福建省漳州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次段考（4月）數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁漳州一中2024～2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)科試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位若復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A.1 B. C.i D.【答案】A【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，所以的虛部是1，故選：A2.已知水平放置的的直觀圖如圖所示，，，則邊AB上的中線的實際長度為（）A.4 B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則即可求解.【詳解】的實際圖形應(yīng)是直角三角形，兩條直角邊長分別是6和8，斜邊AB的長度為10，邊AB上的中線的實際長度為5.故選：D3.平面上的三個力，，作用于同一點，且處于平衡狀態(tài).已知，，，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】首先由變形，再結(jié)合向量數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】由題意得，所以，兩邊平方得，即，所以.故選：C4.在中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，且滿足，若，則的值為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合余弦定理進行求解即可.【詳解】因為，由正弦定理可得，又，所以，故選：A5.已知長方體的體積為16，且，則長方體外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由柱體的體積可得，長方體外接球的半徑為，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面積的最小值.【詳解】設(shè)，由長方體的體積為16可得：，即，長方體外接球的半徑為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等，所以，當(dāng)，長方體外接球表面積的最小值為.故選：C.6.已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（）A.7 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助投影向量定義可計算出，結(jié)合向量模長公式計算即可得.【詳解】由題意可得，向量在向量上的投影向量為，則，解得，則，故．故選：D.7.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)棱臺的體積公式，求出，即可解出.【詳解】設(shè)四棱臺的高度為，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，則，所以.故選：D.8.的內(nèi)角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因為，代入解得.過D作DE垂直于AB于點E，因此E為中點，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中錯誤的是（）A.B.若，則的最大值為C.若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限D(zhuǎn).若是關(guān)于的方程的一個根，則【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的形式，寫出共軛，由復(fù)數(shù)的平方和模長的運算得到A錯誤；由復(fù)數(shù)的幾何意義可得B正確；由復(fù)數(shù)的運算可得C錯誤；把根代入方程后由復(fù)數(shù)的意義可得D錯誤.【詳解】設(shè)，則，其中，A：，，故故A錯誤；B：因為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心的單位圓上，而表示圓上的點到點的距離，又圓心到的距離為，所以圓上的點到的最大距離為，故B正確；C：因為，所以，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故C錯誤；D：是關(guān)于的方程的一個根，所以，整理可得，所以，解得，故D錯誤；故選：ACD.10.已知、、分別為內(nèi)角、、的對邊，下面四個結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，，且有兩解，則的取值范圍是C.若，則等腰三角形D.若，的平分線交于點，，則的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理可得A正確、B正確；由二倍角的正弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式可得C錯誤；由三角形的面積公式結(jié)合基本不等式的乘“1”法可得D正確.【詳解】對于A，因，由大邊對大角可得，由正弦定理可得，其中為三角形外接圓半徑，所以，故A正確；對于B，如圖，因為，，若有兩解，則，即，所以，則的取值范圍是，故B正確；對于C，因為，所以，即，又，所以，所以或，即或，即為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；選項D，的平分線交于點，，由，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，得，即，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故D正確.故選：ABD.11.如圖，圓臺，在軸截面中，，H，F(xiàn)為圓上定點，且，M為AD中點，C，H，F(xiàn)，M四點共面．則（）A.該圓臺高為B.該圓臺體積為C.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到M點，所經(jīng)過的最短路徑為5D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合臺體的結(jié)構(gòu)特征運算求解；對于B：根據(jù)臺體的體積公式運算求解，對于C：由圓臺補成圓錐，結(jié)合圓錐的側(cè)面展開圖分析求解；對于D：做輔助線，分析可知，結(jié)合幾何知識運算求解.