高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第04講 事件的相互獨(dú)立性（解析版）

第04講10.2事件的相互獨(dú)立性

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。

②能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計(jì)1.數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；

算。2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：與事件獨(dú)立有關(guān)的概念的計(jì)算；

③通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

知識(shí)點(diǎn)01：相互獨(dú)立事件的概念

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立(mutually

independent)，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．

性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨(dú)立

性質(zhì)2：如果事件A與B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立

則：PABPAPB，PABPAPB，PABPAPB

【即學(xué)即練1】

知識(shí)點(diǎn)02：相互獨(dú)立事件概率的求法

已知兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，它們的概率分別為P(A)，P(B)，則有

事件表示概率

A，B同時(shí)發(fā)生ABP(AB)P(A)P(B)

A，B都不發(fā)生ABP(AB)P(A)P(B)[1P(A)][1P(B)]

A，B恰有一個(gè)發(fā)

ABABP(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)

生

A，B中至少有一P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB)

ABABAB

個(gè)發(fā)生或P(ABABAB)1P(AB)

A，B中至多有一P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB)

ABABAB

個(gè)發(fā)生或P(ABABAB)1P(AB)

知識(shí)點(diǎn)03：互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別與聯(lián)系

相互獨(dú)立事件互斥事件

兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，

判斷方法一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響

即AB

事件A與B互斥，

概率公式事件A與B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)P(A)P(B)

則P(AB)P(A)P(B)

題型01相互獨(dú)立事件的判斷

【典例1】（2024上·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期末）設(shè)A、B是兩個(gè)事件，以下說(shuō)法正確

的是（）．

A．若PAPB1，則事件A與事件B對(duì)立

B．若PAPB1，則事件A與事件B互斥

C．若PABPAPB，則事件A與事件B互斥且不對(duì)立

D．若PABPAPB，則事件A與事件B相互獨(dú)立

【答案】D

【詳解】對(duì)于A和B，例如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，

記事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B為“出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)”，

則PA0.5，PB0.5，PAPB1，

但事件A，B既不互斥也不對(duì)立，故A和B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，在不同的試驗(yàn)下，即使PABPAPB，也不能說(shuō)明事件A與事件B一定互斥，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義可知，若PABPAPB，

則事件A與事件B相互獨(dú)立，故D正確；

故選：D

【典例2】（多選）（2024上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其

中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1，2；紅球有兩個(gè)，編號(hào)為3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“取出

的兩球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出

的兩球同色”，則（）

A．A與D相互獨(dú)立.B．A與B相互獨(dú)立

C．B與D相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立

【答案】BCD

【詳解】不放回依次取出兩個(gè)，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，

共12種，

事件A“13,14,23,24,31,41,32,42”；

事件B“12,13,14,21,23,24”；

事件C“12,21,31,41,32,42”；

事件D=“12,21,34,43”.

事件AD，事件AB“13,14,23,24”，

事件BD“12,21,”，事件AC“31,41,32,42”，

82616141

則PA,PB，PC，PD，

123122122123

412141

PAD0，PAB，PBD，PAC，

123126123

所以PADPAPD，所以A與D不相互獨(dú)立；

PABPAPB，所以A與B相互獨(dú)立；

PBDPBPD，所以B與D相互獨(dú)立；

PACPAPC，所以A與C相互獨(dú)立；

故選：BCD

【典例3】（多選）（2024上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）有5個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5，

從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記事件A為“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件B為“兩次取出

的球的數(shù)字相同”，事件C為“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（）

A．A與B相互獨(dú)立B．A與C相互獨(dú)立

C．B與C相互獨(dú)立D．AB與C相互獨(dú)立

【答案】ABC

351

【詳解】由題意可知，PA，PB，

5555

記第一次取出的球的數(shù)字為a，第二次取出的球的數(shù)字為b，其中a、b1,2,3,4,5，

用a,b表示兩次取球的號(hào)碼，

51

則事件C包含的基本事件有：1,5、2,4、3,3、4,2、5,1，則PC，

555

33

事件AB包含的基本事件有：1,1、3,3、5,5，則PAB，

5525

33

事件AC包含的基本事件有：1,5、3,3、5,1，則PAC，

5525

11

事件BC包含的基本事件有：3,3，則PBC，

5525

11

事件ABC包含的基本事件有：3,3，則PABC，

5525

313

對(duì)于A選項(xiàng)，PAPBPAB，則A與B相互獨(dú)立，A對(duì)；

5525

313

對(duì)于B選項(xiàng)，PAPCPAC，所以，A與C相互獨(dú)立，B對(duì)；

5525

111

對(duì)于C選項(xiàng)，PBPCPBC，所以，B與C相互獨(dú)立，C對(duì)；

5525

313

對(duì)于D選項(xiàng)，PABPCPABC，所以，AB與C不相互獨(dú)立，D錯(cuò).

