新課標(biāo)人教版初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)教案 全部（共十篇）

新課標(biāo)人教版初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)精品教案全部（共十篇）

第一篇實數(shù)與中考

中考要求及命題趨勢

1.正確理解實數(shù)的有關(guān)概念；

2.借助數(shù)軸工具，理解相反數(shù)、絕對值、算術(shù)平方根等概念和性質(zhì)；

3.掌握科學(xué)計數(shù)法表示一個數(shù)，熟悉按精確度處理近似值。

4.掌握實數(shù)的四則運算、乘方、開方運算以及混合運算

5.會用多種方法進(jìn)行實數(shù)的大小比較。

中考將繼續(xù)考查實數(shù)的有關(guān)概念,值得一提的是,用實際生活的題材為背景,

結(jié)合當(dāng)今的社會熱點問題考查近似值、有效數(shù)字、科學(xué)計數(shù)法依然是中考命題的

一個熱點。實數(shù)的四則運算、乘方、開方運算以及混合運算，實數(shù)的大小的比較

往往結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行，并會出現(xiàn)探究類有規(guī)律的計算問題。

應(yīng)試對策

牢固掌握本節(jié)所有基本概念，特別是絕對值的意義，真正掌握數(shù)形結(jié)合的思

想，理解數(shù)軸上的點與實數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系，還要注意本節(jié)知識點與其他知識

點的結(jié)合，以及在日常生活中的運用。

第一講實數(shù)的有關(guān)概念

【回顧與思考】

知識點：有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、非負(fù)數(shù)、相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對值

大綱要求：

1.使學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固有理數(shù)、實數(shù)的有關(guān)概念.

2.了解有理數(shù)、無理數(shù)以及實數(shù)的有關(guān)概念；理解數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等概

念，了解數(shù)的絕對值的幾何意義。

3.會求一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值，會比較實數(shù)的大小

4.畫數(shù)軸，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，會利

用數(shù)軸比較大小。

考查重點：

1.有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、非負(fù)數(shù)概念；

2.相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對值概念；

3.在已知中，以非負(fù)數(shù)a二1a|、,（aNO）之和為零作為條件，解決有關(guān)問題。

實數(shù)的有關(guān)概念

（1）實數(shù)的組成

正整數(shù)

整數(shù)i零

有理數(shù)《負(fù)整數(shù)卜有盡小數(shù)或無盡循環(huán)小數(shù)

實數(shù)《(正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)1負(fù)分?jǐn)?shù)

［正無理數(shù)

無理數(shù)［負(fù)無理數(shù)無盡不循環(huán)小數(shù)

(2)數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注童上述規(guī)定的

三要素缺一個不可)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。數(shù)軸上任一點對應(yīng)的數(shù)總大于這個

點左邊的點對應(yīng)的數(shù)，

(3)相反數(shù)

實數(shù)的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，零的相反效是零).

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱.

(4)絕對值

a(a>0)

|a|=<0(a=0)

—a(a<0)

從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離

⑸倒數(shù)

實數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是工(乘積為1的兩個數(shù)，叫做互為倒數(shù))；零沒有倒數(shù).

a

【例題經(jīng)典】

理解實數(shù)的有關(guān)概念

例1①a的相反數(shù)是-』，則a的倒數(shù)是

5一

②實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示：b0a

貝U化簡Ib-a|+J(q-b)2=.

③(2006年泉州市)去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學(xué)記數(shù)法表示為

約.

【點評】本大題旨在通過幾個簡單的填空，讓學(xué)生加強對實數(shù)有關(guān)概念的理解.

例2.(-2)3與-2").

(A)相等(B)互為相反數(shù)(C)互為倒數(shù)(D)它們的和為16

分析：考查相反數(shù)的概念，明確相反數(shù)的意義。答案：A

L14

例3.-g的絕對值是；-3-的倒數(shù)是；色的平方根

29

是■

分析：考查絕對值、倒數(shù)、平方根的概念，明確各自的意義，不要混淆。

答案：V3,-2/7,±2/3

例4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()D

A.-3與8B.|-3|與一gC.|-3|與gD.-3與J(-3)2

分析：本題考查相反數(shù)和絕對值及根式的概念

掌握實數(shù)的分類

例1下列實數(shù)土、sin60°、工、(血)°、3.14159、-的、(-77)&中無理

73

數(shù)有()個

A.1B.2C.3D.4

【點評】對實數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡，再根據(jù)結(jié)果去判斷.

