吉林省長春市長春汽車經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁汽開三中2024－2025學(xué)年度下學(xué)期月考考試高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷注意事項：本試卷共2頁，總分150分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書．從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有（）A.13種 B.7種 C.種 D.42種【答案】D【解析】【分析】先取本歷史書，再取本地理書，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得出答案.【詳解】本不同的歷史書任取本歷史書有種取法，本不同的地理書任取本地理書有種取法，從這些書中任取本歷史書和本地理書，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的取法有種.故選：D.2.若可導(dǎo)函數(shù)的圖象過原點，且滿足，則等于（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】由題得，再利用導(dǎo)數(shù)定義求解.【詳解】∵圖象過原點，∴，∴，故選：C3.下列求導(dǎo)運算錯誤的是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】借助求導(dǎo)公式與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式逐項計算即可得.詳解】對A：，故A正確；對B：，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D正確.故選：C4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并令解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】易知函數(shù)定義域為，可得，顯然，令，可得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A5.已知函數(shù)，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，令可得，即可得的值.【詳解】因為，則，令，可得，解得，即，所以.故選：A.6.現(xiàn)有五人站成一排，則相鄰且不相鄰的排法種數(shù)共有（）A.6 B.12 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)以及分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將，看成一個整體，，的排列方法有種方法，然后將這個整體與進行全排列，即不同的排列方式有，最后將，插入到三個空中的兩個中，有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知排法種數(shù)為，故選：C.7.函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出，從而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，由題意得：，即在上恒成立，因為，所以恒成立，故實數(shù)a的取值范圍是.故選：B8.已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意利用導(dǎo)數(shù)計算可得該函數(shù)單調(diào)性，即可將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到，即可得解.【詳解】令，則，則當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，由，則，又，即不等式等價于，即，即有，解得.故選：D.二、多項選擇題（本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則（）A.函數(shù)有極大值 B.函數(shù)有極小值C.函數(shù)有極大值 D.函數(shù)有極小值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圖象求出函數(shù)的零點，再求出大于0、小于0的x取值區(qū)間即可判斷作答.【詳解】依題意，三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為是二次函數(shù)，觀察圖象知，是函數(shù)的兩個零點，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)有極小值，有極大值，AD正確，BC錯誤.故選：AD10.下列說法正確的有（）A.某商場共有5層，每層均有兩個樓梯，小明從一樓上到五樓可能的走法有32種B.用，，，，，，這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有105個C.現(xiàn)有5個相同的球和5個編號為，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，恰有一個空盒的放法有20種D.把英文單詞sorry的字母順序?qū)戝e，可能出現(xiàn)的錯誤共有59種【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對于B：分類討論個位數(shù)是否為0，結(jié)合排列數(shù)運算求解；對于C：若恰有一個空盒，則一個盒子有2個球，結(jié)合排列數(shù)運算求解；對于D：注意到字母中包含2個r，結(jié)合排列數(shù)運算求解.【詳解】對于選項A：每層均有2種選擇，從一樓上到五樓可能的走法有種，故A錯誤；對于選項B：若個位為0，偶數(shù)共有個；若個位不為0，偶數(shù)共有個；綜上所述：偶數(shù)共有個，故B正確；對于選項C：若恰有一個空盒，則一個盒子有2個球，所以放法有種，故C正確；對于選項D：由題意知本題是一個排列組合及簡單的計數(shù)問題五個字母進行全排列共有種結(jié)果，字母中包含2個r，則五個字母進行全排列的結(jié)果要除以2，共有60種結(jié)果，在這60種結(jié)果里有一個是正確的，所以可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是，故D正確；故選：BCD.11.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD三、填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分.）12.函數(shù)的極小值點為______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，進而可得極值點.