人教版七年級數(shù)學下冊分類集訓專題115期末專項復習之二元一次方程組十四大(原卷版+解析)

專題1L5二元一次方程組十四大必考點

【人教版】

【考點1二元一次方程（組）的概念】...........................................................1

【考點2二元一次方程組的解】................................................................2

【考點3解二元一次方程組】...................................................................2

【題型4同解方程組】.........................................................................3

【題型5二元一次方程組的錯解復原問題】......................................................3

【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】............................................................4

【考點7二元一次方程的整數(shù)解】..............................................................4

【考點8二元一次方程組的特殊解法】...........................................................5

【考點9二元一次方程組的新定義問題】.........................................................6

【考點10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】......................................................7

【考點11二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】................................................8

【考點12二元一次方程（組）的應用】...........................................................9

【考點13三元一次方程組的解法】.............................................................10

【考點14三元一次方程組的應用】.............................................................11

手，?三

【考點1二元一次方程（組）的概念】

[例I]（2022?浙江?義烏市稠州中學教育集團七年級階段練習）方程①ZL3y=1,②孫=-2,@x2-5x

=5,④x-]2=0中，為二元一次方程的是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【變式1-1]（2022?上海?期末）下列方程組中，二元一次方程組有（）

①閔J'

A.4個B.3個C.2個D.1個

【變式1-2]（2022?全國?八年級單元測試）已知（。一2）X+。2-3+、=1是關于％,y的二元一次方程，則

Q的值為.

【變式1-3]（2022?浙江?杭州市大關中學七年級期末）關于x,y的二元一次方程如+b），=c（mb,c是常數(shù)），

b=a+l,s隊1,對于任意一個滿足條件的小此二元一次方程都有一個公共解，這個公共解為.

【考點2二元一次方程組的解】

【例2】（2022?浙江?華東師范大學附屬杭州學校七年級期末）方程組二］的解為3則被遮蓋

的兩個數(shù)團和■分別為（）

A.1,2B.5,1C.2,3D.2,4

【變式2-1］（2022?陜西?商洛市山陽信毅九年制學校七年級階段練習）樂樂，果果兩人同解方程組

｛二=孺二甯時，樂樂看錯了方程①中的〃，解得［;二:，果果看錯了方程②中的，解得

/2022

求0+（一4h）x的值.

【變式2-2】（2022?江蘇?無錫市查橋中學七年級階段練習）若｛：二12和后;二:是某二元一次方程的解，

則這個方程為（）

A.x+2y--3B.2x—y=0C.y=3x—5D.x—3=y

【變式2-3］（2022?陜西漢中?七年級期末）已知關于％、y的方程組,則下列結(jié)論中正確的

有（）

①當a=1時，方程組的解也是方程》+7=2的解；

②當x=y時，a=_*

③不論a取什么數(shù)，2%+y的值始終不變.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【考點3解二元一次方程組】

【例3】（2022?浙江?杭州市實驗外國語學校七年級期末）關于％,y方程組｛3￡久；彳2滿足刈、的和

為2,則in?一2瓶+1的值為.

【變式3-1］（2022?福建省永春烏石中學七年級階段練習）已知方程組1至+4,=［的解也是方程組

朦二5一二6的解求3的值?

【變式3-2］（2022?山東?聊城市東昌府區(qū)水城雙語學校七年級階段練習）解方程組

二:

（3（%+y）-4（%—y）=4

（2）1力+口=1

I26

【變式3?3】（2022?江蘇泰州?七年級期末）在等式丁=加+法+1中，當X=-1時，y=6；當x=2時，y

=11.

（1）求小人的值:

（2）當x=-3時，求y的值.

【題型4同解方程組】

【例4】（2022?山東濟寧?七年級期末）己知方程組和方程組有相同的解，則a,b的

值分別為（）

A?｛廠：B.｛f=4C.（V；6D.代二手

3=2lb=-6（b=2Ib=2

【變式4-1】（2022?湖北武漢?七年級期末）已知方程組與二s'有相同的解，則巾+

n=.

