人教版初中七年級下冊數(shù)學教案 第八章 二元一次方程組

第八章二元一次方程組

本/章/整/體/說/課

'、教學目標

修知識寫技能」

1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念.

2.掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組.

3.能解簡單的三元一次方程組.

4.在具體的情境中，能從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題.

■過程與第k

1.了解解二元一次方程組和三元一次方程組的“消元思想”，初步理

解化未知為已知和化復雜問題為簡單問題的化歸思想.

2.注重“消元”和“化歸”這兩種重要的數(shù)學思想的滲透.

「情思踱與儕薊1

經(jīng)歷從實際問題中抽象出二元一次方程（組）的過程,體會方程的模型

思想，發(fā)展靈活運用有關(guān)知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學應用

意識.

?教材分析

本章通過實際問題引入了二元一次方程（組），又引導學生通過觀察、

思考、探究等活動,體會解二元一次方程組的基本方法一一代入法和加減

法,然后順理成章地給出現(xiàn)實問題的解答.在此基礎(chǔ)上，學習了簡單的三元

一次方程組及其解法.

二元一次方程組是繼學生學習了一元一次方程之后所研究的一類最

簡單的線性方程組,其代入消元和加減消元的思想和方法,不僅是解二元

一次方程組的最基本的方法，也是解三元一次方程組和二元二次方程組的

基本方法.同時，也是學習其他數(shù)學知識乃至物理、化學等學科知識的重要

基礎(chǔ).

?教學重難點

【重點】

1.利用消元法解二元一次方程組.

2.利用建立方程的數(shù)學模型解決實際問題.

【難點】

1.二元一次方程解的不定性.

2.方程組解的意義.

3.列方程組解應用題.

a教學建議

1.強化二元一次方程組概念的形成和應用過程.在學生已有的解一元

一次方程經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,通過認識實際問題中的兩個未知量應同時適合兩

個方程,從而理解需將這兩個方程聯(lián)立,這樣便很自然地建立起二元一次

方程組的概念.借助于問題情境，引導學生理解實際問題，探究實際問題中

各種數(shù)量的意義和相互關(guān)系，能用恰當?shù)氖阶颖硎具@種關(guān)系，正確地列出

二元一次方程組并解決問題.

2.注重轉(zhuǎn)化思想的滲透.代入消元法和加減消元法都是解二元一次方

程組的基本方法,教師在教學過程中應注意引導學生分析這兩種方法的目

的都是消元,即通過消去一個未知數(shù)，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，并鼓勵

學生用自己的語言概括解方程組的主要步驟.

?課時劃分

8.1二元一次方程組1課時

8.2消元一一解二元一次

4課時

方程組

8.3實際問題與二元一次

3課時

方程組

8.4三元一次方程組的解

1課時

法

單元概括整合1課時

課/時/教/學/詳/案

8.1二元一次方程組

區(qū)L整體設(shè)計

（事教學目標

以口識寫技能E

理解二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義,并會檢驗一

對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解.

?過程行—

學會用類比的方法遷移知識;體驗二元一次方程組在處理實際問題中

的優(yōu)越性.

隨解度與僑商n

通過學習，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系,感受學習數(shù)學的樂趣.

（學教學重難點

【重點】二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義.

【難點】二元一次方程組解的含義.

￥教學準備

【教師準備】教學導入過程的情境圖片.

【學生準備】復習一元一次方程的相關(guān)知識.

舊教學過程

E新課導入

導入一：

“今有雞兔同籠,上有三十五頭，下有九十四足.問雞、兔各幾何？”這

是我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中記載的數(shù)學名題.

一一一』.A：中,已

你能用哪些方法解決這個問題呢?如果設(shè)兩個未知數(shù),能解決這個問

題嗎？

［設(shè)計意圖］通過古代數(shù)學經(jīng)典習題,可以提升學生對中華傳統(tǒng)文化

成就的自豪感.學生會用多種方法解決問題,提出設(shè)兩個未知數(shù)解決問題，

對于學生來說還是新的方法,這就為引入二元一次方程的學習做好了過渡

的銜接.

導入二：

每塊餅干的質(zhì)量是X克,每顆糖果的質(zhì)量是y克,小明拿了一個等臂天

平,在左邊秤盤里放兩塊餅干,右邊秤盤里放三顆糖果,結(jié)果天平兩臂平衡,

當在左邊秤盤里又放了三塊餅干,右邊秤盤里又放了四顆糖果時，天平并

沒有平衡，只好在右邊秤盤里又加了1克的祛碼才使得天平平衡.

上面的例子中，可以得到兩個方程是2x=3y和5x=7y+l,怎樣看待這兩

個方程呢?它們的解有什么實際意義？

［設(shè)計意圖］學生對方程的理解暫時還是“一元一次”的程度,提出

與“一元一次”性質(zhì)不同的方程,能夠喚起學生的好奇心,激起學生解決

問題的欲望.

導入三:

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1

分.某隊在10場比賽中得到16分,那么這個隊勝、負場數(shù)分別是多少？

在上面的問題中，要求的是兩個未知數(shù).如果用一元一次方程來解決,

列方程時,要用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù).能不能根據(jù)題意直接設(shè)兩

個未知數(shù)，使列方程變得容易呢?我們從這個想法出發(fā),開始本章的學習.

［設(shè)計意圖］借助于教材情境直接提出用含有兩個未知數(shù)的方程解

決問題,為直接引入二元一次方程的概念做了鋪墊.也讓學生感受到要提

高解決生活中的數(shù)學問題的能力，必須持續(xù)地進行學習.

