精神和批判性思維。

2.教學(xué)活動(dòng)：設(shè)計(jì)“隱圓尋寶”游戲，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作找到隱圓的位置，加深對(duì)隱圓概念的理解。此外，通過(guò)案例研究，讓學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題，提升解決問(wèn)題的能力。

3.教學(xué)媒體：利用多媒體課件展示幾何圖形，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示隱圓的形成過(guò)程，幫助學(xué)生直觀理解。同時(shí)，結(jié)合實(shí)物模型和教具，讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受幾何知識(shí)的魅力。教學(xué)過(guò)程【導(dǎo)入】

（老師）同學(xué)們，今天我們要一起探索一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)世界——勾畫隱圓，破解最值。在開(kāi)始之前，請(qǐng)大家回憶一下我們之前學(xué)習(xí)的圓的性質(zhì)，比如半徑、直徑、周長(zhǎng)和面積，這些都是我們今天學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

【新課導(dǎo)入】

（老師）好，現(xiàn)在讓我們進(jìn)入今天的主題。首先，我要請(qǐng)大家看一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，這是一個(gè)圓，它的中心點(diǎn)是O，半徑是r。那么，如果我問(wèn)你們，這個(gè)圓的周長(zhǎng)是多少？面積又是多少？你們能迅速回答出來(lái)嗎？

（學(xué)生）周長(zhǎng)是2πr，面積是πr2。

（老師）很好！接下來(lái)，我想問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題：如果這個(gè)圓被一個(gè)完全覆蓋它的正方形所包圍，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)會(huì)是多少呢？你們能通過(guò)圓的半徑來(lái)計(jì)算這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)嗎？

（學(xué)生）可以通過(guò)勾股定理來(lái)計(jì)算，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度等于圓的直徑，即2r，所以對(duì)角線的一半就是r√2，因此正方形的邊長(zhǎng)是r√2。

（老師）太棒了！那么，如果這個(gè)圓不是明明白白地畫出來(lái)的，而是隱藏在某個(gè)圖形中，我們?cè)撊绾握业剿?？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“勾畫隱圓”。

【活動(dòng)一：隱圓尋寶】

（老師）現(xiàn)在，請(qǐng)大家拿出你們的幾何工具，我會(huì)在黑板上畫一個(gè)復(fù)雜的圖形，其中包含一個(gè)隱圓。你們的任務(wù)是找到這個(gè)隱圓，并畫出它的輪廓。

（學(xué)生）（分組討論，動(dòng)手操作）

（老師）好，現(xiàn)在請(qǐng)每組派一個(gè)代表上來(lái)展示你們找到的隱圓。

（學(xué)生）展示自己的發(fā)現(xiàn)，老師給予點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。

【活動(dòng)二：破解最值】

（老師）接下來(lái)，我們來(lái)破解一個(gè)最值問(wèn)題。假設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)是圓的直徑，寬是圓的半徑。我們要找出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積最大是多少。

（學(xué)生）通過(guò)計(jì)算和討論，得出面積最大值。

（老師）很好，你們使用了什么方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

（學(xué)生）我們通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系，然后求導(dǎo)找到函數(shù)的最大值。

【教學(xué)演示】

（老師）現(xiàn)在，我會(huì)在黑板上演示如何通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。首先，我們?cè)O(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2r，寬為r，那么面積S就是2r乘以r，即2r2。接下來(lái)，我們要找到S的最大值。

（學(xué)生）觀察老師的演示，跟隨老師的思路。

（老師）通過(guò)求導(dǎo)，我們得到S的導(dǎo)數(shù)為4r，令導(dǎo)數(shù)為0，解得r=0，這是不可能的，因?yàn)閞代表半徑，不能為0。所以，我們考慮r的正值，當(dāng)r=1時(shí)，S達(dá)到最大值，即S=2。

【課堂練習(xí)】

（老師）現(xiàn)在，請(qǐng)大家完成以下幾個(gè)練習(xí)題，鞏固今天所學(xué)的知識(shí)。

（學(xué)生）獨(dú)立完成練習(xí)題，老師巡視指導(dǎo)。

【總結(jié)】

（老師）今天我們學(xué)習(xí)了勾畫隱圓和破解最值的問(wèn)題。通過(guò)今天的活動(dòng)，我相信大家已經(jīng)對(duì)這兩個(gè)概念有了更深的理解。記住，數(shù)學(xué)不僅是一門學(xué)科，更是一種解決問(wèn)題的工具。希望大家在今后的學(xué)習(xí)中，能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中。

