高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第14講 三角形中線及角平分線問題（解析版）

第14講拓展二：三角形中線，角平分線問題

題型01三角形中中線長（定值）

【典例1】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量ma,b

r

與ncosA,sinB平行．若c2，b2，則BC邊上的中線AD為（）

10

A．1B．2C．10D．

2

【答案】D

r

【詳解】由于向量ma,b與ncosA,sinB平行，

所以asinBbcosA，由正弦定理得sinAsinBsinBcosA，

由于sinB0所以sinAcosA，

π

由于0Aπ，所以A.

4

12122

AD=ABAC，兩邊平方得AD=AB2ABACAC

24

1π105

=4222cos2==，

4442

10

所以AD=.

2

故選：D

【典例2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a6，

b5，c4，則BC邊上的中線AD的長為.

【答案】46

2

【詳解】

a2c2b23616259

由余弦定理可得，cosB.

2ac26416

1

在△ABD中，有ABc4，BDBC3，

2

由余弦定理可得AD2AB2BD22ABBDcosB

923

169243，

162

46

所以，AD.

2

46

故答案為：.

2

【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

2acosB2cb．

(1)求A；

(2)若a4,bc25，求ABC中BC邊中線AD長．

2π

【答案】(1)A

3

(2)AD2

【詳解】（1）因為2acosB2cb，

由正弦定理得2sinAcosB2sinCsinB，

即2sinAcosB2sinABsinB，

即2sinAcosB2sinAcosB2cosAsinBsinB，

所以2cosAsinBsinB0，

1

又sinB0，所以cosA，

2

2π

又A0,π，所以A；

3

2

（2）由余弦定理得a2b2c22bccosBACbcbc，

即1620bc，所以bc4，

因為AD為ABC中BC邊的中線，

1

所以ADABAC，

2

12122

則ADABACABAC2ABAC

22

12π121

c2b22bccoscb3bc20122，

2322

所以AD2.

【變式1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知ABC的面積為23,AB2,AC4，則ABC的中線AD長

的一個值為.

【答案】7或3

【詳解】因為ABC的面積為23,AB2,AC4，

13

所以SVABACsinA4sinA23sinA，

ABC22

2

故A或；

33

①當(dāng)A時，BC2AB2AC22ABACcosA12BC23，

3

1

故BDBC3，

2

因為AB2BC2AC2，所以ABBC，

故AD2AB2BD27AD7；

2

②當(dāng)A時，BC2AB2AC22ABACcosA28BC27，

3

1

故BDBC7，

2

AB2BC2AC227

在ABC中，由余弦定理可知cosB，

2ABBC7

在△ABD中，由余弦定理可知，AD2AB2BD22ABBDcosB3，

故AD3.

綜上所述，ABC的中線AD長為7或3.

故答案為：7或3.

【變式2】（2023下·河北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a8，

b6，c4，則中線AD的長為.

【答案】10

【詳解】如圖，由余弦定理得AB2AD2DB22ADDBcosADB，

AC2AD2DC22ADDCcosADC，又cosADBcosADC，

兩式相加得AB2AC22AD2DB2DC2，即42622AD24242，化簡得2AD220，

所以AD10.

故答案為：10

【變式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別

為a，b，c，且滿足acb3sinAcosA.

(1)求B；

(2)若b3，且ABC的面積為3，BD是ABC的中線，求BD的長.

π

【答案】(1)B

3

17

(2)

2

【詳解】（1）因為acb3sinAcosA，

由正弦定理可得sinAsinCsinB3sinAcosA，

即sinAsinABsinB3sinAcosA，

即sinAsinAcosB3sinAsinB，

π1

又因為sinA0，所以3sinBcosB1，所以sinB.

62

ππ5π

又因為B0,π，所以B,，

666

πππ

所以B，所以B.

663

1

（2）因為S3，所以acsinB3得ac4，

ABC2

由余弦定理得：a2c2b22accosB13.

1

又BDBABC，

2

1117

所以|BD|2(BABC)2c2a22accosB，

444

1717

得BD，故BD的長為.

