題型一 規(guī)律探索 2025年中考數(shù)學(xué)重難題型分類練

題型一規(guī)律探索類型一數(shù)式規(guī)律1.(2024日照)在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了一個數(shù)字構(gòu)造游戲：對于給定的一列有序數(shù)字，在每相鄰兩個數(shù)之間插入這兩數(shù)的和，形成新的一列有序數(shù)字.現(xiàn)有一列數(shù)：2，4，進(jìn)行第1次構(gòu)造，得到新的一列數(shù):2,6,4,第2次構(gòu)造后,得到一列數(shù):2,8,6,10,4,…,第n次構(gòu)造后得到一列數(shù):2,x?,x?,x?,…,x?,4,記anA.a5=84B.a2.(2024江西)觀察a,a2,a3.(2024眉山)已知a1=x+1(x≠0且x≠?1),a2=11?4.(2024山東省卷)任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)(x，y)中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中x，y均為正整數(shù).例如，點(diǎn)(6，3)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)(3，10)，經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)(10，5)，以此類推.則點(diǎn)(1，4)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn).5.(2023嘉興)觀察下面的等式：32?(1)寫出19(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論(用含n的等式表示，n為正整數(shù))；(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.類型二圖形規(guī)律考向1累加型6.(2024重慶B卷)用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，……，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是()A.20B.21C.23D.267.(2024牡丹江)如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形，第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形，?，按照此規(guī)律排列下去.第674個圖中三角形的個數(shù)是()A.2022B.2023C.2024D.20258.(2024青海省卷)如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第(7)個圖案中有個火柴棒.9.(2024泰安)如圖所示，是用圖形“?！焙汀?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“o”個數(shù)是圖形“·”個數(shù)的3倍.10.(2024遂寧)在等邊△ABC三邊上分別取點(diǎn)D,E,F,使得AD=BE=CF,連接三點(diǎn)得到△DEF,易得△ADF≌△BED≌△CFE,設(shè)S△ABC=1,則如圖①，當(dāng)ADAB=1如圖②，當(dāng)ADAB=1如圖③，當(dāng)ADAB=1…直接寫出，當(dāng)ADAB=111.(2024涼山州)閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：下圖是一個三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)，……，第n行有n個點(diǎn)，…容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10.(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為，那么，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為；(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和(填“能”或“不能”)為500;(3)運(yùn)用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排?12.(2023安徽)【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：(1)第n個圖案中“◎”的個數(shù)為；(2)第1個圖案中“*”的個數(shù)可表示為1×22,第2個圖案中“*”的個數(shù)可表示為2×32,第3個圖案中“*”的個數(shù)可表示為3×42,【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“*”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3++n等于第n個圖案中“◎”的個數(shù)的2倍.考向2成倍遞變型13.(2023煙臺)如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形.PA1A2A3,正方形PA4A5A6,?,按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形A.(31,34)B.C.(32,35)D.(32,0)14.