福建省泉州市2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)試卷

福建省泉州市2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2025屆·福建泉州·三模]()A. B.C. D.1．答案：A解析：滿足的正整數(shù)只有1，2，3，所以.故選：A2．[2025屆·福建泉州·三模]已知向量，滿足，且，則與的夾角為()A. B. C. D.2．答案：C解析：由，得，而，則，，而，所以與的夾角.故選：C3．[2025屆·福建泉州·三模]已知復(fù)數(shù)滿足，則()A. B. C. D.3．答案：D解析：因?yàn)椋?，又，所以，解得或（舍去），所以，則，所以，.故選：D4．[2025屆·福建泉州·三模]已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長(zhǎng)等于()A.1 B.2 C.3 D.44．答案：B解析：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為x，則，解得.故選：B.5．[2025屆·福建泉州·三模]已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為0，則a的值為()A. B. C.640 D.12805．答案：A解析：依題意，展開(kāi)式中項(xiàng)為，其系數(shù)為，展開(kāi)式中項(xiàng)，其系數(shù)為a，由展開(kāi)式中的系數(shù)為0，得，所以.故選：A6．[2025屆·福建泉州·三模]已知拋物線的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，以P為圓心的圓與l和x軸都相切，則該圓被y軸截得的弦長(zhǎng)等于()A.1 B. C.2 D.6．答案：D解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為，不妨取點(diǎn)P在第一象限，設(shè)以P為圓心的圓的半徑為r，因?yàn)橐訮為圓心的圓與l和x軸都相切，所以，將P代入拋物線方程得，解得，則P到y(tǒng)軸的距離為1，該圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為.故選：D.7．[2025屆·福建泉州·三模]已知函數(shù)，若，，則a的值可以是()A. B. C.3 D.57．答案：B解析：由題意得，，整理得，因?yàn)?，則，.故選：B.8．[2025屆·福建泉州·三模]如圖，已知是圓錐的軸截面，C，D分別為，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C且與直線垂直的平面截圓錐，截口曲線是拋物線的一部分.若P在上，則的最大值為()A. B.1 C. D.8．答案：C解析：過(guò)點(diǎn)O作，交底面圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接，，，設(shè)，則，所以當(dāng)最大時(shí)，最大，由圓錐的性質(zhì)得底面，因?yàn)榈酌?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)镃，O分別是，的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，平面，所以平面，則平面為截面，因?yàn)镈，O為，中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，最大，如圖為截面的平面圖，以C為原點(diǎn)，為x軸，過(guò)點(diǎn)C垂直向上的方向?yàn)閥軸正方向建系，，，，則拋物線方程為，設(shè)，，則，所以，則此時(shí)，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9．[2025屆·福建泉州·三模]有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，現(xiàn)加入兩個(gè)正整數(shù)x，y構(gòu)成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說(shuō)法正確的是()A.若平均數(shù)不變，則 B.若極差不變，則C.若，則中位數(shù)不變 D.若，則方差不變9．答案：AC解析：若平均數(shù)不變，則，解得，故A正確；當(dāng)時(shí)，極差不變，但，故B錯(cuò)；若，則x，y為1，5或2，4或3，3，每一種情況對(duì)應(yīng)的中位數(shù)都是3，故C正確；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，新數(shù)據(jù)的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以方差有可能改變，故D錯(cuò).故選：AC.10．[2025屆·福建泉州·三模]已知函數(shù)，則()A.的最小正周期為 B.曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減10．答案：AD解析：A選項(xiàng)，的最小正周期為，的最小正周期為，兩者的最小公倍數(shù)為，故的最小正周期為，A正確；B選項(xiàng)，，故曲線不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，令得，故或，因?yàn)?，所以的解為，，，，，的解為，，，綜上，在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，即，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，D正確故選：AD11．[2025屆·福建泉州·三模]已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是()A.若是等差數(shù)列，則 B.若不是遞增數(shù)列，則C.若，則 D.若的最小值為3，則11．答案：ABD解析：若為等差數(shù)列，則，所以，解得，，故A正確；，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椴皇沁f增數(shù)列，所以或，則，故B正確；若，則，整理得，又，所以，故C錯(cuò)；因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以恒成立，即，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12．[2025屆·福建泉州·三模]等比數(shù)列中，，，則的前4項(xiàng)和等于________.12．答案：5解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，，得，解得，因此，所以的前4項(xiàng)和等于5.故答案為：513．[2025屆·福建泉州·三模]如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿射線做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)P沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離.令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，則數(shù)學(xué)家納皮爾定義x為y的對(duì)數(shù)中，x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對(duì)數(shù)的底.若點(diǎn)P從線段的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)Q同時(shí)從運(yùn)動(dòng)到，則________.13．答案：/0.5解析：令，則，整理得，即，令，則，整理得，即，所以.故答案為：.14．[2025屆·福建泉州·三模]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B在E上，線段交x軸于點(diǎn)M.若，且，則E的離心率等于________.14．答案：解析：因?yàn)?