【變式4-2］（2022?黑龍江?大慶市高新區(qū)學校七年級期末）關干x.y的兩個方程組｛。;1,黑二？和

二蹌U有相同的解，則押值是（）

A.-B.-C.--D.-

3232

【變式4-3】（2022?陜西安康?七年級期末）已知關于3,V的二元一次方程組和｛『二/二二

的解相同，求Q+b的值.

【題型5二元一次方程組的錯解復原問題】

【例5】（2021?山東濱州七年級期末）解方程組償雪;;時，一學生把曙錯而得到｛j蠢2,而正確

的解是｛::耳，那么。+力+c的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式5?1】（2022?四川巴中?七年級期末）甲、乙兩人解關于x、y的方程組=一；&時，甲因看

（ax+by=-5②

錯〃得到方程組的解為［二;，乙將方程②中的b寫成了它的相反數(shù)得到方程組的解為｛；二二：.

⑴求〃、b的值;

⑵求原方程組的解.

ax-Sy=15①

【變式5-2】（2018?江西宜春?七年級期末）已知方程組由于甲看錯了方程①中的Q得到

4x—by=-2@

方程組的解為二:；乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為若按正確的a,b計算，請你求原

方程組的解.

⑴計算：F(1213),尸(8567)；

⑵若"M數(shù)，=8900+10x+y(1<x<9,1<y<9,x,y都是正整數(shù))，/(九)也是數(shù)〃，旦產(chǎn)(九)能

被8整除.求F[F(n)]的值.

【變式7?3】(2022?重慶涪陵?七年級期末)對于一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零的三位自然數(shù)m,若m的十

位數(shù)字等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之和，則稱這個自然數(shù)m為“三峽數(shù)”.當三位自然數(shù)m為“三峽數(shù)〃時，交換機

的百位數(shù)字和個位數(shù)字后會得到一個三位自然數(shù)n,規(guī)定F(m)=*.例如：當m=583時，因為5+3=8,

583-385198

所以583是“三峽數(shù)"；此時n=385,則F(m)=登---------=——=2n.

9999

⑴判斷341和153是否是“二峽數(shù)〃？并說明理由；

⑵求戶(352)的值；

⑶若三位自然數(shù)m=100a+10(a+b)+b(即m的百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是Q4-b,個位數(shù)字是b,1<a<

9,l<d<9,a,匕是整數(shù)，1Wa+bW9)為"三峽數(shù)〃，且F(m)=5時，求滿足條件的所有三位自然數(shù)m.

【考點8二元一次方程組的特殊解法】

【例8】(2022?福建省永春烏石中學七年級階段練習)數(shù)學方法:

解方程組:吃“1奢一乳=2，若設2%+y=m,%-2y=ri,則原方程組可化為｛羿"=26

(2(2%+y)+3(x-2y)=13127n4-3n=13

解方程組得｛工裳，所以優(yōu)貳U，解方程組得后二，我們把某個式子看成一個整體，用一個字

母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法.

⑴直接填空：已知關于斯y的二元一次方程組二;，的解為｛菰才，那么關于加、〃的二元一次

方程紂淤+n)+/>(m-n)=6的解為：_____________.

｛b｛m+九)+a(m—n)=3

(也一曰=4

⑵知識遷移：請用這種方法解方程組23.

(2(x+y)+x-y=16

⑶拓展應用：已知關于x,y的二元一次方程組匿機設二魯?shù)慕鉃椋?二3，

求關于x,)，的方程組普翁/的解?.

(2a2x+362y=5c2

---=1

【變式8-1](2022?上海市復旦實驗中學八年級期末)用換元法解方程組H”1時，可設工==v,

-+—=1*y+】

\Xy+i

則原方程組可化為關于〃、好的整式方程組為

x+y=22①

【變式8-2】(2022?陜西?西大附中濟浦中學八年級期末)解方程組:

4(%+y)-5(x-y)=-2@

【變式8-3](2022?北京朝陽?七年級期末)閱讀下列材料并填空:

(1)對于二元一次方程組工我們可以將％,y的系數(shù)和相應的常數(shù)項排成一個數(shù)表W，求

得一次方程組的解;，用數(shù)可表示為(：；；).用數(shù)表可以簡化表達解一次方程組的過程如下，請補全

其中的空白：

上行f3叫m-J3018]上二、06_fl06]卜叫

下行[1336；{\336JU336}10330)

從而得到該方程組的解為&二二Z二.