第二講實數(shù)的運算

【回顧與思考】

知識點：有理數(shù)的運算種類、各種運算法則、運算律、運算順序、科學(xué)計數(shù)法、

近似數(shù)與有效數(shù)字、計算器功能金建及應(yīng)用。

大綱要求：

1.了解有理數(shù)的加、減、乘、除的意義，理解乘方、嘉的有關(guān)概念、掌握有理

數(shù)運算法則、運算委和運算順序，能熟練地進(jìn)行有理數(shù)加、減、乘、除、乘方和

簡單的混合運算。

2.了解有理數(shù)的運算率和運算法則在實數(shù)運算中同樣適用，復(fù)習(xí)鞏固有理數(shù)的

運算法則，靈活運用運算律簡化運算能正確進(jìn)行實數(shù)的加、減、乘、除、乘方運

算。

3.了解近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)的概念，會根據(jù)指定的正確度或有效數(shù)字的個數(shù)，用四

舍五入法求有理數(shù)的近似值(在解決某些實際問題時也能用進(jìn)一法和去尾法取近

似值)，會按所要求的精確度運用近似的有限小數(shù)代替無理數(shù)進(jìn)行實數(shù)的近似運

算。

4了解電子計算器使用基本過程。會用電子計算器進(jìn)行四則運算。

1.考第近似數(shù)、有效數(shù)字、科學(xué)計算法；

2.考查實數(shù)的運算；

3.計算器的使用。

實數(shù)的運算

⑴加法

同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加；

異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。

(2)減法a-b-a+(-b)

(3)乘法

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零.即

|a||——同號)

ab=<-|a]|b|異號)

0(a或b為零)

⑷除法q=

bb

(5)乘方an=aa…a

<_____VJ

〃個

(6)開方如果乂2=@且*20,那么G=x；如果二a,那么指二工

在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減.有括號時，先算括號里面.

3.實數(shù)的運算律

（1）加法交換律a+b=b+a

（2）加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

（3）乘法交換律ab—ba.

（4）乘法結(jié)合律(ab)c=a(be)

（5）分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意實數(shù).運用運算律有時可使運算簡便.

【例題經(jīng)典】

例1、（寶應(yīng)）若家用電冰箱冷藏室的溫度是4C,冷凍室的溫度比冷藏室的溫

度低22℃,則冷凍室的溫度（℃）可列式計算為

A.4-22=—18B.22—4=18

C.22-（-4）=26D.—4—22=—26

點評：本題涉及對正負(fù)數(shù)的理解、簡單的有理數(shù)運算，試題以應(yīng)用的方式呈

現(xiàn)，同時也強調(diào)“列式”，即過程。選（A）

例2.我國宇航員楊利偉乘“神州五號”繞地球飛行了14周，飛行軌道近似看

作圓，其半徑約為6.71XIO,千米，總航程約為（n取3.14,保留3個有效數(shù)

字）（）

A.5.90XI。'千米B.5.90X10。千米

C.5.89XIO,千米D.5.89X106千米

分析：本題考查科學(xué)記數(shù)法答案：A

3

例3.化簡的結(jié)果是（).

V7-2

(A)V7-2(B)V7+2(C)3(V7-2)(0)3(77+2)

分析：考查實數(shù)的運算。答案：B

例4.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子中正確的有

（）.

①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac

cba

―1―?--------1----------------?-??1?----------

一2-10123x

（A）l個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：考查實數(shù)的運算，在數(shù)軸上比較實數(shù)的大小。答案：C

例5（2006年成都市）計算：+（-2）2X（-1）°-|-V12|.

【點評】按照運算順序進(jìn)行乘方與開方運算。

例5.校學(xué)生會生活委員發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在食堂吃午餐時浪費現(xiàn)象十分嚴(yán)重，于是決

定寫一張標(biāo)語貼在食堂門口，告誡大家不要浪費糧食.請你幫他把標(biāo)語中的有關(guān)

數(shù)據(jù)填上.（已知1克大米約52粒）

如果每人每天浪費1粒大米，全國13億人口，每天就要大約浪費噸大

米

分析：本題考查實數(shù)的運算。答案：25

例7.陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級或二級臺階，玩著玩著兩

人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺階數(shù)為一級、二級、三級……逐步增加時，樓梯的上法數(shù)依

次為：1,2,3,5,8,13,21,...…（這就是著名的斐波那契數(shù)列）.請你仔細(xì)

觀察這列數(shù)中的規(guī)律后回答：上10級臺階共有種上法.

分析：歸納探索規(guī)律：后一位數(shù)是它前兩位數(shù)之和

答案：89

例8.觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運算符號）

1!=1,2!=2XL3!=3X2X1,4!=4X3X2X1,…，

、工的100!

