《高等數(shù)學(xué)（上）》課件-2.2 函數(shù)極限

第2章極限與連續(xù)2.2函數(shù)極限2.2.1自變量趨于無窮大時的函數(shù)極限如圖所示,當(dāng)

x無限增大時,

當(dāng)

x充分大時也就是說,即可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)

ε,

它依賴于所給的正數(shù)ε.

(函數(shù)極限的ε-M定義)定義2.2.1設(shè)函數(shù)f(x)在(a,+∞)上有定義,A是一個定數(shù).若對于任意給定的正數(shù)

ε,總存在某個正數(shù)

M(≥

a),使得當(dāng)x>M時,

則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時存在極限A,記作

或

f(x)→A(x→+∞).類似地,

若對于任意給定的正數(shù)ε,總存在某個正數(shù)M,

記作

(或f(x)→A(x→∞)).

對于任意給定的正數(shù)

ε,

在幾何上

,當(dāng)x→∞時,函數(shù)f(x)以

A為極限的幾何意義是:例2-2-1

證

因此,

類似地,則當(dāng)

x>M時,

例2-2-2

對于任意給定的正數(shù)

ε證,

則當(dāng)

|x|>M時,

定理2.2.1

且都等于A.

根據(jù)定理2.2.1可知

定義2.2.2(無窮大量的G-M定義)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(a,+∞)上,若對于任意給定的正數(shù)G,總存在某個正數(shù)M(M≥

a),使得當(dāng)x>M時,都有|f(x)|>G,則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→+∞時的無窮大量,記作

或

f(x)→∞(x→+∞).定義2.2.2的幾何意義如圖所示.對于任意給定的正數(shù)G,即總能相應(yīng)地確定某個正數(shù)M,使得函數(shù)

y

=f(x)在直線

x=M右方的圖形位于直線

y=G的上方

例如,從定義可以證明:

例2-2-3

對于任意給定的正數(shù)G證要使不等式ex>G成立,

(不妨設(shè)G>1),只要不等式

x>lnG成立即可.若令M=lnG,則當(dāng)

x>M時,

都有ex>G,所以,

f(x)=2x+1,由圖可見,

對應(yīng)的函數(shù)值無限地接近于常數(shù)2.這就是說,

例如,

小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)

ε.2.2.2

自變量趨于有限值時的函數(shù)極限為使不等式

成立,

定義2.2.3(函數(shù)極限的ε-δ定義)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域

內(nèi)有定義,A是一個確定的數(shù),總存在某個正數(shù)δ

(δ<h),若對于任意給定的正數(shù)

ε,

則稱函數(shù)

f(x)當(dāng)x→x0時存在極限A,并稱

A為函數(shù)

f(x)在點x0處的極限,記作

或注

意味著研究當(dāng)x→x0時函數(shù)值

f(x)→A(x→x0).f(x)的變化趨勢,與函數(shù)

f(x)在點x0是否有定義以及

f(x0)等于什么值都沒有關(guān)系,例如,

但由定義2.2.3

由函數(shù)極限的ε-δ定義,可證明

若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限為A,如圖所示,則對于任意給定的正數(shù)ε,使函數(shù)

y

=f(x)在

總能相應(yīng)地確定正數(shù)δ,

來回振動,因而也不存在極限.例2-2-4

證

因此,

對于任意給定的正數(shù)ε,

于是證得

先證明兩個有用的不等式:(1)

對任意實數(shù)

x,

都有|sinx|≤|x|;①(2)*證有

|x|≤

|tanx|.②如圖,以O(shè)為圓心作單位圓.

可得△OAD的面積<扇形OAD的面積<△OAB的面積.因為

注意,①與②式中x的單位必須是弧度.

所以,

又

則

由③和④式知,

或恒有|sinx|<|x|<|tanx|.

顯然有

|sinx|≤

|x|;當(dāng)

x

=0時,又有sin0

=

tan0

=0.綜上所述,證明了不等式①和②.例2-2-5

由于證

對于任意給定的正數(shù)

ε,

若令δ=ε,則

類似地,

定義2.2.4設(shè)函數(shù)

f(x)在(x0,x0+h)

其中h>0內(nèi)有定義,A是某一個定數(shù),若對于任意給定的正數(shù)

ε,使得當(dāng)

x0<x<x0+δ

(δ<h),總存在某個正數(shù)

δ

則稱函數(shù)

存在極限A,并稱A為

f(x)在點x0處的右極限(或左極限),

或者

記作

右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限,而定義2.2.3所定義的極限又稱為雙側(cè)極限.