(2)仿照(1)中數(shù)表的書寫格式寫出解方程組的過程.

【考點9二元一次方程組的新定義問題】

【例9】(2022?貴州?銅仁市第十一中學七年級階段練習)我們規(guī)定：[m]表示不超過m的最大整數(shù)，例如：

[3.1J=3,[0J=0,1-3.1]=—4,則關于"fly的二元一次方程組儼]：二一瞥二的解為()

{X-[y]=[3.2]

A(x=3.2,(x-2.4,*(x=3,卜(4=3.4,

A.{DB.<C.{D.{

(y=0.2(y=1.2(y=0.2(y=0.2

【變式9-1](2022?江蘇?鹽城市初級中學七年級期末)如果一個正整數(shù)m=aZb2(a,b均為正整數(shù)，且axb)我

們稱這個數(shù)為“平方差數(shù)"，則a,b為m的一個平方差分解，規(guī)定：F(m)耳例如：8=8xl=4x2,由8=a2-b2=(a-

b)(a+b),可得或因為a,b為正整數(shù)，解得{；；：，所以F(8)總試求F(45)的值

為.

【變式9?2】(2022?吉林?大安市樂勝鄉(xiāng)中學校七年級階段練習)定義新運算12對于任何非零實數(shù)人b.都有

ax-by.

(1)若2團2=-3,求x-y的值；

(2)若313(-2)=3,(-2)123=8,求x、y的值.

【變式9-3](2022?江蘇南通?七年級期末)定義：數(shù)對(x,y)經(jīng)過一種運算可以得到數(shù)對(/,、')，將該運算

記作：

d(x,y)=(x；/),其中匕=Q'+?(①b為常數(shù)).

(y=ax-by

例如，當a=1,b=1時，d(—2,3)=(1,-5).

(1)當。=2,b=l時，d(3,l)=:

⑵若d(-3,5)=(-1,9),求a和b的值;

⑶如昊組成數(shù)對(x,y)的兩個數(shù)％,y滿足二元一次方程％-3y=0時，總有d(x,y)=(--y),則

a=,b=.

【考點10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】

【例10】（2022秋?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）相傳大禹時期，洛陽市西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛

書"，獻給大禹，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州.圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字

表示，洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3X3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對

角線上的數(shù)字之和都相等.在圖3的幻方中也有類似于圖1的數(shù)字之和的這人規(guī)律，則a+b的值為（）

492a12-2

357048

81610b6

圖2圖3

B.-2C.4D.6

【變式10-1]（2022春?北京石景山?七年級統(tǒng)考期末）下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間

的對應關系：

序號123..n

2x+y=32x+y=52x+y=7

方程組

'-x—2y=44-4y=164-6y=36

x=2x=4x=6

R=-10=—3ty=-5

方程組解

按此規(guī)律，第n個方程組為,它的解為（n為正整數(shù)）.

【變式10-2]（2022秋?陜西寶雞?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的各圖表示由若干盆花組成的形如三角形的圖

案，每條邊（包括兩個頂點）有〃（〃:>1）盆花，每個圖案花盆的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷，以s,〃為未知數(shù)的

二元一次方程為.

O

oOO

ooOO

)00(

n=2n=3w=4

【變式10-3】(2022秋?湖北省直轄縣級單位?七年級統(tǒng)考期中)觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分

【例11】(2022秋?重慶大渡口?八年級重慶市第九十五初級中學校?？计谀?閱讀下列材料，回答問題.

對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)"，將

一個“相異數(shù)〃任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111

的商記為尸(n).例如n=123,對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321,對

調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132,這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,因為666+111=6,所

以“123)=6.

(1)計算：F(341)=,F(625)=:

(2)若s,t都是"相異數(shù)"，其中s=100%+32,t=150+y,1<%<9,1&yK9且％,y都是正整數(shù)，規(guī)

定k=F(s)-F(t),當F(s)+尸(t)=19時，求k的最小值.

【變式11-1】(2022春?廣西南寧?七年級統(tǒng)考期末)【閱讀理解】我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)個解，但

在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解.

例如：由Zi+3y=12,得：y=12~2x=4-^x(x、y為正整數(shù)).

