新亮劍數(shù)學(xué)第9章

n第九章計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)

第1節(jié)計(jì)數(shù)原理

磨劍?課前自學(xué)工，務(wù)皂利八?

o

對應(yīng)學(xué)生書《自學(xué)聽講》門％

IIGAOKAODONGTAI

課標(biāo)要求考向分析

1.通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)

原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意

義.

2.通過實(shí)例，理解排列、組合的1.分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理、兩個原理的綜合應(yīng)用以及并E列組合的綜合應(yīng)用是高考的重要

概念，能^用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列考點(diǎn);二項(xiàng)式定理的正用和逆用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和，尤其是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是高考考

數(shù)公式、組合數(shù)公式.查的熱點(diǎn).

3.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原2.重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

理證明二項(xiàng)式定理會用二項(xiàng)式

定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡

單問題

II知識ZHISHIQINGDAN

一、兩個計(jì)數(shù)原理

兩個計(jì)目

策略過程方法總數(shù)

數(shù)原理標(biāo)

在第1類方案中有〃/

分劃口有兩類

完種不同的方法，在第2

法計(jì)數(shù)不同的.V二種不同的方法

成類方案中有〃種不同

原理方案

一的方法

分步乘件做第】步有加種不同

需要兩

法計(jì)數(shù)事的方法，做第2步有"N=一種不同的方法

個步驟

種不同的方法

二、排列、組合的定義

排列的定義從“個不同元素按照一定的順序排成一列

中取出

組合的定義合組

個元素

三、排列數(shù)和組合數(shù)的定義、公式、

排列數(shù)組合數(shù)

從"個不同元素中取出

定義成加W〃）個元素的所有從〃個不同元素中取出底卬4〃）個元素的所有的個數(shù)

___________的個數(shù)

第1頁共150頁

(續(xù)表)

排列數(shù)組合數(shù)

公式2)....(。9丹)亍咚n(n-l)(n-2)...(n-m+1)

(n-m).m!

崛然=____，0!=______甯4,神喏1小

四、二項(xiàng)式定理

1.定理

(a場“彳朧長軸""六??K；；///六

2.通項(xiàng)

第/㈤項(xiàng)為如一第.

3.二項(xiàng)式系數(shù)

二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為_踹_(dá)(斤0,12?「,〃).

1.兩個計(jì)數(shù)原理的區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各

個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.

2.正確辨析“排列”與“組合”

排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序，若與順序有關(guān)很II是排列;若與順序無關(guān)，則是組合.

3.記牢兩個常用公式

⑴CRG嗚戶??周也

(2)Cg?U一&啕◎—二二

4.掌握二項(xiàng)展開式(》班)的三個重要特征

⑴字母a的指數(shù)按降幕排列由〃到0.

⑵字母h的指數(shù)按升幕排列由0到n.

⑶每一項(xiàng)字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于幾

5.關(guān)注三個易錯點(diǎn)

⑴二項(xiàng)式定理中，通項(xiàng)公式如是展開式的第k+1項(xiàng)不是第A項(xiàng).

⑵二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù)是兩個不同的概念，在k中，喘是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，該項(xiàng)的系數(shù)還與a.b有關(guān).

(3)二項(xiàng)式系數(shù)的最值與指數(shù)"的奇偶性有關(guān).當(dāng)〃為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)〃為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)相等,且同時取得最大值.

查缺|補(bǔ)￡CHAQUEBULOU

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打"X”)

⑴在分類加法計(jì)數(shù)原理中每類方案中的方法都能直接完成這件事.(：

⑵在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事件是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(]

⑶一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.(]

⑷兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(：

(1)7⑵X⑶X(4)7

【基礎(chǔ)自測】

二項(xiàng)式展開式中上的系數(shù)為().

A.5B.16C.80D.-80

C由二項(xiàng)式定理知,其展開式中含x的項(xiàng)為支工故其系數(shù)為心(-2)'40.

