第5講 代數(shù)方程（二）教師版

第5講代數(shù)方程（二）知識(shí)精要一、無(wú)理方程1、方程中含有根式，且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程或根式方程。2、求解無(wú)理方程的一般步驟：利用兩邊平方把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；求解有理方程；檢驗(yàn)；寫(xiě)結(jié)論。二、二元二次方程組1、僅含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元二次方程；僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2，像這樣的方程組叫做二元二次方程組。2、解法：代入消元法和因式分解法【典型例題】類型一、無(wú)理方程概念 1．已知下列關(guān)于x的方程：其中無(wú)理方程是____________________(填序號(hào)).【思路點(diǎn)撥】判斷無(wú)理方程的唯一依據(jù)就是看看根式中是否還有未知數(shù).【答案與解析】（2），（3），（5）【總結(jié)升華】判斷無(wú)理方程的唯一依據(jù)是無(wú)理方程的定義：方程中含有根式，且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程.舉一反三：【變式】下列方程哪些是無(wú)理方程？

(1)=0；(2)=0；(3).=0；（4）（是常數(shù)）．

【答案】（1）（2）（3）是無(wú)理方程．類型二、判斷無(wú)理方程解的情況2．不解方程，你能判斷出下列方程的根的情況嗎？①；②；③.【思路點(diǎn)撥】不解方程直接判斷它的解的情況，主要看該方程能否成立，依據(jù)是“對(duì)于二次根式，有.”【答案與解析】（1）因?yàn)?，所以，所以方程無(wú)解（2）因?yàn)椋?，所以方程無(wú)解（3）因?yàn)椋詘≥5且x≤2，所以方程無(wú)解【總結(jié)升華】對(duì)于某些特殊的無(wú)理方程，可以不解方程直接判斷它的解的情況，主要依據(jù)是“對(duì)于二次根式，有.”類型三、解無(wú)理方程3．解方程【答案與解析】解：移項(xiàng)得： 兩邊平方得： 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得： 解得：或 檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根． 把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是．【總結(jié)升華】解含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項(xiàng)均移到方程的右邊；②兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．舉一反三：【變式】方程的根是．【答案】解：方程兩邊同時(shí)平方得：x+1=4，解得：x=3．檢驗(yàn)：x=3時(shí)，左邊==2，則左邊=右邊，故x=3是方程的解．故答案是：x=3．4、【答案與解析】x=23原方程變形為兩邊平方得x+2=81-+x-7整理得再兩邊平方得x-7=16解得x=23檢驗(yàn)：把x=23代入原方程得，左邊=右邊所以，原方程的根是x=23【總結(jié)升華】由于在方程的一邊含有兩個(gè)根式，直接平方將很困難．這時(shí)通常采用把一個(gè)根式移到另一邊再平方的方法，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式.舉一反三：【變式】（2016春?靜安區(qū)期末）解方程：.【答案】解：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，所以原方程的根為．類型四、“換元法”解無(wú)理方程5、（楊浦區(qū)校級(jí)期中）解方程：4x2﹣10x+=17．【思路點(diǎn)撥】利用換元法解方程：設(shè)=t，原方程轉(zhuǎn)化為2t2+t﹣21=0，解此一元二次方程得到t1=3，t2=﹣，再分別解=3和=﹣，然后把解得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到原方程的解．【答案與解析】解：方程變形為2（2x2﹣5x+2）﹣﹣21=0設(shè)=t，則原方程轉(zhuǎn)化為2t2+t﹣21=0，（t﹣3）（2t+7）=0，解得t1=3，t2=﹣，當(dāng)t=3時(shí)，=3，則2x2﹣5x+2=9，整理得2x2﹣5x﹣7=0，解得x1=，x2=﹣1；當(dāng)t=﹣時(shí)，=﹣，則方程無(wú)解，經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解為x1=，x2=﹣1．【總結(jié)升華】本題考查了無(wú)理方程：方程中含有根式，且開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程．解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．舉一反三：【變式】解方程x2+3x－=1.【答案】解：設(shè)換元后，整理得方程是，解得，，，所以，，，解這兩個(gè)方程得，，，，，檢驗(yàn)：把，，，代入原方程得，，是原方程的根，所以，原方程的根是，.類型五、二元二次方程（組）判斷 1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的請(qǐng)指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).【思路點(diǎn)撥】該題主要依據(jù)二元二次方程的定義?！敬鸢概c解析】（1）是，二次項(xiàng)、一次項(xiàng)y，常數(shù)項(xiàng)-1.（2）不是，因?yàn)橹缓粋€(gè)未知數(shù)。（3）不是，因?yàn)椴皇钦椒匠?（4）不是，因?yàn)椴缓雾?xiàng).【總結(jié)升華】對(duì)于二元二次方程的定義要加深全面的理解．舉一反三：【變式】下列方程組中，哪些是二元二次方程組？【答案】根據(jù)二元二次方程組的定義可得（2）是.類型六、二元二次方程組的解法2.（2016?松江區(qū)二模）解方程組：．【答案與解析】解：由（2）得：∴或．∴原方程組可以化為或，解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是，．【總結(jié)升華】本題考查了高次方程的知識(shí)，解答此類題目一般用代入法比較簡(jiǎn)單，先消去一個(gè)未知數(shù)再解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個(gè)較簡(jiǎn)單的方程中即可．舉一反三：【變式】解方程組：【答案】將（1）代入（2），得.整理，得,解得.把代入（1），得把代入（1），得所以原方程組的解是3.解方程組：【思路點(diǎn)撥】當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一”型方程組，解得這兩個(gè)“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解.【答案與解析】(用因式分解法)