22

題型02三角形中中線長（最值，范圍）問題

【典例1】（2023上·廣西柳州·高一柳州高級中學(xué)校考開學(xué)考試）在ABC中，AB5,AC9，則BC邊上

的中線AD的長的取值范圍是.

【答案】2AD7

【詳解】解：延長AD到點E，使DEAD，連接BE，如圖所示：

在△ADC和△EDB中，

DADE

ADCEDB，

DCDB

ADC≌EDBSAS，

EBAC9．

在ABE中，由三角形的三邊關(guān)系，得BEABAEBEAB，

即42AD14，

2AD7，

故答案為：2AD7．

【典例2】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若

acsinAcsinABbsinB，b4，則邊AC上的中線BD長度的最大值為．

【答案】23

【詳解】

在ABC中有A、B、C0,π,sinABsinπCsinC，

故由正弦定理可得acsinAcsinABbsinBaacc2b2，

a2c2b2ac1π

由余弦定理得cosBB，

2ac2ac23

12122

由三角形中線的性質(zhì)可得：BDBABCBDBABC2BABC，

24

11

即BD2=c2a22cacosBa2c2ac，

44

又a2c2acb216a2c216ac2acac16，

故a2c2ac2ac1648，當(dāng)且僅當(dāng)ac4時取得等號，

1

所以BD2a2c2ac12BD23.

4

故答案為：23.

【典例3】（2023上·遼寧大連·高三大連市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊

cosCc3tanC△3

分別為a，b，c.①2acosB+b-2c=0；②；③tanB.在以上三個條件中選擇一

cosBbsin2B3tanC1

個，并作答.

(1)求角A；

(2)已知ABC的面積為43，AD是BC邊上的中線，求AD的最小值.

△π

【答案】(1)條件選擇見解析，A

3

(2)23

a2c2b2

【詳解】（1）若選①，因為：2acosBb2c0，即：2ab2c0，

2ac

c2b2a21

則：a2c2b2bc2c20，即：c2b2a2bc，所以：cosA，

2bc2

ππ

因為：A0,，故A；

23

cosCsinC3sinBcosCcosBsinC3

若選②，原式等價于，即，

cosBsinBsin2BsinBcosBsin2B

3sinBC2sinA

π

即：1，因為：A,B0,，則02Bπ，所以：sin2B0，

sin2Bsin2Bsin2B2

2

3π

則：sinA，故A；

23

若選③，原式等價于3tanBtanCtanBtanC3，即：tanBtanC31tanBtanC，

tanBtanC

所以：3，即：tanBC3，即：3tanπAtanA，

1tanBtanC

ππ

因為：A0,，故A.

23

13

（2）因為SbcsinAbc43，所以：bc16，

ABC24

111

因為D為BC的中點，則：ADABBDABBCABACABABAC

222

所以：2ADABAC，

2222π

則：4ADABACABAC2AB·ACb2c22bccosb2c2bc2b2c2bc3bc48當(dāng)

3

且僅當(dāng)bc4時，等號成立，

因此：AD的最小值為23.

【變式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是ABC的中線，若A120，ABAC4，則AD

的最小值是．

【答案】2

1

【詳解】ABACABACcos120ABAC4,ABAC8，

2

21122

ADABACABAC2ABAC

24

1221

ABAC82ABAC82，

44

所以AD2，當(dāng)且僅當(dāng)ABAC22時等號成立.

故答案為：2

【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2，

ac43ac.

(1)求角B；

(2)求AC邊上中線BD長的取值范圍.