255125

故選：ABC.

【變式1】（多選）（2024上·遼寧大連·高一期末）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從

中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取

出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，

則（）

A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立

C．乙與丙不相互獨(dú)立D．丙與丁不相互獨(dú)立

【答案】BCD

【詳解】?jī)纱稳〕龅那虻臄?shù)字之和為8，有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5種情況，

55

所以P丙；兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6種情況，

6636

611

所以P?。籔甲P乙=；

6666

對(duì)于A，P(甲丙)0P(甲)P(丙)，故甲與丙不相互獨(dú)立，錯(cuò)誤；

1

對(duì)于B，P(甲丁)P(甲)P(丁)，故甲與丁相互獨(dú)立，正確；

36

1

對(duì)于C，P(乙丙)P(乙)P(丙)，故乙與丙不相互獨(dú)立，正確；

36

對(duì)于D，P(丙丁)0P(丁)P(丙)，故丙與丁不相互獨(dú)立，正確.

故選：BCD.

【變式2】（多選）（2024上·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）某人連續(xù)擲兩次骰子，A1表示事件“第一次擲出的

點(diǎn)數(shù)是2”，A2表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是3”．A3表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5”，A4表示事件“兩

次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為9”．則（）

A．A1與A2相互獨(dú)立B．A1與A3相互獨(dú)立

C．A2與A3不相互獨(dú)立D．A2與A4不相互獨(dú)立

【答案】ACD

11

【詳解】由題意知PA，PA，

1626

111111111

PA，

3666666669

111111111

PA．

4666666669

111

對(duì)A：∵PAAPAPA，∴A與A相互獨(dú)立，故A正確．

1266361212

111

對(duì)B：∵PAAPAPA，∴A1與A3不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤．

13663613

111

對(duì)C：∵PAAPAPA，∴A2與A3不相互獨(dú)立，故C正確．

23663623

111

對(duì)D：∵PAAPAPA，∴A2與A4不相互獨(dú)立，故D正確．

24663624

故選：ACD.

【變式3】（2024上·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W(xué)校考期末）已知事件A與事件B相互獨(dú)立，且PA0.3，

PB0.6，則PAB.

9

【答案】0.18/

50

【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，

所以PABPAPB0.30.60.18，即PAB0.18.

故答案為：0.18.

題型02相互獨(dú)立事件與互斥事件

2573

【典例1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知PAB，PA，PB，則事件A與B的關(guān)

3284

系是（）

A．A與B互斥不對(duì)立B．A與B對(duì)立

C．A與B相互獨(dú)立D．A與B既互斥又獨(dú)立

【答案】C

771

【詳解】由PA可得PA1PA1，

888

7

因?yàn)镻APBPAB，則A與B不互斥，不對(duì)立，

8

3

由PABPAPBPAB可得PAB，

32

3

因?yàn)镻APBPAB，所以A與B相互獨(dú)立

32

故選：C

【典例2】（2023上·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）給定事件A,B,C，且PC0，則下列結(jié)論：①若PA0，

PB0且A,B互斥，則A,B不可能相互獨(dú)立；②若PACPBC1，則A,B互為對(duì)立事件；③若

PABCPAPBPC，則A,B,C兩兩獨(dú)立；④若PABPAPAPB，則A,B相互獨(dú)立.其中

正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【詳解】對(duì)于①，若A,B互斥，則PAB0，又PAPB0，

PABPAPB，A,B不相互獨(dú)立，①正確；

PACPBC

對(duì)于②，PACPBC1，PACPBCPC；

PCPC

扔一枚骰子，記事件A為“點(diǎn)數(shù)大于兩點(diǎn)”；事件B為“點(diǎn)數(shù)大于五點(diǎn)”；事件C為“點(diǎn)數(shù)大于一點(diǎn)”，