計算：——=

98!--------

分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)100!=100*99*98!答案：9900

第二篇代數(shù)式與中考

中考要求及命題趨勢

1、掌握整式的有關(guān)知識，包括代數(shù)式，同類項、單項式、多項式等；

2、熟練地進(jìn)行整式的四則運算，募的運算性質(zhì)以及乘法公式要熟練掌握，靈活

運用；

3、熟練運用提公因式法及公式法進(jìn)行分解因式；

4、了解分式的有關(guān)概念式的基本性質(zhì)；

5、熟練進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方的運算和應(yīng)用。

中考整式的有關(guān)知識及整式的四則運算仍然會以填空、選擇和解答題的

形式出現(xiàn)，乘法公式、因式分解正逐步滲透到綜合題中去進(jìn)行考查數(shù)與似的應(yīng)

用題將是今后中考的一個熱點。分式的概念及性質(zhì)，運算仍是考查的重點。

特別注意分式的應(yīng)用題，即要熟悉背景材料，又要從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)

模型。

應(yīng)試對策

掌握整式的有關(guān)概念及運算法則，在運算過程中注意運算順序，掌握運

算規(guī)律，掌握乘法公式并能靈活運用，在實際問題中，抽象的代數(shù)式以及代數(shù)

式的應(yīng)用題值得重視。要掌握并靈活運用分式的基本性質(zhì)，在通分和約分時都

要注意分解因式知識的應(yīng)用?；馇笾愁}，一要注意整體思想，二要注意解題

技巧，對于分式的應(yīng)用題，要能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。

第一講整式

【回顧與思考】

列代數(shù)式

字

母

表

示

數(shù)

合并同類項

、去括號

代數(shù)式的運第

探索規(guī)律與

驗證規(guī)律

知識點

代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項、合并同類項、去括號與去括號法則、越的

運算法則、整式的加減乘除乘方運算法則、乘法公式、正整數(shù)指數(shù)越、零指數(shù)募、

負(fù)整數(shù)指數(shù)募。

大綱要求

1、了解代數(shù)式的概念，會列簡單的代數(shù)式。理解代數(shù)式的值的概念，能正確地

求出代數(shù)式的值；

2、理解整式、單項式、多項式的概念，會把多項式按字母的降籍(或升募)排

歹U，理解同類項的概念，會合并同類項；

3、掌握同底數(shù)越的乘法和除法、越的乘方和積的乘方運算法則，并能熟練地進(jìn)

行數(shù)字指數(shù)募的運算；

4、能熟練地運用乘法公式(平方差公式，完全平方公式及(x+a)

(x+b)=x2+(a+b)x+ab)進(jìn)行運算；

5、掌握整式的加減乘除乘方運算，會進(jìn)行整式的加減乘除乘方的簡單混合運算。

考查重點

1.代數(shù)式的有關(guān)概念.

(1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母

連結(jié)而成的式子.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式.

(2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果p叫做代數(shù)式的值.

求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值.

(3)代數(shù)式的分類

2.整式的有關(guān)概念

(1)單項式：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式.

對于給出的單項式，要注意分析它的系數(shù)是什么，含有哪些字母，各個字母的指數(shù)分別

是什么。

(2)多項式：幾個單項式的和，叫做多項式

對于給出的多項式，要注意分析它是幾次幾項式，各項是什么，對各項再像分析單項

式那樣來分析

(3)多項式的降幕排列與升募排列

把一個多項式技某一個字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個

字母降塞排列

把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來，叫做把這個多項式技這個

字母升累排列，

給出一個多項式，要會根據(jù)要求對它進(jìn)行降募排列或升募排列.

(4)同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類頃.

要會判斷給出的項是否同類項，知道同類項可以合并.即ax+bx=(a+b)x

其中的X可以代表單項式中的字母部分，代表其他式子。

3.整式的運算

(1)整式的加減:幾個整式相加減,通常用括號把每一個整式括起來,再用加減號連接.整

式加減的一般步驟是：

(i)如果遇到括號.按去括號法則先去括號：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”

號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉.括

號里各項都改變符號.

（ii）合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù).字母和字母的指數(shù)不變.

（2）整式的乘除：單項式相乘（除），把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘（除），對于只在

一個單項式（被除式）里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積（商）的一個因式相同字母相乘

（除）要用到同底數(shù)幕的運算性質(zhì)：

am-an=曖+”（%〃是整數(shù)）

am+"'=am'\a00,機，”是整數(shù)）

多項式乘（除）以單項式，先把這個多項式的每一項乘（除）以這個單項式，再把所得的積

（商）相加.

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得

的積相加.