用數(shù)字123,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為().

第2頁共150頁

A.8B.24C.48D.120

C末位數(shù)字排法有可種，其他位置排法有短種,共有必A寵M8種排法，所以偶數(shù)的個數(shù)為48.故選C.

書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書.從書架上任取1本書，不

同的取法種數(shù)為，從第123層分別各取1本書，不同的取法種數(shù)為.

15120由分類加法計(jì)數(shù)原理知,從書架上任取1本書，共4百用二15種取法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從第

1,2,3層分別各取1本書洪4X5X6-120種取法.

【易錯檢測】

景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒有其他道路，某游客計(jì)劃從山的

一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（）.

A.6B.10C.12D.20

C先確定從哪一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路彳導(dǎo)不同走法的種數(shù)是2X2X3=12.故選C.

從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺，則不同的取法有

種.

350分兩類:第一類，取2臺原裝計(jì)算機(jī)與3臺組裝計(jì)算機(jī)，有此底種方法;第二類，取3臺原裝計(jì)算機(jī)與2臺組

裝計(jì)算機(jī)，有出釐種方法.所以滿足條件的不同取法有第髭=350種.

課時1計(jì)數(shù)原理與排列、組合

悟劍?課堂精講川…峽

考點(diǎn)KAODIANTANJIU

為點(diǎn)T）兩個原理

考向1：分類加法計(jì)數(shù)原理

〔例。⑴已知△/!a'三邊a,b.c的長都是整數(shù)，且aW6Wc,如果。=25,那么符合條件的三角形共有

⑵在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為.

（1）325⑵36⑴根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知,，＜25+a.

第一類，當(dāng)a=l,6=25時,c可取25,共1個;

第二類，當(dāng)a2b缶時,c可取25,26洪2個;

當(dāng)3=25,6=25時,c可取25,26,…,49洪25個

所以三角形的個數(shù)為1+2*“+25/25.

（2）根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是

8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7加巧幽+3+2+1=36（個）.

考向2:分步乘法計(jì)數(shù)原理

［例?（1）（2020屆江西新余二模）7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加

兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）.

A.120B.240C.360D.480

⑵從1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)/（x）=aV如%的系數(shù)，則可組成個不同的二次函數(shù)其中偶函數(shù)

有個.（用數(shù)字作答）

第3頁共150頁

（l）c（2）186⑴第一步,從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種;第二步，前flE3人形成了4個空，任選一

個空加一人，有4種;第三步后排4人形成了5個空,任選一個空加一人有5種，此時形成6個空任選一個空加一人，有6種.根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理有3X4X5X6=360種方法.

⑵f二次函數(shù)對應(yīng)著必生0）4c的一組取值戶的取法有3種涉的取法有3種,c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共

有3X3*2=18個二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù)廁刃,同上可知共有3X2與個偶函數(shù).

方法總結(jié)

1.分類加法計(jì)數(shù)原理：（D根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個適合它的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.（2）完成這件事的任何一種方法必須屬

于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：（1）要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步走有先后順序的.（2）分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完

成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每二步的方;法數(shù)相乘,得到總方法數(shù).

【針對訓(xùn)練1】

橢圓\號=1?為,〃刈的焦點(diǎn)在X軸上，且加￡{1,2,3,4,5},{123,4,5,6,7}測這樣的橢圓的個數(shù)為（）.

A.10B.12C.20D.35

A因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以加加以加的值為標(biāo)準(zhǔn)分類油分類加法計(jì)數(shù)原理可分為四類.第一類，當(dāng)m與時，使

加M〃有4種選擇;第二類，當(dāng)m2時，使卬加〃有3種選擇;第三類，當(dāng)加=3時，使卬加〃有2種選擇;第四類當(dāng)勿=2時，使有1種

選擇.故符合條件的橢圓共有I。個.故選A.