要使y=4為正整數(shù)，則疑為正數(shù)可知：k為3的倍數(shù)，從而x=3,代入y=4-打=2.

所以2x+3y=12的正整數(shù)解為「:?

⑴【類比探究】請根據(jù)材料求出方程九+2)，=8的正整數(shù)解.

⑵【拓展應用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規(guī)格的鋼管，在不造成浪費的情況下，共有

幾種截法？

【變式11-2】(2022春?重慶?八年級重慶八中校考期末)閱讀以下材料，并利用材料知識解決問題.

材料一：如果實數(shù)m6滿足a(b-1)=6-2b,那么就稱。和b是一組“創(chuàng)意數(shù)對”，用有序數(shù)對(a,b)表示.例

如：由于1'(3-1)=6-2*彳所以(1,9是"創(chuàng)意數(shù)對”?

材料二：任何一個自然數(shù)M都能分解成兩個因數(shù)的乘積：M=AxB,對于M的所有分解，當口一團最小

時，我們稱此分解為M的“和值分解”，并記F(M)=A+B.例如:對于18=lxl8=2x9=3x6,0|3-6|<

|2-9|<|1-18|,018=3x6是18的“和值分解〃，尸(18)=3+6=9.

⑴是否存在實數(shù)機，使得(2,m)是“創(chuàng)意數(shù)對〃？如果存在，請求解出山的值；若不存在，請說明理由；

⑵一人兩位數(shù)N的十位數(shù)字為",個位數(shù)字為y,若&j)是“創(chuàng)意數(shù)對”，請求解F(N)的最小值.

【變式11-3】(2022春?重慶大渡口?七年級統(tǒng)考期末)閱讀下列材料，并根據(jù)材料回答以下問題

材料一：一個三位數(shù)，各個數(shù)位均不相等且不等于0,滿足這樣條件的數(shù)叫"無獨數(shù)".任選無獨數(shù)的兩個數(shù)

字，組成六個新的兩位數(shù)，并把這六個兩位數(shù)相加得到的和再除以11,得到的結(jié)果記作P(G).例如：無獨

數(shù)351,得到的六個兩位數(shù)分別為：35,31,53,51,13,15,則/(351)=^二18.

材料二：一個三位數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字均為偶數(shù)，且百位數(shù)字最大，稱這樣的三位數(shù)為“有偶數(shù)”.

⑴產(chǎn)(256)=；最小的有偶數(shù)為；

⑵試說明任意一個無獨數(shù)〃?，F(xiàn)(m)的值均能被2整除；

⑶若一個三位數(shù)，，既是無獨數(shù)，又是有偶數(shù)，且F5)的結(jié)果為6的倍數(shù)，求滿足條件的所有〃.

【考點12二元一次方程(組)的應用】

【例12】(2022?河南?南陽市第十九中學七年級階段練習)一方有難，八方支援."新冠肺炎〃疫情來襲，除

了醫(yī)務人員主動請纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運送愛心

物資，兩次滿載的運輸情況如表：

甲種貨車(輛)乙種貨車(輛)總量(噸)

第一次4531

第二次3630

⑴甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？

⑵現(xiàn)有45噸物資需要再次運往武漢，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方

案？

⑶若1輛甲種貨車需租金120元/次，1輛乙種貨車需租金100元次.請求出（2）中哪種租車方案費用最少，

最少費用是多少？

【變式12-1】（2022?重慶大足?七年級期末）今年“五一”勞動節(jié)期間，某手機專賣店上架了甲、乙兩款手機.前

三天售出的甲款手機的數(shù)量比乙款手機的數(shù)量多50%,后兩天售出的甲款手機的數(shù)量比前三天售出的甲款

手機的數(shù)量少40%,結(jié)果后兩天售出的甲乙兩款手機的總數(shù)量比前三天售出的甲乙兩款手機的總數(shù)量多

12%,若后兩天甲、乙兩款手機的銷售總額比前三天甲、乙兩款手機的銷售總額多24%,在整個銷售期間甲

乙兩款手機的單價不變，則甲款手機的單價與乙款手機的單價的比值為.