遇到特殊形式的多項式乘法，還可以直接算：

（x+cz）（x+Z?）=x2+（cz+b）x+ab,

（c7+Z?）（tz—b）=a2-b2,

（c7±Z?）2=a+2ab+b2,

（a±Z?）（tz2+ab+b2）=a3+b3.

（3）整式的乘方

單項式乘方，把系數(shù)乘方，作為結(jié)果的系數(shù)，再把乘方的次數(shù)與字母的指數(shù)分別相乘所

得的幕作為結(jié)果的因式。

單項式的乘方要用到累的乘方性質(zhì)與積的乘方性質(zhì)：

（?。?屋""（根〃是整數(shù)），

（a。）"=a7"（〃是整數(shù)）

多項式的乘方只涉及

（a+b）2=a2+2ab+b2,

（a+b+c）2=a~+b~+c~+lab+2bc+2ca.

【例題經(jīng)典】

代數(shù)式的有關(guān)概念

例1、（日照市）已知一IVbCO,0<3<1,那么在代數(shù)式a—b、a+b、a+6、

a?+b中，對任意的a、b,對應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是（）

（A）a+b（B）a~b（C）a+目（D）a+b

評析：本題一改將數(shù)值代人求值的面貌，要求學(xué)生有良好的數(shù)感。選（B）

同類項的概念

例1若單項式2am+2%n-2m+2與25b7是同類項，求域的值.

zTi+2/1—5

【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得4'解出即可

n—2m+2=7

例2（05寶應(yīng)）一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、）2」

廚房的面積和是（）

A.4xyB.3xyC.2xyD.xy

評析：本題是一道數(shù)形結(jié)合題，考查了平面圖形的面積的計x廚房室

算、合并同類項等知識，同時又隱含著對代數(shù)式的理解。選,主

寨的運算性質(zhì)

例1(1)am-an=(m,n都是正整數(shù))；

(2)am^an=(aWO,m,n都是正整數(shù)，且m>n),特別地：a°=l(aWO),a-p=—

一ap

(aWO,p是正整數(shù))；

(3)(am)n=(m,n都是正整數(shù))；(4)(ab)n=(n是正整數(shù))

(5)平方差公式：(a+b)(a-b)=.(6)完全平方公式：(a±b)2=.

【點評】能夠熟練掌握公式進(jìn)行運算.

例2.下列各式計算正確的是().

(A)(a5)2=a7(B)2x-2=—(c)4a3,2a2=8a6(D)a84-a2=a6

2x

分析：考查學(xué)生對募的運算性質(zhì)及同類項法則的掌握情況。答案：D

例3.下列各式中，運算正確的是()

A.a2a3=a6B.(-a+2b)2=(a-2b)2

c."匕=’(a+bWO)D.7(1-V3)2=1-V3

a+ba+b

分析：考查學(xué)生對易的運算性質(zhì)答案：B

例4、(泰州市)下列運算正確的是

A.a2+/=a5;B.(—2x)3=—2x3;

C.(a—b)(—a+b)=-a2—2ab—b2;

D.V2+V8=372

評析：本題意在考查學(xué)生募的運算法則、整式的乘法、二次根式的運算等的掌握

情況。選(D)

整式的化簡與運算

例5計算：9xy?(--x2y)=________；

3

(2006年江蘇省)先化簡，再求值：

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]+2x其中x=3,y=-l.5.

【點評】本例題主要考查整式的綜合運算，學(xué)生認(rèn)真分析題目中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)，

靈活運用公式，才能使運算簡便準(zhǔn)確.

第二講因式分解與分式

因式分解

K知識點X

因式分解定義，提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法、二次三項式的因式

(十字相乘法、求根)、因式分解一般步驟。

K大綱要求』

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解

方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分解

因式。

K考查重點與常見題型X

考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點考查的

分式提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習(xí)題類型以填空

題為多，也有選擇題和解答題。

因式分解知識點

多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積.分解因式要進(jìn)行到每一個因

式都不能再分解為止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多項式am+bm+cm=m(a+b+c),

其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式.

(2)運用公式法，即用

ci~-b~—+b)(a—b),

a2+2ab+b2=(a+b)2,寫出結(jié)果?

a3±b3=(a±6)(。2+ab+b2)

(3)十字相乘法

對于二次項系數(shù)為1的二次三項式/+px+q,尋找滿足ab=q,a+b=p的a,b,如

有，則x2+px+q=(x+a)(x+b);對于一■般的二次二項式ax"+bx+C(CZH0),尋找滿足

aia2=a,cic2=c,aiC2+a2ci=b的ai,a2,ci,c2,如有,貝(Jar?+bx+c=+c1)(a2x+c2).