已知集合游{-3廠2,-1,012},不力）（9R切表示平面上的點(diǎn)則〃表示坐標(biāo)平面上第二象限的點(diǎn)的個數(shù)為（）.

A.6B.12C.24D.36

A確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：

第一步確定2由于所以有3種方法；

第二步確定“由于"0,所以有2種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到第二象限的點(diǎn)的個數(shù)是3X2的.

為熟）兩個原理的綜合應(yīng)用

考向1：幾何圖形的涂色問題

1例自⑴（2020屆濟(jì)南質(zhì)檢）

：Yrr

；4:5

了,?

如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂

相同的顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為.

⑵如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，那么共有種不同的染色方法.

⑴96（2）420⑴按區(qū)域1與3是否同色分類.

R區(qū)域1與3同色:先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5（還有3種顏色）有屬種方法.

所以區(qū)域1與3同色時，共有4XAi母4種方法.

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②區(qū)域1與3不同色:第一步涂區(qū)域I與3有配種方法,第二步涂區(qū)域2有2種方法，第三步涂區(qū)域4只有

1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.

所以區(qū)域1與3不同色時，共有A：X2XIX3-72種方法.

故由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法種數(shù)為24k2K6.

⑵由題設(shè),四棱錐S的頂點(diǎn)S4"所染的顏色互不相同，它們共有5X4X3-60種染色方法.設(shè)5種顏

色分別為1,2,345.當(dāng)S46染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,若。染2則〃可染3或4或5,有3種染法;若C

染4,則〃可染3或5,有2種染法;若。染5廁〃可染3或4,有2種染法.由此可見，當(dāng)已染好時Q〃還有7

種染法，故不同的染色方法有60X7-420種.

考向2:幾何圖形中的元素量的問題

〔例C1⑴如果一條直線與一個平面垂直那么稱此直線與該平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確

定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（）.

A.48B.18C.24D.36

⑵在連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而形成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有（用數(shù)字作答）個.

（DD（2）40（1）分類討論:第1類,對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”

有2X12=24個;第2類，對于每一條面對角線渚B可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個;第3類，

對于每一條體對角線，沒有符合題意的平面與之構(gòu)成“正交線面對”.所以正方體中“正交線面對”共有24+1246個.

⑵把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：

第一類，有一條公共邊的三角形共有8X442個.

第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32用H0個.

考向3：排數(shù)與排隊(duì)問題（計(jì)數(shù)問題）

［例目（1）（2020屆湖北荊州模擬）若一個三位正整數(shù)。品國”滿足83且&包則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120,343,275）,

那么所有凸數(shù)的個數(shù)為（）.

A.240B.204C.729D.920

⑵他Gde共5個人,從中選1名組長1名副組長，但〃不能當(dāng)副組長，不同選法的種數(shù)是（）.

A.20B.16C.10D.6

（1）A（2）B⑴當(dāng)品為2時，有1X2=2個;當(dāng)a為3時，有2X3毛個;當(dāng)生為4時，有3X4=12個;當(dāng)魚為5時，有

4X5=20個當(dāng)&為6時，有5*640個當(dāng)母為7時，有6XI=42個當(dāng)a為8時，有7X8巧6個當(dāng)也為9時，有8*9=72個故共有

2冊刊2母0司0冏2巧6+72-240個凸數(shù).

⑵當(dāng)a當(dāng)組長時洪有1X4引種選法;當(dāng)a不當(dāng)組長時，因?yàn)閍不能當(dāng)副組長所以共有4X3=12種選法.因此共有4+12=16種

選法.

方法總結(jié)

利用兩個計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路

（1）弄清完成一件事是做什么.（2）確定是先分類后分步，還是先分步后分類.（3）弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.（4）利用兩個計(jì)數(shù)原理求解.

【針對訓(xùn)練2】

現(xiàn)有四種不同顏色對如圖所示的四個部分進(jìn)行涂色,要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（）.