區(qū)新知構(gòu)建

一、二元一次方程

思路一

［過渡語］(針對導入三)前面提到的兩個未知數(shù)的方程是什么方程

呢?與我們學過的一元一次方程有什么不同呢？

問題

(1)情境中包含哪兩個等量關(guān)系？

(2)如果設(shè)勝的場數(shù)是x,負的場數(shù)是y,你能用方程把這些條件表示

出來嗎？

(3)你能把上述等量關(guān)系整理在下面的表格中嗎？

勝負合計

場數(shù)

積分

方程：

⑷新列出的方程有什么特點?與一元一次方程有什么不同？

（5）你能總結(jié)什么是二元一次方程嗎？

（解析）情境中包含這樣兩個等量關(guān)系:勝的場數(shù)+負的場數(shù)=總場

數(shù),勝場積分+負場積分=總積分.列表如下:

勝負合計

場數(shù)Xy10

積分2xy16

方程：2x+y=16

x+y=10

認識新列出的兩個方程的特點，可以從未知數(shù)的數(shù)量和未知數(shù)的次數(shù)

兩個方面進行分析.方程x+y=10與2x+y=16都含有兩個未知數(shù)x和y,并

且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.這兩個方程中都含有兩個未知數(shù),而一

元一次方程中只含有一個未知數(shù).

［處理方式］學生討論交流后共同總結(jié)以上五個問題的答案.

定義:上面兩個方程中，每個方程都含有兩個未知數(shù)（x和y）,并且含

有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

例1（補充）下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.7x+3y=2B.xy=9

C.x+2y2=11D.」一二2

2x-y

（解析）本題考查二元一次方程的定義,B選項的次數(shù)為2,C選項

的最高次數(shù)為2,D選項不是整式方程,故都不是二元一次方程.故選A.

［解題策略］從以下三個方面整體理解二元一次方程的定義：（1）有

兩個未知數(shù)；⑵含有未知數(shù)的項的次數(shù)為1；（3）是整式方程.

［知識拓展］1.二元一次方程還可以定義為:在方程中有兩個未知數(shù),

未知數(shù)與未知數(shù)之間沒有乘法、除法運算,并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這

樣的方程叫做二元一次方程.

2.理解二元一次方程的概念要特別注意對次數(shù)的要求是“含有未知

數(shù)的項的次數(shù)為1”，不能理解為“每個未知數(shù)的次數(shù)都是1"，如xy+2=0

就不是一個二元一次方程.

思路二

［過渡語］（針對導入一）同學們想一想,怎樣求出有多少只雞和多少

只兔子呢？

［處理方式］學生用各自的方法計算，然后討論交流.

算法展示：

（1）算數(shù)方法:把兔子和雞的腳數(shù)看成“相等”，則多出94-35X2=24

只腳,每只兔子比雞多出兩只腳，由此可先求出兔子有24+2=12（只），隨

后可算出雞有35-12=23（只）.

類似地也可以先求雞的數(shù)量：35X4-94=46（只），46+2=23（只）.

（2）列一元一次方程：

設(shè)有x只雞，則有（35-x）只兔子.

根據(jù)題意，得2x+4（35-x）=94.

解方程可求出x=23.35-23=12（只）.

所以有23只雞，12只兔子.

［過渡語］剛才同學們用了不同的方法解決了古代的數(shù)學問題.我們

還有沒有其他的解決辦法呢？

如果我們設(shè)有x只雞,有y只兔子,依題意得這樣兩個方程：

x+y=35,2x+4y=94.

同學們比較這兩個方程與前面學過的一元一次方程,有什么不同呢？

（老師提示學生從未知數(shù)數(shù)量和未知數(shù)的次數(shù)進行比較.）

結(jié)合學生的回答,教師板書定義：

含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做二

元一次方程.

二、二元一次方程組

［過渡語］如果把上面的兩個方程放在一起,我們怎么稱呼這樣的方

程呢？

上面的問題中包含兩個必須同時滿足的條件,也就是未知數(shù)x,y必須

同時滿足方程：

x+y=10,①

2x+y=16.②

把這兩個方程合在一起,寫嘮;二1%就組成了一個方程組?這

個方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共

有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.

［知識拓展］二元一次方程組的概念是一個描述性定義,兩個未知數(shù)

不是兩個方程中每個方程都含有兩個未知數(shù),可以是一個方程中含有一個

未知數(shù),也可以是兩個方程中含有不同的兩個未知數(shù).

例2

八+3y=5(m+n=5

,12%-3z=3'-mn+n=6

(m+3n=1(2x-3y=10

C.\m2n1D.仁u

匕+m=15y=6

〔解析〕本題主要考查二元一次方程組的定義.A選項共含有三個

未知數(shù);B選項中的未知數(shù)的最高次數(shù)是2;D選項中不全是整式方程，故都

不是二元一次方程組.故選C.

三、二元一次方程組的解

［過渡語］同學們知道一元一次方程解的定義,那么二元一次方程組

的解和一元一次方程的解之間是否存在著一定的聯(lián)系呢？

(結(jié),面列出的方用方;黑)

問題1

下面哪些解既適合方程x+y=10,又符合問題的實際意義？

x012345678910

y109876543210

（解析）由上表可知x=0,y=10;x=l,y=9;???;x=10,y=0使方程x+y=10

兩邊的值相等,它們都是方程x+y=10的解.如果不考慮方程x+y=10與上面

實際問題的聯(lián)系,那么x=-1,y=ll;x=0.5,y=9.5;…也都是這個方程的解.

這說明二元一次方程除非有實際意義的限制或者特別的限制，否則這種方

程有無數(shù)個解.

