湖北省宜昌市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)合測(cè)評(píng)試題含答案

絕密★啟用前2023~2024學(xué)年高二年級(jí)5月聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.5 C. D.43.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，若，則（）A.14 B.28 C.42 D.564.從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中也任取2個(gè)數(shù)字，能組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.240 B.216 C.180 D.1085.已知，分別為雙曲線：的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)恰為拋物線：的焦點(diǎn)，記點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.6.湖北武漢的黃鶴樓是中國(guó)古代四大名樓之一，因唐代詩(shī)人崔顥的《黃鶴樓》而名揚(yáng)天下，小張同學(xué)打算利用鏡面反射法測(cè)量黃鶴樓的高度.如圖所示，小張將平面鏡置于黃鶴樓前的水平地面上，他后退至從鏡中正好能看到樓頂?shù)奈恢?，測(cè)量出人與鏡子的距離.沿直線將鏡子向后移距離，再次從鏡中觀測(cè)樓頂，并測(cè)量出此時(shí)人與鏡子的距離.若小張的眼睛距離地面的高度為，則黃鶴樓的高度可表示為（）A. B.C. D.7.已知球與某圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，若球與圓臺(tái)的表面積之比為，則球與圓臺(tái)的體積之比為（）A. B. C. D.8.正數(shù)，滿足“”的充要條件是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部答對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某不透明的盒子里裝有若干個(gè)形狀、大小、材質(zhì)完全相同的紅色和黑色的小球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)抽取小球，每次抽取一個(gè)，用隨機(jī)變量表示事件“抽到的小球?yàn)榧t色”發(fā)生的次數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）A.若盒子里有2個(gè)紅色小球，4個(gè)黑色小球，從盒子里不放回地抽取小球，則第一次抽到紅色小球且第二次抽到黑色小球的概率為B.若盒子里有2個(gè)紅色小球，4個(gè)黑色小球，從盒子里有放回地抽取6次小球，則且C.若盒子里有個(gè)小球，其中紅色小球有個(gè)，從盒子里不放回地隨機(jī)抽取6個(gè)小球，且有紅色球的數(shù)學(xué)期望為2，則盒子里黑色小球的個(gè)數(shù)是紅色小球個(gè)數(shù)的2倍D.若，，，，則10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.平面時(shí)，截正方體的截面積為C.三棱錐的外接球的表面積為D.點(diǎn)到平面的距離最大值為11.已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.（請(qǐng)用數(shù)字作答）13.已知直線：，點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上的射影為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為______.14.已知函數(shù)，其中表示，中的最大值，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，.（1）求，；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（本小題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（本小題滿分15分）每年6月中旬到7月中旬，長(zhǎng)江中下游區(qū)域內(nèi)會(huì)出現(xiàn)一段連續(xù)陰雨天氣，俗稱“梅雨期”.依據(jù)某地河流“梅雨期”的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級(jí)的頻率分布條形圖如圖乙所示.（1）以頻率作為概率，試求河流在“梅雨期”水位的第80百分位數(shù)并估計(jì)該地在今年“梅雨期”發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率；（2）該地河流域某企業(yè)，在今年“梅雨期”，若沒(méi)受1，2級(jí)災(zāi)害影響，利潤(rùn)為1000萬(wàn)元；若受1級(jí)災(zāi)害影響，則虧損200萬(wàn)元；若受2級(jí)災(zāi)害影響則虧損2000萬(wàn)元.現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案：方案防控等級(jí)費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）方案一無(wú)措施0方案二防控1級(jí)災(zāi)害80方案三防控2級(jí)災(zāi)害200試問(wèn)，若僅從利潤(rùn)考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？并說(shuō)明理由.18.（本小題滿分17分）如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，其離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1.過(guò)平面上一點(diǎn)作橢圓的切線，，當(dāng)直線與的斜率都存在時(shí)，它們的斜率之積是，當(dāng)其中一條切線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線的斜率為0，記點(diǎn)的軌跡為曲線.直線，分別交橢圓于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求曲線的方程；（3）求面積的最大值.19.（本小題滿分17分）如圖，對(duì)于曲線，若存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；③曲線的導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（即曲線在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑.（1）求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；（2）（i）求證：平面曲線在點(diǎn)的曲率半徑為（其中表示的導(dǎo)函數(shù)）；（ii）若圓為函數(shù)的一個(gè)曲率圓，求圓半徑的最小值；（3）若曲線在，處有相同的曲率半徑，求證：.

