333函數(shù)的最大小值和導(dǎo)數(shù)

yxOx1x2aby=f(x)在極大值點(diǎn)附近在極小值點(diǎn)附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0左正右負(fù)為極大值左負(fù)右正為極小值舊知回顧極值的判定左右同號無極值求函數(shù)f(x)極值的步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)f

’(x)；(3)求方程f

’(x）=0的根；

(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f

’(x)在方程根左右的符號——如果左正右負(fù)（+~-），那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正（-~+），那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；(1)確定函數(shù)的定義域；f

(x0)

=0

x0

是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)

x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號

x0

是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)

f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件結(jié)論在社會(huì)生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最大等問題，這些問題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)的最大值和最小值問題

函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？它們與函數(shù)極值關(guān)系如何？新課引入極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小。知識回顧

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

1．最大值:

（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值

2．最小值:一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮

，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值

xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值并且在端點(diǎn)或極值點(diǎn)取得。所有極值連同端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的為最大值，最小的為最小值探究一（閉區(qū)間上的最值問題）x3xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)結(jié)論：在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值.探究二（開區(qū)間上的最值問題）如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。例如函數(shù)y=f(x)圖象如下：解:當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:例1、求函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值與最小值。令,解得又由于

（舍去）－＋↗↘極小值函數(shù)在區(qū)間上最大值為,最小值為

類型一：求函數(shù)的最值求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：①:求y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);

②:將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)作比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.總結(jié)練習(xí)1、求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間[1，5]內(nèi)的最大值和最小值。解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5/0/-+3112故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]內(nèi)的最大值為11，最小值為2．練習(xí)2、求函數(shù)f(x)=lnx-x在區(qū)間(0，e]的最值。

3、求函數(shù)在[-1，2]上的最大值與最小值.因此函數(shù)在[-1，2]上的最大值為10，最小值為-2.f(x)在[-1，2]上是增函數(shù).例2:若函數(shù)的最大值為3,最小值為-29,求a,b的值.解:令得x=0或x=4（舍去）.當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f’(x)+0

-f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值b,故b=3.又f(-1)-f(2)=9a>0,所以f(x)的最小值為f(2)=-16a+3=-29,故a=2.類型二：由函數(shù)的最值求參數(shù)的值已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值。變式：（練習(xí)冊P63例2）[解析]

顯然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)當(dāng)a>0時(shí)，x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)

b

所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最小值，即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.(2)當(dāng)a<0時(shí)，x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表：所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，f(2)>f(－1)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，所以a＝－2.綜上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)

b

類型三：利用最值解決恒成立問題變式：（練習(xí)冊P64例3）類型四：證明不等式證明：一.是利用函數(shù)性質(zhì)二.是利用不等式三.是利用導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)最值的一般方法小結(jié)：作業(yè)：1、P996（1）（4）練習(xí)冊：P64基礎(chǔ)1,6,72、練習(xí)冊：P64基礎(chǔ)4，P65能力74