安徽省合肥市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期最后一卷三模試卷含解析

Page232024屆東區(qū)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故選：B.2.設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，及它們之間的推出關(guān)系，即可以作出判斷.【詳解】由于，，由平面平行的性質(zhì)定理可得：，所以是的充分條件；但當(dāng)，，并不能推出，也有可能相交，所以是的不必要條件；故選:A.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、在上的單調(diào)性、函數(shù)值的正負(fù)情況依次判斷和排除ABC，即可得解.【詳解】由題定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，又是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故在上是增函數(shù)，故BC錯(cuò)；故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立，故可判斷，故可得三者大小關(guān)系.【詳解】，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故即，所以，故，故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由得，即，所以，故選：D6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助與的關(guān)系并化簡(jiǎn)可得，結(jié)合，逐項(xiàng)代入計(jì)算即可得解.【詳解】由可得，所以可得，.故選：D7.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，再由離心率的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【分析】

由，得，．因?yàn)椋渣c(diǎn)在線段上，且．如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，所以，所以．設(shè)，則，所以．由雙曲線的定義可知，所以，則．設(shè)，則．在中，由余弦定理，得，即，所以，則（負(fù)值已舍去）．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理代入計(jì)算.8.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時(shí)的圖象情況，分類(lèi)討論，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由得，即，解得或，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，若，對(duì)稱(chēng)軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：此時(shí)，即，則，所以無(wú)解，則無(wú)零點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)，綜上，此時(shí)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若，此時(shí)的大致圖象如下：令，解得（舍去），顯然在上存在唯一負(fù)解，所以要使恰有5個(gè)零點(diǎn)，需，即，解得，所以．故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決;（3）數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A. B.若，則是實(shí)數(shù)C.若，則 D.方程在復(fù)數(shù)集中有6個(gè)解【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由復(fù)數(shù)共軛的性質(zhì)知，設(shè)，則，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)滿足題設(shè)等式，但不一定為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，整理得，故，整理得，與不等價(jià)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可化為，即，所以，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得或；所以復(fù)數(shù)集中原方程有6個(gè)解，選項(xiàng)D正確；故選：AD10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，M分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且，則（）A.平面EMN截正方體得到的截面多邊形是矩形B.平面平面C.存在，使得平面平面D.當(dāng)時(shí)，平面EMN截正方體得到截面多邊形的面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，由面面平行的判定定理即可判斷A，由面面垂直的判定定理即可判斷BC，由條件求得的長(zhǎng)，即可判斷D.【詳解】如圖，連接，，，則，由正方體的性質(zhì)可得點(diǎn)E是側(cè)面的中心，點(diǎn)M是正方體的中心，所以連接EM并延長(zhǎng)交側(cè)面于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是側(cè)面的中心，且．設(shè)平面EPN交于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，連接NF，GH，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，．因?yàn)椋矫鍭BCD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以，易知，所以，所以平面EMN截正方體得到的截面多邊形NFGH是矩形，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)M是正方體的中心，所以，M，B三點(diǎn)共線，所以平面即為平面，因?yàn)?，，，AB，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)重合，平面EMN即為平面，由B選項(xiàng)可知平面平面，即平面平面EMN，C正確；當(dāng)時(shí)，，則，又，，所以截面多邊形NFGH的面積為，D錯(cuò)誤．故選:ABC．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由是偶函數(shù)可得是奇函數(shù)，，進(jìn)而結(jié)合已知證明是周期函數(shù)，且周期為即可判斷A選項(xiàng)；對(duì)已知條件分別令和得并聯(lián)立方程即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)，是周期函數(shù)求解即可判斷C；根據(jù)，結(jié)合的周期性求解即可.【詳解】解：由是偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，故．對(duì)于A，由，得，所以，代入，得，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，即，所以周期函數(shù)，且周期為，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，令得，，令得，，故，故B正確；對(duì)于C：令，得，因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，且周期為，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由得，，由A選項(xiàng)知，令得，故，因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)與奇函數(shù)，且周期為，所以，即，因?yàn)?，所以所以故D錯(cuò)誤．故選：AB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.北京時(shí)間2024年4月26日5時(shí)04分，神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開(kāi)“家門(mén)”，歡迎遠(yuǎn)道而來(lái)的神舟十八號(hào)航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國(guó)人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有__________．【答案】504【解析】【分析】本題考查排列中分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.根據(jù)題目要求，分兩類(lèi)進(jìn)行討論，第一類(lèi)葉光富在最右側(cè)，第二類(lèi)葉光富不在最右側(cè).然后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理相加即可得到答案.【詳解】根據(jù)葉光富不站最左邊，可以分為兩種情況：第一種情況：葉光富站在最右邊，此時(shí)剩余的5人可以進(jìn)行全排列，共有種排法.第二種情況：葉光富不站在最右邊，根據(jù)題目條件葉光富不站最左邊，此時(shí)葉光富有4種站法.