安徽省安慶市示范高中2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷（含詳解）

安徽省安慶市示范高中2024-2025高一下學期期中考試數(shù)學試卷第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C．2 D．42．已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．23．已知向量與的夾角為，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，高為1，則此三棱臺的體積是（

）A． B． C． D．6．已知中，是外接圓的圓心，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．7．中國宋代數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個邊長分別為的三角形，其面積可由公式求得，其中，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的三邊長滿足，則此三角形面積的最大值為（）A．6 B．6 C．12 D．128．已知四面體滿足，，動點M在四面體的外接球的球面上，且，則點M的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復數(shù)，，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知平面向量，，則正確的是（

）A． B．與可作為一組基底向量C．與夾角的余弦值為 D．在方向上的投影向量的坐標為11．如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐的外接球表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則．13．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則△ABC的面積為．14．已知四棱錐的5個頂點都在球的球面上，且平面，則球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.(13分）已知復數(shù)和它的共軛復數(shù)滿足.(1)求；(2)若是關(guān)于的方程的一個根，求復數(shù)的模長.16．(15分）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，，．(1)求；(2)若為邊AB上一點，且，求．17．(15分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角的大小；(2)若點在線段BC上，且AD平分，若，且，求．18．(17分）如圖，正四棱錐的高，，，為側(cè)棱的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．19．(17分）已知正四棱錐.(1)證明：平面；(2)當時，求該正四棱錐外接球的體積；(3)當該正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比最小時，求四棱錐的高.

答案及解析一、單選題1．已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B，則.2．已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2【答案】A平面向量，，由，得，所以.3．已知向量與的夾角為，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D由向量與的夾角為，且，得，則，所以在上的投影向量為.4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A由，根據(jù)正弦定理得，，即，即，即，因為，則，所以，即，所以，又，則，即，又，所以的面積為.故選：A.5．已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，高為1，則此三棱臺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B正三棱臺的上底面積，下底面積，所以此三棱臺的體積.6．已知中，是外接圓的圓心，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C過點作，垂足分別為，因為是外接圓的圓心，則為的中點，則，由正弦定理得，等號當且僅當時成立，則，所以的最大值為.故選：C7．中國宋代數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個邊長分別為的三角形，其面積可由公式求得，其中，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的三邊長滿足，則此三角形面積的最大值為（）A．6 B．6 C．12 D．12【答案】B根據(jù)海倫-秦九韶公式，，其中，由題意，可知，則，又，故，當且僅當，即時取等號.故選：B8．已知四面體滿足，，動點M在四面體的外接球的球面上，且，則點M的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為，依題意，可知，，則，，，解得，，四面體的外接球半徑為，球心為，由，點的軌跡為一個圓，中點為，設(shè)軌跡圓的半徑為，圓心為，過，作球的一個軸截面，∴，解得，，∴的軌跡長度為.二、多選題9．已知復數(shù)，，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC對于A，取，顯然滿足，但，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，取，滿足，但，所以，故D錯誤．故選：BC10．已知平面向量，，則正確的是（

）A． B．與可作為一組基底向量C．與夾角的余弦值為 D．在方向上的投影向量的坐標為【答案】BCD對于A：因為，，所以，所以，數(shù)量積不等于0，向量不垂直，故A錯誤；對于B：因為，所以與為不共線的向量，故與可作為一組基底向量，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因為，，所以在方向上的投影向量的坐標為，故D正確；11．如圖，正方體的棱長為2，，分別是，的中點，點是底面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．存在點，使得平面B．過三點的平面截正方體所得截面圖形是平行四邊形C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD對于A：當為中點時，因為是的中點，所以，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：因為，分別是，的中點，所以，在正方體中，易證，所以，過三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形，故B錯誤；對于C：因為，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D：三棱錐的外接球可以補形為長方體（長為，寬為，高為）的外接球，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積，故D正確，故選：ACD.三、填空題12．已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則．【答案】，故.13．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則△ABC的面積為．【答案】，因為，故.又，故，故.14．已知四棱錐的5個頂點都在球的球面上，且平面，則球的表面積為．【答案】根據(jù)題意可知四邊形的頂點在同一個圓上，連接，如下圖所示：易知，又，在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得;又易知，所以可得，解得，又，所以，可得，即，設(shè)四邊形的外接圓半徑為，由正弦定理可得，解得，又平面，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，可得，即；因此外接球的表面積為.四、解答題15．已知復數(shù)和它的共軛復數(shù)滿足.(1)求；(2)若是關(guān)于的方程的一個根，求復數(shù)的模長.【答案】（1）設(shè)，則，所以，解得，故.（2）是關(guān)于的方程的一個根，是關(guān)于的方程的另一個根，，解得，.16．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，，．(1)求；(2)若為邊AB上一點，且，求．【答案】（1）如圖，以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則，，，，．因為，，所以（2）如圖，設(shè)，則，，因為，所以，得或6．故或．17．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角的大?。?2)若點在線段BC上，且AD平分，若，且，求．【答案】（1）由正弦定理可得，所以，即，可得，整理可得，因為在中，，所以，又，所以；（2）因為，AD平分，所以，由得，即，整理可得，①因為為角平分線，所以，在中由正弦定理可得，在中由正弦定理可得，又，所以，所以，②由①②可得，在中，由余弦定理可得，解得.18．如圖，正四棱錐的高，，，為側(cè)棱的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】（1）證明：因為四邊形為正方形，，則為的中點，因為為的中點，則，又因為平面，平面，所以，平面.（2）解：在正四棱錐中，為底面的中心，則底面，因為為的中點，則點到平面的距離為，，因此，.19．已知正四棱錐.(1)證明：