河南省部分重點高中2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月大聯(lián)考試題含答案

2023~2024學(xué)年度5月質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則（）A. B. C.4 D.23.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.4.若直線與圓相切，則圓的半徑為（）A.2 B.4 C. D.85.從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（）A. B. C. D.6.已知兩個非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知，設(shè)函數(shù)，若存在，使得，則取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，點，是曲線的兩個相鄰的對稱中心，則（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上的最大值為2C.直線是曲線的一條對稱軸 D.在區(qū)間上有3個零點10.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的為（）A.若，則為等差數(shù)列 B.若，則C.若，則是公差為的等差數(shù)列 D.若，則的最大值為111.已知拋物線的焦點為，，為上的兩點，過，作的兩條切線交于點，設(shè)兩條切線的斜率分別為，，直線的斜率為，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B，，成等差數(shù)列C.若在準(zhǔn)線上，則D.若在的準(zhǔn)線上，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，的系數(shù)為_____________.（用數(shù)字作答）13.已知為坐標(biāo)原點，若雙曲線右支上存在兩點，，使得，則的離心率的取值范圍是_____________.14.已知某圓錐內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐側(cè)面積的最小值為_____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求.16.近年來，我國青少年近視問題呈現(xiàn)高發(fā)性、低齡化、重度化趨勢.已知某校有學(xué)生200人，其中40人每天體育運動時長小于1小時，160人每天體育運動時長大于或等于1小時，為研究體育運動時長與青少年近視的相關(guān)性，研究人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從學(xué)生中抽取50人進(jìn)行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：體育運動時長小于1小時體育運動時長大于或等于1小時合計近視4無近視2合計（1）請完成上表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān)？（2）為進(jìn)一步了解近視學(xué)生的具體情況，現(xiàn)從調(diào)查的近視學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步的檢測，設(shè)隨機(jī)變量為體育運動時長小于1小時的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.17.如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點.（1）證明：；（2）設(shè)為的中點，在棱上，滿足平面，求與平面所成角的正弦值.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）已知有兩個極值點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.19.已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點，且為等腰直角三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點為上的一個動點，求面積的最大值；（3）若直線與交于兩點，且，證明：直線過定點.2023~2024學(xué)年度5月質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定，再根據(jù)集合交集的定義求解.【詳解】由，解得，所以；又由，解得，所以.所以.故選：B.2.已知，則（）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算可得，，即可得模長.【詳解】由題意可得，則，所以.故選：A.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：B.4.若直線與圓相切，則圓的半徑為（）A.2 B.4 C. D.8【答案】C【解析】【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.【詳解】依題意，，解得（負(fù)值舍），所以圓的半徑為.故選:C.5.從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出和，再利用條件概率的公式求解.【詳解】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機(jī)取出兩個球.從而，，故.故選：A.6.已知兩個非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由分析可知，結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】由，則，整理可得，所以在方向上的投影向量為.故選：D.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性分大于1或小于1進(jìn)行討論即可得解.【詳解】由是奇函數(shù)及在上單調(diào)遞增，所以，則關(guān)于對稱，當(dāng)時，，此時若，則，即，所以，當(dāng)時，，此時若，則，即，所以，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)或時，.故選：C.8.已知，設(shè)函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時，的最小值為，然后分是否大于1，討論在時的最小值，由此分別列出不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時，易知的最小值為，當(dāng)時，，令，解得，若，則在上單調(diào)遞增，且時，，所以只需，解得或，又，所以，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，成立，所以符合題意，綜上，的取值范圍是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及到含參分段函數(shù)的最值時，一般討論時盡量做到有序討論，這樣可以不充不漏，從而即可順利得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，點，是曲線的兩個相鄰的對稱中心，則（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上的最大值為2C.直線是曲線的一條對稱軸 D.在區(qū)間上有3個零點【答案】ABC【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析周期性，即可得結(jié)果；對于B：由選項A可知：，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)求最值；對于C：結(jié)合選項B中的最值分析判斷；對于D：結(jié)合周期性分析判斷.【詳解】對于選項A：設(shè)最小正周期為，且，由題意可知：，可得，，故A正確；對于選項B：由選項A可知：，當(dāng)時，則，可知當(dāng)，即時，取到最大值2，所以在區(qū)間上的最大值為2，故B正確；對于選項C：由選項B可知：當(dāng)時，取到最大值2，所以直線是曲線的一條對稱軸，故C正確；對于選項D：因為的最小正周期為，且在一個周期長度內(nèi)至多只有2個零點，故D錯誤；故選：ABC.10.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的為（）A.若，則等差數(shù)列 B.若，則C.若，則是公差為的等差數(shù)列 D.