4215

則PACPA，PBCPB，PC，

6366

滿足PACPBCPC，但A,B不是對(duì)立事件，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，扔一枚骰子，記事件A為“點(diǎn)數(shù)大于兩點(diǎn)”；事件B為“點(diǎn)數(shù)大于五點(diǎn)”；事件C為“點(diǎn)數(shù)大于六點(diǎn)”，

4211

則PA，PB，PC0，PABC0，PABPB，

6366

滿足PABCPAPBPC，此時(shí)PABPAPB，

事件A,B不相互獨(dú)立，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，AABAB，事件AB與AB互斥，PAPABPAB，

又PABPAPAPB，PAPABPAPAPB，

即PABPAPB，事件A,B相互獨(dú)立，④正確.

故選：B.

【典例3】（多選）（2023下·高一單元測(cè)試）下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）

A．若事件A，B相互獨(dú)立，則滿足PABPAP(B)

B．若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則P(ABC)P(A)P(B)P(C)

C．若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)P(B)P(C)1

D．若事件A，B滿足PAPB1，則A，B是對(duì)立事件

【答案】BCD

【詳解】若事件A，B相互獨(dú)立，則滿足PABPAP(B)，A說(shuō)法正確；

舉例說(shuō)明：投擲兩個(gè)骰子，記事件A：第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件B：第二個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件C：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，

11

于是有PAPBPC，PABPBCPAC，

24

PABC0，可以看出事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但A，B，C不互相獨(dú)立，所以P(ABC)P(A)P(B)P(C)，

B說(shuō)法錯(cuò)誤；

舉例說(shuō)明：投擲一個(gè)骰子三次，記事件A：第一次骰子的點(diǎn)數(shù)為1，

事件B：第二次骰子點(diǎn)數(shù)為2，

事件C：第三次骰子點(diǎn)數(shù)為3，

1

則P(A)P(B)P(C)

6

事件A，B，C被此互斥，則P(A)P(B)P(C)1，C說(shuō)法錯(cuò)誤；

舉例說(shuō)明：記事件A：投擲一個(gè)骰子，骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件B：投擲一枚硬幣，正面朝上，

1

則PAPB，滿足PAPB1，但A，B不是對(duì)立事件，

2

D說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：BCD

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A，“第二枚

為正面”記為事件B，“兩枚結(jié)果相同”記為事件C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（）

A．A與B，A與C均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥

C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立

【答案】A

111

【詳解】由題意得P(A)P(B)P(C)，PAB,P(AC)，

244

所以PABPAPB0,PACPAPC0.

所以A與B，A與C均相互獨(dú)立，A與B，A與C均不互斥.

故選：A.

121

【變式2】（2023上·高二單元測(cè)試）若P(AB)，P(A)，P(B)，則事件A與B的關(guān)系是（）

933

A．事件A與B互斥B．事件A與B對(duì)立

C．事件A與B相互獨(dú)立D．事件A與B既互斥又相互獨(dú)立

【答案】C

12121

【詳解】由P(AB)，P(A)，P(B)，可得P(A)1P(A)1，

93333

1

所以P(AB)P(A)P(B)0，

9

所以事件A與B相互獨(dú)立、事件A與B不互斥，則事件A與B不對(duì)立．

故選：C

【變式3】（2023下·高一單元測(cè)試）甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼

的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.

（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；

（2）求恰有一人破譯密碼的概率.

【答案】（1）0.42；（2）0.46.

【詳解】（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，事件A，B相互獨(dú)立，

由題意可知PA0.7,PB0.6，

所以P(AB)PAPB0.70.60.42；

（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為ABAB，且AB,AB互斥

所以PABABPABPABPAPBPAPB

10.70.60.710.60.46.

題型03獨(dú)立事件的乘法公式

【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某場(chǎng)比賽甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)學(xué)

21

生安全知識(shí)的問(wèn)題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是.乙、

315

3

丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是，各家庭是否回答正確互不影響，則甲、乙、丙三個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家

5

庭回答正確這道題的概率為.