(4)分組分解法：把各項適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)

行.

(4)分組分解法：把各項適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之

間進(jìn)行.

分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面

是“-”號，括到括號里的各項都改變符號.

(5)求根公式法：如果ax?+bx+c=0(aW0),有兩個根Xi,X2,那么

2

ax+bx+c=a(x—)(x—x2).

【例題經(jīng)典】

掌握因式分解的概念及方法

例1、分解因式：

@X3-X2=;

②(2006年綿陽市)X2-81=;

③(2005年泉州市)x?+2x+l=;

(4)a2-a+—=;

4

⑤(2006年湖州市)a3-2a2+a=.

【點評】運用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可。

例2.把式子x2-y2-x-y分解因式的結(jié)果是..

分析：考查運用提公因式法進(jìn)行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)

彳列3.分解因式：a2-4a+4=

分析：考查運用公式法分解因式。答案：(a-2￥

分式

矢口^點?

’騫式，分式的基本性質(zhì)，最簡分式，分式的運算，零指數(shù)，負(fù)整數(shù)，整數(shù)，

整數(shù)指數(shù)塞的運算

大綱要求：

了解分式的概念，會確定使分式有意義的分式中字母的取值范圍。掌握分式

的基本性質(zhì)，會約分，通分。會進(jìn)行簡單的分式的加減乘除乘方的運算。掌握指

數(shù)指數(shù)募的運算。

考查重點與常見題型：

1.考查整數(shù)指數(shù)易的運算，零運算，有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中，如：下列

運算正確的是()

(A)-4°=1(B)(一2)三;(C)(-3--n)2=9"n(D)(a+b)-1=a-1+b-1

2.考查分式的化簡求值。在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計算就或化簡求值，有關(guān)

習(xí)題多為中檔的解答題。注意解答有關(guān)習(xí)題時，要按照試題的要求，先化簡后求

值，化簡要認(rèn)真仔細(xì)，如：

化簡并求值：

X

/v.?。篬2+(紅-2),其中x=cos30°,y=sin90"

(x-y)x+xy+yx-y

知識要點

1.分式的有關(guān)概念

A

設(shè)A、B表示兩個整式.如果B中含有字母，式子￡■就叫做分式.注意分母B的值不能

B

為零，否則分式?jīng)]有意義

分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡

2、分式的基本性質(zhì)

AAxMA_A^M

(M為不等于零的整式)

BBxM，B~B^M

3.分式的運算

(分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似).

acac

a,cad±be?,,位、工八、1—7=7T；a

—±—=-------(異z分母相加，先通分);bdbd

bdbdac_ad_adb

bdbcbe

4.零指數(shù)〃°=l(〃wO)

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)I。=上伍。0M為正整數(shù)）.

ap

mnm+n

a-a=a,

注意正整數(shù)幕的運算性質(zhì)a”+a'=a”f(a/O),

(am)"=am",

可以推廣到整數(shù)指數(shù)幕，也就是上述等式中的m、n可以是?；蜇?fù)整數(shù).

熟練掌握分式的概念：性質(zhì)及運算

好一3

例4（1）若分式的值是零，則x=______.

x+A/3

【點評】分式值為0的條件是：有意義且分子為①

（2）同時使分式，.一）有意義,又使分式"十：”無意義的x的取值范圍是

X2+6X+8（X+1）2-9

（）

A.xW-4且xW-2B.x=-4或x=2

C.x=-4D.x-2

（3）如果把分式把型中的x和y都擴大10倍，那么分式的值（）

X

A.擴大10倍B.縮小10倍C.不變D.擴大2倍

X

例5：化簡（士的結(jié)果是_________

x+2

分析：考查分式的混合運算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運算法則。答案：-二

/NJC—r41__p.1—2a+Q22—2。+1JL/,/上

例6.已知a=---廣,求-------------------------的值.

2+J3〃—1a—ci

分析：考查分式的四則運算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運算法則，分解因式進(jìn)行化簡。

答案：a=2-V3<L原式=aT+=3.

例7.已知|a-4|+g=0,計算匕乎?二4的值

ba-b

答案：由條件，得a-4=0且b-9=0Aa=4b=9

原式=a?/b2

當(dāng)a=4,6=9時，原式=16/81

例8.計算（x—y+A）（x+y-曳X）的正確結(jié)果是（）

x-yx+y

Ay2-x2B.x2-y2c.x2-4y2D.4x2-y2

分析：考查分式的通分及四則運算。答案：B

因式分解與分式化簡綜合應(yīng)用

例1（2006年常德市）先化簡代數(shù)式：［=+二］:―，然后選取一個使

原式有意義的x的值代入求值.