即

例2-2-6

證當(dāng)

x>0時,因此,

則當(dāng)0<x<δ時,

而當(dāng)

x<0時,

對于任意給定的正數(shù)ε,若令δ=ε,

定理2.2.2

定義2.2.5

例2-2-7

(m為正整數(shù)).證對于任意給定的正數(shù)G,

則當(dāng)0<|x|<δ時,

(唯一性)定理2.2.3

則極限唯一.定理2.2.4(局部有界性)

則存在正數(shù)δ,

證根據(jù)極限的定義知,

2.2.3

函數(shù)極限的性質(zhì)則存在正數(shù)δ,

<1+|A|,

定理2.2.5

并且

A>B,則存在正數(shù)δ,

都有

f(x)>g(x).*證

>0,

所以存在正數(shù)

δ1,如圖所示,

同理,

所以存在δ2>0,

⑤

⑥同時成立,

推論1>B(或<B),則存在正數(shù)δ,

都有

f(x)>B推論2(局部保號性)

則存在正數(shù)δ,使得(或

<0),

都有

推論3(極限不等式)

且存在正數(shù)δ0,

都有f(x)≥

g(x),則

A≥

B.

使得(或

<B).證(用反證法)若A<B,則由定理2.2.5,存在正數(shù)δ(取δ≤

δ0),使得

都有與條件f(x)≥

g(x)矛盾,所以根據(jù)反證法知結(jié)論成立.f(x)<g(x),推論3(極限不等式)

且存在正數(shù)δ0,

都有f(x)≥

g(x),則

A≥

B.使得(迫斂性)定理2.2.6設(shè)存在正數(shù)δ0,

都有*證f(x)≤

h(x)≤

g(x),⑦且則

對于任意給定的正數(shù)ε,分別存在

有

即

即

正數(shù)δ1與δ2,

不等式⑦

⑧

⑨同時成立,因而有

2.2.4

無窮小量及其運(yùn)算若函數(shù)f(x)當(dāng)自變量

x在某個趨向下

則稱函數(shù)f(x)是自變量在這個趨向下的無窮小量.作為特殊的函數(shù),極限為0的數(shù)列{an}也稱為無窮小量.例如,

所以函數(shù)sinx是當(dāng)

x→0時的無窮小量.又如,

應(yīng)當(dāng)注意,無窮小量不能與一個很小的常量混為一談.在常量中只有0可以作為一個無窮小量.若

f(x)為當(dāng)

x→x0時的無窮小量,定理2.2.7且

f(x)≠0,

證當(dāng)

x→x0時的無窮大量;反之,

當(dāng)

x→x0時的無窮小量.若

f(x)為當(dāng)x→x0時的無窮大量,設(shè)

f(x)為當(dāng)x→x0時的無窮小量且f(x)≠0,則對于任意給定的正數(shù)G,由于

因而存在正數(shù)δ,

有即

由無窮大量的定義,得知

例2-2-8

據(jù)定理2.2.7有因此,

定理2.2.8證

即

對任意給定的正數(shù)ε,總存在正數(shù)δ,都有

故兩者是等價的.

因此,定理得證

定理2.2.8推論

其中

(1)定理2.2.9兩個無窮小量的和與差仍為無窮小量;無窮小量除以極限大于零(或小于零)的量的商(2)(3)無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量;仍為無窮小量.證只證x→x0的情形設(shè)

由極限定義,

得對于任意給定的正數(shù)

ε,

有

和(1)總能找到正數(shù)δ,

因此有|α(x)±β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|

即

α(x)±β(x)為無窮小量.(2)無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量;證設(shè)

即存在正數(shù)

M,都有|β(x)|≤

M.由極限定義,(2)

對于任意給定的正數(shù)

ε,存在正數(shù)δ(δ<h),使得

都有

于是

無窮小量除以極限大于零(或小于零)的量的商(3)仍為無窮小量.

(b<0的情形可類似地證明).由極限的保號性,存在正數(shù)δ,

都有

由(2)知,

為

x→x0時的無窮小量.無窮小量與常數(shù)的乘積仍為無窮小量.推論1推論2利用數(shù)學(xué)歸納法可得:兩個無窮小量的乘積仍為無窮小量.有限多個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量;有限多個無窮小量的乘積仍為無窮小量.例2-2-9因為

所以有

例2-2-11

即

本節(jié)的重點是介紹在自變量各種趨向下函數(shù)極限的定義和性質(zhì).在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時,

可以無限接近極限A這個事實.盡管

ε是任意的,但它一經(jīng)給出后,就應(yīng)看作是暫時不變的,以便根據(jù)它來確定相應(yīng)的正數(shù)

δ或

M.(2)由于在函數(shù)極限問題中自變量的變化趨勢有x→x0、

x→∞、x→+∞、

它反映了函數(shù)值f(x)因而產(chǎn)生了各種不同的極限定義.學(xué)習(xí)時不但要注意它們的共同點,更應(yīng)注意它們的區(qū)別,以便在驗證各種函數(shù)極限時,能正確地運(yùn)用相應(yīng)的定義.

(或|x|無限增大)的程度,

反映了自變量

x無