13

【答案】

30

【詳解】甲、乙、丙三個(gè)家庭回答正確的概率分別記為P1,P2,P3，

2214433

由題意P，(1)(1P)，P，PPP，P，

133315352325524

所以甲、乙、丙三個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭回答正確這道題的概率是

2342342341313

PPP(1P)P(1P)P(1P)PP(1)(1)(1)故答案為：．

1231231233453453453030

【典例2】（2024上·江西上饒·高一?？茧A段練習(xí)）某場(chǎng)比賽甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)學(xué)生安

21

全知識(shí)的問(wèn)題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是.乙、丙兩個(gè)

315

3

家庭都回答正確的概率是，各家庭是否回答正確互不影響，

5

(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；

(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.

34

【答案】(1)，

45

5

(2)

6

【詳解】（1）記“甲家庭回答正確這道題”為事件A，“乙家庭回答正確這道題”為事件B，

“丙家庭回答正確這道題”為事件C，

213

則P(A)，P(A)P(C)，P(B)P(C)，

3155

13

即[1P(A)][1P(C)]，P(B)P(C)，

155

34

所以P(B)，P(C)，

45

34

所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為，；

45

2342

（2）有3個(gè)家庭回答正確的概率為PP(ABC)P(A)P(B)P(C)，

33455

有2個(gè)家庭回答正確的概率為：

PP(ABCABCABC)，

234534534530

1325

所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率PPP.

233056

【典例3】（2023下·全國(guó)·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立地參加某高校的入學(xué)面試，入學(xué)面試

時(shí)共有3道題目，答對(duì)2道題則通過(guò)面試（前2道題都答對(duì)或都答錯(cuò)，第3道題均不需要回答）.已知甲答

3

對(duì)每道題目的概率均為，乙答對(duì)每道題目的概率依次為2，2，1，且甲、乙兩人對(duì)每道題能否答對(duì)相互

5332

獨(dú)立.

(1)求乙3道題都回答且通過(guò)面試的概率；

(2)求甲沒(méi)有通過(guò)面試的概率；

(3)求甲、乙兩人恰有一人通過(guò)面試的概率.

2

【答案】(1)

9

44

(2)

125

169

(3).

375

【詳解】（1）由題意得，乙3道題都回答且通過(guò)面試的概率為

2111212

P.

3323329

（2）設(shè)事件A表示“甲最終通過(guò)面試”，

3332323381

則PA，

55555555125

8144

∴甲沒(méi)有通過(guò)面試的概率為1PA1，

125125

（3）設(shè)事件B表示“乙最終通過(guò)面試”，

222111212

則PB，

333323323

設(shè)事件C表示“甲、乙兩人恰有一人通過(guò)面試”，則CABAB，

∵AB與AB為互斥事件，A與B，A與B相互獨(dú)立，

∴PCPABABPABPABPAPBPAPB

442811169

，

12531253375

169

∴甲、乙兩人恰有一人通過(guò)面試的概率為.

375

【變式1】（2024上·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人獨(dú)立地解答一道試題，各人能答對(duì)的概率分

2

別為p，1p，，其中0p1．

3

1

(1)若p，求這三人中恰有一人答對(duì)該試題的概率；

4

(2)當(dāng)這三人都沒(méi)答對(duì)該試題的概率取得最大值時(shí)，求這三人中至少有兩人答對(duì)該試題的概率．

1

【答案】(1)

3

7

(2)

12

11113313121

【詳解】（1）因?yàn)閜，所以這三人中恰有一人答對(duì)該試題的概率P．

414434434433

2

（）這三人都沒(méi)答對(duì)該試題的概率11111，

2P21ppp

3321212

1

當(dāng)且僅當(dāng)p時(shí)，等號(hào)成立，

2

1111111121

此時(shí)這三人中恰有一人答對(duì)該試題的概率P，

32232232233

這三人都沒(méi)答對(duì)該試題的概率取得最大值時(shí)，三人至少有兩人答對(duì)該試題的概率

117

P1PP1．

42312312

【變式2】（2024上·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）我省從2024年開(kāi)始，高考不分文理科，實(shí)行“312”模式，

其中“3”指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)，外語(yǔ)這3門(mén)必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門(mén)首選科目中選擇

1門(mén)，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)再選科目中選擇2門(mén)．已知某高校臨床醫(yī)

學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門(mén)．

(1)從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合某高校臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；