根據(jù)題目條件湯洪波不站在最右邊，可知楊洪波只有4種站法.剩余的4人進(jìn)行全排列,共有種排法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，總共有種排法．故答案為：50413.已知函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先將化簡(jiǎn)為，再根據(jù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)最大值點(diǎn)，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的處理辦法求出的取值范圍.【詳解】，由，，得，時(shí)，，最大時(shí)，也最大，若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)最大值點(diǎn)，則只需，解得．故答案為：.14.已知曲線的方程為，過(guò)作直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．過(guò)作曲線的切線，設(shè)切線的交點(diǎn)為．則的最小值為_(kāi)_____．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題意，寫(xiě)出過(guò)兩點(diǎn)的切線方程，根據(jù)其都過(guò)，進(jìn)而求得方程，結(jié)合其過(guò)點(diǎn)，求得，即為的軌跡方程，再求目標(biāo)式的最小值即可.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，故過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，又其過(guò)點(diǎn)，則；同理，過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，又其過(guò)點(diǎn)，則；由以及可得，方程為：，根據(jù)題意可得，過(guò)點(diǎn)，則，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；則，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào).下證：過(guò)拋物線上的一點(diǎn)的切線方程為：：當(dāng)時(shí)，，也即過(guò)原點(diǎn)作拋物線切線，顯然其為，滿足；當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)可得，即，故過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，，又，則切線方程為：；綜上所述：過(guò)拋物線上的一點(diǎn)的切線方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵，一是，能夠準(zhǔn)確寫(xiě)出過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線方程，在小題中可直接使用二級(jí)結(jié)論，從而加快解題速度；二是，根據(jù)題意，求出切點(diǎn)弦方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡方程；屬綜合困難題.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字、說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，某人開(kāi)車(chē)在山腳下水平公路上自向行駛，在處測(cè)得山頂處的仰角，該車(chē)以的速度勻速行駛4分鐘后，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角，且.（1）求此山的高的值；（2）求該車(chē)從到行駛過(guò)程中觀測(cè)點(diǎn)的仰角正切值的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由銳角三角函數(shù)表示出、，再在中利用余弦定理計(jì)算可得；（2）設(shè)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，即可得到點(diǎn)處觀測(cè)點(diǎn)的仰角為，且，求出的最小值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，在中，因?yàn)椋?，同理，在中，，在中，由余弦定理得，由，所以，解得（?fù)值已舍去），所以此山的高為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)處觀測(cè)點(diǎn)的仰角為，且，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，最短，記最小值為，由，即，解得，所以，所以該車(chē)從到行駛過(guò)程中觀測(cè)點(diǎn)仰角正切值的最大值為．16.如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二（1）求證：．（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）補(bǔ)全圖形得到三棱錐，由線面垂直證得；（2）思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量求解線面角；思路二：等體積法求得到平面的距離，再用幾何法求得線面角.【小問(wèn)1詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)過(guò)作于，過(guò)作于，又四邊形為等腰梯形，則，則，又，所以，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，則，與重合于點(diǎn)，為三棱錐，設(shè)為中點(diǎn)，等腰直角中，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，∴，，又平面平面，又平面，.【小問(wèn)2詳解】方法一：為中點(diǎn)，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面法向量為，則，取，則，所以.所以直線與平面所成角正弦值為.方法二：為中點(diǎn)，，，又，又，平面，∴平面，，為等邊三角形，設(shè)到平面的距離為，∴，.所以直線與平面所成角的正弦值為.17.在2024年高考前夕，合肥一六八中學(xué)東校區(qū)為了舒展年級(jí)學(xué)子身心，緩解學(xué)子壓力，在一周內(nèi)（周一到周五）舉行了別開(kāi)生面“舞動(dòng)青春，夢(mèng)想飛揚(yáng)”的競(jìng)技活動(dòng)，每天活動(dòng)共計(jì)有兩場(chǎng)，第一場(chǎng)獲勝得3分，第二場(chǎng)獲勝得2分，無(wú)論哪一場(chǎng)失敗均得1分，某同學(xué)周一到周五每天都參加了兩場(chǎng)的競(jìng)技活動(dòng)，已知該同學(xué)第一場(chǎng)和第二場(chǎng)競(jìng)技獲勝的概率分別為、，且各場(chǎng)比賽互不影響．（1）若，記該同學(xué)一天中參加此競(jìng)技活動(dòng)的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)該同學(xué)在一周5天的競(jìng)技活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試求當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到可能的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和期望；（2）先求出一天得分不低于4分的概率，再用二項(xiàng)分布的概率公式求出，利用導(dǎo)數(shù)即可求得取最值時(shí)的值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，的可能取值為．因?yàn)椋?，，故的分布列為?345的數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)2詳解】設(shè)一天得分不低于4分為事件，則，則，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值．18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)，其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求證：為定值（ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，其中且，.（ⅰ）由可知三點(diǎn)共線且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示出，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得證；（ⅱ）由橢圓的定義及平行線對(duì)應(yīng)線段成比例性質(zhì)可得，，化簡(jiǎn)結(jié)合（i）可得，從而可得點(diǎn)的軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡(jiǎn)，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）可知的方程為，設(shè)點(diǎn)，其中且，（i）證明：因?yàn)?，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，，則，由（1）可知，所以（定值），（ⅱ）