2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練高頻考點突破圖形變化之旋轉(zhuǎn)專題訓(xùn)練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練高頻考點突破圖形變化之旋轉(zhuǎn)專題訓(xùn)練1．如圖1，點O為直線上一點，將一副三角板擺放在直線同側(cè)，將角的頂點與角的頂點重合放在點O處，三角板的頂點A與三角板的頂點D在直線上，三角板保持不動，三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為．(1)如圖2，當(dāng)平分時，求t的值；(2)當(dāng)時，畫出相應(yīng)的圖形，并求t的值；(3)三角板在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，直接寫出的度數(shù)．2．綜合實踐，問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點連線的長度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進行了研究．如圖1，在中，，分別取，的中點D，E，作．如圖2所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．

(1)探究發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過點B時，求的長．(3)延伸思考如圖4，在中，，分別取，的中點D，E．作，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．當(dāng)邊平分線段時，求的值．3．如圖1，在中，，，點D、E分別在邊、上，且，連接．現(xiàn)將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，分別連接、．(1)如圖2，當(dāng)時，求證：；(2)如圖3，當(dāng)時，延長交于點F，求證：垂直平分；(3)連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，求的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．4．如圖①，和都是等腰直角三角形，，當(dāng)點在線段上，點在線段上時，我們很容易得到，不需證明．(1)如圖②，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接和，此時是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由；(2)如圖③，當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點恰好落在的延長線上，連接．若，，求線段的長；(3)若為中點，連接，，，當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，最大值為，最小值為，則的值為______．5．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點共線，易證________，故之間的數(shù)量關(guān)系為________．(2)類比引申：如圖2，點分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系為________，并給出證明．(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在中，已知垂足于點D，且．求的長．6．如圖1，已知、都是等腰直角三角形，，，E為的中點，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角，如圖2，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的值；(3)當(dāng)A、D、E三點在同一直線上時，求的長．7．如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊、在直線上，其中．

(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，求旋轉(zhuǎn)角？(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線、重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在與第二次相遇前，當(dāng)時，求出旋轉(zhuǎn)時間t的值．8．在菱形中，，，動點M在射線上運動．(1)如圖（1），將點A繞著點M順時針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)點，連接，．求證：；(2)如圖（2），在（1）條件下，若射線經(jīng)過邊中點E，求的值；(3)連接，將線段繞著點M逆時針旋轉(zhuǎn)一個固定角α，，點A落在點F處，射線交射線于G，若是等腰三角形，求的值．9．如圖，四邊形和均為正方形，將繞點旋轉(zhuǎn)；(1)如圖①，連接，判斷直線的位置關(guān)系并說明理由；(2)如圖②，連接，若，探索并證明線段的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若正方形、邊長分別為，繞點旋轉(zhuǎn)一周，直線與相交于點，直接寫線段的最小值及點運動軌跡的長度．10．綜合與實踐如圖，正方形和正方形有公共頂點，將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角，其中，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時，求證：；(2)請你畫出除圖1外，滿足的其它圖形，并寫出的度數(shù)；(3)旋轉(zhuǎn)過程中，________時，最大，________時，最小；(4)旋轉(zhuǎn)過程中，判斷與的大小關(guān)系，并寫出對應(yīng)的的范圍．11．在中，，是邊上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得，連接，交于點，連接．(1)如圖1，當(dāng)時，若平分，求證：；(2)如圖2，取的中點，連接．猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接．若，當(dāng)，時，請直接寫出的值．12．如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊在直線上，其中．(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在第二次相遇前，當(dāng)時，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值．13．在中，，連接，已知，點E在線段上，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)為線段．(1)如圖1，線段與線段的交點和點E重合，連接，求線段的長度；(2)如圖2，點G為延長線上一點，使得，連接交于點H，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點P，當(dāng)最小時，求的面積．14．已知：在中，，，，點為射線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上的點處，為點的對應(yīng)點，連接．(1)如圖，當(dāng)點在線段上時，連接．填空：的形狀為_____；與的數(shù)量關(guān)系為____．(2)如圖，在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖，連接，當(dāng)時，直接寫出的長．15．