(2)假設(shè)甲、乙兩人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的且相互獨(dú)立，求這兩人中恰好有一人的選科組合

符合某高校臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率．

5

【答案】(1)

12

35

(2)

72

【詳解】（1）用a，b分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，c，d，e，f分別表示“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選

擇思想政治”“選擇地理”，

則所有選科組合的樣本空間

{acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef}

則n()12

設(shè)M表示“從所有選科組合中任意選取1個(gè)，有選科組合符合該醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”

則M{acd,ace,acf,ade,adf}

則n(M)5

n(M)5

則P(M)．

n()12

（2）設(shè)甲、乙兩人每人的選科組合符合該醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的事件分別為N1，N2，由題

意知事件N1，N2相互獨(dú)立

5

由（1）知PNPN

1212

記N“甲、乙兩人中恰好有一人的選科組合符合該醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，

則NN1N2N1N2

易知事件N1N2，N1N2兩兩互斥，

根據(jù)互斥事件概率加法公式得

P(N)PN1N2PN1N2

5555

11

12121212

35

．

72

【變式3】（2023上·河南安陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）甲、乙兩人在某商場(chǎng)促銷活動(dòng)中各自獲得了兩輪抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，

1

每輪由甲、乙各自抽取一次，假設(shè)每次抽獎(jiǎng)的結(jié)果互不影響，已知每輪抽獎(jiǎng)中，甲中獎(jiǎng)的概率為，兩人

4

1

同時(shí)中獎(jiǎng)的概率為．

20

(1)求甲在兩輪抽獎(jiǎng)中，恰好中一次獎(jiǎng)的概率；

(2)求兩人在兩輪抽獎(jiǎng)中，共有三次中獎(jiǎng)的概率

3

【答案】(1)

8

7

(2)．

200

【詳解】（1）設(shè)A表示甲在一輪抽獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)的事件，

13

則由條件可知PA,PA，

44

兩輪抽獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)一次的情況為：第一輪中獎(jiǎng)，第二輪未中獎(jiǎng)；第一輪未中獎(jiǎng)，第二輪中獎(jiǎng)，

3

故概率為PPAPAPAPA．

8

1

（2）設(shè)B表示乙在一輪抽獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)的事件，由已知可得PABPAPB，

20

14

所以PB,PB．

55

兩人在兩輪抽獎(jiǎng)中，共有三次中獎(jiǎng)，分兩種情況：

第一種情況，其中一輪甲中獎(jiǎng)乙未中獎(jiǎng)，另一輪兩人間時(shí)中獎(jiǎng)，

1411

概率為P2PAPBPAB2．

1452050

第二種情況，其中一輪乙中類甲未中獎(jiǎng)，另一輪兩人同時(shí)中獎(jiǎng)，

1313

概率為．

P22PBPAPAB2

5420200

137

故所求概率為PPP．

1250200200

題型04獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】（2024上·全國(guó)·高三期末）為慶祝我國(guó)第39個(gè)教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會(huì)，甲?乙兩名數(shù)學(xué)老

4

師組成“幾何隊(duì)”參加“成語(yǔ)猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，

5

3

乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，則“幾何隊(duì)”在一輪比賽中至少猜對(duì)一個(gè)

4

成語(yǔ)的概率為（）

31971

A．B．C．D．

5202020

【答案】B

【詳解】設(shè)事件A“甲猜對(duì)”，B“乙猜對(duì)”，C“幾何隊(duì)至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)”，

4311

所以PA,PB，則PA,PB.

5454

由題意知，事件A,B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立，

法一：CABABAB，且AB,AB,AB兩兩互互斥，

則P(C)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)

13414319

.

54545420

法二：事件C的對(duì)立事件C“幾何隊(duì)一個(gè)成語(yǔ)也沒(méi)有猜對(duì)”，即CAB，

1119

則P(C)1P(C)1P(AB)1P(A)P(B)1.

5420

故選：B.

【典例2】（2024上·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，

乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設(shè)甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨(dú)立的.

(1)求丙投籃命中的概率；

(2)甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；

(3)甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率.