，所以直線的斜率為1或，不妨取，則如圖，設(shè)，過(guò)B作軸于點(diǎn)N，由，，，可得，即，故，代入橢圓方程可得：，即，解得，所以.故答案為：四、解答題15．[2025屆·福建泉州·三模]四邊形中，，，，.(1)求；(2)若，求四邊形的面積.15．答案：(1)(2)解析：（1）解法一：在中，，，，由，即，整理得，得或（舍），又，由，即解得.解法二：在，由，得，故，（2）方法一：因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理，得，故，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，由可得，，故四邊形的面積為.方法二：因?yàn)?，所以，由?）可得，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，邊上的高為，故四邊形的面積為.16．[2025屆·福建泉州·三模]如圖，四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，.(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若該四棱臺(tái)的體積等于，且，求直線到平面的距離.16．答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)解析：（1）連結(jié)，，交于點(diǎn)I，連結(jié)，則I為，的中點(diǎn)，由四棱臺(tái)，得平面平面，又平面平面，平面面，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)镮為，的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)J，連結(jié)，由四棱臺(tái)得，，，，所以四邊形為平行四邊形，，則，，所以，所以，由（1），知，又，所以，因?yàn)?，所以，又平面，，所以平?（3）解法一：菱形的面積，由四棱臺(tái)且，可得，四棱臺(tái)的體積，從而，解得，因?yàn)椋?，，所以，故，從而，所以，所以，取的中點(diǎn)K，則，，兩兩垂直，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面即平面的法向量，則即整理，得令，得，從而點(diǎn)C到平面的距離，所以直線到平面的距離為.解法二：延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)S，取的中點(diǎn)M，連結(jié)交于點(diǎn)N，連結(jié)，，則，的中點(diǎn)均為N，，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，過(guò)點(diǎn)M作于K，且平面平面，平面，所以平面，故為點(diǎn)M到平面的距離即為直線到平面的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)M到的距離等于點(diǎn)D到的距離，又中，，，，設(shè)點(diǎn)D到的距離為d，則，所以，解得，所以直線到平面的距離為.17．[2025屆·福建泉州·三模]設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求k的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，，求k的取值范圍.17．答案：(1)；(2)；(3)解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），由題意得，，恒成立.令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故.（3）解法一：因?yàn)椋灶}意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，.即，，整理，得，因?yàn)?，所以，故題意等價(jià)于.設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)得，考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；所以的最小值為，故.解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當(dāng)，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情況2：若，則，注意到，且，故對(duì)k進(jìn)一步討論.①當(dāng)時(shí)，即且由（2）分析知：當(dāng)，單調(diào)遞減，故當(dāng)，，即單調(diào)遞減，故恒有，不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，注意到在區(qū)間，單調(diào)遞減，且，又，故在區(qū)間存在唯一的滿足；同理在區(qū)間，單調(diào)遞增，且，，故在區(qū)間存在唯一的滿足；故可得x+0-0+↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)，符合題意；故題意等價(jià)于，即.又因?yàn)椋矗?jiǎn)，得所以，整理得.注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情況（2）討論范圍為，所以也符合題意.綜上①②本題所求k的取值范圍為.方法三：先探究必要性，由題意知當(dāng)時(shí)，是的最小值，則必要地，即得到必要條件為；下證的充分性，即證：當(dāng)時(shí)，，.證明：由（2）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故的最小值為，，符合題意；故只需要證明時(shí)，.由（2）分析知時(shí)，x+0-0+↗極大值↘極小值↗其中，，.注意到，據(jù)此可得更精確的范圍是；所以等價(jià)于證明，又因?yàn)?，即，可得，只需證明，等價(jià)于證明，注意到，即，故若①當(dāng)，此時(shí)，顯然成立；若②當(dāng)，只要證明，此時(shí)，且所以，故得證.綜上必要性，充分性的分析，本題所求k的取值范圍為.18．[2025屆·福建泉州·三模]已知雙曲線，點(diǎn)M在C上，過(guò)M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A和B，記線段的中點(diǎn)N的軌跡為.(1)求的方程；(2)過(guò)M的直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與交于P，Q兩點(diǎn).證明：（ⅰ）；（ⅱ）.18．答案：(1)；(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析解析：（1）設(shè)，，則，，.又線段的中點(diǎn)為N，所以即①將①代入，得.所以的方程為.（2）①當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線為x軸，顯然；同時(shí)由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，也易得.②（ⅰ）當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，則.由消去y，可得，所以，化簡(jiǎn)，得.將代入，得，，又，，所以，，解得.又，所以，故.（ⅱ）設(shè)，.由消去y，可得，當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理，得，即.所以點(diǎn)M為的中點(diǎn)，即.綜合①②，；.19．[2025屆·福建泉州·三模]編號(hào)為的n個(gè)球依次被等可能地涂成黑色或白色，設(shè)編號(hào)為奇數(shù)的黑色球的個(gè)數(shù)為X，編號(hào)為偶數(shù)的白色球的個(gè)數(shù)為Y，記事件“”為，.(1)求，，；(2)當(dāng)時(shí)，求；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，證明：.19．答案：(1)，，；(2)；(3)證明見(jiàn)解析解析：（1）記事件“編號(hào)為i的球被涂黑色”為，則，且，相互獨(dú)立，所以，同理，可得，所以事件，所