【變式12-2]（2022?重慶銅梁?七年級期末）端午節(jié)臨近，某超市熱銷A、B、C三種粽子，其中其每千克B

種粽子的成本價比每千克4種粽子的成本價高50%,每千克。種粽子的成本價是每千克A種粽子的成本價

的2倍.最近，超市打算將三種粽子混裝配成甲、乙、丙三種禮品盒進行銷售（禮品盒的盒子成本價不計）.其

中甲禮品盒有4種粽子3千克、8種粽子2千克、C種粽子2千克；乙禮品盒有A種粽子2千克、5種粽子

3千克、C種粽子3千克；丙禮品盒有A種粽子4千克、8種粽子2千克、C種粽子4千克.銷售時，每個

丙禮品盒在成本價基礎上提高g后銷售，甲、乙禮品盒的利潤率都為20%.端午節(jié)前一天，該超市售出這三

種禮品盒后獲利25%,已知售出甲、丙禮品盒兩種共25盒，且甲禮品盒不低于12個.則該超市當天售出

三種禮品盒共個.

【變式12-3】（2022?重慶?模擬預測）唐代詩人杜甫曾至IJ“讀書破萬卷，下筆如有神〃.為了提升全民素養(yǎng)，

某書店搞了一次現(xiàn)場促銷活動，活動中名著和兒童讀物兩類圖書套裝優(yōu)惠力度較大，其中每一類套裝里含

有線裝本，精裝本，平裝本三種不同材質(zhì)的圖書，兩類圖書套裝中相同材質(zhì)圖書的售價相同，且每一類套

裝中數(shù)量均為44本，其中名著套裝內(nèi)線裝本，精裝本，平裝本數(shù)量之比為4：3：4,兒童讀物套裝內(nèi)線裝

本，精裝本，平裝本數(shù)量之比為3：6：2.已知一套名著套裝和一套兒童讀物套裝的售價之和與62本精裝

本圖書的售價相同，一本精裝本圖書售價是一本線裝本圖書售價的2倍，每套名著套裝的利潤率為20%,

每套兒童讀物套裝的利潤率為36%,則當銷售名著套裝與兒童讀物套裝的數(shù)量之比為9：14時，該書店銷

售這兩類套裝的總利潤率為.

【考點13三元一次方程組的解法】

【例13】（2022?四川?隆昌市知行中學七年級階段練習）已知％、y、z是三個非負實數(shù)，滿足3x+2y+z=5,

x+y-z=2,若S=2%+y-z,則S的最大值與最小值的和為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式13-1]（2022?全國?七年級課時練習）解下列三元一次方程組:

（4x-9z=17（2x+4y+3z=9

（1）j3x+y+15z=18；（2）3x-2y+5z=11.

Ix+2y+3z=2（5x-6y+7z=13

【變式13-2】（2022?廣東?可園中學七年級期末）在等式y(tǒng)=ax?+族+c中，當％=1時，y=0：當％=-1

時，y=-2：當％=2時，y=7.

⑴求mb,c的值；

（2）求當％=—3時，y的值.

【變式13-3】（2022?吉林長春?七年級階段練習）已知三個方程構(gòu)成的方程組%y-2y-3%=0,yz-3z-

5y=0,%z—5%—2z=0,恰有一組非零解％=a,y=btz=c,則Q2+b?+c?=.

【考點14三元一次方程組的應用】

【例14】（2022?重慶?華東師范大學附屬中旭科創(chuàng)學校九年級期末）新世紀百貨推出A,B,。三種零食大

禮包，每種禮包都由一定數(shù)量的堅果、牛肉干和薄脆餅組合搭配構(gòu)成.三種大禮包的成本分別為禮包中三

種零食的成本之和，同種零食的單價相同.已知2袋牛肉干和5袋薄脆餅的價格相同，一份A禮包包含6袋堅

果、4袋牛肉干和2袋薄脆餅，一份B禮包包含4袋堅果、6袋牛肉干和4袋薄脆餅.若一份B,C禮包的成本

相同，均比一份4禮包的成本貴40%,一份C禮包中的零食袋數(shù)與一份A禮包中的零食袋數(shù)之比為3：2,

且一份C禮包中堅果袋數(shù)比牛肉干袋數(shù)多，則一份。禮包中的薄脆餅袋數(shù)比牛肉干袋數(shù)少袋.