π

【答案】(1)B

3

(2)1BD3

【詳解】（1）由b2，ac43ac可得：a2c22ac43ac，

即a2c2b2ac，

a2c2b21π

所以cosB，而B(0,π)，從而B；

2ac23

b223

2R,R

（2）解法1：設(shè)ABC外接圓半徑為R，則π，

sinBsin3

3

如圖所示，過點C作CE∥AB，交BD延長線于E，

則CDE∽ADB，則BDED,CEAB，

2

故BE22BDa2c22accos(πB)，

2

所以2BDa2c22accosB，

2

a2c2ac2Rsin2Asin2CsinAsinC

161cos2A1cos2C

sinAsinC

322

2π

1cos2A

161cos2A32π

sinAsinA

3223

16513

(cos2Asin2A)

3422

165π

sin(2A)，

346

2πππ7ππ1

又因為A0,，故2A,，則sin(2A)(,1]，

366662

2

所以2BD4,12，即BD(1,3]；

2

解法2：由平行四邊形性質(zhì)可得2BDb22a2c2，

2

所以2BD2a2c2b22a2c24，

2π

1cos2A

22222161cos2A3

因為ac(2R)(sinAsinC)

322

1631

(1sin2Acos2A)

324

161π

1sin2A，

326

2πππ7ππ1

又因為A0,，故2A,，則sin(2A)(,1]，

366662

2

所以a2c2(4,8]，則2BD4,12，即BD(1,3]；

解法3：

因為AC2a2c22accosB，

所以4a2c2ac2acacac0，所以4ac0，

2

又因為2BDa2c2ac，結(jié)合解法2可知a2c2(4,8]，

2

所以2BD4,12，即BD(1,3]，

當(dāng)且僅當(dāng)ac2時取到最大值3；

解法4：

π

如圖所示，B，b2，

3

b223

2R,R

設(shè)ABC外接圓半徑為R，則π，

sinBsin3

3

故ABC有外接圓O如圖，D為AC的中點，

233

則OD()212，

33

由圖可知CDBDODOB，

所以1BD3.

題型03已知中線長，求其它元素

π

【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且asinCcsinA．

3

(1)求角A的大??；

(2)若ABC的中線AD3，求bc的最大值．

π

【答案】(1)A

3

(2)4

1313

【詳解】（1）由題可得，asinCcsinAcosA，結(jié)合正弦定理可得sinAsinCsinAsinCsinCcosA，

2222

13

因為sinC0，所以sinAcosA，得tanA3，

22

π

因為A0,π，所以A．

3

1

（2）易知ADABAC，（技巧：向量的平行四邊形法則）

2

2122

兩邊同時平方得ADABAC2ABAC，得12c2b2bc．

4

2

法一：12c2b2bc可化為12bcbc，

2

bc

因為bc2bc，所以bc，

4

32

所以12bc，得bc4，

4

當(dāng)且僅當(dāng)bc2時取等號．（點撥：運用基本不等式求最值時，注意等號是否可以取到）

所以bc的最大值是4．

2

22c32

法二：12bcbcbc，

24

c3

令b23cos,c23sin,

22

則b23cos2sin,c4sin，

π

所以bc2sin23cos4sin4，

3

π

當(dāng)且僅當(dāng)2kπkZ，即bc2時等號成立．（點撥：三角函數(shù)的有界性）

6

所以bc的最大值為4．

【典例2】（2023上·河北邢臺·高三邢臺一中校考階段練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、

11sinC

b、c，.

tanAtanB3sinAcosB

(1)求B；

1337

(2)已知BD為AC邊上的中線，cosC，BD，求ABC的面積.

132

π

【答案】(1)

3

(2)33

11cosAsinBcosBsinAsinABsinCsinC

【詳解】（1），

tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinB3sinAcosB

由C0,π，sinC0，A0,π，sinA0，

所以sinB3cosB，即tanB3，

π

由于B0,π，所以B.

3

13239

（2）在ABC中，由cosC，得sinC1cos2C，

1313

π31

由B，得sinB，cosB.

322

3131239339

則sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，

21321326

339

asinA3

由正弦定理得，26，

csinC2394

13

設(shè)a3x，c4x，由余弦定理得b2a2c22accosB13x2，故b13x，

在△BCD中，由余弦定理得，BD2CB2CD22CBCDcosC，

37131313

即9x2x223xx，

44213

解得x1，則a3，c4

113

所以ABC的面積SacsinB3433.

222

【典例3】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxcos4x23sinxcosxsin4x.