【點評】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無意義.

例2、（05河南）有一道題“先化簡，再求值：（士匚+^^）十^^,其中

x+2%2-4%2-4

x=-百?！毙×嶙鲱}時把“X=-VT’錯抄成了“X=C”，但她的計算結(jié)果

也是正確的，請你解釋這是怎么回事？

點評：化簡可發(fā)現(xiàn)結(jié)果是/+4,因此無論x=-g還是x=-百其計算結(jié)果都是

70可見現(xiàn)在的考試特別重視應(yīng)用和理解。

第三講數(shù)的開方與二次根式

【回顧與思考】

K知識點U

平方根、立方根、算術(shù)平方根、二次根式、二次根式性質(zhì)、最簡二次根式、

同類二次根式、二次根式運算、分母有理化

（大綱要求I

1.理解平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立

方根和算術(shù)平方根。會求實數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根（包括利用計算器

及查表）；

2.了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，會辨別最簡二次根

式和同類二次根式。掌握二次根式的性質(zhì)，會化簡簡單的二次根式，能根據(jù)指定

字母的取值范圍將二次根式化簡；

3.掌握二次根式的運算法則，能進(jìn)行二次根式的加減乘除四則運算，會進(jìn)行

簡單的分母有理化。

內(nèi)容分析

1.二次根式的有關(guān)概念

（1）二次根式

式子行m>0）叫做二次根式.注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.

（2）最簡二次根式

被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫

做最簡二次根式.

(3)同類二次根式

化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.

(&>=a(a>0);

a(a>0),

2.二次根式的性質(zhì)-a(a<0);

=4a-4b(a>0;b>0);

3八0).

3.二次根式的運算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類三次根式分別合并.

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各個因式的被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即

4a-4b=4ab{a>0,b>0).

二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進(jìn)行.

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個三次根式

互為有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理

化因式，把分母的根號化去(或分子、分母約分).把分母的根號化去，叫做分母

有理化.

K考查重點與常見題型工

1.考查平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念。有關(guān)試題在試題中出現(xiàn)的頻率

很高，習(xí)題類型多為選擇題或填空題。

2.考查最簡二次根式、同類二次根式概念。有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中。

3.考查二次根式的計算或化簡求值，有關(guān)問題在中考題中出現(xiàn)的頻率非常

高，在選擇題和中檔解答題中出現(xiàn)的較多。

【例題經(jīng)典】

理解二次根式的概念和性質(zhì)

x

例1(1)(2006年南通市)式子有意義的x取值范圍是

j2-x

【點評】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開方數(shù)為非負(fù).

(2)已知a為實數(shù)，化簡

【點評】要注意挖掘其隱含條件：a<0.

掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法

例2(2006年海淀區(qū))下列根式中能與百合并的二次根式為()

A.V24B.V12C.J|D.V18

【點評】抓住最簡二次根式的條件，結(jié)合同類二次根式的概念去解決問題.

掌握二次根式化簡求值的方法要領(lǐng)

例3（2006年長沙市）先化簡，再求值:

a4b

若a-4+V3，b=4-A/3,求

a-4aby[a+sfb

【點評】注意對求值式子進(jìn)行變形化簡約分，再對已知條件變形整體代入.

