08 直線、射線、線段及其運(yùn)算（解析版）-2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)08直線、射線、線段及其運(yùn)算1、直線、射線、線段的比較名稱(chēng)不同點(diǎn)聯(lián)系共同點(diǎn)延伸性端點(diǎn)數(shù)線段不能延伸2線段向一方延長(zhǎng)就成射線，向兩方延長(zhǎng)就成直線都是直的線射線只能向一方延伸1直線可向兩方無(wú)限延伸無(wú)2、點(diǎn)、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形．一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，如點(diǎn)A.一條直線可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示或用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如直線l或直線AB.一條射線可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示或用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來(lái)表示（端點(diǎn)字母寫(xiě)在前面），如射線l或射線AB.一條線段可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示或用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，如線段l或線段AB.3、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：①點(diǎn)在直線上，或者說(shuō)直線經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)．②點(diǎn)在直線外，或者說(shuō)直線不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)．4、線段的性質(zhì)（1）線段公理：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短．（2）兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離．（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等．（4）線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的．（5）線段的比較：①目測(cè)法；②疊合法；③度量法.5、線段的中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成兩條相等的線段AM與BM，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)．即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）.MMAB6、直線的性質(zhì)（1）直線公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．（2）過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條．（3）直線是向兩個(gè)方向無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大?。?）直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)．（5）兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)．1．下列關(guān)于直線的表示方法，正確的是（）①直線A②直線AB③直線Ab④直線abA．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】直線可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，或用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示．故選B．2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)O在線段上 B．點(diǎn)B是直線的一個(gè)端點(diǎn)C．射線和射線是同一條射線 D．圖中共有3條線段【答案】D【解析】A、點(diǎn)O在線段外，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、點(diǎn)B是直線上的一個(gè)點(diǎn)，直線沒(méi)有端點(diǎn)，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、射線和射線不是同一條射線，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、圖中有線段OA，AB，OB，共3條線段，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意.故選D．3．如圖，用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句表述圖中點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．點(diǎn)P在直線外 B．點(diǎn)C在直線外C．直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M D．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B【答案】B【解析】點(diǎn)P在直線外，描述正確，故A不符合題意；點(diǎn)C在直線上，故B符合題意；線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，描述正確，故C不符合題意；直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，描述正確，故D不符合題意.故選B.4．下列四個(gè)生活中產(chǎn)生的現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹(shù)時(shí)，只要定出兩棵的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB方向架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】①②屬于兩點(diǎn)確定一條直線，不符合題意；③④屬于兩點(diǎn)之間，線段最短，符合題意．故選D．5．如圖，是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車(chē)站，在這段路線上往返行車(chē)，需印制（

）種車(chē)票，共有（

）種票價(jià)．

A．； B．； C．； D．；【答案】C【解析】，，∴需印制20種車(chē)票，共有10種票價(jià)．故選C．6．如圖，O為線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，．【答案】11【解析】∵，，∴，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則，∴，∵，∴，解得：，故答案為：11．7．如圖，在平面內(nèi)有A、B、C三點(diǎn)．(1)畫(huà)直線，線段，射線；(2)在線段上任取一點(diǎn)D（不同于B、C），連接；(3)數(shù)數(shù)看，此時(shí)圖中線段共有條．【解析】（1）解：如圖所示：（2）解：如圖所示：（3）解：圖中有線段6條，即線段，，，，，，故答案為：6．8．已知：線段，．求作：線段（用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）.

【解析】如圖所示，線段即為所求；先作射線，再以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與射線交于D，再以D為圓心，線段b的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交線段于B，線段即為所求．

9．如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)，，，，其中，且．

(1)的長(zhǎng)為；(2)若以為原點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的數(shù)，并求出它們所對(duì)應(yīng)數(shù)的和．【解析】（1）解：∵，且，∴，故答案為：．（2）因?yàn)椋?，所?/p>

若以為原點(diǎn)，則點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，，所以點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和為．10．如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，，求線段的長(zhǎng)．【解析】點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，，∴，，∴，，故.11．如圖，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為線段的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段，線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解析】．理由如下：設(shè)，∵為線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴．12．下列說(shuō)法正確的有（