若，則的最大值為1【答案】ABD【解析】【分析】由遞推數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)即可逐一判斷各個選項，從而得解.【詳解】當(dāng)時，，所以為等差數(shù)列，A選項正確；，所以是公差為-1的等差數(shù)列，C選項錯誤；當(dāng)時，，所以，B選項正確；由可知，，所以，D選項正確.故選：ABD.11.已知拋物線的焦點為，，為上的兩點，過，作的兩條切線交于點，設(shè)兩條切線的斜率分別為，，直線的斜率為，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.，，成等差數(shù)列C.若在的準(zhǔn)線上，則D.若在的準(zhǔn)線上，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可判斷A，設(shè)，，可以用表示，進(jìn)一步判斷B，設(shè)直線：，：，從而得到，進(jìn)一步結(jié)合B選項分析可判斷C，由拋物線定義結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】對A，拋物線：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A選項錯誤；對B，設(shè)，，∵，∴，，，∴，B選項正確；對C，由上可知直線：，：，解得，，，，C選項正確；對D，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D選項正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷C選項的關(guān)鍵是得出，進(jìn)一步結(jié)合，即可順利判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，的系數(shù)為_____________.（用數(shù)字作答）【答案】-80【解析】【分析】直接利用二項式展開式，通過賦值即可得解.【詳解】的展開式的通項為，令，的系數(shù)為.故答案為：-80.13.已知為坐標(biāo)原點，若雙曲線的右支上存在兩點，，使得，則的離心率的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】由題意得出，其中，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，所以，離心率.故答案為：.14.已知某圓錐內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐側(cè)面積的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】分析可知，，整理可得側(cè)面積為，換元，結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，且母線與底面所成角為，則，，可得圓錐側(cè)面積為，設(shè)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該圓錐側(cè)面積的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求.【答案】（1）證明見解析（2）39【解析】【分析】（1）分析可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解.【小問1詳解】因為，則，且，可得，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可得：，則，由題意可得：，，即，解得，所以的值為39.16.近年來，我國青少年近視問題呈現(xiàn)高發(fā)性、低齡化、重度化趨勢.已知某校有學(xué)生200人，其中40人每天體育運動時長小于1小時，160人每天體育運動時長大于或等于1小時，為研究體育運動時長與青少年近視的相關(guān)性，研究人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從學(xué)生中抽取50人進(jìn)行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：體育運動時長小于1小時體育運動時長大于或等于1小時合計近視4無近視2合計（1）請完成上表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān)？（2）為進(jìn)一步了解近視學(xué)生的具體情況，現(xiàn)從調(diào)查的近視學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步的檢測，設(shè)隨機(jī)變量為體育運動時長小于1小時的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】（1）可以認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān)（2）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）由題意可知：的可能取值為0，1，2，3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【小問1詳解】由題意可知：抽取50人中體育運動時長小于1小時的人數(shù)為，據(jù)此可得列聯(lián)表：體育運動時長小于1小時體育運動時長大于或等于1小時合計近視8412無近視23638合計104050零假設(shè)：學(xué)生是否近視與體育運動時長無關(guān)，可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出成立，因此可以認(rèn)為不成立，即認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān).【小問2詳解】由題意可知：的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123的期望.17.如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點.（1）證明：；（2）設(shè)為的中點，在棱上，滿足平面，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）只需結(jié)合已知以及線面垂直的判定定理證明平面，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出的方向向量與平面的法向量，由向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式即可得解.【小問1詳解】連接，設(shè)與交于點，因為，且，所以，所以，所以，又在直三棱柱中，，平面，平面，故，又，，平面，所以平面，又平面，故；小問2詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)，，因為平面，平面，平面，所以，則由，得，解得，所以平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成角為，，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）已知有兩個極值點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）（?。┓治隹芍}意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，結(jié)合基本不等式分析求解；（ⅱ）設(shè)有兩個不同的正實數(shù)根，根據(jù)單調(diào)性可知的極值點，結(jié)合零點代換可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性分析可得，則，即可得取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，則，，可得，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問2詳解】（?。┯深}意可知：的定義域為，，令，可得，原題意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可知，所以的取值范圍；（ii）由（i）可知：有兩個不同的正實數(shù)根，，不妨設(shè)，可知，當(dāng)時，；當(dāng)或時，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極小值點，為的極大值點，對于的極值點，則，可得，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可知，則，又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以的極大值的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左