【變式14-1】（2022?湖北黃岡?七年級階段練習）購買鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆

10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需（）

A.4.5元B.5元C.6元D.6.5元

【變式14-2】（2022?重慶市永川區(qū)教育科學研究所一模）某中學科技節(jié)頒獎儀式隆重舉行，其中小科技創(chuàng)

新發(fā)明獎共有60人獲獎，原計劃特等獎5人，一等獎15人，二等獎40人.后來經(jīng)校領導開會研究決定，

在該項獎勵總獎金不變的情況下，各等級獲獎人數(shù)實際調(diào)整為：特等獎8人，一等獎18人，二等獎34人，

調(diào)整后特等獎每人獎金降低40元，一等獎每人獎金降低20元，二等獎每人獎金降低10元，調(diào)整前一等獎

每人獎金比二等獎每人獎金多70元，則調(diào)整后特等獎每人獎金比一等獎每人獎金多元.

【變式14-3】（2022?重慶豐都?七年級期末）全球棉花看中國，中國棉花看新疆.新疆長絨棉花是世界頂級

棉花，品質(zhì)優(yōu)，產(chǎn)量大，常年供不應求.豐都縣某超市為了支持新疆棉花，在“五一節(jié)〃進行促銷活動，將新

疆棉制成的A、B、C三種品牌毛巾混裝成甲、乙、丙三種禮包銷售.其中甲禮包含1條A品牌毛巾、2條8

品牌毛巾：乙禮包含2條A品牌毛巾、2條5品牌毛巾，3條C品牌毛巾；丙禮包含2條A品牌毛巾、4條

。品牌毛巾，每個禮包的售價等于禮包各條毛巾售價之和.5月1日當天，超市對4、3、C三個品牌毛巾

的售價分別打8折、7折、5折銷售，5月2日恢復原價，小明發(fā)現(xiàn)5月1日一個甲禮包的售價等于5月2

日一個乙禮包售價的40%,5月1日一個乙禮包的售價比5月2日一個丙禮包售價少0.8元，若4、B、C三

個品牌的毛巾原價都是正整數(shù)，且△品牌毛巾的原價不超過11元，則小明在5月1日購買一個丙禮包,應

該付元.

專題1L5二元一次方程組十四大必考點

【人教版】

【考點1二元一次方程（組）的概念】.........................................................13

【考點2二元一次方程組的解】................................................................15

【考點3解二元一次方程組】..................................................................17

【題型4同解方程組】........................................................................19

【題型5二元一次方程組的錯解復原問題】.....................................................22

【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】............................................................25

【考點7二元一次方程的整數(shù)解】..............................................................27

【考點8二元一次方程組的特殊解法】.........................................................30

【考點9二元一次方程組的新定義問題】.......................................................33

【考點10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】.....................................................36

【考點11二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】...............................................39

【考點12二元一次方程（組）的應用】.........................................................43

【考點13三元一次方程組的解法】..............................................................47

【考點14三元一次方程組的應用】..............................................................50

力?浮一更三

【考點1二元一次方程（組）的概念】

【例1】（2022?浙江?義烏市稠州中學教育集團七年級階段練習）方程①②孫

=-2,@x2-5x=5,④x-；+2=0中，為二元一次方程的是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【答案】A

【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式

方程進行判斷.

【詳解】解：@2x-3y=l,符合二元一次方程的定義，是二元一次方程；

@xy=-2,含未知數(shù)的項的次數(shù)是2,不是二元一次方程；

③/-5x=5,含未知數(shù)的項的次數(shù)是2,不是二元一次方程；

④x-，2=0不是整式方程，不是二元一次方程；

故選：A.

【點睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2

個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程.

【變式（2022?上海?期末）二列方程組中，二元一次方程組有（）

①僅②匕久二③口二C32：i3-

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應共含有兩個相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次

數(shù)都應是一次的整式方程.

【詳解】解：①、符合二元一次方程組的定義，故①符合題意；

②、第一個方程與第二個方程所含未知數(shù)共有3個，故②不符合題意：

③、符合二元一次方程組的定義，故③符合題意；

④、該方程組中第一個方程是二次方程，故④不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題時需要掌握二元一次方程組滿足三個條件:

①方程組中的兩個方程都是整式方程.②方程組中共含有兩個未知數(shù).③每個方程都是一

次方程.

