人教版九年級數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)活動-旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)（導(dǎo)學(xué)案）

數(shù)學(xué)活動

——旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)

一、活動導(dǎo)入

1.導(dǎo)入課題:我們能用坐標(biāo)表示軸對稱變換、平移變換，也能用坐標(biāo)表示中心對稱，那么

能不能用坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)變換呢？這節(jié)課我們探索用坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)角為90°的旋轉(zhuǎn)變換（.板書

課題）

2.學(xué)習(xí)目標(biāo):

(1)運用坐標(biāo)探索中心對稱與軸對稱的關(guān)系.

(2)探索點繞原點旋轉(zhuǎn)90°的倍數(shù)角度的坐標(biāo)變化規(guī)律.

(3)通過活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合和動手操作實踐能力.

3.學(xué)習(xí)重、難點:

重點：運用坐標(biāo)探索中心對稱與軸對稱的關(guān)系，探索點繞原點旋轉(zhuǎn)90°的倍數(shù)角度的坐

標(biāo)變化規(guī)律.

難點：探索點繞原點旋轉(zhuǎn)90°的倍數(shù)角度的坐標(biāo)變化規(guī)律.

二、活動過程

活動1

1.活動指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第74頁活動1.

（2）自學(xué)時間：6分鐘.

（3）自學(xué)要求：完成活動參考提綱.

（4）自學(xué)參考提綱：

①在下圖中完成課本中的活動1.

a.如果A(-3,2)，則B點坐標(biāo)為(-3,-2)，C點坐標(biāo)為(3,-2).A，

C兩點的坐標(biāo)關(guān)系是坐標(biāo)互為相反數(shù)，位置關(guān)系是關(guān)于原點中心

對稱.

b.猜想：對于任意點A(x,y)，則B點坐標(biāo)為(x,-y)，C點坐標(biāo)為

(-x,-y).A，C兩點的坐標(biāo)關(guān)系是坐標(biāo)互為相反數(shù)，位置關(guān)系是關(guān)

于原點中心對稱.

c.對于任意點A(x,y)，先作A關(guān)于y軸的對稱點B，再作B點關(guān)于x軸的對稱點C，則

A，C兩點的坐標(biāo)關(guān)系是坐標(biāo)互為相反數(shù)，位置關(guān)系是關(guān)于原點中心對稱.

②對于任意點A(x,y)，先以x軸為對稱軸作點A關(guān)于x軸的對稱軸點A1，再以y軸為

對稱軸作A1于y軸的對稱點A2，然后再以x軸為對稱軸作A2關(guān)于x軸的對稱點A3，以y

軸為對稱軸作A3關(guān)于y軸的對稱點A4，…，如此繼續(xù)，得到一系列點A1，A2，…，An，

若An與A重合，則n的最小值是多少？能從坐標(biāo)的角度給予解釋嗎？

n的最小值為4.

因為A1與A關(guān)于x軸對稱，A2與A1關(guān)于y軸對稱，所以A2與A關(guān)于原點對稱，

同理A4與A2關(guān)于原點對稱，所以A4與A重合，

同理，A8與A重合，A12與A重合，…，

所以，當(dāng)n=4k(k為正整數(shù))時，An與A重合，所以n的最小值為4.

③如圖，直線l1與l2相交，∠α=60°，點P在∠α內(nèi)（不在l1、l2上）.小明用下面的方法

作P的對稱點：先以l1為對稱軸作點P關(guān)于l1的對稱軸點P1，再以l2為對稱軸作P1關(guān)于l2

的對稱點P2，然后再以l1為對稱軸作P2關(guān)于l1的對稱點P3，以l2為對稱軸作P3關(guān)于l2的對

稱點P4，…，如此繼續(xù)，得到一系列點P1，P2，…，Pn，若Pn與P重合，則n的最小值是

多少？能運用旋轉(zhuǎn)的知識給予解釋嗎？

如圖，若Pn與P重合，n的最小值為6，因為P1是由P繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)2β得到，P2

是由P1繞O點順時針旋轉(zhuǎn)120°+2β得到，P3是由P2繞O點順時針旋轉(zhuǎn)120°-2β得到，P4是

由P3繞O點順時針旋轉(zhuǎn)2β得到，P5是由P4繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)120°+2β得到，P6是由P5繞

O點逆時針旋轉(zhuǎn)120°-2β得到，所以P6最終回到P，n的最小值為6.

2.自學(xué)：學(xué)生參考活動指導(dǎo)進(jìn)行活動性學(xué)習(xí).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：明了學(xué)生是否會根據(jù)點與點的坐標(biāo)的關(guān)系解釋點與點的位置關(guān)系.

②差異指導(dǎo)：對困難學(xué)生在用點與點的坐標(biāo)的關(guān)系解釋點與點的位置關(guān)系方面進(jìn)行指

導(dǎo).

（2）生助生：學(xué)生同桌之間互相交流.

4.強化：作任意點P關(guān)于x軸(y軸)的對稱點P1，再作所得對稱點P1關(guān)于y軸(x軸)的對

稱點P2，則P與P2關(guān)于原點對稱.活動2

1.活動指導(dǎo):

（1）自學(xué)范圍：教材第74頁活動2.