問題2

寫出方程2x+y=16的幾個解？

［解析）例如x=0,y=16;x=l,y=14;x=5,y=6...都是2x+y=16的解.

問題3

上述表格中的解，哪些或哪個是方程2x+y=16的解？

（解析）x=6,y=4.

問題4

什么是二元一次方程組的解？

1解析）一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,

叫做二元一次方程的解.我們還發(fā)現(xiàn),x=6,y=4既滿足方程①,又滿足方程

②,也就是說,x=6,y=4是方程①與方程②的公共解,我們把x=6,y=4叫做

二元一次方程組AU：的解?這個解通常記作t2一般地，二元

（2%+y=16（y=4.

一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

［設(shè)計意圖］問題1和問題2是在學生已掌握的一元一次方程解的知

識基礎(chǔ)上,深化對二元一次方程解的認識.問題3和問題4則引導學生發(fā)現(xiàn)

和總結(jié)二元一次方程組解的特點.

［知識拓展］二元一次方程組的解是一對數(shù),要將這對數(shù)代入方程組

中的每一個方程進行檢驗,這對數(shù)只有滿足方程組中的每一個方程,才能

是這個方程組的解,而一元一次方程的解是一個數(shù),這是它們之間的區(qū)別.

叵課堂小結(jié)

1.含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做

二元一次方程.

2.一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二

元一次方程的解.

3.一般地,二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程

組的解.

g檢測反饋

1.下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.3x-2y=lB.xy+y=9

C.x-3=4y~D.x+|x=2

解析:本題考查二元一次方程的定義.B選項的未知數(shù)的最高次數(shù)為

2,C選項的未知數(shù)的最高次數(shù)為2,D選項不含有兩個未知數(shù)，因此它們都

不是二元一次方程.故選A.

2.下列各組數(shù)中，不是方程x+y=7的解的是（）

x=12

y=一

儼=i儼=io

匕卜=6{y=-3

解析:將四個選項分別代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,

則不是方程的解.A.3+4=7,C.1+6=7,D.10+（-3）=7,均是方程的解，不符合

選擇要求;B.12+（-1）=1177,不是方程的解，符合選擇要求.故選B.

3.方程ax-y=3的解是1;則a的值是（）

A.5B.-5C.2D.1

解析:把［二）代入方程ax-y=3,得a-2=3,解得a=5.故選A.

4.請判斷下列各組數(shù)是不是二元一次方程組=乎'的解：

（2%-3y=4

解：（1）把:3,5代入方程組,發(fā)現(xiàn)不滿足2x-3y=4,所以［1:，

不是原方程組的解.（2）把「二j代入方程組,發(fā)現(xiàn)適合每一個方程,所

以「二:是原方程組的解.

區(qū)板書設(shè)計

8.1二元一次方程組

1.二元一次方程

2.二元一次方程組

3.二元一次方程組的解

國布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第89頁練習.

【選做題】

教材第90頁習題8.1第5題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.xy=lB.y=5x-2

C.x+x2=4D.x+y+z=l

2.下列說法中正確的是（）

A.二元一次方程只有一個解

B.二元一次方程組有無數(shù)個解

C.二元一次方程組的解必是它所含的二元一次方程的公共解

D.判斷一組數(shù)是否為二元一次方程組的解，只需代入其中的一個二元一次

方程即可

3.以［二！1為解的二元一次方程組是（）

A.尸.尸…1

（x-y=1（%-y=—1

x+y=x+y=0

c.!（x-y=2y.!（%-y=—27

4.母親節(jié)那天,很多同學給媽媽準備了鮮花和禮盒.從圖中信息可知,若設(shè)

鮮花x元/束,禮盒y元/個,則可列方程組為.

￥篇講口口口

'-------------''---------V---------/

翔沅期沅

5.若t=；1，是方程組長=犯的解,求m2-n的值.

（y=，（5%+2y=n

【能力提升】

6.若3=0,n=0B.m=l,n=4

2

C.m=l,n=5D.m=-,n=4

3

7.二元一次方程組｛；；］；3,的解是（）

A.B.『二；》

C.『二5上產(chǎn)

8.方程?x-2y=x+5是二元一次方程，■是被污染的x的系數(shù)，請你推斷■

的值屬于下列情況中的（）

A.不可能是-1B.不可能是-2

C.不可能是1D.不可能是2

9.若關(guān)于x,y的方程組的解是｛；二;則Im-n|為（）

A.1B.3C.5D.2

10.根據(jù)下列語句，設(shè)適當?shù)奈粗獢?shù),列出二元一次方程（組）：

⑴甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的抑差等于48的3

⑵林山學校七年級共招收學生292人,其中男生人數(shù)比女生人數(shù)多35人.

【拓展探究】

11.小明在做家庭作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)練習冊上一道解方程組的題目被墨水污染

了：9"二):口:“口”是被污染的內(nèi)容.他很著急，翻開后面的答案，發(fā)

現(xiàn)這道題的解是后;)2你能幫小明補上“口”的內(nèi)容嗎?說出你的方

法.

12.根據(jù)下列問題,列出關(guān)于x,y的二元一次方程組.

(1)一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為11,把它的個位數(shù)字與十位

數(shù)字對調(diào),所得的數(shù)比原數(shù)大63,設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x,十位數(shù)字為

y.

⑵七(2)班買了35張電影票,共用250元,其中甲種票每張8元，乙種票每

張6元,則甲、乙兩種票各買了多少張?設(shè)甲種票買了x張，乙種票買了y

張.

【答案與解析】

1.B(解析:二元一次方程只含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)為1,

滿足條件的是y=5x-2.故選B.)

