矩陣?yán)碚?課件 第1章第5節(jié)矩陣可對(duì)角化的條件

矩陣可對(duì)角化

的條件1.5定義1.13設(shè)若有可逆矩陣,使得,則稱矩陣和相似,記為

矩陣變換稱為相似變換,稱為把變成的相似變換矩陣.特別地,若矩陣和對(duì)角矩陣相似,則稱是可(相似)對(duì)角化的,也稱是單純矩陣.注相似是矩陣之間的一種重要的關(guān)系．相似矩陣具有下列定理中陳述的性質(zhì).定理1.13設(shè)是一個(gè)多項(xiàng)式.(1)自反性：(2)對(duì)稱性：若,則(3)傳遞性：若,,則.(4)若,則(5)若,則(6)若,則即與的特征多項(xiàng)式相同,從而特征值相同.矩陣可對(duì)角化的條件相似對(duì)角化矩陣可對(duì)角化的條件(7)若,則證僅證明性質(zhì)(5)和(6).設(shè).因?yàn)?所以存在可逆矩陣,使得.于是從而,又有

注方陣能否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣?定理1.14設(shè),則可對(duì)角化的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證設(shè)存在可逆矩陣和階對(duì)角矩陣使得

矩陣可對(duì)角化的條件則有.將矩陣按列分塊為則可寫為即于是說(shuō)明有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即的個(gè)列向量.矩陣可對(duì)角化的條件

反之,若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,對(duì)應(yīng)的特征值分別為,則記可逆,并且即有故矩陣可對(duì)角化.矩陣可對(duì)角化的條件推論1.1

如果階方陣的個(gè)特征值互不相同,則可以對(duì)角化.

定理1.15

階方陣

可對(duì)角化的充要條件是的每個(gè)互不相同的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)相等.證設(shè)的所有不同的特征值為,其代數(shù)重?cái)?shù)分別是,且.充分性：假設(shè)的代數(shù)重?cái)?shù)等于它的幾何重?cái)?shù).由定理1.10可知,把屬于的線性無(wú)關(guān)的的特征向量合并后仍是線性無(wú)關(guān)的,共有

個(gè),又由定理1.14可知,可以對(duì)角化.必要性：設(shè)可對(duì)角化,即存在可逆矩陣,使得從而有

上面的對(duì)角矩陣的后個(gè)對(duì)角線元素非零,因此.故.

同理可證

矩陣可對(duì)角化的條件例1.8判斷下列矩陣可否對(duì)角化,若可以對(duì)角化,求其相似變換矩陣和對(duì)角矩陣.(1)(2)(3)解(1)矩陣

的特征多項(xiàng)式為

因此

有3個(gè)互異特征值,可對(duì)角化.可求得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量分別為矩陣可對(duì)角化的條件故相似變換矩陣對(duì)角矩陣使得

(2)矩陣

的特征多項(xiàng)式為

可求得對(duì)應(yīng)特征值的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量和,以及對(duì)應(yīng)特征值

的特征向量分別為故可對(duì)角化.矩陣可對(duì)角化的條件相似變換矩陣對(duì)角矩陣使得

(3)矩陣

的特征多項(xiàng)式為

因此特征值是對(duì)于二重特征值由可知其幾何重?cái)?shù)為1,顯然與代數(shù)重?cái)?shù)不相等,故不可對(duì)角化.矩陣可對(duì)角化的條件例1.9設(shè)求解

由例1.8已求得

其中于是

矩陣可對(duì)角化的條件例1.10求解以下一階線性常系數(shù)微分方程組：解將微分方程組改寫成以下向量形式：

其中

對(duì)于矩陣,由例1.8可知矩陣可對(duì)角化的條件其中令其中于是

從而,原方程組化為其一般解分別為矩陣可對(duì)角化的條件又由求得原微分方程組的一般解為其中.定義1.14設(shè)若滿足等式

則稱為正規(guī)矩陣.