A.24種B.30種

C.36種D.48種

第5頁共150頁

D（法一）分兩種情況:第一種情況是用三種顏色，有第A。21種涂色方法；

第二種情況是用四種顏色,有短與4種涂色方法.故不同的涂色方法共有24+24F8種.故選D.

（法二）用分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法共有1X3X2X2-18種.故選D.

已知兩條異面直線a*上分別有5個點(diǎn)和8個點(diǎn)，則這13個點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（）.

A.40B.16C.13D.10

C分兩類情況討論:第1類，直線a分別與直線b上的8個點(diǎn)可以確定8個不同的平面;第2類，直線b分別與

直線a上的5個點(diǎn)可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8/5=13個不同的平面.

用數(shù)字0,123,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）.

A.144個B.120個C.96個D.72個

B由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當(dāng)萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有

2X4X3X2=18個偶數(shù)當(dāng)萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選共有3X4X3X2=72個偶數(shù).故符合條件的偶數(shù)共有

48+72-120個.

務(wù)菽乃排列及其應(yīng)用

［例由（1）（2020屆山東煙臺模擬）某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，

前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果

對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不作要求，那么不同的站法共有（）種.

A.A玲B.A羽C.AM^A瑞D.A1AJ1

（2）（2020屆遼寧錦州模擬）甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，

則不同的坐法有（）.

A.10種B.16種C.20種D.24種

（1）D（2）C。）中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人

相鄰,有的種站法;其他18國領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有A招種站法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A弘第種站法.故選D.

⑵一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座.

因?yàn)橐竺咳俗笥揖锌兆?，所以?個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有的20種坐法.

方法總結(jié)

求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法__________________________________________________________________________________________

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)和

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列

插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排也再將不相鄰的元素插在前面元素排列的皂封

定序問題

對于定序問題,可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法處理

間接法更難則區(qū)、等少轉(zhuǎn)化的方“

【針對訓(xùn)練3】

用123,4,5,6組成一個無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),要求三個奇數(shù)1,3,5有且只有兩個相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）.

A.18B.108C.216D.432

D根據(jù)題意,分三步進(jìn)行.第一步，先將1,3,5分成兩組，共髭A鄉(xiāng)種排法;第二步，將2,4,6排成一排,共心種排法;第

三步，將兩組奇數(shù)插入三個偶數(shù)形成的四個空位,共跋種排法.綜上,共有髭A弘弘:可X2X6X12N32種排法，故選D.

有3名男生、4名女生，全體排成一排,女生必須站在則有種不同的排法.

第6頁共150頁

576將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A%種方法，再將女生全排列，有AZ種方法，共有A*?A*巧76

種方法.

為點(diǎn)。組合及其應(yīng)用

［例立（1）某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動會，從5名男生和4名女生組成的田徑運(yùn)動隊(duì)中選出4人參加

比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為（）.

A.85B.86C.91D.90

⑵（2020屆合肥檢測）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要

求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為.

（DB⑵472⑴（法一直接法）由題意，可分三類考慮.

第1類，男生甲入選，女生乙不入選的方法種數(shù)為0鬃1=31；

第2類,男生甲不入選，女生乙入選的方法種數(shù)為Q髭氣式［兀寵力4；

第3類，男生甲入選，女生乙入選的方法種數(shù)為髭vcjc*

所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31*34*21書6.

（法二:間接法）從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有弓-C?V：=120種;男、女生

都有,且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有第七才14種.所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為

120-34=86.

⑵（法一）從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為唯,其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為

CiXCL其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為禺X以，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多

1張的不同取法的種數(shù)為第N72.

（法二）若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為

clX禺xc；到，若2張顏色相同,則不同取法的種數(shù)為C/XQX以XC產(chǎn)144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同

色時，不同取法的種數(shù)為C：XCIXC：XC；=192,剩余2張同色時,不同取法的種數(shù)為禺XC*乂第=72,所以不同的取

法共有64,144*192+72=472種.