【問題探究】（1）如圖①，在中，，，點是上的一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)?shù)闹底钚r，求的度數(shù)；【問題解決】（2）如圖②，四邊形是一個工廠的平面示意圖，，，，連接，，平分，點是的中點，點是上一動點，在處修建一個員工休息處，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，按規(guī)劃在處修建一個廢品處理站，是一條產(chǎn)品加工線，其中點在上，點是四邊形內(nèi)一動點，，為方便回收廢品，現(xiàn)要沿安裝一條自動運輸帶．為節(jié)約成本，要使自動運輸帶的長盡可能的小，自動運輸帶的長是否存在最小值，若存在，請求出的最小值，若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練高頻考點突破圖形變化之旋轉(zhuǎn)專題訓(xùn)練》參考答案1．(1)(2)或(3)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系，分情況討論是解題關(guān)鍵；（1）根據(jù)平分，得出，然后表示出，在依據(jù)每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為，即可得出方程，解答即可；（2）根據(jù)題意可分兩種種情況討論：①當(dāng)過，但并未過，②超過延長線且未過延長線時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系，表示即可解答；（3）分三種情況討論①未超過時，②超過，但未超過時，③超過時，分別表示出，再根據(jù)平分，平分，根據(jù)角的和差關(guān)系即可求出，最后得出結(jié)論，【詳解】（1）平分，，繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為，，（2）①當(dāng)過，但并未過，如圖，，，，，，②超過延長線且未過延長線時，如圖，，，，，即：，，綜上所述：t的值為或（3）①未超過時，如圖，，，平分，平分，，，②超過，但未超過時，如圖，，，，平分，平分，，，③超過時，，，，，平分，平分，，，，綜上所述：的度數(shù)為2．(1)(2)(3)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等；相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，以及解直角三角形的方法和步驟．（1）根據(jù)中點的定義得出，進而得出，易得，通過證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意推出當(dāng)所在直線經(jīng)過點B時，，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)（1）可得，即可求解；（3）令相交于點Q，過點E作于點G，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而推出，則，求出，，則，即可解答．【詳解】（1）解：∵點D和點E為分別為中點，∴由圖1可知，，∴，則，∵，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，∴；（2）解：由圖1可知∵點D和點E為分別為中點，∴，，∴，∴，∴當(dāng)所在直線經(jīng)過點B時，，根據(jù)勾股定理可得：，由（1）可得：，∴，解得：；（3）解：令相交于點Q，過點E作于點G，根據(jù)題意可得：，∵，∴，∴，∵邊平分線段，，∴，∴，∵，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，∴，∴，，∴，∴．

3．(1)見解析(2)見解析(3)的面積的最大值為，旋轉(zhuǎn)角【分析】（1）利用“”證得，即可得到結(jié)論；（2）利用“”證得，推出，進而得出，再結(jié)合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）觀察圖形，當(dāng)點D在線段的垂直平分線上時，的面積取得最大值，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：由題意得，，，，，，在和中，，，；（2）證明：根據(jù)題意：，，，在和中，，，，且，，，，，，，，，，，是線段的垂直平分線；（3）解：在中，邊的長是定值，則邊上的高取最大值時，的面積有最大值，當(dāng)點D在線段的垂直平分線上時，的面積取得最大值，如圖，，，，，，，，，的面積的最大值為：，此時旋轉(zhuǎn)角．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，尋找全等三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．4．(1)依然成立，理由見解析(2)(3)【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短、二次根式的計算等知識，證明是解題的關(guān)鍵．（1）利用，證明，得．（2）證明，得，則，再利用勾股定理可得答案．（3）連接連接、，先根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求得，當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，所以當(dāng)點在直線上時，有最大和最小值，由圖可得的最大值為，最小值為，即．【詳解】（1）解：依然成立，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴．（2）解：∵∴又∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：如圖，連接、，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當(dāng)點在直線上時，有最大值和最小值，∴由圖可得的最大值為，最小值為，∴，故答案為：．5．(1)，(2)，證明見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，計算，即點、、共線，再根據(jù)證明，得，可得結(jié)論；（2）如圖2，同理作輔助線：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，所以；（3）如圖3，將沿翻折得，沿翻折得，延長、相交于G，先證明四邊形是正方形，再由勾股定理求AD的長即可．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，即點、、共線，四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）解：如圖2，，

理由是：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則在上，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，將沿翻折得，沿翻折得，延長、相交于G，

∵，∴，由翻折可得：，，，，，，，∴，∴∴四邊形是矩形，∵∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，在中，，由勾股定理，得解得，即．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，翻折、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達到解一題知一類的目的，本題通過翻折、旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．6．(1)見解析(2)(3)長為或．【分析】此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，判斷出是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，再判斷出夾角相等，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出是等邊三角形，進而判斷出，求出，借助（1）的結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：先判斷出，利用勾股定理求出，進而得出，最后借助（1）結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，，，，同理：，，，，，，；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)前，點是的中點，，在中，取的中點，連接，，，由旋轉(zhuǎn)知，，是等邊三角形，，，，，，，由（1）知，，，；（3）①當(dāng)點在線段上時，如圖3，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，，，由（1）知，，，；②當(dāng)點在線段的延長線上，如圖4，同①的方法得，，，由（1）知，，，，即：滿足條件的長為或．