）①直線和直線是同一條直線；②射線和射線是同一條射線；③線段和線段是同一條線段；④直線上的任意一點(diǎn)都可以把該直線分成兩條射線.A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】①直線和直線是同一條直線，正確；②射線和射線是同一條射線，不正確，二者端點(diǎn)不同；③線段和線段是同一條線段，正確；④直線上的任意一點(diǎn)都可以把該直線分成兩條射線，正確，綜上所述，正確的是①③④．故選A．13．若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】如圖，

由圖可知，平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了或個(gè)部分，故選．14．直線的位置關(guān)系如圖所示，則下列語(yǔ)句：點(diǎn)在直線上；直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；直線兩兩相交；點(diǎn)是直線的交點(diǎn)，以上語(yǔ)句正確的有（只填寫(xiě)序號(hào)）.【答案】【解析】由圖可得，點(diǎn)在直線上，正確；直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，錯(cuò)誤；直線兩兩相交，正確；點(diǎn)是直線的交點(diǎn)，正確.故答案為：．15．如圖，線段，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．

(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)在上取一點(diǎn)N，使得．求的長(zhǎng)．【解析】（1）解：線段，，∴．又∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，即線段的長(zhǎng)度是．（2）∵，∴．又∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，∴，∴，即的長(zhǎng)度是．16．如圖，已知B、C在線段上．(1)圖中共有條線段；(2)若．①比較線段的長(zhǎng)短：（填“”“”或“”）；②若，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．【解析】（1）解：以A為端點(diǎn)的線段有，共3條，以B為端點(diǎn)的線段有，共2條，以C為端點(diǎn)的線段有，共1條，故共有線段的條數(shù)為：，故答案為：6；（2）解：①若，則，即，故答案為：；②，，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，，，．17．如圖，在直線上順次取A，，三點(diǎn)，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，，．

(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)點(diǎn)和點(diǎn)分別由A點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為，直接寫(xiě)出點(diǎn)出發(fā)________秒后，點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等．【解析】（1）解：∵，．∴，∴，∵點(diǎn)D是線段中點(diǎn)，∴，∴.（2）解：設(shè)點(diǎn)出發(fā)秒后，點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等，則，，依題意，或，解得：或，故答案為：或．

18．如圖，線段，C是線段的中點(diǎn)，D是線段的中點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)在線段上有一點(diǎn)E，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）解：∵線段，C是線段的中點(diǎn)，D是線段的中點(diǎn)，∴∴；（2）解：易得.∵在線段上有一點(diǎn)E，故點(diǎn)E在C點(diǎn)的左邊，，綜上：的長(zhǎng)為8．19．已知線段，P，Q是線段上的兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊），且．(1)如圖1，若點(diǎn)C在線段上，且，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）解：，，，∵P為的中點(diǎn)，，∴；（2）解：，∴，為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)．，，，∴．20．有兩道作圖題：①“延長(zhǎng)線段到，使”；②“反向延長(zhǎng)線段，使點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)”．小明正確地作出了圖形．他的兩個(gè)同學(xué)嘉嘉、淇淇展開(kāi)了討論：嘉嘉說(shuō)：“點(diǎn)是線段中點(diǎn)”；淇淇說(shuō)：“如果線段，那么線段”，下列說(shuō)法正確的是(

)A．嘉嘉對(duì)，淇淇不對(duì) B．嘉嘉不對(duì)，淇淇對(duì)C．嘉嘉、淇淇都不對(duì) D．嘉嘉、淇淇都對(duì)【答案】A【解析】①“延長(zhǎng)線段到，使”，則點(diǎn)是線段中點(diǎn)，故嘉嘉說(shuō)法正確；②“反向延長(zhǎng)線段，使點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)”，如圖，如果線段，那么線段或，故淇淇說(shuō)法錯(cuò)誤．故選A．

21．已知線段，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，且，，則．【答案】或【解析】當(dāng)點(diǎn)位置如圖時(shí)，