方法總結(jié)

兩類有附加條件的組合問題的解法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含有”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足;若“不含有”，則先將這些元素剔

除，再從剩卜.的元素中去選取.

（2）“至少”或“最多”含有幾個元索的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用

直接法或間接法都可以求解,通常用直接法求解,分類復(fù)雜時,用間接法求解.

【針對訓(xùn)練4】

（2020屆河南洛陽一模）1名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況

有（）.

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A.24種B.36種C.48種D.60種

D分兩類:第一類，有3名被錄用，有簿44種;第二類,4名都被錄用，則有一家錄用兩名，有瑪?第?A,力6.根據(jù)

分類計(jì)數(shù)原理J口，共有24?36=60種情況.

有9名學(xué)生，其中2名會下象棋但不會下圍樵3名會下圍棋但不會下象樵4名既會下圍棋又會下象棋.現(xiàn)在要從這9名學(xué)生中

選出2名學(xué)生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有種不同的選派方法.

38設(shè)2名會下象棋但不會下圍棋的同學(xué)組成集合力,3名會下圍棋但不會下象棋的同學(xué)組成集合BA名既會

下圍棋又會下象棋的同學(xué)組成集合C則選派2名參賽同學(xué)的方法可以分為以下四類.

第一類/中選1人參加象棋比賽,夕中選1人參加圍棋比賽，選派方法為GG4種；

第二類，。中選1人參加象棋比賽4中選1人參加圍棋比賽，選派方法為禺禺=12種；

第三類I中選1人參加圍棋比賽中選1人參加象棋比賽，選派方法為以己4種；

第四類中選2人分別參加兩項(xiàng)比賽，選派方法為崗=12種.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選派方法共有6+12用+1248種.

/菽排列組合的綜合應(yīng)用

考向1：簡單的排列與組合應(yīng)用問題

［例由(1)(2020屆河北滄州模擬)用數(shù)字1,234,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中奇數(shù)的個數(shù)為().

A.24B.48C.60D.72

(2)(2020屆湖北武漢模擬)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰很I」?jié)M足要求的

排法有().

A.34種B.48種C.96種D.144種

(1)0(2)C(1)由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,奇數(shù)的個數(shù)為G；A：=72.

(2)特殊元素優(yōu)先安排,先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有?種選法，乙、丙相鄰，有4種情況，乙、丙可以交

換位置，有屁種情況，其余3人站剩余的3個位置，有屈種情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4XC；A泳習(xí)刊6種排

法.

考向2：分組、分配問題

:例白(I)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.

現(xiàn)有6個免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有種不同的分派方法.

(2)(2020屆福建福州模擬)福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到四個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，

剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有().

A.90種B.180種C.270種D.360種

⑴90(2)B⑴先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有曄=15種方法再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有陽與種

A3

方法，故6個畢崢平均分到3所學(xué)校洪有睜.A件。種分派方法.

⑵根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析:g在6位志愿者中任選1個,安排到甲展區(qū)，有a=6種情況;②B剩下的5個志愿者中任選I個，

安排到乙展區(qū)，有讖=5種情況X滿剩下的4個志愿者平均分成2組1然后安排到剩下的兩個展區(qū)，有第種情況.所以一共

有6X5X6=180種不同的安排方案，故選B.

方法總結(jié)

1.解排列、組合問題要遵循的兩個原則

(1)按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類.

(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.

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具體地說，解排列、組合問題常以元素（位置）為主體，即先滿足特殊元素（位置），再考慮其他元素（位置）.

2.分配、分組的注意事項(xiàng)

（1）對于整體均分,解題時要注意分組后,不管它們的順序如何，都是種情況,所以分組后一定要除以為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù).

（2）對于部分均分,解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有所組元素個數(shù)相等,則分組時應(yīng)除以加分組過程中有幾個這樣的均

勻分組,就要除以幾個這樣的全排列數(shù).

（3）對于不等分組，只需先分組,后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).