7．(1)(2)當(dāng)在外部時，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由見解析(3)或或60或70秒【分析】（1）先根據(jù)平分，得到，即可求出；（2）先根據(jù)題意可得，，然后作差即可；（3）先求出旋轉(zhuǎn)前與的夾角，然后再求出與第一次和第二次相遇所需要的時間，再設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為t，再分在的左側(cè)和在的右側(cè)兩種情況解答即可．【詳解】（1）平分，，三角板旋轉(zhuǎn)的角：，（2）當(dāng)在外部時，，理由如下：，，，，；當(dāng)在內(nèi)部時，，理由如下：，，；（3）射線平分，射線平分，，，選擇前與的夾角為，與第一次相遇的時間為秒，此時旋轉(zhuǎn)的角度為，此時OC與OE的夾角為，與第二次相遇的時間為（秒），設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為t，①，解得，；②，解得，；③，解得，，；④，解得，，，在與第二次相遇前，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)時間t為或或60或70【點睛】本題考查了角的運算，角的旋轉(zhuǎn)，角的平分線，余角和補角等知識，掌握角的平分線、余角、補角等概念合理運用“等量代換”及旋轉(zhuǎn)時會出現(xiàn)多種情況運用，清楚“旋轉(zhuǎn)前后的圖形是完全相等的，各邊旋轉(zhuǎn)角度相同，”是解題關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）可證得，從而，進而得出；（2）連接，交于點O，作于點F，先求出，，，，設(shè)，則，可證得，從而，從而得出，求得x的值，進一步得出結(jié)果；（3）分為兩種種情形：當(dāng)點G在上，且時，同樣得出點A、B、G、M共圓，從而，，進而得出和設(shè)，作于H，作于點N，可求得，，從而表示出，，，根據(jù)列出，進而求得結(jié)果當(dāng)時，作于點H，可得出和設(shè)，表示出，，根據(jù)列出，求得x的值，進一步得出結(jié)果；可判定出，進而得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在菱形中，，，∵，∴，∴，∵，，∴；（2）解：如圖1，連接，交于點O，作于點F，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，∴，，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴x1=，（舍去），∴，∴；（3）解：如圖2，當(dāng)點G在上，且時，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴點A、B、G、M共圓，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，作于H，作于點N，由得，AN=，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖3，當(dāng)時，作于點H，由上知：，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點G在的延長線上時，，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出相等關(guān)系列方程．9．(1)，理由見解析(2)，證明見解析(3)的最小值為，點的運動軌跡的長度為【分析】（1）延長交的延長線于點，延長交于點，證明，進而可證明，即可得結(jié)論；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明，得，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，同理可得，，，，進而可得三點共線，，用勾股定理即可得結(jié)論；（3）作于，得，在正方形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，，當(dāng)時，最大，此時最大，得，，由（1）可知，，得點在以為直徑的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相關(guān)結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下，延長交的延長線于點，延長交于點，，，，，，，，，，，，即；（2）解：，理由如下，四邊形是正方形，，，如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，，，，，，，如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，同理可證，，，，，，，三點共線，，，，，，在中，，即，；（3）解：正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，，在以為圓心，2為半徑圓上，如圖所示：作于，中，，在正方形繞點旋轉(zhuǎn)過程中，，當(dāng)時，最大，此時最大，，，，由（1）可知，，，連接，取中點，連接，在以為直徑的上，，，，，，此時、重合，最小，如圖所示：作，交的延長線于，，，，由（1）知，，，，，，，當(dāng)點在左側(cè)時，如圖所示：同理可得，，點從左側(cè)運動到右側(cè)，點在上轉(zhuǎn)過的角度為，點從右側(cè)運動到左側(cè)，點在上轉(zhuǎn)過的角度為，正方形的邊長為4，，點的運動軌跡為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定，求動點的運動軌跡等動態(tài)幾何問題，綜合性強，難度較大，能正確作出輔助線并結(jié)合圖形分類討論是正確解答此題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)畫圖見解析，(3)，(4)當(dāng)或時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，【分析】（1）連接，根據(jù)題意，當(dāng)時，重合，重合，由正方形的性質(zhì)可得，則重合，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得垂直平分，即可得到；（2）由（1）知，當(dāng)點F在垂直平分線上時，則，可得除圖1外，當(dāng)點F在延長線上時，滿足，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出；（3）根據(jù)題意可得點F在以點A為圓心，正方形對角線的長為半徑的圓上運動，結(jié)合圖形可得當(dāng)三點共線時，由最大值，同理可得當(dāng)三點共線時，有最小值；由此即可解答；（4）由（1）（2）知，或時，；畫出示意圖，結(jié)合圖形根據(jù)三角形大角對大邊，即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接，當(dāng)時，則重合，重合，∵四邊形與四邊形都是正方形，∴，∴重合，∵垂直平分，∴；（2）解：由（1）知，當(dāng)點F在垂直平分線上時，則，∴當(dāng)點F在延長線上時，滿足，如圖：則，即三點共線，點在延長線上，∴；（3）解：根據(jù)題意可得點F在以點A為圓心，正方形對角線的長為半徑的圓上運動，如圖，當(dāng)三點共線時，由最大值，此時，；同理，如圖，當(dāng)三點共線時，有最小值，此時，；（4）解：如圖，由（1）（2）知，或時，，，連接，∵，∴，∴，當(dāng)點在下方時，即時，∴，∴，如圖：在中，，∴，∴，同理得：；當(dāng)點在上方時，即時，同理得：，∴，綜上：當(dāng)或時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用正方形的性質(zhì)．