2023~2024學(xué)年高二年級(jí)5月聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)123456答案CABCAA題號(hào)7891011答案BDACBCDABD1.【答案】C【解析】，，又，.2.【答案】A【解析】由題知，則，因此，則.3.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由，，成等差數(shù)列可知，即，解方程可得（舍去），則.4.【答案】C【解析】按照是否取到0進(jìn)行分類：①若從0，2，4取的2個(gè)數(shù)字中不含0，則共有個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；②若從0，2，4取的2個(gè)數(shù)字中含0，則共有個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).因此滿足條件的共有個(gè)數(shù).5.【答案】A【解析】拋物線的定義可知，因此平行于軸，即，由拋物線的定義，可知，，因此.6.【答案】A【解析】如圖，由可知，即，由可知，即，則，可得.7.【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)分別為，，由表面積公式知，.8.【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，必要性不成立，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，但，必要性不成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，令函數(shù)，則，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，因此存在使得，即在區(qū)間上不單調(diào)，不滿足充要條件，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，令函數(shù)，有恒成立，因此是在上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)有，即恒成立，故D項(xiàng)正確.9.【答案】AC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，第一次抽到紅色小球且第二次抽到黃色小球的概率為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，有放回地抽取，，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，依題意得，得，黑色小球的個(gè)數(shù)為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，，有，解得，則，因此，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.10.【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，則點(diǎn)坐標(biāo)為.對(duì)于A項(xiàng)：，，若，則，即，得，又，故不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)，，的截面為六邊形且六邊形為正六邊形時(shí)垂直.此時(shí)過(guò)的截面經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，截面交，，于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時(shí)，取，，的中點(diǎn)為，，，連接，，，，，故此時(shí)截面為正六邊形，其面積，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)，外接球球心，則面，設(shè)，，解得，，外接球表面積，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則即取，得一個(gè)法向量；點(diǎn)到平面的距離，考慮到，時(shí)，最大為，故D項(xiàng)正確.11.【答案】ABD【解析】為偶函數(shù)，，即有，A正確；，令，可得，又，，B正確；，，①，②將①②式與聯(lián)立化簡(jiǎn)得，，，，即與的周期均為4，，，，，C錯(cuò)誤；又，，，，，，，D正確.12.【答案】10【解析】展開式的通項(xiàng)，為了得到常數(shù)項(xiàng)，與相乘的項(xiàng)為，即，與1相乘的項(xiàng)為，即，因此常數(shù)項(xiàng)為.13.【答案】【解析】由直線方程可知，即該直線過(guò)定點(diǎn)，的軌跡為以為直徑的圓，因此長(zhǎng)度的取值范圍為.14.【答案】【解析】令，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增，，.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).15.解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)滿足成立.數(shù)列的通項(xiàng)為，由可知，由等比數(shù)列的定義可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，①②①②可知，解得.16.解：在中，由，，，知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線為軸、軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由為正三角形可知，.在中，，，，由余弦定理知，解得，設(shè)點(diǎn)，解得.又，，可知，，...又，平面.（2）設(shè)平面的法向量的，，.則有令可得.由（1）知，平面的一個(gè)法向量為.，二面角余弦值為.17.解：（1）頻率分布直方圖中6個(gè)小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，設(shè)“梅雨期”水位的第80百分位數(shù)為，，，“梅雨期”水位的第80百分位數(shù)為.設(shè)該河流“梅雨期”水位小于為事件，水位在至為事件，水位大于為事件，，，，設(shè)該地發(fā)生1級(jí)災(zāi)害為事件，由條形圖可知：，，，，，.（2）由（1）可知“梅雨期”該河流不發(fā)生災(zāi)害的概率為，發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率為0.155，發(fā)生2級(jí)災(zāi)害的概率為，設(shè)第種方案的企業(yè)利潤(rùn)為，若選擇方案一，則該企業(yè)在“梅雨期”的平均利潤(rùn)（萬(wàn)元），若選擇方案二，則該企業(yè)在“梅雨期”的平均利潤(rùn)（萬(wàn)元），若選擇方案三，則該企業(yè)在“梅雨期”的平均利潤(rùn)（萬(wàn)元），14分由于，故企業(yè)應(yīng)選擇方案二.18.解：（1），橢圓上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為.因此，.由可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線，斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率分別為，，設(shè)點(diǎn)，則，.將直線：代入，消去，化簡(jiǎn)得..同理.，為關(guān)于的方程的兩個(gè)根，因此（*）.當(dāng)直線，有一條的斜率不存在，另一條的斜率為0，即，時(shí)，，與橢圓相切，滿足（*）式.綜上所述，曲線的方程為.（3）由（2）知，設(shè)點(diǎn)，則滿足，有.將直線：代入，消去，化簡(jiǎn)得