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，令，解得；令，解得或；可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值點為.故答案為：.13.已知，則______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)運算求解即可.【詳解】因為，則或，解得或，且，所以.故答案為：3.14.有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為_________.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】【分析】分類討論錄取的人數(shù)，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.【詳解】當(dāng)人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為，當(dāng)4人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為，綜上不同的錄取情況數(shù)共有種.故答案為：60四、解答題（本大題共5小題，共77分.其中15題滿分13分，16，17題滿分15分，18，19題滿分17分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.某餐飲公司給學(xué)校學(xué)生配餐，現(xiàn)準(zhǔn)備了種不同的葷菜和種不同的素菜.（1）當(dāng)時，若每份學(xué)生餐有葷素，共有多少種不同的配餐供學(xué)生選擇？（2）若每位學(xué)生可以任選葷素，要保證至少有種以上的不同選擇，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用組合計數(shù)原理結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可求出不同的選擇方法種數(shù)；（2）利用組合計數(shù)原理可得出每位學(xué)生的不同選擇方法種數(shù)，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，由此可求得正整數(shù)的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時，學(xué)校共有種不同的葷菜和種不同的素菜，若每份學(xué)生餐有葷素，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選擇方法為（種）.【小問2詳解】從種不同的葷菜和種不同的素菜中，任取葷素，不同的選擇方法為（種）.由題意，得，整理可得，因為，所以，所以的最小值為.16.（1）將6本不同的書分成3堆，每堆2本，有多少種分法？（2）將6本不同的書分成3堆，一堆4本，另兩堆各1本，有多少種分法？（3）將6本不同的書平均分給3人，每人2本，有多少種分法？（4）將6本不同的書分給3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少種分法？（5）將6本不同的書分給4人，每人至少1本，有多少種分法？【答案】（1）15；（2）15；（3）90；（4）360；（5）1560【解析】【分析】（1）利用平均分組分配，結(jié)合排列組合即可求；（2）根據(jù)部分平均分組，結(jié)合排列組合即可求解；（3）根據(jù)給定條件，利用組合計數(shù)問題、結(jié)合分步乘法計數(shù)原理列式計算即得；（4）根據(jù)不平均分組問題，結(jié)合排列組合即可求解；（5）分4位同學(xué)分得的書本數(shù)為1，1，1，3和1，1，2，2兩種情況討論即可.【詳解】（1）先分第一堆有種分法，再分第二堆，有種分法，最后分第三堆，有種分法，但堆與堆之間沒有區(qū)別，故把6本不同的書平均分成3堆，共有種分法；（2）無序部分均勻分組問題：共有＝15（種）分法；（3）依題意，將6本不同的書，由分步乘法計數(shù)得不同的分配方式有（種）；（4）先選1本有種選法，再從余下的5本中選2本有種選法，最后余下的3本全選有種選法，同時3人不同，需要排序，故有（種）分配方式；（5）分兩類：第一類：當(dāng)4位同學(xué)分得書本數(shù)為1，1，1，3時，共有種；第二類：當(dāng)4位同學(xué)分得的書本數(shù)為1，1，2，2時，共有種；由加法原理，知共有種不同分法.17.已知函數(shù).（1）求曲線與直線垂直的切線方程；（2）若過點的直線與曲線相切，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或5【解析】【分析】（1）求出切線斜率，再寫出切線方程；（2）根據(jù)切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.【小問1詳解】因為斜率為，所以，所以，又.所以所求切線方程為，即.【小問2詳解】，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程：，則則，整理得，所以，所以或5.18.已知函數(shù)在時取得極值．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若有兩個零點，求的值．【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）（3）或【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，由可求出的值，進而確定導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)正負即可得解.（2）由（1）可知函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最低的端點值和極小值進行比較即可得解.（3）將函數(shù)零問題轉(zhuǎn)化成圖像交點問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值情況即可求解.【小問1詳解】由題得，且定義域為.由函數(shù)在時取得極值，得，解得，此時，顯然是的變號零點，即是極值點，因此，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.【小問3詳解】因為，由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極小值為，極大值為，由有兩個零點得直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，故或，所以或.19.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求正實數(shù)取值范圍；(2)若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求的定義域及其導(dǎo)函數(shù)，并由當(dāng)