第三篇方程（組）與中考

中考要求及命題趨勢

一元一次方程與一元一次方程組是初中有關(guān)方程的基礎(chǔ)，在各地中考題

中，多數(shù)以填空、選擇和解答題的形式出現(xiàn)，大多考查一元一次方程及一次方

程組的概念和解法，一般占5%左右。方程和方程組的應(yīng)用題是中考的必考題，

考查學(xué)生建模能力和分析問題和解決問題的能力，以貼進(jìn)生活的題目為主。占

10%左右。

中考將繼續(xù)考查概念和解法這些基礎(chǔ)知識，類型仍以選擇、填空為主，也

可能出現(xiàn)解答題，有時也會與一次函數(shù)、一次不等式相結(jié)合出題。一元二次方

程是二次函數(shù)的一種特殊形式，兩者有著密切的關(guān)系，實驗區(qū)各地中考題主要

以填充、選擇、解答題、綜合題的形式考查一元二次方程的概念、解法，一般占

5%左右。今年中考將繼續(xù)以考查概念和解法為主，形式基本相同。新課標(biāo)中分式

方程以簡化，只考查了化為一元一次方程的分式方程。大多以填空、解答題出現(xiàn),

以考查解法為主，一般占3%左右。今年中考將以考查解法為主，題型仍不會變。

方程和方程組的應(yīng)用題是中考的必考題，近幾年主要考查學(xué)生建模能力和分析問

題、解決問題的能力，以貼近生活的題目為主。一般占10%左右。今年中考仍將

以生活應(yīng)用題為出題方向，或者與函數(shù)綜合出題。

應(yīng)試對策

1、要弄清一元一次方程及二元一次方程組的定義，方程（組）的解（整數(shù)解）

等概念。

2、要熟練掌握一元一次方程，二元一次方程組的解法。

3、要弄清一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系。

4^要弄清一元二次方程的定義，ax+bx+c=0（a0）,a,b,c均為常數(shù)，尤其a

不為零要切記。

5、要弄清一元二次方程的解的概念。

6、要熟練掌握一元二次方程的幾種解法，如因式分解法、公式法等，弄清化

一元二次方程為一元一次方程的轉(zhuǎn)化思想。

7、要加強一元二次方程與二次函數(shù)之間的綜合的訓(xùn)練。

8、讓學(xué)生理解化分式方程為整式方程的思想。

9、熟練掌握解分式方程的方法。

10、讓學(xué)生學(xué)會行程、工程、儲蓄、打折銷售等基本類型應(yīng)用題的分析。

n、讓學(xué)生掌握生活中問題的數(shù)學(xué)建模的方法，多做一些綜合性的訓(xùn)練。

K知識點I

等式及基本性質(zhì)、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、

簡單的高次方程

K大綱要求1

1.理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

2.理解等式的基本性質(zhì)，能利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行方程的變形，掌握解一元

一次方程的一般步驟，能熟練地解一元一次方程；

3.會推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，理解公式法與用直接開平方法、配方法解

一元二次方程的關(guān)系，會選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ炀毜亟庖辉畏匠蹋?/p>

4.了解高次方程的概念，會用因式分解法或換元法解可化為一元一次方程和一

元二次方程的簡單的高次方程；

5.體驗“未知”與“已知”的對立統(tǒng)一關(guān)系。

內(nèi)容分析

1.方程的有關(guān)概念

含有未知數(shù)的等式叫做方程.使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方

程的解(只含有一個未知數(shù)的方程的解，也叫做根).

2.一次方程(組)的解法和應(yīng)用

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為零的方程，叫做一元一次方程.

解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化成1.

3.一元二次方程的解法

(!)直接開平方法

形如(mx+n)Jr(r》o)的方程，兩邊開平方，即可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，這種

方法叫做直接開平方法.

(2)把一元二次方程通過配方化成

(mx+n)2=r(r2o)

的形式，再用直接開平方法解，這種方法叫做配方法.

(3)公式法

通過配方法可以求得一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)

的求根公式：x=-Z?±^2~—

2a

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)因式分解法

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的左邊可以分解為兩個一次因式的積,那么根據(jù)兩

個因式的積等于0,這兩個因式至少有一個為0,原方程可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，

這種方法叫做因式分解法.

K考查重點與常見題型X

考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有關(guān)習(xí)題常出現(xiàn)在填

空題和選擇題中。

第一講一次方程(組)及應(yīng)用

【回顧與思考】

I方程有關(guān)概念；方、舞的解

I一次方程卜「二元一次方程卜

■rw

d有關(guān)概念

U二元一次方程（~WT解法步驟

U應(yīng)用

【例題經(jīng)典】

掌握一元一次方程的解法步驟

例1解方程：x-±°=2—巴工

23

【點評】按去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,五步進(jìn)行

掌握二元一次方程組的解法

例2（2006年棗莊市）已知方程組["+力=2,的解為1%=2,,求2a一3b的值.

ax-by=4[y=1.

\-2

【點評】將一‘代入原方程組后利用加減法解關(guān)于a,b的方程組.

[y=L

例3、（安徽）某電視臺在黃金時段的2min廣告時間內(nèi)，計劃插播長度為15s和

30s的兩種廣告，15s廣告每播1次收費0.6萬元，30s廣告每播1次收費1萬

元。若要求每種廣告播放不少于2次。問：

⑴兩種廣告的播放次數(shù)有幾中安排方式？

⑵電視臺選擇哪種方式播放收益較大？

點評：本題只能列出一個二元一次方程，因此需要學(xué)生對二元一次方程的解有深

刻的理解。體現(xiàn)了“從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變”的新命題理念。

解：（1）設(shè)15s廣告播放x次，30s廣告播放y次。

15x+30y=120而x,y均為不小于2的正整數(shù)，

x=4x=2

或

y=2y=3

（2）方案14.4萬元；方案24.2萬元。

一次方程的應(yīng)用

例1.下圖是學(xué)校化學(xué)實驗室用于放試管的木架，在每層長29

cm的木條上鉆有6個圓孔，每個圓孔的直徑均為2.5cm.兩

端與圓孔邊緣及任何相鄰兩孔邊緣之間的距離都相等并設(shè)為X

cm,貝Ux為（）

A.2B.2.15C.2.33D.2.36

分析：考查列一元一次方程并解方程

答案：A

例2（2006年吉林?。?jù)某統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，在我國的664座城市中，按水資源情