【詳解】對于選項A：如圖1，作交于點E，易得，則，所以圓臺的高為，故A正確；對于選項B：圓臺的體積為，故B錯誤；對于選項C：由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4，底面半徑為2，側(cè)面展開圖的圓心角，M為AD的中點，連接CM，如圖2，可得，，，則，此時到的距離為，故從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為5，C正確；對于選項D：延長CM，BA交K點，連接HK，則F點在HK上，為中點，是與交點，如圖3，過作HK垂線，垂足為N，延長，過K作KQ垂直于，垂足為Q，如圖4，則，與相似，可得，，解得，由垂徑定理知N為FH的中點，則與相似，且都是等腰直角三角形，所以，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將棱長為2的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為__________．【答案】【解析】【詳解】將棱長為2的正方體木塊切削成一個體積最大的球時，球的直徑等于正方體的棱長2，則球的半徑，則球的體積，故答案為.點睛：本題考查的知識點是球的體積，其中根據(jù)正方體和圓的結(jié)構(gòu)特征，求出球的半徑，是解答本題的關(guān)鍵；根據(jù)已知中，將棱長為2的正方體木塊切削成一個體積最大的球，結(jié)合正方體和圓的結(jié)構(gòu)特征，就是正方體的內(nèi)切球，我們可以求出球的半徑，代入球的體積公式即可求出答案.13.在2012年7月12日倫敦奧運會上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為的觀禮臺上，某一列座位所在直線與旗桿所在直線共面，在該列的第一個座位和最后一個座位測得旗桿頂端的仰角分別為和，且座位的距離為米，則旗桿的高度為__________米．【答案】30【解析】【分析】根據(jù)示意圖，根據(jù)題意可求得∠NBA和∠BAN，則∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN＝AN?sin∠NAM求得答案．【詳解】解：如圖所示，依題意可知∠NBA＝45°，∠BAN＝180°﹣60°﹣15°＝105°∴∠BNA＝180°﹣45°﹣105°＝30°由正弦定理可知∴AN＝＝20米∴在Rt△AMN中，MN＝AN?sin∠NAM＝20×＝30米所以：旗桿的高度為30米故答案為30．【點睛】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用，正弦定理解三角形.此類問題的解決關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用所學(xué)知識解決．14.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形將所求數(shù)量積中的向量轉(zhuǎn)化，化簡為，從而只需求的取值范圍，由圖易得的最大最小值，代入即得.【詳解】如圖，取的中點,連接.則,因為圓的直徑，長度為4，故得,要求的取值范圍，即要求的取值范圍.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點與正六邊形的頂點重合時，當(dāng)點為正六邊形的邊的中點時(如圖點)，故.故答案為：【點睛】思路點睛：本題解題思路在于結(jié)合圖形的特點，分別將其中的向量進行分解、計算、化簡，將問題轉(zhuǎn)化為求距離的最大最小值問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，．（1）求以及；（2）設(shè)，若，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）1或5【解析】【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，根據(jù)純虛數(shù)概念求解；（2）利用復(fù)數(shù)的乘除、乘方化簡，再由模的公式建立方程求解.【小問1詳解】設(shè)，則，由為純虛數(shù)，得①，且，由，得②，由①②解得，驗證知，滿足題意.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，由，得，整理，得，解得或.故實數(shù)的值為1或5.16.如圖，在中，，點為中點，點為上的三等分點，且靠近點，設(shè)．（1）用表示；（2）如果，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，結(jié)合向量加，減，和數(shù)乘，即可用基底表示向量；（2）由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得，最后利用數(shù)量模的運算公式結(jié)合數(shù)量積的運算律求解即可．【小問1詳解】因為，所以，；【小問2詳解】因，所以，所以，由，可得，又，所以，所以．17.在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角和的正弦展開式和誘導(dǎo)公式以及特殊角的余弦值計算可得；（2）由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理可得.【小問1詳解】，由正弦定理邊化角，即，，，又，，，【小問2詳解】，，，，，的周長為．18.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，、、三點共線，的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且．（1）求的大??；（2）若，且，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦展開式和特殊角的正弦值求解即可；（2）由展開圖的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出，再由數(shù)量積的定義求出，然后在中，由余弦定理得，再結(jié)合勾股定理和半角公式求出，最后由余弦定理求解.【小問1詳解】，，，又，，，．【小問2詳解】由展開圖知，，，由（1）知，又，，，、、三點共線，且，，，，，中，由余弦定理得，，，，中，由余弦定理得，．19.如圖，設(shè)、是平面內(nèi)相交成的兩條射線，，分別為、同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記．（1）在－仿射坐標(biāo)系中，若，求；