特別地,如果滿足則稱為酉矩陣,其等價(jià)條件是的列向量組(行向量組)為向量空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交矩陣是酉矩陣的特例.注容驗(yàn)證實(shí)對(duì)稱矩陣()、實(shí)反對(duì)稱矩陣()、Hermite矩陣()、反Hermite矩陣()以及對(duì)角矩陣等也都是正規(guī)矩陣.雖然不能保證所有矩陣都相似于對(duì)角矩陣,但是下面的Schur定理告訴我們,每個(gè)矩陣都相似于一個(gè)上三角矩陣,且相似矩陣為酉矩陣.定理1.16設(shè)則存在酉矩陣,使得其中,為上三角矩陣,其主對(duì)角線元素為的特征值,即任何復(fù)方陣都與上三角矩陣酉相似.矩陣可對(duì)角化的條件酉相似對(duì)角化矩陣可對(duì)角化的條件證對(duì)矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)定理顯然成立.設(shè)階數(shù)為時(shí)定理成立,下面證明階數(shù)為時(shí)定理也成立.設(shè)是的一個(gè)特征值,對(duì)應(yīng)的單位特征向量為.把擴(kuò)充為向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，即滿足令則為酉矩陣.的第一列元素為其中,是階復(fù)方陣.根據(jù)歸納假設(shè),存在階酉矩陣和上三角矩陣使得并且的主對(duì)角線元素是的特征值,也是的特征值.矩陣可對(duì)角化的條件

令則是階酉矩陣,且顯然,為上三角矩陣,其主對(duì)角線元素為的特征值.注雖然并不是所有矩陣都可相似于對(duì)角矩陣,但是正規(guī)矩陣可以酉相似于對(duì)角矩陣.定理1.17設(shè)則酉相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是為正規(guī)矩陣.證必要性：設(shè)存在酉矩陣,使得則矩陣可對(duì)角化的條件充分性：設(shè)是正規(guī)矩陣,由Schur定理可知,存在酉矩陣,使得其中是上三角矩陣.于是從而,是正規(guī)上三角矩陣.設(shè)則矩陣可對(duì)角化的條件由和的主對(duì)角線元素相等可得因此,為對(duì)角矩陣.矩陣可對(duì)角化的條件推論1.2

Hermite矩陣的特征值均為實(shí)數(shù),反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù).證設(shè)是Hermite矩陣,則是正規(guī)矩陣,于是存在階酉矩陣,使得而從而故特征值均為實(shí)數(shù).如果是反Hermite矩陣,則同上可推得可見(jiàn)為零或純虛數(shù).矩陣可對(duì)角化的條件下面將線性代數(shù)中有關(guān)正定矩陣的概念進(jìn)行相應(yīng)的推廣.定義1.15

設(shè)是Hermite矩陣,則稱是Hermite二次型.如果對(duì)任意非零向量,都有

則稱是Hermite正定矩陣(半正定矩陣).定理1.18設(shè)是Hermite矩陣,則下列條件等價(jià).(1)是Hermite正定矩陣.(2)的特征值全為正實(shí)數(shù).(3)存在可逆矩陣,使得證因?yàn)樗源嬖陔A酉矩陣,使得(1.6)(1)(2)：設(shè)的特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量為,即且,從而

矩陣可對(duì)角化的條件

(2)(3)：由式(1.6)和可得

令顯然可逆,且(3)(1)：因?yàn)槭强赡婢仃?所以對(duì)任意非零向量,也是非零向量,于是

即是正定矩陣.推論1.3

Hermite正定矩陣的行列式大于零.相應(yīng)地,有Hermite半正定矩陣的如下結(jié)論(定理1.19).定理1.19設(shè)是Hermite矩陣,則下列條件等價(jià).(1)是Hermite半正定矩陣.(2)的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù).矩陣可對(duì)角化的條件(3)存在矩陣使得定理1.20設(shè)

則有以下結(jié)論.(1)和的特征值全為非負(fù)實(shí)數(shù).(2)和的非零特征值相同.(