重慶市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段測試試題含答案

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段測試試題（時間120分鐘，共計150分）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共計40分）1.已知函數(shù)，則（）．A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，，故.故選：D2.已知某物體的運(yùn)動方程是（的單位為），該物體在時的瞬時加速度是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意依次求導(dǎo)代入即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：C.3.若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)曲線在點處的切線平行于直線時，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點坐標(biāo)為，所以點到直線的最小距離即點到直線的距離．故選：D4.若函數(shù)在點處的切線的斜率為1，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】由已知，所以，，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選:C．5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對等式兩邊求導(dǎo)，求導(dǎo)的時候注意是個常數(shù)，求導(dǎo)之后令即可得出答案.【詳解】因為，所以，令，則，．故選：C6.已知曲線與曲線在交點處有相同的切線，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，從而可求解.【詳解】由題知曲線和曲線在交點處有相同切線，即斜率相等，所以對于曲線，求導(dǎo)得，所以在點處的切線斜率為，對于曲線，求導(dǎo)得，所以，得，故B正確.故選：B.7.某同學(xué)利用電腦軟件將函數(shù)，的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，得到了如圖所示的“心形線”．觀察圖形，當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域及函數(shù)值符號，分析函數(shù)在上的單調(diào)性及切線斜率的變化，即可得出合適的選項.【詳解】因為，，所以函數(shù)的圖象為“心形線”中軸及下方的部分．由，得，可得，解得.所以，函數(shù)的定義域為，且，由題圖可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，，故排除BC．又函數(shù)在時的圖象的切線斜率先減小后增大，故函數(shù)的值先減小后增大，故只有A選項符合題意，故選：A．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則下列等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，利用舉反例的形式，逐一判斷，可得答案.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)關(guān)于成軸對稱；由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，所以函數(shù)關(guān)于成軸對稱；對于A，設(shè)，，顯然符合題意，但，故A錯誤；對于B，因為為偶函數(shù)，故，故，故（為常數(shù)），令，則，故，故的圖象關(guān)于成中心對稱，由，且為函數(shù)圖象的對稱軸，則，由，則函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由，則，所以，故B正確；對于C，設(shè)，令，解得，則的對稱軸為；，令，解得，則的對稱中心為；所以此時函數(shù)符合題意，，故C錯誤；對于D，由選項C，符合題意，則，，故D錯誤.故選：B二、多選題（每小題6分，共計18分）9.下列選項正確的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到答案.【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，則，B正確；C選項，，C正確；D選項，令，D正確．故選：BCD．10.一做直線運(yùn)動的物體，其位移s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系是．則下列正確的是（）A.此物體的初速度是B.此物體在時的瞬時速度大小為，方向與初速度相反C.到時平均速度D.時的瞬時速度為【答案】ABC【解析】【分析】ABD選項，對求導(dǎo)后，代入相應(yīng)值，判斷正誤；C選項，根據(jù)平均速度計算公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項，，故當(dāng)時，，即此物體的初速度是，A正確；B選項，當(dāng)時，，此物體在時的瞬時速度大小為，方向與初速度相反，B正確；C選項，，到時平均速度，故到時平均速度，C正確；D選項，時，，故時的瞬時速度為，D錯誤.故選：ABC11.若直線是曲線與曲線的公切線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.

故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共計15分）12.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：．故答案為：.13.若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出答案.【詳解】由題可知，設(shè)的切點為，則切線斜率為，可得，解得．故答案為:.14.已知函數(shù)，，請寫出函數(shù)和的圖象的一條公共切線的方程為______.【答案】（或）【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)分別為，，由切線斜率可得，結(jié)合公切線方程解得或，進(jìn)而可得公切線方程.【詳解】因，，則，，設(shè)函數(shù)上的切點坐標(biāo)為，切線斜率為，函數(shù)上的切點坐標(biāo)為，切線斜率為，由切線斜率可得，即，可得公切線方程為，代入點可得，代入可得，整理得，解得或，所以切線方程為或.故答案為：（或）.四、解?題（5個小題，共計77分）15已知曲線.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求曲線過點的切線方程.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點斜式即可得到切線方程；（2）設(shè)過點的切線與曲線相切于點，然后根據(jù)曲線在點處切線的切線方程，求出切點坐標(biāo)，從而可求出結(jié)果．【小問1詳解】由題意得，則在點處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】設(shè)曲線與過點的切線相切于點，設(shè)切線的斜率為，則由點斜式得直線方程為，又因為切點為，則，解得或，則曲線過點處的切線方程為和.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，分別為棱，的中點（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值；【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）借助線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，由線面垂直判定定理可得線面垂直即可得面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系后借助向量計算即可得.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又，且，且、平面，故平面，又因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）易知，，，，以D為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，，則，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，，故，由平面，可得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成二面角為，則，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為．17.已知是數(shù)列的前項和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定義判定等差數(shù)列，再求通項公式即可.（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】由題意，即，知為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，由，得，得．【小問2詳解】由（1）得，，，相減得，18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（過點，且離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A、B兩點，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用，可得，再將點坐標(biāo)代入方程，解方程組求得從而可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程中整理得，借助根的判別式可得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，接下來利用點到直線的距離公式可求出點到直線的距離，再利用三角形面積公式和基本不等式進(jìn)行求解，即可解決問題.【小問1詳解】因為，所以，①因為橢圓C過點，所以，②由①②解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，所以，又直線l與橢圓相交，所以，解得，則，點P到直線l的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積取得最大值為2．19.閱讀知識卡片，結(jié)合所學(xué)知識完成以下問題：知識卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式（其中為小區(qū)間長度），當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.知識卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.（1）用定積分表示曲線及所圍成的圖形的面積，并確定取何值時，使所圍圖形的面積最?。唬?）一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度（單位：）緊急剎車至停止.求：①求火車在剎車4秒時速度的瞬時變化率（即4秒時的瞬時加速度）；②緊急剎車后至停止火車運(yùn)行的路程.【答案】19.，20.①；②【解析】【分析】（1）先利用定積分的定義表示出所圍圖形的面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式進(jìn)行積分運(yùn)算，最后利用配方法即可得解（2）①求導(dǎo)得瞬時速度；②令，解得的值即為從