11．(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件可得，根據(jù)等邊對等角得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，，則，證明，可得，再根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)及等角對等邊即可得證；（2）數(shù)量關(guān)系：．延長至點，使，連接，根據(jù)三角形中位線定理得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可得證；（3）設(shè)交于點，過點作于點，連接，證明是等邊三角形，得，，證明點，，，四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得，證明垂直平分，再根據(jù)圓周角定理得，證明是等腰直角三角形，設(shè)，則，，，設(shè)，根據(jù)角的直角三角形和勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的一元二次方程，求解后即得到，再代入計算即可．【詳解】（1）解：過點作于點，∴，∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∵，∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）．證明：延長至點，使，連接，∵點是的中點，∴，∵，，∴，∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，，∴，，在和中，∴，∴，∴；（3）設(shè)交于點，過點作于點，連接，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴點，，，四點共圓，∴，∴，是邊上的中線，∴垂直平分，∴，，∴平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，∴，在中，，，∴，即，解得：，（負值不符合題意，舍去），∴，∴，∴的值為．【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，對角互補的四邊形共圓，圓周角定理，垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角的直角三角形，解直角三角形等知識，本題難度大，判斷點，，，四點共圓是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)當(dāng)在外部時，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由見解析(3)或或或【分析】（1）先根據(jù)平分得到，即可求出；（2）根據(jù)題意可得，作差即可求解；（3）先求出旋轉(zhuǎn)前的夾角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的時間，再設(shè)在第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為t，再分在的左側(cè)和在的右側(cè)兩種情況討論解答即可．【詳解】（1）解：平分，，三角板旋轉(zhuǎn)的角∶，故答案為：．（2）當(dāng)在外部時，，理由如下∶，，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由如下∶，；（3）射線平分，射線平分，，旋轉(zhuǎn)前，旋轉(zhuǎn)前與的夾角為：，與第一次相遇的時間為：秒，此時旋轉(zhuǎn)的角度為：此時OC與的夾角為：與OD第二次相遇的時間為：(秒)，設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為，①，解得∶，②，解得∶，③，解得∶，，④，解得∶，．在OC與OD第二次相遇前，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)時間為或或或．【點睛】本題考查了角的運算，角的旋轉(zhuǎn)，角的平分線，余角和補角等知識，掌握角的平分線、余角、補角等概念才能在求解角度時需要合理運用“等量代換”；求解角的旋轉(zhuǎn)時會出現(xiàn)多種情況運用“分類討論思想”．本題難點在于旋轉(zhuǎn)后的多種情況的分析，清楚“旋轉(zhuǎn)前后的圖形是完全相等的，各邊旋轉(zhuǎn)角度相同，”是解題關(guān)鍵．13．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）作，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得到，，在中，應(yīng)用勾股定理，求出的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，即可求解，（2）連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定得到，，，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行四邊形的判定得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到的長度，即可求解，（3）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點之間線段最短，得到，當(dāng)在線段上時取得最小值，作，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到，在中，應(yīng)用勾股定理得到，，，，由，得到，在中，得到，在中，得到，，根據(jù)，即可求解，本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過旋轉(zhuǎn)得到．【詳解】（1）解：過點作，交延長線于點，∵，，∴，，∴，∵，∴，，，∵，∴，在中，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：，（2）解：連接，，∵，，∴，，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，（3）解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，∴，∴，當(dāng)在線段上時取得最小值，延長與延長線交于點，過點作于點，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∵，∴，，∴，在中，，，，∵，即：，解得：，在中，，在中，，∴，∴，故答案為：．14．(1)等邊三角形，(2)菱形，理由見詳解(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，所以，，，，又因為，，所以，，又因為，所以是等邊三角形．因為，，，所以，，又因為，，所以，，因為，，故的形狀為等邊三角形，與的數(shù)量關(guān)系為．（2）由（1）得，，因為，，，所以，因為，所以，，，因為，，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以四邊形是菱形．（3）延長，交于點，由上可得為等邊三角形，，又因為，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因為，，，即，因為，，所以，，因為，，所以，，因為，所以，，，因為，，所以，所以．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，，，，又∵，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形．∵，，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故的形狀為等邊三角形，與的數(shù)量關(guān)系為．