【針對訓(xùn)練5】

“住房”“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會關(guān)注的五個熱點(diǎn).小趙想利用國慶節(jié)假期調(diào)查一下社會對這些熱

點(diǎn)的關(guān)注度.若小趙準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)查其中的四個熱點(diǎn)，則“住房”作為其中的一個調(diào)查熱點(diǎn)，但不作為第一個調(diào)查熱點(diǎn)的種

數(shù)為（）.

A.13B.24C.18D.72

D分三步進(jìn)行.第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這四個熱點(diǎn)中選出三個,有以種不同的選法；

第二步，在調(diào)查時，“住房”安排的順序有抬種可能情況;第三步其余三個熱點(diǎn)調(diào)查的順序有屬種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可

得，不同調(diào)查順序的種數(shù)為第A叢1=72.

將標(biāo)號為123,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球,且標(biāo)號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則

不同的分法種數(shù)為（）.

A.15B.20C.30D.42

C四個籃球中兩個分到一組有第種分法，三個籃球進(jìn)行全排列有Ag種分法，標(biāo)號1,2的兩個籃球分給同一個小

朋友有心種分法，所以有第A弓-A獷64磔種分法.

有4名優(yōu)秀學(xué)生全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案共有種.

36先把4名學(xué)生分為2,1,1共3組,有底4種分法，再將3組對應(yīng)3個學(xué)校，有心W種情況則共有6X646種

不同的保送方案.

素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模一一排列組合在生活中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.下面例題通過廣

告牌的涂色問題，體現(xiàn)在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模

型，最終解決實(shí)際問題的解題思想.

1例（I某市準(zhǔn)備舉辦一場學(xué)習(xí)交流會，為了更加有效地讓人們關(guān)注、了解和參與這次交流會，市政管理委員會欲在某步行街

的一側(cè)如圖所示的6塊有關(guān)交流會的宣傳廣告牌配色，每塊廣告牌的底色可選用藍(lán)、紅兩種顏色中的一種.若要求相鄰的兩塊廣

告牌的底色不能同為紅色，則不同配色方案的種數(shù)為（）.

A.20B.21C.30D.31

B當(dāng)廣告牌沒有紅色時，有1種排法；

當(dāng)廣告牌有1塊紅色時,可以從6個位置中任選1個，有6種排法；

當(dāng)廣告牌有2塊紅色時，先排1塊藍(lán)色，形成5個位置，插入2塊紅色，有髭=10種排法；

當(dāng)廣告牌有3塊紅色時，先排3塊藍(lán)色，形成4個位置，插入3塊紅色，有量％種排法.

：相鄰的兩塊廣告牌的底色不能同為紅色，

?:不可能有1塊紅色廣告牌.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知共有14冏21種配色方案.

【突破訓(xùn)練1]

.（2020屆河南鄭州一模）《中國詩詞大會》（第三季）亮點(diǎn)頗多，在“人生自有詩意”的主題下，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計(jì)

的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味.若《沁園春?長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》

《清平樂?六盤山》排在后六場，且《蜀道難》排在《游子吟》的前面，《沁園春?長沙》與《清平樂?六盤山》不相鄰且均不

排在最后，則六場的排法有種.（用數(shù)字作答）

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144將《沁園春?長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》《清平樂?六盤山》分別記為

〃何由已知有夕排在〃的前面〃4與〃不相鄰且均不排在最后.

第一^在后6卯：'中選一個排在最后洪C杉種選法；

第二步，將剩余五個節(jié)目按A與不相鄰排序，共的-Ai-A：-72種排法；

第三步，在前兩步中8排在〃的前面與后面機(jī)會相等，則5排在〃的前面，只需除以抬之.

即六場的排法有4X72彳2=144種.