【答案】(1)0.5

(2)0.21

(3)0.29

【詳解】（1）設(shè)甲投籃命中為事件A，乙投籃命中為事件B，丙投籃命中為事件C，

由題意可知，PA0.6，PB0.3，PBCPBPC0.35，

0.35

則PB1PB0.7，PC0.5,

0.7

所以丙投籃命中的概率為0.5；

（2）甲和乙命中，丙不中為事件D，

則PDPABCPAPBPC0.60.70.50.21，

所以甲和乙命中，丙不中的概率為0.21；

（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中為事件E，

則PEPABCABCABC,

PAPBPCPAPBPCPAPBPC

0.60.30.50.40.70.50.40.30.5

0.29

【典例3】（2023下·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）甲?乙?丙三位重劍愛(ài)好者決定進(jìn)行一場(chǎng)

111

比賽，每局兩人對(duì)戰(zhàn)，沒(méi)有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為.

543

因?yàn)榧资亲钊醯?，所以讓他決定第一局的兩個(gè)比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽），

每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比

賽結(jié)束.

(1)若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；

(2)請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙?甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大.

1

【答案】(1)

20

(2)甲第一局選擇和丙比賽，最終獲得冠軍的概率最大.

【詳解】（1）若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：

①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，

2111

其概率為；

35430

②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，

1111

其概率為.

34560

111

所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為.

306020

（2）若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：

甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙

勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，

11132141111

所以甲能獲得冠軍的概率為.

545435534512

若第一局為甲丙比，

111411321111

則同上可得甲獲得冠軍的概率為.

4545344354120

若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，

1

則甲獲得冠軍的概率即第（1）問(wèn)的結(jié)果.

20

1111

因?yàn)椋?/p>

1201220

所以甲第一局選擇和丙比賽，最終獲得冠軍的概率最大.

【變式1】（2024上·上?！じ叨瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┠硨W(xué)生做兩道選擇題，已知每道題均有4

個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)正確答案．該學(xué)生隨意填寫(xiě)兩個(gè)答案，則兩個(gè)答案都選錯(cuò)的概率為．

9

【答案】/0.5625

16

【詳解】設(shè)答錯(cuò)第一道選擇題為事件A，答錯(cuò)第二道選擇題為事件B,兩事件相互獨(dú)立，

3

且PAPB，

4

339

兩個(gè)題都選錯(cuò)為事件AB，則PABPAPB.

4416

9

故答案為：

16

【變式2】（2024上·上?！じ叨虾Ｖ袑W(xué)?？计谀┰谛诺纼?nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0

1112

時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.

2233

(1)重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次，計(jì)算至少收到兩次1的概率；

(2)依次發(fā)送1，1，0，判斷以下兩個(gè)事件：①事件A：至少收到一個(gè)正確信號(hào)；②事件B：至少收到兩

個(gè)0，是否互相獨(dú)立，并給出證明.

20

【答案】(1)；

27

(2)事件A與事件B不互相獨(dú)立，證明見(jiàn)解析.

【詳解】（1）重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次，“至少收到兩次1”的可能情況為：

(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，

因?yàn)樾盘?hào)的傳輸相互獨(dú)立，

22221222112220

故“至少收到兩次1”的概率為：.

33333333333327

（2）事件A與事件B不互相獨(dú)立，證明如下：

1111

若依次發(fā)送1，1，0，則三次都沒(méi)收到正確信號(hào)的概率為，

33218

117

故至少收到一個(gè)正確信號(hào)的概率為PA1；

1818

若依次發(fā)送1，1，0，“至少收到兩個(gè)0”的可能情況為：

(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根據(jù)事件的相互獨(dú)立性，

11111112121161

故PB，

332332332332183

若依次發(fā)送1，1，0，“至少收到兩個(gè)0且至少收到一個(gè)正確信號(hào)”的可能情況為：

(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根據(jù)事件的相互獨(dú)立性，

1111212115

故PAB，

33233233218

因?yàn)镻APBPAB，所以事件A與事件B不互相獨(dú)立.

【變式3】（2023上·廣東清遠(yuǎn)·高二校考階段練習(xí)）作為世界乒壇本賽季收官戰(zhàn)，首屆WTT(世界乒乓球職

業(yè)大聯(lián)盟)世界杯總決賽2021年12月7日在新加坡結(jié)束男女單打決賽的較量，國(guó)乒包攬雙冠成為最大贏

家．我市男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)下屆市運(yùn)會(huì)，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，

2

每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過(guò)分析甲、乙過(guò)去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，

3