(2024齊齊哈爾)如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)C在第一象限，∠OBC=120°.將△OBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為0',點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C',OC與O'C'的交點(diǎn)為A1,15.(2024達(dá)州)如圖,在△ABC中，AE1,BE1分別是內(nèi)角∠CAB、外角∠CBD的三等分線，且∠E1AD=13∠CAB,∠E1BD=13∠CBD,在△ABE1考向3周期變化型16.(2022玉林)如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A處.兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點(diǎn)，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是()A.4B.2317.(2024綏化)如圖,已知A11?3,A23?18.(2023懷化)在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°,同時邊長擴(kuò)大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1;第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°,，同時邊長擴(kuò)大為△19.(2024龍東地區(qū))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是(1，0)，△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊(方向?yàn)镺→M→N→P→O→M→?)做無滑動滾動,第一次滾動后,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為A1,A1的坐標(biāo)是(2，0)；第二次滾動后，A1的對應(yīng)點(diǎn)記為A2,A2的坐標(biāo)是(2，0)；第三次滾動后，A2的對應(yīng)點(diǎn)記為類型三與函數(shù)圖象結(jié)合20.(2024武漢)如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y=x3?3x2÷3x-1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對稱若點(diǎn)A10.1A.-1B.-0.729C.0D.1(2024廣安)己知,直線l:y=33x?33與x軸相交于點(diǎn)A1,以O(shè)A?為邊作等邊三角形(OA1B1,點(diǎn)B1在第一象限內(nèi)，過點(diǎn).B1作x軸的平衡線與直線l交于點(diǎn).A2,與y軸交于點(diǎn)C1,以C?A?為邊作等邊三角形C1A題型一規(guī)律探索1.D【解析】第1次構(gòu)造得a1=2+6+4=12,k=1=21?1，第2次構(gòu)造得a2=2+8+6+10+4=30=a1+18=a1+6×31,k=3=22?1,第3次構(gòu)造得a3=2+10+8+14+6+16+10+14+4=84=a2+54=a2+6×32,k=7=23?1故A選項(xiàng)正確；第n次構(gòu)造為an=an?1+6×3n?1,2.a1??【解析】根據(jù)題意可得，第n個式子為a",∴第100個式子為a1??.3.?1x【解析】∵a1=x+1,∴a24.(2,1)【解析】根據(jù)題意,得點(diǎn)(1,4)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)(4，2)，經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)(2，1)，經(jīng)過第3次運(yùn)算得到點(diǎn)(1，4)，經(jīng)過第4次運(yùn)算得到點(diǎn)(4，2)，…，觀察可知，經(jīng)過第4次運(yùn)算得到的點(diǎn)與經(jīng)過第1次運(yùn)算得到的點(diǎn)相同,∵2024÷3=674……2,∴點(diǎn)(1，4)經(jīng)過2024次運(yùn)算得到的點(diǎn)與經(jīng)過第2次運(yùn)算得到的點(diǎn)相同，∴點(diǎn)(1，4)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)(2,1).類題通法對于循環(huán)型的數(shù)字規(guī)律探索題：1.先找出循環(huán)周期n；2.用N(設(shè)問中給出的第N次變化)除以n，當(dāng)商b余m(0≤m<n)時，第N次變化對應(yīng)的數(shù)即為一個循環(huán)變化中第m次變化后所對應(yīng)的數(shù).5.解:(12【解法提示】∵32?12=2×1+12?(3)∵左邊:==(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,∴左邊=右邊，∴這個結(jié)論是正確的.6.C【解析】由題圖可知,第①個圖案中有3×1-1=2個菱形，第②個圖案中有3×2-1=5個菱形，第③個圖案中有3×3-1=8個菱形,第④個圖案中有3×4-1=11個菱形，…，由此規(guī)律可知，第?