【變式1-2］（2022?全國?八年級邑元測試）已知（0-2）%+小一3+丫=1是關于％,y的二

元一次方程，則a的值為.

【答案】a工2

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，

像這樣的方程叫做二元一次方程可得Q-2H0,再解即可.

【詳解】解：依題意得：Q—2H0,

解得a*2.

故答案是：aH2.

【點睛】本題考查二元一次方程的定義.熟記二元一次方程的定義是解題的關鍵.

【變式1-3］（2022?浙江?杭州市天關中學七年級期末）關于x,y的二元一次方程ar+by=c

（a,b,。是常數(shù)），加cAl,對于任意一個滿足條件的小此二元一次方程都有一

個公共解，這個公共解為.

【答案】俘工1

【分析】由ar+b尸c,b=a+l,c=b+l,得ar+qy+y=a+2,由對于任意一個滿足條件的a,此二

元一次方程都有一個公共解即可求解：

【詳解】解：0ar+外=c,h=a+l,c=h+lf

回對于任意一個滿足條件的小此二元一次方程都有一個公共解

團令〃=0,則1y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2

得：ax=-a,

團公共解為｛.

【點睛】本題主要考查二元一次方程，由b="l,。%+1得到"+@+戶"2是解題的關鍵.

【考點2二元一次方程組的解】

【例2】（2022?浙江?華東師范大學附屬杭州學校七年級期末）方程蛆的解為

則被遮蓋的兩個數(shù)團和■分別為（）

A.1,2B.5,1C.2,3D.2,4

【答案】B

【分析】將％=2代入x+y=3中求出y的值，將％,y的值代入2x+求值即可得出答案.

【詳解】解：將％=2代入x+y=3中得：y=l,

2x+y=2x2+l=5,

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解是方程組兩個方程的公

共解是解題的關鍵.

【變式2-1］（2022?陜西?商洛市山陽信毅九年制學校七年級階段練習）樂樂，果果兩人同

解方程組｛匕［5怖］翦時，樂樂看錯了方程①中的小解得二:，果果看錯了方程

②中的。，解得戲：,求/021+（_卷）2。22的值

【答案】0

【分析】把｛；;二:代入②得出-12=-b-2可求出b,把::代入①得出5a+20=15

可求出Q,然后再代入求代數(shù)式的值即可.

【詳解】解：?甲、乙兩人同解方程組『：十51二黑時，甲看錯了方程①中的Q,

［4x=by-2（2）

解得二:，乙看錯了方程②中的瓦解得憂:，

???把代入②，得—12=-8一2,解得：8=10,

把，二:代入①，得5a+20=15,解得：。=一1,

Q2021+（_±）2022

=（-1）2。2】+（4嚴2

=-1+1

0.

【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次方程和代數(shù)式求值等知識點，解題

的關鍵是列出關于a、b的一元一次方程求得a、b的值.

【變式2-2］（2022?江蘇?無錫市查橋中學七年級階段練習）若｛：二,2和［J二］：是某二元

一次方程的解，則這個方程為（）

A.x+2y=-3B.2x—y=0C.y=3x—5D.x-3=y

【答案】D

【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義判斷即可.

【詳解】解：A、當％=-1,y=-4時，x+2產(chǎn)-9/-3,

故｛；;二:不是方程戶2尸-3的解，不符合題意；

B、當x=l,y=-2時，2x-y=2+2x-3,

故｛；二,2不是方程2%—y=o的解，不符合題意；

C、當％=-1,y=-4時，y=3x-5=-8￥：-4,

故二;不是方程y=3x-5的解，不符合題意；

D、當Jl2z和C二一：時，方程*—y=3都成立，

故｛；2和｛；;二:是方程、一＞=3的解,故符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值即為

該方程的解，掌握方程的解使方程左右兩邊相等是解題的關鍵.

【變式2-3］（2022?陜西漢中?七年級期末）已知關于％、V的方程組:31a二，則下

列結(jié)論中正確的有（）

①當。=1時，方程組的解也是方程x+y=2的解；

②當工=y時，Q=-1；

③不論a取什么數(shù)，2%+y的值始終不變.