下表所示的是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有4所重點(diǎn)院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，若表格填滿且

規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？

志愿翔專業(yè)

第一志愿1第1專業(yè)第2專業(yè)

第二志愿2第1專業(yè)第2專業(yè)

第三志愿3第1專業(yè)第2專業(yè)

填表過程可分兩步.第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序廁在4所學(xué)校中選出3所并排列,共有.A：種不同的排法;第二

步,從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有髭A專A纖中.綜合以上兩步,由分步

乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的填表方法有牖?A1?Ai-Al-5184種.

數(shù)學(xué)抽象一一計(jì)數(shù)原理中的新定義問題

（1）組數(shù)、組點(diǎn)、組線、組隊(duì)問題:一般按特殊位置分類，每類中再分步計(jì)數(shù)，當(dāng)分類較多時,也可用間接法求解.

⑵有限制條件的抽取問題:一般根據(jù)抽取的順序分步或根據(jù)選取的元素特點(diǎn)分類.當(dāng)數(shù)目不大時，可用枚舉法;當(dāng)數(shù)目較大時，

可用網(wǎng)接法求解.

［例?定義“規(guī)范01數(shù)列”{&}如下:{2}共有2加項(xiàng)其中/〃項(xiàng)為0,加項(xiàng)為1,且對任意k<2?即為…自中0的個數(shù)不少于1

的個數(shù).若肝4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）.

A.18個B.16個C.14個D.12個

C由題意，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)，即2/〃項(xiàng),且所含0與1的個數(shù)相等,首項(xiàng)為0,末項(xiàng)為1,若以色說明數(shù)列

有8項(xiàng)廁必有力=0冏或則具體的排法有

00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,

01010101,共M個.

【突破訓(xùn)練2】

（2020屆湖南十二校聯(lián)考）若見〃均為非負(fù)整數(shù)，在做m+n的加法時各位均不進(jìn)位（例如：134*3802儂36）,則稱（偏〃）為“簡單的”

有序?qū)Γ右苑Q為有序?qū)Γǖ洹ǎ┑闹?，那么值?942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是.

每室300第1步』=1地1=0。共2種組合方式；

第2步,90^,9=1何9之燈,9考坳…,9R世共10種組合方式；

第3步,409,4=1+3,42+2,4-3+1,422共5種組合方式；

第-1步,2+2,2=142之均，共3種組合方式.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，值為1942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)為2XI0X5*3月00.

高考GAQKAOZHENTI

（2018年全國/卷）從2位女生,1位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選則不同的選法共有種.（用數(shù)

字填寫答案）

16若有1位女生入選，則不同的選法有&第刁2種;若有2位女生入選，則不同的選法有廢C；口種.故滿足條

件的不同選法共有16種.

（2018年浙江卷）從135,7,9中任取2個數(shù)字，從024,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用

數(shù)字作答）

1260不含有0的四位數(shù)有熊XClXAJ-720個.

含有o的四位數(shù)有釐XGxGXAI=540個.

綜上,符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為720母40=1260.

（2017年全國〃卷）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有（）.

A.12種B.18種C.24種D.36種

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D由題意可得其中一人必須完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成一項(xiàng)工作，可得安排方式有瑪?第?A孑力6種.故

選D.

（2017年天津卷）用數(shù)字1,2,345,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有

個.（用數(shù)字作答）

1080礴組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為髭?黑?A：W60.

②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時,四位數(shù)的個數(shù)為解二120.

故符合題意的四位數(shù)一共有960420=1080個.

（2017年浙江卷）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名

女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

660（法一）只有1名女生時，先選1名女生有禺種方法;再選3名男生，有媒種方法;然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置,

有皤種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有C髭A：N80種選法.

有2名女生時，再選2名男生，有此種方法;然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置有A%種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有髭A%=180種

選法.

所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有480*80460種不同的選法.

（法二）不考慮限制條件，共有鬣髭種不同的選法，而沒有女生的選法有怨鬃種.

故至少有1名女生的選法有穌髭也召以440-180巧60種.

亮劍?高效訓(xùn)練◎眉胡★哀，決做值