2.C(解析:A.二元一次方程有無數(shù)個解，故本選項錯誤;B.當兩個方程不同

時,有一個解，當兩個方程相同時,有無數(shù)個解,故本選項錯誤;C.二元一次

方程組的解必是它所含的二元一次方程的公共解,故本選項正確;D.判斷

一組數(shù)是否為二元一次方程組的解,需代入兩個二元一次方程,故本選項

錯誤.故選C.)

3.C(解析:將｛；二:'1代入各個方程組,可知｛：+；二;,滿足條件.故選

C.)

(x+2y=55,

(2%+3y=90

5.解:把卮二11'代入方程2,把1'代入方程52-n=42-(-

1)=16+1=17.

6.C(解析:本題主要考查二元一次方程與一元一次方程的綜合應用.因為

3=1,n=5.故選C.)

7.D(解析:將各選項代入即可.)

8.C(解析:如果被污染的x的系數(shù)是1,那么這個方程就是x-2y=x+5,即-

2y=5.與題意:二元一次方程矛盾,所以被污染的x的系數(shù)不可能是1.)

9.D(解析:把仔—:代入方程2y+m=n,得2+m=n,所以|m-n|=2.故選D.)

10.解：⑴設(shè)甲數(shù)為X,乙數(shù)為y,根據(jù)題意得2x-|y=48x|.(2)設(shè)男生

為x人,女生為y人,根據(jù)題意得產(chǎn)+丫

y=35.

口.解：把｛；192代入方程組，得2x-y=2Xl-(-

2)=4,3x+4y=3Xl+4X(-2)=-5.所以被污染的數(shù)字是4和-5.

12.解：(1)等量關(guān)系:①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為11;②把它的個位數(shù)

字與十位數(shù)字對調(diào),所得的數(shù)比原數(shù)大63.由題意可列方程組為

花AX'（g++63.⑵等量關(guān)系:①共買了35張電影票:②共

用250元.由題意可列方程組為J^50.

目—教學反思

（K成功之處

本課時在設(shè)計理念上圍繞著類比的思路展開,充分借助于學生已掌握

的一元一次方程知識,通過與一元一次方程的比較，引入二元一次方程的

定義.通過類比一元一次方程的解,延伸到二元一次方程組的解.在這種設(shè)

計理念的指導下,順利地實現(xiàn)了本課時的教學目標.

河）不足之處

本課時的教學重點和難點集中在二元一次方程組的解的問題上，在處

理這個問題時，除了強調(diào)一般的檢驗方法外,沒有特別強調(diào)需要對方程組

中兩個方程分別去驗證.

o再教設(shè)計

由于本課時的三個概念，即二元一次方程、二元一次方程組、二元一

次方程組的解都是描述性的概念，因此可以讓學生通過對知識的理解，自

己去總結(jié)和描述相關(guān)定義.

目教材習題解答

練習（教材第89頁）

(

解:設(shè)第一道工序安排X人,第二道工序安排y人,則有｛/9，0+0J尸=17.2②00V,P由②

得｛；二狀二C二::將這些解分別代入①，可得｛；二:'是該方程組

的解.答:第一道工序安排4人，第二道工序安排3人.

習題8.1(教材第90頁)

1.解：

1152

~633

2.C(解析:把各選項分別代入方程組驗證.)

18090

3.解:(l)x,y滿足的關(guān)系式為x+2y=180.(2)當x=90時，y=~=45.

⑶當y=60時，x=180-2X60=60.

/上+v=35?(D

4.解:設(shè)有雞x只，兔y只，根據(jù)題意，得⑶口尸4②由①得

｛；Z34;｛y二;3;…｛；;?，把這些解代入②，得=穹：答:有雞23只，兔

12只.

5.解:設(shè)截2nl長的鋼管x段，1m長的鋼管y段,根據(jù)題意,得2長的1段.

S備課資源

$經(jīng)典例題

1解析)本題考查的是二元一次方程的定義,根據(jù)二元一次方程的

定義:含未知數(shù)的項的次數(shù)為1,系數(shù)不等于0,求得m,n的值.

解：由二次一元方程的定義可得m-1=1,1-2n=1.由此可得m=2,n=0.

nh，

例2已知方程（m-3）x+己+2）/Yr是關(guān)于,門的值.

解：由題意得|n|-1=1,m7^3,m2-8=1,nW-2,解得n=2,m=-3.

例3已知二元一次方程組1+2-9,②下面說法正確的是（）

A.同時適合方程①和方程②的x,y的值是方程組的解

B.適合方程①的x,y的值是方程組的解

C.適合方程②的x,y的值是方程組的解

D.適合方程①或方程②的X,y的值一定是方程組的解

〔解析）方程組的解必須是同時滿足兩個方程的解.故選A.

易錯辨析

（y—1-y=7?（D

檢驗｛二-'5是不是方程組J…

例4的解.

（錯解）把二15代入①中，左邊"XI-（-5）=7,右邊=7.?左

邊=右邊,5是方程組Ri4的解?

［易錯辨析］二元一次方程組的解應滿足方程組中全部方程，因此在

檢驗方程組的解時應該對每一個方程都進行檢驗.若只滿足其中部分方程,

將不能作為方程組的解.初學者往往受一元一次方程的解的檢驗的習慣的

影響，只對一個方程進行檢驗,而忽略對另外的方程進行檢驗.錯解的主要

原因是沒有將\$代入方程②進行檢驗，因為二元一次方程組的解是

其中所有方程的公共解.

