函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值第1課時-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

6.2.2課時1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值人教B版(2019)選擇性必修第三冊“極大”與“極小”都是文藝復(fù)興時期德意志庫薩的尼古拉的用語.尼古拉認為一個事物，如果沒有比它更大的事物存在，就叫做最大或極大，極大與極小是對立一致的.那么數(shù)學(xué)中“極大值”與“極小值”又是如何界定的呢1.理解極值、極值點的概念，明確極值存在的條件.2.會求函數(shù)的極值.

f(x1)f(x3)yOaby=f(x)x1x2x3x4

xf(x2)f(x4)yxOaby=f(x)x1x2x3x4

極大值點與極小值點都稱為極值點；極大值與極小值都稱為極值.想一想:1.圖中有哪些極值點？2.函數(shù)極值點可以有多個嗎？極大值一定比極小值大么？3.區(qū)間端點可能是極值點嗎？4.極值點是一個點嗎？

極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況.

(1)切線都是水平的，導(dǎo)數(shù)值都等于0.f(x1)f(x3)yxOaby=f(x)x1x2x3x4f(x2)f(x4)(2)極值點“附近”左側(cè)和右側(cè)的切線斜率符號相反，導(dǎo)數(shù)值異號.

xyoy=x3

f′(x0)=0

x0是函數(shù)f(x)的極值點x0是函數(shù)f(x)的極值點

f′(x0)=0

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0.①如果對于x0左側(cè)附近的任意x，都有

f'(x)>0，對于x0右側(cè)附近的任意x，都有f'(x)<0，那么此時x0是f(x)的極大值點.②如果對于x0左側(cè)附近的任意x，都有

f'(x)<0，對于x0右側(cè)附近的任意x，都有f'(x)>0，那么此時x0是f(x)的極小值點.③如果f'(x)在x0的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號

(或均為

負號

)，則x0一定不是y=f(x)的極值點.例1求下列函數(shù)的極值.解：(1)f'(x)=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2.令f'(x)=0，解得x1=1，x2=0，x3=1.當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表:x(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+∞)f'(x)-0-0+0+f(x)↘無極值↘極小值0↗無極值↗∴當(dāng)x=0時，f(x)有極小值且f(x)極小值=0，沒有極大值.當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)的變化情況如下表:求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:①求導(dǎo)數(shù)f'(x).②求方程f'(x)=0的根.③觀察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右兩邊的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個方程根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個方程根處取得極小值.方法歸納例2設(shè)函數(shù)f(x)=2x33(a1)x2+1，其中a≥1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論f(x)的極值.解：由已知得f'(x)=6x[x(a1)]，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=a1，(1)當(dāng)a=1時，f'(x)=6x2≥0，f(x)在(∞，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)a>1時，f'(x)=6x[x(a1)]，當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表:x(-∞，0)0(0，a-1)a-1(a-1，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗從上表可知，函數(shù)f(x)在(∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0，a1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a=1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞，+∞);當(dāng)a>1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞，0)，(a1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a1).(2)由(1)知，當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)沒有極值.當(dāng)a>1時，函數(shù)在x=0處取得極大值1，在x=a1處取得極小值1(a1)3.例3

設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x=1，x=2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.

(2)判斷x=1，x=2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.

已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應(yīng)注意兩點：(1)待定系數(shù)法:常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解.(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值為0的解不一定就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證.方法總結(jié)D2.函數(shù)y＝x＋lnx的極值情況是(

)A.有極小值

B.有極大值C.既有極大值又有極小值

D.無極值3.(多選)下列四個函數(shù)中，在x＝0處取得極值的函數(shù)是(

)A.y＝x3

B.y＝x2＋1C.y＝|x| D.y＝2x4.已知a是函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則a等于(

)A.－4

B.－2C.4D.2DBCD求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x