(1)求fx的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若fA1,BC邊的中線AD長為7，求ABC面積的

最大值.

π2π

【答案】(1)fx的最小正周期Tπ，fx的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ,kπkZ；

63

73

(2)

3

【詳解】（1）fxcos4x23sinxcosxsin4x，

cos2xsin2xcos2xsin2x3sin2x,

13

cos2x3sin2x2cos2xsin2x

22

π

2sin2x，

6

故fx的最小正周期Tπ，

ππ3ππ2π

由2kπ2x2kπ，得kπxkπ，

26263

π2π

\f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ,kπkZ；

63

ππ1

（2）由（1）得，fA2sin2A1，即sin2A，

662

π5ππ

0Aπ,2A,A，

663

12122

又ADABAC,ADABAC2ABAC，

24

11

7c2b22bccosAb2c2bc，

44

b2c22bc,b2c2bc3bc，

28221

bc，當(dāng)僅bc時取等號，

33

1332873

面積SbcsinAbc，

24433

73

ABC面積的最大值為.

3

【變式1】．（2023上·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校┰贏BC中，角A，B，C所對的邊分

cosC2bc

別為a，b，c.已知.

cosAa

(1)求角A；

29

(2)ABC的中線AD＝，AC＝22，求AB.

2

【答案】(1)45

(2)3

cosC2bc

【詳解】（1）因為，所以acosC(2bc)cosA，

cosAa

由正弦定理，有sinAcosC(2sinBsinC)cosA，

化簡可得sinAcosCcosAsinC2sinBcosA，

可得sin(AC)sinB2sinBcosA，

因為B是ABC的內(nèi)角，于是sinB0，

2

故cosA，解得A45.

2

（2）延長AD至E，使得ADDE，易知EBAD，于是ACE135，

由余弦定理可得AE2AC2CE22ACCEcosACE，

2

即298CE2222CE，

2

解得CE3或7（舍去），

于是ABCE3，所以AB3.

【變式2】（2023上·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

滿足2bccosAacosC

(1)求角A的大??；

(2)若a27，BC邊上的中線AM的長為19，求ABC的面積.

π

【答案】(1)

3

(2)63

【詳解】（1）解：由已知及正弦定理得：2sinBsinCcosAsinAcosC，

則2sinBcosAsinAcosCsinCcosAsinACsinπBsinB，

1π

在ABC中，sinB0，∴cosA，又因為0Aπ,故A.

23

（2）解法一：∵a27，M為BC中點，則BMCM7，

b2c2281

∴由cosA，得b2c228bc，

2bc2

BM2AM2AB2719c2

在AMB中，cosAMB

2BMAM2719

CM2AM2AC2719b2

在AMC中，cosAMC

2CMAM2719

∵AMBAMCπ，

∴cosAMBcosAMC0，

22

719c2719b252bc5228bc

∴0，

2719271927192719

解得：bc24，

113

故ABC的面積為SbcsinA2463.

222

b2c2281

解法二：由cosA，得b2c228bc，

2bc2

uuuruuuruuur

12122

由題意得AMABAC，則AMABAC2ABACcosA，

24

11

即有19c2b2bc28bcbc，解得：bc24，

44

113

故ABC的面積為SbcsinA2463.

222

【變式3】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

sinBsinCsinAsinC

a,b,c,．

sinAsinBsinC

(1)求B；

1337

(2)已知BD為AC邊上的中線，cosC,BD，求ABC的面積．

132

π

【答案】(1)B

3

(2)33

sinBsinCsinAsinCbcac

【詳解】（1）由正弦定理及，得，

sinAsinBsinCabc

a2c2b21

化簡得b2c2a2ac，所以，

2ac2

1π

由余弦定理可得cosB，由于B0,π.所以B．

23

13239

（2）在ABC中，由cosC，得sinC1cos2C，

1313

13

由cosB，得sinB．

22

3131239339

則sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，

21321326

339

asinA3

由正弦定理得，26，

csinC2394

13

設(shè)a3x,c4x，由余弦定理得b2a2c22accosB13x2，故b13x，

在△BCD中，由余弦定理得，BD2CB2CD22CBCDcosC，

37131313

即9x2x223xx，解得x1，則a3,c4，

44213

113

所以ABC的面積SacsinB3433．

222

【變式4】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且

bcosA3bsinAac.