1正解)把5代入①中，左邊=2義1一(-5)=7,右邊=7.?.?左

邊=右邊，???｛：:1：5是方程①的解?再把后二-5代入②中，左邊

=1+2X(-5)=-9,右邊=-4.\?左邊#右邊，.?.｛：：)5不是方程②的解，

.??［：：’5不是方程組公：4的解.

8.2消元一一解二元一次方程組

(第)教學目標

B知識寫技能7

掌握代入法和消元法兩種基本的解二元一次方程組的方法.

喳程百k

通過類比、轉(zhuǎn)化的思想幫助學生領(lǐng)會解方程組的基本思路.

培養(yǎng)學生通過探索嘗試解決問題的意識.

(T)教學重難點

【重點】代入法、加減法解二元一次方程組.

【難點】選用靈活的方法解二元一次方程組.

第TI課時

——整體設(shè)計

⑥教學目標

■知識寫―

用代入消元法解二元一次方程組.

得過程的法’

理解代入消元法的基本思想體現(xiàn)的化未知為已知的化歸思想方法.

.輟漉耳希前"

向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，培養(yǎng)勇于克服困難的思想意識.

q教學重難點

【重點】用代入消元法解二元一次方程組.

【難點】代入消元法的基本思想.

(G教學準備

【教師準備】例題演示的詳細板書.

【學生準備】復習二元一次方程組解的概念.

日教學過程

反新課導入

導入一：

體育節(jié)要到了.拔河是七年級⑴班的優(yōu)勢項目.為了取得好名次，他

們想在全部22場比賽中得到40分.已知每場比賽都要分出勝負，勝隊得2

分,負隊得1分.那么七年級⑴班應該勝、負各幾場？

你會用二元一次方程組解決這個問題嗎？

根據(jù)問題中的等量關(guān)系設(shè)勝x場，負y場,可以更容易地列出方程組

匕+尸畋②那么有哪些方法可以求得二元一次方程組的解呢？

［設(shè)計意圖］導入情境是學生喜聞樂見的體育活動,可以增強學生的

求知欲，使學生對所學知識產(chǎn)生親切感.

導入二：

在8.1節(jié)中我們已經(jīng)看到,直接設(shè)兩個未知數(shù):勝x場、負y場，可以

列方程組表示本章引言問題中的數(shù)量關(guān)系?如果只設(shè)一個未

知數(shù):勝x場，那么這個問題也可以用一元一次方程2x+(10-x)=16來解.

思路

上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關(guān)系？

［設(shè)計意圖］比較方程2x+(10-x)=16和方程組。=%之間的

關(guān)系,是引入代入法的關(guān)鍵所在.

陷新知構(gòu)建

一、代入法

［過渡語］(針對導入二)建立二元一次方程組求未知數(shù)，目的是求適

合兩個方程的未知數(shù),也就是說兩個方程的未知數(shù)取值是一樣的.我們從

這個認識出發(fā),探究怎樣解二元一次方程組？

(1)消元思想.

問題1

能否借助于一元一次方程解二元一次方程組？

〔解析)我們發(fā)現(xiàn),二元一次方程組中第一個方程x+y=10可以寫為

y=10-x.由于兩個方程中的y都表示負的場數(shù),因此我們把第二個方程

2x+y=16中的y換為10-x,這個方程就化為一元一次方程2x+(10-x)=16.

解這個方程,得x=6.把x=6代入y=10-x,得y=4.從而得到這個方程組的

解.

問題2

在上面的方程組中，第一個方程x+y=10是否可以寫為x=10-y,然后

再把x=10-y代入到方程2x+y=16中？

〔解析)從思路上講，問題1和問題2的思路是一樣的，只是選擇哪

個字母代入的問題.

總結(jié):二元一次方程組中有兩個未知數(shù),如果消去其中一個未知數(shù),那

么就可以把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程.我們可以先

求出一個未知數(shù),然后再求另一個未知數(shù).這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、

逐一解決的思想，叫做消元思想.

(2)代入法.

問題3

在上述的消元過程中，是怎樣實現(xiàn)消元的?這種消元的方法叫什么？

總結(jié):把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)

的式子表示出來,再代入另一個方程,實現(xiàn)消元,進而求得這個二元一次方

程組的解.這種方法叫做代入消元法,簡稱代入法.

二、例題講解

J*—y=3.①

例1

〔解析)方程①中X的系數(shù)是1,用含y的式子表示X,比較簡便.

解：由①,得x=y+3③,把③代入②,得3（y+3）-8y=14.解這個方程,得

x=2,

y=-1.把y=1代入③，得x=2.所以這個方程組的解是

y=-1-

追問1：把③代入①可以嗎?試試看.

提示:不可以，因為方程③是由方程①變形而來的,把③代入①后，只

能得到一個恒等式.

追問2:把y=-1代入①或②都可以嗎?

提示:可以.二元一次方程組消元后化為一元一次方程,求出一個未知

數(shù)的解,代入方程①、方程②或方程③都可以求出另一個未知數(shù)的值，但代

入變形后的方程③更簡便一些.

［知識拓展］1.當方程組中含有用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的

關(guān)系式時,用代入法比較簡單.

2.若方程組中未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1）,選擇系數(shù)為1（或-1）的方程

進行變形,用代入法也比較簡便.

3.如果未知數(shù)系數(shù)的絕對值不是1,一般選擇未知數(shù)系數(shù)的絕對值最

小的方程變形.

，上一y=-5e（D

例2（補充）用代入消元法解方程組L+2y=l。.②

〔解析）求方程組的解的過程叫做解方程組.由方程組的解的概念,

可知解方程組￡11二就是要求出同時滿足此方程組中的兩個方程

的x和y的值.