個圖案中有(3n-1)個菱形，∴第⑧個圖案中菱形的個數(shù)為3×8-1=23.7.B【解析】第1個圖有4個三角形,即4=3×1+1;第2個圖有7個三角形，即7=3×2+1；第3個圖有10個三角形,即10=3×3+1,…,按此規(guī)律,第n個圖有(3n+1)個三角形，則第674個圖中三角形的個數(shù)為3×674+1=2023.8.15【解析】第(1)個圖案有2×1+1=3個火柴棒;第(2)個圖案有2×2+1=5個火柴棒;第(3)個圖案有2×3+1=7個火柴棒,…,∴第(n)個圖案有(2n+1)個火柴棒,∴第(7)個圖案有2×7+1=15個火柴棒.9.12【解析】由題圖得,圖(1)○有1個,●有1+2+1=4個;圖(2)○有1+2=3個,●有2+2+2=6個;圖(3)○有1+2+3=6個,●有3+2+3=8個;圖(4)○有1+2+3+4=10個,●有4+2+4=10個,因此第(n)個圖中,○有1+2+3++n=nn+12個,●有1n+2+n=(2n+2)個,∴當(dāng)○個數(shù)是●個數(shù)的3倍時，10.73100(或0.73)【解析】根據(jù)題意可得，當(dāng)ADS△DEF=1?3×n?1n2=n211.解:((1)36,120,n(2)不能;【解法提示nn+12=500,7為正整數(shù)，當(dāng)n=31時，nn+1(3)擺放n排需要花數(shù)為2+4+6++2n=2+2n答：一共能擺放20排.12.解:(1)3n;2(3)由題意可列方程：n解得n=0(舍去)或n=11,∴正整數(shù)n的值為11.類題通法對于圖形個數(shù)變化規(guī)律探索題，解決的一般步驟為：1.標(biāo)序號:記每個(組)圖形的序數(shù)為“1,2,3,…,n”;2.數(shù)圖形個數(shù)：對應(yīng)的圖形個數(shù)用a?,a?,a?,…,an表示；3.觀察:a?,a?,a?,…,an與序數(shù)n之間的關(guān)系:①圖形個數(shù)與圖序數(shù)是倍數(shù)或平方關(guān)系；②圖形個數(shù)與圖序數(shù)關(guān)系不明確時，按照以下步驟找尋關(guān)系：步驟一：列表表示an步驟二：將所列等式左右相加，得到a2?a步驟三：表示an；4.驗(yàn)證：代入序號檢驗(yàn)所得式子是否正確.13.A【解析】∵100=33×3+1,∴A???位于射線PA??上的第34個點(diǎn)，觀察規(guī)律可知，射線PA??上第1個點(diǎn)的坐標(biāo)為A?(-2,1),第2個點(diǎn)的坐標(biāo)為A?(-1,2),第3個點(diǎn)的坐標(biāo)為A?(0,3),…,∴射線PA??上第n個點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律為(n-3,n),故A???的坐標(biāo)為(34-3,34),即(31,34).14.1349+674333【解析】如解圖，連接A?B，記O'B與OC交于點(diǎn)D，點(diǎn)O'滾動后的對應(yīng)點(diǎn)為E.由題意得∠BOC=∠BCO=30°,∠BO'C'=∠BC'O'=30°,∠OBO'=60°,OB=BC=O'B=B15.13nm【解析】∵∠E1AD=13∠CAB,∠E16.B【解析】根據(jù)兩枚跳棋跳動規(guī)則可知，紅跳棋每過6秒鐘跳動回頂點(diǎn)A，黑跳棋每過18秒鐘跳動回頂點(diǎn)A,∵2022÷6=337,∴經(jīng)過2022秒后,紅跳棋在頂點(diǎn)A處;∵2022÷18=112……6,6÷3=2,∴經(jīng)過2022秒鐘后，黑跳棋在頂點(diǎn)E處.如解圖，連接AE，過點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G,∵六邊形ABCDEF是邊長為2的正六邊形,∴∠AFE=120°,FE=AF=2,∴∠FAE=30°,∴AG=EG=AF?cos317.(2891,-3)【解析】∵A11?3,A23?3,A?(4,0),A?(6,0),A?(7,3),A?(9,18.22023,22022?220223【解析】由題意可知：每次繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后的圖形邊長都會擴(kuò)大為上一個的2倍,△AOB的邊長為1,△A?OB?的邊長為1×2,△A?OB?的邊長為2×2,△A?OB?的邊長為2×2×2,…，以此類推，△A2023OB2023的邊長為22?23;△AOB中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),△A?OB?中,點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(1,-3),△A?OB?中,點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(-2,-23),△A?OB?中,點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(-8,0),△A?OB?中,點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(-8,83),△A?OB?中,點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(16,163),△A?OB?中,點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(64，0)，由此得出，一圈旋轉(zhuǎn)六次，六次為一個周期，由于19.(1,3)【解析】∵正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),∴OM=MN=NP=OP=3,∵△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