（2）自學(xué)時間：10分鐘.

（3）自學(xué)要求：完成活動參考提綱.

（4）自學(xué)參考提綱：

①探索把點P(x，y)繞原點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，360°后的對應(yīng)點的坐標(biāo).

a.把點P(5，0)繞原點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，360°后的對應(yīng)點的坐標(biāo)依次是(0，

-5)，(-5，0)，(0，5)，(5，0).

b.把點P(0，5)繞原點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，360°后的對應(yīng)點的坐標(biāo)依次是

(5，0)，(0，-5)，(-5，0)，(0，5).

c.把點P(4，5)繞原點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，360°后的對應(yīng)點的坐標(biāo)依次是(5，

-4)，(-4，-5)，(-5，4)，(4，5).

d.猜想：把點P(x，y)繞原點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，360°后的對應(yīng)點的坐標(biāo)

依次是(y，-x)，(-x，-y)，(-y，x)，(x，y).

②仿照上述過程探索把點P(x，y)繞原點分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，360°后的對

應(yīng)點的坐標(biāo)依次是(-y，x)，(-x，-y)，(y，-x)，(x，y).

③已知△ABC中，A(1，2),B(3，1),C(2,5)，請畫出把△ABC繞原點分別順時針旋轉(zhuǎn)90°，

180°，270°后的圖形.

2.自學(xué):學(xué)生參考活動指導(dǎo)進(jìn)行活動性學(xué)習(xí).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：明了學(xué)生是否會畫旋轉(zhuǎn)圖形.

②差異指導(dǎo)：對困難學(xué)生在畫旋轉(zhuǎn)圖形方面進(jìn)行指導(dǎo).

（2）生助生：學(xué)生同桌之間互相交流.

4.強化：對旋轉(zhuǎn)圖形的三要素的認(rèn)識，會畫旋轉(zhuǎn)圖形.

三、評價

1.學(xué)生的自我評價(圍繞三維目標(biāo))：這節(jié)課你有什么收獲？有哪些不足？

2.教師對學(xué)生的評價：

（1）表現(xiàn)性評價：從學(xué)生回答問題，課堂的注意力等方面進(jìn)行評價.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學(xué)反思）：通過讓學(xué)生自主探究這兩個活動，可開拓學(xué)生的思維，

加深對本章知識的理解和運用，教學(xué)時，可根據(jù)實際情況對學(xué)生給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，重點是培

養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.

(時間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎(chǔ)鞏固（60分）

1.（20分）在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為（3，4），將OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到OA′，則點A′的坐標(biāo)是（A）

A.（-4，3）B.（-3，4）C.（3，-4）D.（4，-3）

2.（20分）如圖，將放置于平面直角坐標(biāo)系中的三角板AOB繞O

點順時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，則B′

點的坐標(biāo)為(A)

33331331

A.,B.,C.,D.,

22222222

3.（20分）如圖，已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別是A(-1，-1)，B(-4，-3),C(-4，-1)．

（1）作出△ABC關(guān)于原點O中心對稱的圖形；

（2）將△ABC繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1，

畫出△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)．

解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求作的圖形.

（2）如圖，A1(-1，1).

二、綜合應(yīng)用（20分）

4.（20分）△ABC在方格中的位置如圖所示.

(1)請在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使得A、B兩點的坐標(biāo)

分別為A(2，-1)、B(1，-4),并求出C點的坐標(biāo)；

(2)作出△ABC關(guān)于橫軸對稱的△A1B1C1，再作出△ABC以坐

標(biāo)原點為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)180°后的△A2B2C2，并寫出C1，C2兩點

的坐標(biāo)．

解：（1）如圖，C（3，-3）.

（2）如圖，C1(3，3)，C2(-3，3).

三、拓展延伸（20分）

5.（20分）如圖，直線l1與l2相交，α=40°，點P在∠α內(nèi)（不在l1、l2上）.小明用下面

的方法作P的對稱點：先以l1為對稱軸作點P關(guān)于l1的對稱軸點P1，再以l2為對稱軸作P1

于l2的對稱點P2，然后再以l1為對稱軸作P2關(guān)于l1的對稱點P3，以l2為對稱軸作P3關(guān)于l2

的對稱點P4，…,如此繼續(xù)，得到一系列點P1,P2，…，Pn，若Pn與P重合，則n的最小值是

多少？能運用旋轉(zhuǎn)的知識給予解釋嗎？

解：根據(jù)題意，可作出示意圖如圖所示：設(shè)兩直線交點為O，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識可得，作

出的一系列點P1，P2，P3，…，Pn都在以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓上.點P1可看成點P繞

圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)2β得到的.P2可看成P1繞圓心O順時針旋轉(zhuǎn)2（α+β）即80°+2β得到，此

時，點共繞O順時針旋轉(zhuǎn)80°，P3可看成P2繞圓心O順時針旋轉(zhuǎn)2（2α+β）即160°+2β得到，

此時，點共繞O逆時針旋轉(zhuǎn)8