解:由①得x=y-5.③把③代入②,得3(y-5)+2y=10,解這個一元一

次方程,得y=5,把y=5代入③,得x=0,所以原方程組的解為二?

［知識拓展］用代入消元法解二元一次方程組時一,一般用含一個未知

—3y-2=0(0?

y由

①得2x-3y=2③，將③代入②得手+2y=9,解得y=4,再將y=4代入③得2x-

3X4=2,解得x=7,故方程組的解為二::這種整體代入的方法顯然比常

規(guī)方法簡單很多，但無論是用哪一種方法進行代入消元,都應該達到同一

個目的一一消元.

巨課堂小結(jié)

代入法解二元一次方程組的一般步驟為：

(1)從方程組中選一個未知數(shù)系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的

一個未知數(shù)，例如y,用含x的式子表示出來，也就是化成y=ax+b的形式；

(2)將y=ax+b代入方程組中的另一個方程中，消去y,得到關(guān)于x的一

元一次方程；

(3)解這個一元一次方程,求出x的值；

(4)把求得的x值代入方程y=ax+b中(或方程組中的任意一個方程中),

求出y的值,再寫成方程組解的形式；

(5)檢驗得到的解是不是原方程組的解.

性檢測反饋

1.把方程2x-4y=l改寫成用含x的式子表示y的形式是.

解析:用含X的式子表示y,相當于把y看成未知數(shù)，把X看成已知數(shù),

解關(guān)于y的一元一次方程,結(jié)果為y=—.故填y=?.

44

2.方程組｛筮+2羨=8的解是()

.(x=—2(X=1

,,ly=1,=2

c.1ID.卜二

(y=2(y=3

解析:將方程y=2x代入3y+2x=8得x=l,將x=l代入y=2x得y=2.故選

B.

J3*+4y=3(D.

3.用代入法解方程組7-尸2②,代入后化簡比較容易的變形是()

A.由①得x=q”

B.由①得y=匕盧

C.由②得x=^

D.由②得y=5x-2

解析:根據(jù)代入法解方程組的方法結(jié)合方程組的特征即可作出判斷.

由題意得代入后化簡比較容易的變形是由②得y=5x-2.故選D.

4.用代入法解下列方程組：

⑴I廠華氣⑵疔丁

(3%-2y=8;(3%-8y=14.

iy—Zx—3(D?

解：(I)U2尸8②.把①代入②得3x-2(2x-3)=8,解得X=-2.把x=-2

代入①得y=2X(-2)-3=-7.所以原方程組的解為二］

六一y=30.

(2)8y=ig.由①得x=y+3③,把③代入②得3(y+3)-8y=14,解得y=-1,

把y=-1代入③得x=2.所以原方程組的解為1.

區(qū)板書設(shè)計

第1課時

1.代入法

(1)消元思想

(2)代入法

2.例題講解

例1

例2

后布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第93頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第97頁習題8.2第2題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.用代入法解方程組匚+2尸呢)時,將方程①代入②中,所得的方程正確

的是()

A.3x+4y-3=8B.3x+4x-6=8

C.3x-2x-3=8D.3x+2x-6=8

2.方程2x-y=3與3x+2y=l的公共解是（）

%=0x=1

A.

y=3氏y=-1

(x=0—1

3.若57y是同類項,則m2-3n的值為()

A.1B.-1

C.-3D.以上都不對

4.已知方程3x-5y=2,用含x的代數(shù)式表示y,則y=,

5.解方程組.

ff+l=>.(D

(2X

l2(-r4-1)-j=6.②

【能力提升】

6.方程組『二、='的解為（）

A.尸；

（y=4（y=1

C.卜二D.1

（y=3ky=2

J2a=36.（D

7.用代入法解方程組②以下各式中代入正確的是（）

A.3a=2X*2b+lB.3a=2X-3a+l

32

2

C.3a=2X-a+lD.3a=2aX6a+l

3

8.關(guān)于x,y的方程組StI；的解是￡Z:'則Im-n|的值是（

A.5B.3C.2D.1

9.用代入法解方程組.

(2s=3t,

⑴，§=2t+5(3x~5y=6,

[x+4y=—15.

V3

【拓展探究】

10.已知關(guān)于x,y的方程組6,求出*與y的關(guān)系式.

【答案與解析】

/尸L3?①

1.D(解析：＞ir+2.v=8.?把①代入②得：3x+2(X-3)=8,去括號得:3x+2x-

6=8.故選D.)

2.B（解析:聯(lián)立方程2x-y=3與3x+2y=l,求得二元一次方程組的解為

｛；2'1故選艮）

3.B（解析：由題意得｛;;1=2解得｛:二21'則.一呼12-2=-1.故選區(qū)）

4.y=F（解析：移項，得一5y=2-3x,系數(shù)化1,得y=（A）

5.解:把①代入②得5x-3X3=1,解得x=2.把x=2代入①得y=l.因此原方

程組的解是后二:’（2）由①得x+3=3y,即x=3y-3.③由②得2x-y=4.

④把③代入④得y=2,把y=2代入③得x=3.因此原方程組的解為儼=

（y=2.

6.D（解析：1+>=5.②由①得x=y+l,③把③代入②得y=2,把y=2代入

③得x=3,.?.原方程組的解為后二故選D.）

7.C（解析：由四個選項的特點可知，方程①變形代入②中,①可變形為b=y,

代入②得3a=2義爭1.故選C.）

8.D(解析:把匕=：'代入Stm：得671=m，解得伊藍所以

|m-n|=|-1|=1.或把｛；；：'代入方程組中的第二個方程-n=-1,所以|m-

n|=1.故選D.)

p=3r(D.

