高中數(shù)學(xué)第二章幾個重要的不等式2.2排序不等式

第二章幾個主要不等式§2排序不等式1/29學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1.了解排序不等式基本形式．2．會利用排序不等式處理一些簡單問題．3．體會利用經(jīng)典不等式普通思想方法.1.重點是利用排序不等式處理問題．2．難點是依據(jù)題意明確兩個數(shù)組大小次序.2/293/29閱讀教材P32～P34“排序不等式”相關(guān)內(nèi)容，完成以下問題：1．定理1設(shè)a，b和c，d都是實數(shù)，假如a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥__________，此式當(dāng)且僅當(dāng)______________時取等號．2．次序和、亂序和、逆序和概念．設(shè)實數(shù)a1，a2，a3，b1，b2，b3滿足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，j1，j2，j3是1,2,3任一排列方式，通常稱__________________為次序和，__________________為亂序和，a1b3＋a2b2＋a3b1為逆序和(倒序和)．a(chǎn)d＋bc

a＝b(或c＝d)a1b1＋a2b2＋a3b3

a1bj1＋a2bj2＋a3bj3

4/293．定理2(排序不等式)設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，則(次序和)______________________≥(亂序和)_________________________≥(逆序和)___________________________.其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n任一排列方式．上式當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)時取等號．a(chǎn)1b1＋a2b2＋…＋anbn

a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn

a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1

5/29已知兩組數(shù)1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30一個排列，則c1＋2c2＋3c3最大值是________，最小值是________.解析：對應(yīng)關(guān)系和備注(1,2,3)(25,30,45)S1＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝220(最大值)次序和(1,2,3)(25,45,30)S2＝a1b1＋a2b3＋a3b2＝205亂序和6/29答案：220180對應(yīng)關(guān)系和備注(1,2,3)(30,25,45)S3＝a1b2＋a2b1＋a3b3＝215亂序和(1,2,3)(30,45,25)S4＝a1b2＋a2b3＋a3b1＝195亂序和(1,2,3)(45,25,30)S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2＝185亂序和(1,2,3)(45,30,25)S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1＝180(最小值)逆序和7/29如圖所表示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，則陰影部分矩形面積之和________空白部分矩形面積之和．解析：由圖可知陰影面積＝a1b1＋a2b2，空白面積＝a1b2＋a2b1.依據(jù)次序和≥逆序和，可知答案．答案：≥8/299/29利用排序不等式證實不等式

10/2911/2912/2913/29【點評】(1)利用排序不等式證實所證不等式中所給字母大小次序已確定情況，關(guān)鍵是依據(jù)所給字母大小次序結(jié)構(gòu)出不等式中所需要帶大小次序兩個數(shù)組．(2)在利用排序不等式證實所證不等式中所給字母沒有限定大小次序時，要使用排序不等式，先要依據(jù)所給字母在不等式中地位對稱性，限定一個大小關(guān)系，方可應(yīng)用排序不等式求證．14/2915/2916/29利用排序不等式求最值

17/2918/2919/29【點評】利用排序不等式求最值時，先要對待證不等式及已知條件仔細分析，觀察不等式結(jié)構(gòu)，明確兩個數(shù)組大小次序，分清次序和、亂序和及逆序和，因為亂序和是不確定，依據(jù)需要寫出其中一個即可．普通最值是次序和或逆序和．20/2921/2922/29

(1)有A，B，C，D四個人同時去銀行同一窗口排隊辦理業(yè)務(wù)，辦理業(yè)務(wù)所需時間依次是A需2min，B需5min，C需4min，D需10min，則四人全部辦理完業(yè)務(wù)總耗時最長為________min，最短為________min.(2)若某網(wǎng)吧3臺電腦同時出現(xiàn)了故障，對其維修分別需要45min,25min和30min，每臺電腦耽擱1min，網(wǎng)吧就會損失0.05元．在只能逐臺維修條件下，按照什么樣次序維修才能使經(jīng)濟損失降到最小？利用排序不等式求解簡單實際問題

23/29(1)解析：由排序不等式，知總耗時最長為4×10＋3×5＋2×4＋1×2＝65(min)，總耗時最短為4×2＋3×4＋2×5＋1×10＝40(min)．答案：6540(2)解：設(shè)t1，t2，t3為25,30,45任一排列．由排序不等式，知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180.所以按照維修時間由小到大次序維修，可使經(jīng)濟損失降到最小．24/29【點評】利用排序不等式處理實際生活中最優(yōu)化問題，關(guān)鍵是從實際問題中抽象出兩個數(shù)組，并依據(jù)需要得到這兩個數(shù)組次序和、亂序和及逆序和，從而用排序不等式完成解答．25/293．有十個人各拿一只水桶到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i桶需要timin(i＝1,2，…，10)．若這些ti各不相同，有兩個水龍頭可用時，應(yīng)怎樣安排這十個人次序，使他們總花費時間(包含等候時間)最少？解：不妨設(shè)t1<t2<t3<…<t10，現(xiàn)有兩個水龍頭，只要安排t1，t3，…，t9在一個水龍頭，t2，t4，…，t10在另一個水龍頭打水．ti越小排得越靠前，則總時間t＝5t1＋5t2＋4t3＋4t4＋3t5＋3t6＋2t7＋2t8＋t9＋t10.這是一個逆序和，故數(shù)值最?。?6/291．在解答數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常包括一些能夠比較大小量，它們之間并沒有預(yù)先要求大小次序，在解答問題時，我們能夠利用排序不等式思想方法，將它們按一定次序排列起來，繼而利用不等關(guān)系來解題．所以，對于排序不等式，我們要記住是處理問題這種思想及方法，同時，要學(xué)會善于利用這種比較經(jīng)典結(jié)論來處理實際問題．27/292．使用排序不等式，必須出現(xiàn)有大小次序兩列數(shù)(或