【課后作業(yè)】

（老師）請(qǐng)大家課后完成以下作業(yè)，下節(jié)課我們將進(jìn)行討論。

（學(xué)生）領(lǐng)取作業(yè)，準(zhǔn)備回家完成。

【教學(xué)反思】

（老師）今天的課，我在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作和小組討論來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們的參與度很高，特別是在破解最值問(wèn)題時(shí)，他們能夠積極思考，提出不同的解決方法。在今后的教學(xué)中，我將繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。同時(shí)，我也意識(shí)到，對(duì)于一些抽象的概念，需要更多的直觀演示和實(shí)例分析，以幫助學(xué)生更好地理解和記憶。拓展與延伸六、拓展與延伸

1.拓展閱讀材料：

-《幾何之美》：這本書以通俗易懂的語(yǔ)言介紹了幾何學(xué)的基本概念和定理，對(duì)于對(duì)幾何學(xué)感興趣的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一本很好的入門書籍。

-《數(shù)學(xué)家的故事》：通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)家們的生平故事，學(xué)生可以了解到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)家的智慧，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。

-《數(shù)學(xué)難題解析》：這本書收集了多個(gè)數(shù)學(xué)難題的解析，包括幾何、代數(shù)、數(shù)論等多個(gè)領(lǐng)域，適合有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生進(jìn)行拓展閱讀。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-**隱圓的幾何性質(zhì)**：引導(dǎo)學(xué)生探究隱圓的對(duì)稱性、圓心位置以及與正多邊形的關(guān)系?？梢宰寣W(xué)生嘗試畫出一個(gè)隱圓，并探討如何通過(guò)測(cè)量或計(jì)算來(lái)確定圓心和半徑。

-**最值問(wèn)題的應(yīng)用**：鼓勵(lì)學(xué)生思考最值問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等。學(xué)生可以嘗試解決一些實(shí)際案例，如如何設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形容器，使其體積最大，但表面積最小。

-**圓的周長(zhǎng)與面積的關(guān)系**：學(xué)生可以研究圓的周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系，探索如何通過(guò)圓的周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算面積，或者通過(guò)面積來(lái)推測(cè)周長(zhǎng)。

-**圓的方程**：介紹圓的方程及其解法，讓學(xué)生嘗試解一些關(guān)于圓的方程問(wèn)題，如給定圓心和半徑求圓的方程，或者給定方程求圓心和半徑。

-**圓的內(nèi)接多邊形和外切多邊形**：研究圓的內(nèi)接多邊形和外切多邊形的特點(diǎn)，探討如何通過(guò)這些多邊形來(lái)估計(jì)圓的周長(zhǎng)和面積。

3.實(shí)踐活動(dòng)建議：

-**制作幾何模型**：學(xué)生可以嘗試制作一些幾何模型，如圓、正方形、長(zhǎng)方形等，通過(guò)實(shí)際操作來(lái)加深對(duì)幾何概念的理解。

-**數(shù)學(xué)游戲設(shè)計(jì)**：鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)游戲，如“找隱圓”、“面積競(jìng)賽”等，這些游戲可以幫助學(xué)生在娛樂(lè)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

-**數(shù)學(xué)小論文撰寫**：學(xué)生可以選擇一個(gè)與幾何相關(guān)的主題，如“圓的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用”，撰寫一篇小論文，展示他們的研究過(guò)程和成果。重點(diǎn)題型整理1.**題型一：求隱圓的半徑和圓心**

-**題目**：已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10cm，寬是6cm，且長(zhǎng)方形的對(duì)角線是圓的直徑。求這個(gè)隱圓的半徑和圓心坐標(biāo)。

-**答案**：根據(jù)勾股定理，長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為√(102+62)=√136≈11.66cm。因此，圓的半徑是11.66cm/2=5.83cm。圓心坐標(biāo)為長(zhǎng)方形中心點(diǎn)，即(5cm,3cm)。

