高中數(shù)學(xué)第一章解三角形章末復(fù)習(xí)提升

第一章解三角形章末復(fù)習(xí)提升1/39一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、題型探究三、思想方法總結(jié)欄目索引2/39一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)返回3/39二、題型探究題型一利用正弦、余弦定了解三角形1.解三角形四種類型已知條件應(yīng)用定理普通解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出一邊所正確角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解時(shí)只有一解4/39三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊對(duì)角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有兩解、一解或無解2.三角形解個(gè)數(shù)判斷已知兩邊和其中一邊對(duì)角不能唯一確定三角形，解這類三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解、無解情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”進(jìn)行判斷，此時(shí)普通用正弦定理，但也可用余弦定理.5/39若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或兩解.(2)利用余弦定理討論：已知a,b,A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，這是關(guān)于c一元二次方程.若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形有一解；若方程有兩個(gè)不一樣正數(shù)解，則三角形有兩解.6/39(1)求邊長(zhǎng)a；解析答案7/39sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC8/39(2)設(shè)AB中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng).解由余弦定理得所以c＝2，又因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB解析答案9/39∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理得解析答案10/39題型二判斷三角形形狀1.利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀兩種方法方法一：經(jīng)過邊之間關(guān)系判斷形狀；方法二：經(jīng)過角之間關(guān)系判斷形狀.利用正弦、余弦定理能夠?qū)⒁阎獥l件中邊、角互化，把條件化為邊關(guān)系或化為角關(guān)系.11/392.判斷三角形形狀時(shí)慣用結(jié)論(1)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，則cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC.12/39

解析答案

13/39跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，請(qǐng)判斷三角形形狀.解析答案14/39解∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，∴2b2sinAcosB－2a2cosAsinB＝0，解析答案15/39又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.16/39題型三正弦、余弦定理實(shí)際應(yīng)用正弦、余弦定理實(shí)際應(yīng)用應(yīng)注意問題(1)認(rèn)真分析題意，搞清已知元素和未知元素，依據(jù)題意畫出示意圖；(2)明確題目中一些名詞、術(shù)語意義，如仰角、俯角、方向角、方位角等；(3)將實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，利用學(xué)過幾何知識(shí)，作出輔助線，將已知與未知元素歸結(jié)到同一個(gè)三角形中，然后解此三角形；(4)在選擇關(guān)系時(shí)，一是力爭(zhēng)簡(jiǎn)便，二是要盡可能使用題目中原有數(shù)據(jù)，盡可能降低計(jì)算中誤差積累；(5)按照題目中已經(jīng)有準(zhǔn)確度計(jì)算，并依據(jù)題目要求準(zhǔn)確度確定答案并注明單位,最終作答.17/39例3如圖，a是海面上一條南北方向海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B，C分別在A正東方20km和54km處.某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P一個(gè)聲波信號(hào)，8s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A,20s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)，在當(dāng)初氣象條件下，聲波在水中傳播速度是1.5km/s.(1)設(shè)A到P距離為xkm，用x表示B，C到P距離，并求x值；解析答案18/39解由題意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km).∴PB＝x－12，PC＝18＋x.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，19/39(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a距離(準(zhǔn)確到0.01km).解析答案解作PD⊥a于D，在Rt△PDA中

，PD＝PAcos∠APD所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a距離為17.71km.20/39跟蹤訓(xùn)練3

如圖所表示，A，B兩個(gè)小島相距21nmile，B島在A島正南方，現(xiàn)在甲船從A島出發(fā)，以9nmile/h速度向B島行駛，而乙船同時(shí)以6nmile/h速度離開B島向南偏東60°方向行駛，則行駛多少時(shí)間后，兩船相距最近？并求出兩船最近距離.解析答案21/39

解析答案22/39

23/39題型四與三角形相關(guān)綜合問題該類問題以三角形為載體，在已知條件中設(shè)計(jì)了三角形一些邊角關(guān)系，因?yàn)檎叶ɡ砗陀嘞叶ɡ矶际顷P(guān)于三角形邊角關(guān)系等式，經(jīng)過定理利用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時(shí)，經(jīng)慣用到三角函數(shù)中兩角和與差公式及倍角公式等.24/39(1)求角C；解析答案25/39

26/39(2)求a，b值.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，解析答案∴a＋b＝13. ②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.27/39解由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，解析答案跟蹤訓(xùn)練4

在△ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB.(1)求角C大?。?8/39∴a＝2sinA，b＝2sinB，解析答案返回29/39三、思想方法總結(jié)1.函數(shù)與方程思想應(yīng)用與函數(shù)思想相聯(lián)絡(luò)就是方程思想.所謂方程思想，就是在處理問題時(shí)，用事先設(shè)定未知數(shù)溝通問題所包括各量間制約關(guān)系，列出方程(組)，從而求出未知數(shù)及各量值，使問題取得處理，所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間聯(lián)絡(luò).方程能夠看做未知量與已知量相互制約條件，它架設(shè)了由已知探索未知橋梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或邊長(zhǎng)時(shí)，往往滲透著函數(shù)與方程思想.30/39例1在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c長(zhǎng).解析答案31/39由余弦定理及a＋c＝8，得解析答案32/39解析答案33/392.分類討論思想一些問題在一定條件下解有各種情況，在解題過程中，應(yīng)分析條件及在每個(gè)條件下所產(chǎn)生結(jié)果.分類討論思想在歷年高考中是必考，在討論時(shí)應(yīng)做到不重不漏，并注意各種情況包含交叉內(nèi)容.34/39

解析答案35/39解由題可知a<b，A＝30°<90°，∴三角形有兩解.∴B＝60°或B＝120°.當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，c＝a＝5.綜上，B＝60°，C＝90°，c＝10或B＝120°，C＝30°，c＝5.36/391.在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角正弦值也較大，正弦值較大角也較大，即在△ABC中，A＞B等價(jià)于a＞b等價(jià)于sinA＞sinB.2.依據(jù)所給條件確定三角