二重積分的概念和性質(zhì)課件

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出回想：定積分中會求平行截面面積為已知的立體體積，旋轉(zhuǎn)體體積。一般立體的體積如何求？引例1．曲頂柱體的體積設(shè)有一立體，它的底是平面上的有界閉區(qū)域它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于的柱面，這里且在上連續(xù)。它的頂是曲面此立體稱為曲頂柱體。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束曲頂柱體機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束柱體體積=特點(diǎn)：平頂.曲頂柱體體積=分析：底面積×高？回憶：曲邊梯形面積如何求？思想是以直代曲、以不變代變。如何創(chuàng)造條件使平與曲這對矛盾轉(zhuǎn)化？機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

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求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1)分割“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4)“取極限”令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對二重積分定義的說明：(1)

在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的；在小區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的取法是任意的。(2)二重積分中面積元素象征著積分和中的因此

在直角坐標(biāo)系下用平行于D則面積元素為(3)坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故在直角坐標(biāo)系下二重積分可寫為中是()(A)最大小區(qū)間長(B)小區(qū)域最大面積(C)小區(qū)域直徑(D)最大小區(qū)域直徑D選擇題機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的幾何意義1)當(dāng)時(shí)，二重積分表示以為底的曲頂柱體體積。為頂，以此時(shí)，二重積分表示曲頂柱體體積的負(fù)值。2)當(dāng)被積函數(shù)時(shí)，柱體在面下方，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例設(shè)為圓域二重積分二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分中值定理幾何意義若為在閉區(qū)域上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則以為曲頂?shù)那斨w的體積為底，等于以D為底，以為高的平頂柱體的體積。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解例1

的大小,

與比較積分其中是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)各為在D內(nèi)有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí).

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知例1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解

例3判斷的符號。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解例4

估計(jì)的值，其中

故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5

估計(jì)下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1).設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8.二重積分的對稱性若若(2)

域D關(guān)于y軸對稱,D1為D的右半部分

,則則若若在第一象限部分,則有(3)

域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,兩部分分別記為

D1和D2,則則若若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(4)

域D關(guān)于y=x

對稱,則域D1

、D2關(guān)于y=x

對稱,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6:設(shè),f(x)為D所以解:因