設(shè)，則，，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∴；當(dāng)點(diǎn)位置如圖時(shí)，

設(shè)，則，，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∴；故答案為：或．22．如圖，已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，，、分別是、的中點(diǎn)．求：(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的長(zhǎng)度；(3)若在直線上，且，求的長(zhǎng)度．【解析】（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得；（2）由線段的和差，得，由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得，由線段的和差，得；（3）當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，∴的長(zhǎng)度為或．23．已知數(shù)軸的原點(diǎn)為，如圖，點(diǎn)表示，點(diǎn)表示．

(1)該圖中數(shù)軸是什么圖形？________，用字母表示為_(kāi)________；（提示：圖形指的是直線、射線和線段）(2)該圖中數(shù)軸在原點(diǎn)右邊的部分（包括原點(diǎn)）是什么圖形？________，用字母表示為_(kāi)______．(3)該圖中數(shù)軸上表示不小于且不大于的部分是什么圖形？_______，用字母表示為_(kāi)______．(4)到點(diǎn)距離等于的點(diǎn)所表示的數(shù)是多少？【解析】（1）解：根據(jù)數(shù)軸概念可知：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線，直線或.故答案為：直線，直線或；（2）根據(jù)概念可知：射線，射線，故答案為：射線，射線；（3）根據(jù)概念可知：線段，線段或，故答案為：線段，線段或；（4）設(shè)這個(gè)數(shù)為，由題意得：，或，解得：或，∴到點(diǎn)距離等于的點(diǎn)所表示的數(shù)是或．24．探究題：如圖，已知線段，點(diǎn)C為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是和的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)C恰好是中點(diǎn)，則____________；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，說(shuō)明不論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變．【解析】（1），點(diǎn)為的中點(diǎn)，．∵點(diǎn)、E分別是和的中點(diǎn)，，．故答案為：6；（2），，．∵點(diǎn)、E分別是和的中點(diǎn)，，，；（3）設(shè)，則，∵點(diǎn)、E分別是和的中點(diǎn)，∴，，，不論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變.25．如圖，線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且．(1)圖中共有________條線段；(直接寫(xiě)出結(jié)果)(2)若，求線段的長(zhǎng)；(3)若為直線上一點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值：________．【解析】（1）解：圖中的線段有：，，，，，，共條，故答案為：；（2）線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，，，；（3）由于，因此點(diǎn)在的延長(zhǎng)線或的延長(zhǎng)線上，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線時(shí)，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線時(shí)，，，；綜上所述，的值為或．故答案為：或．26．如圖，C是線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A．已知P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）解：由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時(shí)，，解得：；（2）解：由題意可得：，①當(dāng)點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；③當(dāng)點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：.綜上所述，滿足條件的值為4或7或．27．如圖所示，點(diǎn)P是線段上任意一點(diǎn)，cm，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)若cm：①兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1s后，求的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明：；(2)當(dāng)時(shí)，cm，試探索的長(zhǎng)．【解析】（1）解：①當(dāng)時(shí)，cm，cm，∵cm，cm，∴cm，∴cm.②∵cm，cm，∴cm，cm，cm，∴cm，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，cm，cm，①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊時(shí)，如圖①所示，∴cm，∴cm，∴cm；②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊時(shí)，如圖②所示，∴cm，∴cm，綜上所述，的長(zhǎng)為9cm或11cm．28．在數(shù)軸上，如果點(diǎn)表示的數(shù)記為，點(diǎn)表示的數(shù)記為，則、兩點(diǎn)間的距離可以記作或．我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，用兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)，，表示的數(shù)為，，．

(1)直接寫(xiě)出結(jié)果，，．(2)設(shè)點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為．①若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則．②若點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是．(3)動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在，之間向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在，之間往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，和兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是否存在值，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）解：，，故答案為：；；（2）①∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴，解得：，故答案為：；②∵點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，故答案為：；（3）∵動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在，之間向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在，之間往返運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，和兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，即，解得：或，∴存在值，使得，，，或．29．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，從學(xué)校A到書(shū)店B有①、②、③、④四條路線，其中