況可分為三類：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市，其中，暫不缺水

城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城市數(shù)的4倍少50座，一般缺水城市是嚴(yán)重缺水城市數(shù)的2

倍，求嚴(yán)重缺水城市有多少座？

【點評】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題.

例4.小紅家春天粉刷房間，雇用了5個工人，干了10天完成；用了某種涂料150

升，費用為4800元；粉刷的面積是150m2.最后結(jié)算工錢時，有以下幾種方案：

方案一：按工算，每個工30元；(1個工人干1天是一個工)；

方案二：按涂料費用算，涂料費用的30%作為工錢；

方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢12元.

請你幫小紅家出主意，選擇方案付錢最合算(最省).

分析：考查方程和方程的應(yīng)用，方案一：5*10*30+4800=6300元方案二：

4800*30%=1440元，方案三：12*150=1800元

答案：方案二

第二講一元二次方程及應(yīng)用

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元二次方程的解法

例1解方程：

(1)3X2+8X-3=0；(2)9X2+6X+1=0；(3)x-2=x(x-2)；(4)X2-2A/5X+2=0

iai

例2.用換元法解方程(x-上尸-3x+3+2=0時，如果設(shè)x-L=y,那么原方程可轉(zhuǎn)化

XXX

為()D

(A)y2+3y+2=0(B)y2—3y-2=0(C)y2+3y-2=0(D)y2-3y+2=0

分析：考查用換元法解方程答案：D

例3.若關(guān)于x的方程x2+px+l=0的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則p的值

是.

分析：一個實數(shù)的倒數(shù)是它的本身，這個實數(shù)是±1

答案：±2

例4.關(guān)于X的一元二次方程x?+bx+c=0的兩根為x1=1,%2=2，見IX?+bx+c

分解因式的結(jié)果為;

分析：考查一元二次方程和分解因式的綜合。將xl、x2的值代入方程求出b、c

答案：(x-1)(x-2)

會判斷一元二次方程根的情況

例1不解方程判別方程2X2+3X-4=0的根的情況是()

A.有兩個相等實數(shù)根；B.有兩個不相等的實數(shù)根；

C.只有一個實數(shù)根；D.沒有實數(shù)根

【點評】根據(jù)b2-4ac與0的大小關(guān)系來判斷

例2已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根

(1)求k的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-l=0

有一個相同的根，求此時m的值.點評：本題考查了解一元二次方程的解法、

根的判別式、不等式的整數(shù)解等知識點。

一元二次方程的應(yīng)用

例3(2006年包頭市)某印刷廠1月份印刷了書籍60萬冊，第一季度共印

刷了200萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？

【點評】設(shè)2、3月份平均每月的增長率為x,即60+60(1+x)+60(1+x)2=200

第三講分式方程及應(yīng)用

【回顧與思考】

K知識點I

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

K大綱要求1

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把簡單的分式方程、二次根式方

程轉(zhuǎn)化為一元一次方程、一元二次方程的一般方法，會用換元法解方程，會檢驗。

內(nèi)容分析

1.分式方程的解法

(D去分母法

用去分母法解分式方程的一般步驟是：

(i)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；

(五)解這個整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母不為零的根是

原方程的根，使最簡公分母為零的根是增根，必須舍去.

在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，驗根只需代入員簡公分母.

(2)換元法

用換元法解分式方程，也就是把適當(dāng)?shù)姆质綋Q成新的未知數(shù)，求出新的未知數(shù)后求出原

來的未知數(shù).

2.二次根式方程的解法

(1)兩邊平方法

用兩邊平方法解無理方程的一般步驟是：

(i)方程兩邊都平方，去掉根號，化成有理方程；

(ii)解這個有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程進(jìn)行檢驗，如果適合，就是原方程的根，如果不適合,

就是增根，必須舍去.

在上述步驟中，兩邊平方是關(guān)鍵，驗根必須代入原方程進(jìn)行.

(2)換元法

用換元法解無理方程，就是把適當(dāng)?shù)母栂屡_有未知數(shù)的式子換成新