(1)求B；

(2)若ABC的中線BD長為23，求ac的最大值.

π

【答案】(1)B

3

(2)8

【詳解】（1）因為bcosA3bsinAac，

所以sinBcosA3sinBsinAsinAsinC，

又CπAB，

所以sinCsinπABsinABsinAcosBcosAsinB，

所以sinBcosA3sinBsinAsinAsinAcosBcosAsinB，

整理得sinA3sinBcosBsinA，

π

因為A0,π,sinA0，所以3sinBcosB1，即2sinB1，

6

ππ5π

因為0Bπ，所以B，

666

πππ

所以B，得B.

663

（2）因為D為AC中點，

1

所以BDBCBA，

2

π

因為BCa,BAc,BD23,B，

3

2122122π

所以BD12BCBA2BCBAac2accos，

443

整理得a2c2ac48，

2

2ac2

所以ac48ac48，得ac64，即ac8，

2

當(dāng)且僅當(dāng)ac4時，等號成立，

所以ac的最大值為8.

題型04求角平分線長（定值）問題

【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線內(nèi)分對邊，所得的

兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．已知ABC中，AD為∠BAC的角平分線，與BC交于點D，AB＝3，

AC＝4，BC＝5，則AD＝（）

2215152122

A．B．C．D．

7777

【答案】D

3

【詳解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，滿足324252，∴BAC90，故cosABC，

5

∵AD是∠BAC的角平分線，∴BDAB3，∴BD3515，

DCAC477

在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，

2

得AD2321523153288，

77549

122

解得AD或者AD122（舍去），

77

故選：D．

π

【典例2】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在ABC中，C的角平分線交AB于點D，B，BC33，

6

AB3，則CD（）

363325

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【詳解】

如圖所示，在ABC中，由余弦定理得

23

AC2BC2AB22BCABcosB333223339，

2

ππ2π

∴AC3AB，∴ABC為等腰三角形，ACBB，Aπ2，

663

π

又∵CD為角平分線，∴ACD，

12

2πππ

∴在ACD中，ADCπ，

3124

ACCD

由正弦定理得得，

sinADCsinA

2π3

3sin3

ACsinA36

CD32.

π

sinADCsin22

42

故選：A．

【典例3】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，BAC60，AC2，BC7，BAC

的角平分線交BC于D，則AD．

【答案】63

5

【詳解】ABC中，由余弦定理AC2AB22ACABcosBACBC2得4AB24ABcos607，

解得AB3（1舍去），

CDAC2

AD是角平分線，則，

BDAB3

327

所以BD7，CD，

55

又由余弦定理得：

AB2AD2BD22ADBDcosADB，

AC2AD2CD22ADCDcosADC，

而cosADBcosADC0，

AD2BD2AB2AD2CD2AC2

因此0，

2ADBD2ADCD

AD2CDBD2CDAB2CDAD2BDCD2BDAC2BD0，

22210863

ADBCABCDACBDBCBDCD7，AD．

255

故答案為：63．

5

【典例4】（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，ABC的內(nèi)角A、B、C的對

ππ

邊分別為a、b、c，且3sinBsinB0.

63

(1)求角B的大小；

153

(2)若a3，S△.

ABC4

（i）求sinA的值；

（ii）求ABC的角平分線BD的長.

2π

【答案】(1)B

3

3315

(2)（i）sinA；（ii）BD.

148

ππππππ

【詳解】（1）解：3sinBsinB3sincosBcossinBsincosBcossinB

636633

3331

cosBsinBcosBsinBsinB3cosB0，

2222

所以，sinB3cosB0，可得tanB3，

2π

又因為0Bπ，故B.

3

133153

（2）解：（i）因為S△acsinBc，解得c5，