2.**題型二：計(jì)算圓的面積和周長(zhǎng)**

-**題目**：一個(gè)圓的直徑是14cm，求這個(gè)圓的面積和周長(zhǎng)。

-**答案**：圓的半徑是14cm/2=7cm。面積是π*72=49π≈153.94cm2。周長(zhǎng)是2π*7=14π≈43.98cm。

3.**題型三：確定圓的方程**

-**題目**：已知圓上三點(diǎn)A(2,3)，B(4,7)，C(6,1)，求這個(gè)圓的方程。

-**答案**：設(shè)圓的方程為(x-h)2+(y-k)2=r2。將三個(gè)點(diǎn)代入方程，得到三個(gè)方程：

-(2-h)2+(3-k)2=r2

-(4-h)2+(7-k)2=r2

-(6-h)2+(1-k)2=r2

通過(guò)解這個(gè)方程組，可以找到圓心(h,k)和半徑r，從而得到圓的方程。

4.**題型四：圓與直線的相交**

-**題目**：已知圓的方程是(x-3)2+(y+2)2=16，直線方程是y=2x+1。求圓與直線的交點(diǎn)。

-**答案**：將直線方程代入圓的方程，得到：

-(x-3)2+(2x+1+2)2=16

-(x-3)2+(2x+3)2=16

解這個(gè)方程，得到兩個(gè)交點(diǎn)的x坐標(biāo)，再代入直線方程得到對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)。

5.**題型五：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)**

-**題目**：已知一個(gè)圓內(nèi)接四邊形ABCD，且∠ABC=60°，AB=8cm，BC=6cm。求四邊形ABCD的面積。

-**答案**：由于ABCD是圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角互補(bǔ)，所以∠ADC=120°。利用余弦定理，可以求出AC的長(zhǎng)度：

-AC2=AB2+BC2-2*AB*BC*cos(∠ABC)

-AC2=82+62-2*8*6*cos(60°)

-AC2=100-48

-AC=√52≈7.21cm

因?yàn)锳BCD是圓內(nèi)接四邊形，所以對(duì)角線互相平分，即AC平分∠ADC。利用正弦定理，可以求出四邊形ABCD的面積：

-面積=(1/2)*AB*BC*sin(∠ABC)

-面積=(1/2)*8*6*sin(60°)

-面積=24*(√3/2)≈20.78cm2教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生們?cè)谡n堂上的參與度非常高，對(duì)于隱圓和最值問(wèn)題的探討表現(xiàn)出濃厚的興趣。大部分學(xué)生能夠積極回答問(wèn)題，提出自己的見(jiàn)解，展現(xiàn)出良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。

2.小組討論成果展示：

-在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠有效合作，共同解決問(wèn)題。每個(gè)小組都展示了自己的解題思路和方法，其他同學(xué)也給予了積極的反饋和補(bǔ)充。這種互動(dòng)式的學(xué)習(xí)方式不僅提高了學(xué)生的合作能力，也促進(jìn)了知識(shí)的共享。

3.隨堂測(cè)試：

-為了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，我進(jìn)行了一次隨堂測(cè)試。測(cè)試結(jié)果顯示，大部分學(xué)生能夠正確解答與隱圓和最值問(wèn)題相關(guān)的題目，但也有少數(shù)學(xué)生在理解和應(yīng)用方面存在困難。

4.學(xué)生個(gè)體評(píng)價(jià)：

-在課堂表現(xiàn)和隨堂測(cè)試的基礎(chǔ)上，我對(duì)每位學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行了個(gè)體評(píng)價(jià)。對(duì)于表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，我給予了表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，同時(shí)提出了更高的期望。對(duì)于表現(xiàn)一般或較差的學(xué)生，我提出了針對(duì)性的建議，幫助他們找到學(xué)習(xí)上的不足，并提供了額外的輔導(dǎo)。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

-針對(duì)課堂表現(xiàn)，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，缺乏耐心和毅力。為了改善這一點(diǎn)，我將在今后的教學(xué)中增加更多實(shí)例分析，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)耐心和解決問(wèn)題的能力。

-在小組討論方面，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在表達(dá)自己的觀點(diǎn)時(shí)不夠自信，有時(shí)甚至不敢發(fā)言。為了提高學(xué)生的表達(dá)能力，我計(jì)劃在下一節(jié)課中安排一些角色扮演的活動(dòng)，讓學(xué)生在模擬情境中練習(xí)表達(dá)和溝通。

-對(duì)于隨堂測(cè)試中暴露出的問(wèn)題，我將通過(guò)個(gè)別輔導(dǎo)和課后作業(yè)的方式，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題技巧。

-在教學(xué)過(guò)程中，我也注意到了一些教學(xué)方法的不足，比如在某些環(huán)節(jié)講解過(guò)于詳細(xì)，導(dǎo)致學(xué)生缺乏獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)。在今后的教學(xué)中，我將更加注重啟發(fā)式教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)。

-最后，我將根據(jù)學(xué)生的反饋和教學(xué)效果，不斷調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)策略，確保每位學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上穩(wěn)步前進(jìn)。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-隱圓的定義和性質(zhì)

-最值問(wèn)題的基本概念

-圓的方程和解法