A.。個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】將已知代入二元一次方程組后進行判斷，可知①②是否正確；用代入消元法解二

元一次方程組，然后再求2%+y即可判斷③是否正確.

【詳解】解：當a=l時，x4-y=0,

故①不符合題意；

當％=y時，3Q+5=0,

故②符合題意；

(x+y=l-a①

(X—y=3a+5②'

①+②得，x=a+3,

將x=a+3代入①得，y=-2—2a?

???2%+y=2Q+6—2—2a=4,

???2x+y的值始終不變，

故③符合題意；

故選：C

【點睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的

關系，會用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵.

【考點3解二元一次方程組】

【例3】(2022?浙江?杭州市實驗外國語學校七年級期末)關于無，V方程組

(ZX十3y—771

滿足，y的和為2,則加2一2租+1的值為.

【答案】9

【分析】先求出方程組的解，然后結(jié)合％+y=2,求出機的值，再代入計算，即可求出答

案.

【詳解】解:啜雷7勺2,

解方程組,喉黑:,

0%+y=2,

02m—6—m+4=2,

解得m=4,

0m2-2m4-1=(m—l)2=(4—I)2=9：

故答案為：9

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，方程組的解，求代數(shù)式的值，解題的關鍵是正確的

求出方程組的解，從而求出機的值.

【變式3-1](2022?福建省永春烏石中學七年級階段練習)已知方程組的解也

是方程組成-？=S的解求°力的值.

(4%—5y=—6

【答案】a=5,b=-1

【分析】根據(jù)題意可知兩個方程組有相同的解，即說明第一個方程組的解也適合第二個方程

組，再根據(jù)二元一次方程組解的定義，即可求出答案.

【詳解】3%+y=5①4x-5y=-60,①x(-5)一②得，-19%=-19,解得％=1,

把％=1代入①得，3+y=5,解得y=2,

所以方程組[4；：&七+6的解是I：!，

端二代入方程組右沈；，得十二工，解得H

故答案為：a=5,b=-1.

【點睛】本題考查了二元一次方程組解的定義及二元一次方程組的解法，解答此題的關鍵是

要弄清題意，兩個方程組有相同的解，即說明第一個方程組的解也適合第二個方程組.

【變式3-2](2022?山東?聊城市東昌府區(qū)水城雙語學校七年級階段練習)解方程組

(3(4+y)—4(4-y)=4

⑵|上+口=i

I26

【答案】⑴二2

【分析】(1)用代入法求解即可；

(2)先化簡方程，再用加減法求解即可.

(1)

解#=2%-々，

(3x+y=1(2)

把①代入②得：3x+2x-4=L

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-2,

則方程組的解為Y二二2:

(2)

+7=4

解：方程組整理得：hy?t

{2x+y=3?

①x2+②得：

解得：產(chǎn)遂

②x7-①得：15x=17,

解得:x==，

x=-

則方程組的解為{*.

y=-

V15

【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握根據(jù)方程組的特征，恰當選擇代入消元法和

加減消元法求解是解題的關鍵.

【變式3-3](2022?江蘇泰州?七巨級期末)在等式曠=加+云+1中，當x=-1時，y=6；

當x=2時，y=ll.

(1)求小b的值；

(2)當x=-3時，求y的值.

【答案】(1)a號,從春(2)36

【分析】(1)把小y的值分別代入產(chǎn)加+法+1,得出關于小匕的方程組，再求出方程組

的解即可；

(2)把x=-3代入(1)中所求的結(jié)果，即可求出y.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，得L

4Q+2b+1=11(2)

①x2+②，得6a+3=23,

解得：。=辛，

把所學代入①，得攀加1=6,

解得:b哼

(2)y=yX2-1x+1,

當4-3時，y=與x(-3/一?X(-3)+1=36.

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能得出關于。、b的方程組是解此題的關鍵.

【題型4同解方程組】

[例4](2022?山東濟寧?七年級期末)已知方程組落;;二;和方程組卷"二g有相同

的解，則Q,b的值分別為()

(a=1(a=4-(a=—6fa=14

AA.,_DB.J,C.),_