9.解：⑴J駕"?由①得s=|t③,把③代入②得*=等,解得t=2,把t=2

代入③得s=3.所以方程組的解為｛:"石(2)由②得x=-4y-

15③.把③代入①得3(-4y-15)-5y=6,解得y=-3,把y=-3代入③得

x=-4X(-3)-15=-3.所以方程組的解為后;二I

10.解：由x+m=6得m=6-,得到關(guān)于x,y的關(guān)系式為x+y=9.

區(qū))_教學反思

(‘。成功之處

本課時首先利用較多的時間幫助學生領(lǐng)會消元的思想，為學生學習解

方程組做好思路的指導,加上例題的詳細解題過程的演示,較好地實現(xiàn)了

本課時的學習目標.

O不足之處

在用哪種方法進行代入的問題上,沒有注意提示學生代入的方法是多

種的，也沒有注意比較各種代入方法中有簡繁之分.

G再教設(shè)計

加強對學生解題過程的指導，示范學生在解題過程中要有明確的思路.

補充的例題可以讓學生與上一個例題進行比較，在比較的過程中發(fā)現(xiàn)解題

的要領(lǐng)和共同之處.

0備課資源

(f)經(jīng)典例題

例

1用代入消元法解方程組朦+54

〔解析)先對第一個二元一次方程進行變形,用含X的代數(shù)式表示

y,然后把此關(guān)系式代入第二個二元一次方程,把y用含x的代數(shù)式換掉,

得到一個關(guān)于X的一元一次方程,解一元一次方程求得X的值,最后把X

的值代入關(guān)于y的關(guān)系式中，求得y的值.

J3“一y=7①.

解：1+2k8②.由①可得y=3x-7③,把③代入②得5x+2(3x-7)=8,解

得x=2,把x=2代入③得y=-1,由此可得二元一次方程組的解是

例2下列解方程組的步驟是否有錯誤?如果有,請指出來,并改正.

/+y=一①

解方程組區(qū)-3尸8.②

解：由①得y=-1-x.③A

把③代入①，得x+(-x-1)=-1.B

x-x-1=-1,0,x=0,C

所以x是任意實數(shù).D

同理,y也是任意實數(shù).

所以這個方程組有無數(shù)個解.E

解:解方程組的步驟是有錯誤的.錯誤開始于步驟B.因為利用代入消

元法解二元一次方程組時,把其中一個系數(shù)較簡單的方程變形為用含其中

一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式,再代入到這個方程組中的

另一個方程中去,而不能代入到變形前的那一個方程中去,例如本題中③

是由①變形而來的，因此需把③代入②中，而非①中.改正如下：由①得

y=-1-x.③把③代入②，得2x-3(-1-x)=8,解得x=l.把x=l代入③,

得y=-2.所以原方程組的解為［2.

第②課時

一整體設(shè)計

教學目標

嘴只身蠢一

在熟練掌握用代入法解二元一次方程組的基礎(chǔ)上，初步體驗用方程組

解決實際問題.

噎博的孝

通過情境問題使學生進一步理解代入消元法所體現(xiàn)的化歸意識.

體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型.

G教學重難點

【重點】學會用代入法解未知數(shù)系數(shù)的絕對值不為1的二元一次方

程組.

【難點】進一步理解在用代入消元法解方程組時所體現(xiàn)的化歸意

識.

士教學準備

【教師準備】結(jié)合例題呈現(xiàn)的解方程組過程框圖.

【學生準備】回顧總結(jié)代入法解二元一次方程組的步驟.

舊教學過程

反新課導入

導入一：

J-yx—??=3><D

解方程組1酎-8>=".②

通過觀察,發(fā)現(xiàn)方程①中y的系數(shù)為-1,因此,可先將方程①變形,用

含x的代數(shù)式表示y,再代入方程②求解.除了這種方法之外,還有別的方

法嗎？

［設(shè)計意圖］這個方程組是用代入法解方程組中比較復雜的一種情

形,意在引導學生在先前探索的基礎(chǔ)上,嘗試解比較復雜的二元一次方程

組,進而總結(jié)解方程組的一般過程.

導入二：

解方程組：M+l&v=-1.②

一位同學的解法是：由①得x=*空.③把③代入②，….

這種方法計算量較大,容易出錯.

提出疑問：是否還有更好的解答方法？

［設(shè)計意圖］這個方程組意在引導學生在解方程組前要仔細分析方

程的特點,選取簡捷有效的方法.對本題而言,把6y看作一個整體，代入消

元,則會使解方程組變得簡單許多.

國新知構(gòu)建

［過渡語］當方程組的未知數(shù)的系數(shù)不為1的時候,如何運用代入法

解二元一次方程組呢？

一、例題講解

思路一

酗(教材P92例2)根據(jù)市場調(diào)查,某種消毒液的大瓶裝(500g)和小

瓶裝(250g)兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量(按瓶計算)比為2：5.某廠每天生產(chǎn)這

種消毒液22.5t,這些消毒液應該分裝大、小瓶兩種產(chǎn)品各多少瓶？

〔解析)本題中含有兩個未知量,一個是分裝的大瓶數(shù)，另一個是分

裝的小瓶數(shù).以這兩個未知數(shù)為數(shù)量關(guān)系，可以建立起相關(guān)的兩個等式，即:

大瓶數(shù)：小瓶數(shù)=2：5,大瓶所裝消毒液+小瓶所裝消毒液=總生產(chǎn)量.在此

基礎(chǔ)上通過列二元一次方程組可求解.