方程(1)可化為(x-2y)2+(x-2y)-2=0

即(x-2y+2)(x-2y-1)=0

∴x-2y+2=0或x-2y-1=0

原方程組可化為:

分別解得：和

【總結(jié)升華】二元二次方程組,一般可用代入法求解,當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)的值代入求另一個(gè)未知數(shù)的值時(shí),一定要代入到二元一次方程中去求,若針對(duì)二元二次方程的特點(diǎn),采用特殊解法,則較為簡(jiǎn)便.舉一反三：【變式】（2015?徐匯區(qū)二模）解方程組：．【答案】解：原方程組變形為：，∴，，解得：，，，．類型七、方程組的應(yīng)用4.某塊長(zhǎng)方形田的面積是864平方米，長(zhǎng)與寬的和是60米，則長(zhǎng)與寬各是多少米？【答案與解析】解：設(shè)該塊田的長(zhǎng)是x米，寬是y米.由題意得，，解得，，考慮到實(shí)際情況，長(zhǎng)應(yīng)該大于寬，所以符合實(shí)際.答：長(zhǎng)是36米，寬是24米.【總結(jié)升華】此類題設(shè)出未知數(shù)以后，順次按照題目中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句列方程即可.5、已知方程組有兩組不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案與解析】解：由②代入①并整理得：，∵方程組有兩組不相等的實(shí)數(shù)解，∴，即∴當(dāng)＜1且≠0時(shí)，原方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.【總結(jié)升華】通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次方程來(lái)解是解決此類問(wèn)題的一般方法.舉一反三：【變式】為何值時(shí)，方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，并求出這時(shí)方程組的解.【答案】；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.熱身練習(xí)1、解無(wú)理方程，可以通過(guò)去根號(hào)把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解。2、方程的解是3、關(guān)于的方程的根為，則64、當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。5、方程的解是6、方程的實(shí)數(shù)解有0個(gè)7、下列方程中，無(wú)理方程的個(gè)數(shù)是（C）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8、下列哪個(gè)方程有實(shí)數(shù)解（D）A、B、C、D、9、二元一次方程組(C)A.只有一解 B.有兩解 C.有無(wú)數(shù)個(gè)解 D.無(wú)解10、解方程：（答案：=6）11、解無(wú)理方程（，）12、解方程組答案：鞏固練習(xí)一、填空題1、方程的解是2、方程的增根是，解無(wú)理方程時(shí)必須進(jìn)行檢驗(yàn)3、若關(guān)于x的方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)P的取值范圍4、用換元法解無(wú)理方程，設(shè)，則原方程可化為5、如果關(guān)于的方程有且只一個(gè)實(shí)數(shù)解，那么的值是06、方程組可轉(zhuǎn)化為方程組和方程組，然后用代入消元法來(lái)解。7、已知，則或38、方程的解是二、選擇題1、下列方程中不屬于無(wú)理方程的是（D）A．B．C．D．2、已知關(guān)于的方程有一個(gè)根是，那么方程另一個(gè)根是（D）A．B．C．D．3、若方程和只有一個(gè)公共實(shí)數(shù)解，那么的值為（D）A．1B．—1C．0或1D．1或—14、若方程組的解滿足則的值為(A)A.9B.0 C.－1D.－5三、解答題1、解無(wú)理方程（1）（2）；解：原方程變形解：解方程得：經(jīng)檢驗(yàn)得=4是方程的增根（3）；（4）解：設(shè)，解：則原方程可化為，當(dāng)時(shí)，解得（舍）當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)：是增根，所以方程的解為經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根2、已知有一個(gè)增根是，求的值。解：，經(jīng)檢驗(yàn)，不符題意，舍去，所以3、已知a、b是方程的兩個(gè)根，求下列各式的值：（1）；（2）答案：由已知得：4、解方程組答案：解：（2）（3）解得：5、（1）方程有幾個(gè)解？其中、的值互為倒數(shù)的解是什么？（2）方程有幾個(gè)解？其中、的值互為相反數(shù)的解是什么？解：（1）無(wú)數(shù)個(gè)解；將代入方程，解得（2）無(wú)數(shù)個(gè)解；將代入方程，解得；6、從方程組中消去，得到關(guān)于的二次方程，當(dāng)這個(gè)關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍。解：7、和x=2,y=4是方程的兩個(gè)解，求，的值。解：自我測(cè)試方程的根是________2、若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a≥—2.3、無(wú)理方程的根為，則a的值為.4、下列方程中既不是分式方程，也不是無(wú)理方程的有（B）A.B.C.D.5、方程的解是（B）A.0B.2C.0或2D.6、關(guān)于的方程的根是（B）A．