解:設(shè)這些消毒液應該分裝x大瓶、y小瓶.根據(jù)大、小瓶數(shù)的比，以

及消毒液分裝量與總生產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系,得2yge

(500x+250y=22500000.(2)

由①,得y=|x.③把③代入②,得500x+250X|x=22500000.解這個方程，

得x=0.把x=0代入③,得y=50000.所以這個方程組的解是;靠ooo答：

這些消毒液應該分裝0大瓶和50000小瓶.

追問：在解這個方程組的時候,可以先消去x嗎?

5%=2y,①

提示:可以?解法如下:由①,得x=|y.

500%+250y=22500000.(2)

③把③代入②，得500X|y+250y=22500000,解得y=50000.把y=50000代

入③,得x=0,所以這個方程組的解為Z

—DUUUU.

二、過程框圖總結(jié)

讀圖指導:

(1)結(jié)合解方程組的過程,首先按照實線箭頭的順序觀察框圖.

(2)實線箭頭指向完成后按照虛線箭頭的指向，這個過程就是求出一

個未知數(shù)的值之后,再求另一個未知數(shù)的值,也就是求方程組解的過程.

(3)如果換一種帶入方式,這個框圖的基本流程仍然適用.

思路二

出示教材P92例2

⑴列方程組.

提示:本題包含的兩個等量關(guān)系是什么？

［處理方式］學生獨立分析,列出方程組,全班交流,這一過程中教師

要注意引導學生如何從題意入手列出方程組.展示本題所列的方程組.

解:設(shè)這些消毒液應分裝X大瓶、y小瓶，則

（5x=2y,

（500x+250y=22500000.

［設(shè)計意圖］尋找兩個等量關(guān)系是列方程組解決實際問題的前提,所

以這里就此單獨提出問題讓學生思考.

（2）解方程組.

問題思考：

問題1

此方程組與我們前面遇到的二元一次方程組有什么區(qū)別？

（兩個方程里的兩個未知數(shù)系數(shù)的絕對值均不為L）

問題2

能用代入法來解嗎？

（可以.因為方程組中的未知數(shù)的取值是一致的,所以可以用一個未知

數(shù)表示另一個未知數(shù).）

問題3

選擇哪個方程進行變形?消去哪個未知數(shù)？

（單從代入的方法看,本方程組可有四種代入方法，但在代入的過程中,

簡繁的程度不一樣,所以需要我們考慮的是哪種代入方法更簡便.）

在師生對話交流中，完成本題的板書示范.

［知識拓展］在利用代入法解方程組時,不一定都需要將一個未知數(shù)

系數(shù)化為1,可以根據(jù)整體帶入的思想靈活地進行,最終達到消元轉(zhuǎn)化為

一元一次方程的目的.

叵課堂小結(jié)

(1)列二元一次方程組解應用題的關(guān)鍵是:找出兩個等量關(guān)系.

(2)列二元一次方程組解應用題的一般步驟為：審、設(shè)、歹!］、解、檢、

答.

陽檢測反饋

1.方程組f%一犯=『的解為()

13%=4y

(X=-4(X=-3

AJ5BJ:

y=-35(/=m

(8(

X=-X=--8

c.泣I

(y=s(y=-s

解析：［2X~3y=『①由②得x=%③把③代入①得y=-f.把

13%=4y.②35

(8

y=-《代入③得x=-|.所以原方程組的解為(:'故選D.

［y=~<

2

2.已知s=vot+1at,當t=l時，s=13;當t=2時，s=42.貝U當t=3時，s等

于()

A.106.5B.87C.70.5D.69

解析:根據(jù)已知條件：當t=l時，s=13;當t=2時，s=42組成關(guān)于Vo和a

的二元一次方程組,解方程組求出V。和a的值,再代回原來的等式,求出當

t=3時，s的值.由題意得[%+聶=13,解得=士當t=3

(2%+2a=42.⑦=16.

時，s=v()t+]at2=5t+8tJ87.故選B.

3.甲、乙兩車從相距60千米的A,B兩地同時出發(fā)，相向而行，1小時

后相遇，已知甲車比乙車每小時多行20千米,求甲、乙兩車的平均速度.

解:設(shè)甲車的平均速度為x千米/時，乙車的平均速度為y千米/時,根

據(jù)題意得修解這個方程組,得憑Z鬻答：甲、乙兩車的平均速度

1%y—zu.一乙U.

分別是40千米/時,20千米/時.

4.為了貫徹落實國家教育部制訂均衡教育規(guī)劃,某校計劃拆除部分舊

校舍建設(shè)新校舍，使得校舍面積增加30%.已知建設(shè)新校舍的面積為被拆

除的舊校舍面積的4倍,現(xiàn)有校舍面積為0m2,求應拆除多少平方米舊校舍,

新建校舍為多少平方米？

解:設(shè)拆除舊校舍為；由題意得已=4%，nc八解得

(0—x+y=0(1+3U%).

{y='8000?答:拆除舊校舍為此新建校舍為8000￡

.板書設(shè)計

第2課時

1.例題講解

例題

2.過程框圖總結(jié)

國布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第93頁練習第1題.

【選做題】

教材第93頁練習第2題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.若方程組產(chǎn)[Q的解x與y相等，則a的值等于()

[ax+(a-l)y=3

A.4B.10C.11D.12

2.學校舉行“大家唱大家跳”文藝匯演,設(shè)置了歌唱與舞蹈兩類節(jié)目，全

校師生一共表演了30個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目比舞蹈類節(jié)目的3倍少2

個,則全校師生表演的歌唱類節(jié)目有