四川省南充市2025屆高三下學(xué)期4月三診試題 數(shù)學(xué) 含解析

南充市高2025屆高考適應(yīng)性考試（三診）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i為虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】由題意知，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.集合，，則（）A.或 B.C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性先分別求解集合與集合，再求出，最后求出的補(bǔ)集.【詳解】已知集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋裕醇?已知集合，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即集?所以，所以或.故選：A.3.設(shè)l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對A：因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓚€(gè)平面的位置關(guān)系不能確定，故A錯(cuò)誤；對B：因?yàn)閮蓷l直線平行，其中一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面，故B正確；對C：當(dāng)，，時(shí)，平面的位置關(guān)系不能確定，故C錯(cuò)誤；對D：如圖：正方體中，平面平面，平面，平面，且.所以兩個(gè)平面互相垂直，一個(gè)平面的垂線與另一個(gè)平面的平行線未必平行，故D錯(cuò)誤.故選：B4.某市20000名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)測試（滿分150分），學(xué)生的測試成績X近似服從正態(tài)分布，則測試成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為（）附：（若，則，）A.2717 B.2718 C.6827 D.9545【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求，再估計(jì)測試成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】因?yàn)?所以測試成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為：.故選：C5.函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得為奇函數(shù)，即可排除A、C，由函數(shù)在上的函數(shù)值的特征排除D，即可得解.【詳解】由圖可知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為奇函數(shù)，對于A：定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為偶函數(shù)，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對于C：定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為偶函數(shù)，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對于D：定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，不符合題意，故D錯(cuò)誤；故利用排除法可知選項(xiàng)B符合題意.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，誘導(dǎo)公式，化簡得到答案.【詳解】.故選：C7.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若，，則該圓臺(tái)的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的底面半徑長，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】，，故，，故圓臺(tái)上底面半徑：下底面半徑：如圖，取圓臺(tái)的軸截面，則圓臺(tái)的高：，則該圓臺(tái)的內(nèi)切球的半徑：故內(nèi)切球表面積：故選：D8.已知橢圓：和雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由兩曲線有公共焦點(diǎn)得，接著由線段的垂直平分線求得，再結(jié)合橢圓和雙曲線定義以及勾股定理依次求得和即可由漸近線定義得解.【詳解】設(shè)，則由題：，又的離心率為，所以，即，，即，令線段的垂直平分線與線段的交點(diǎn)為M，則M是線段的中點(diǎn)，又O是的中點(diǎn)，則，所以，又，所以，所以，則，即，所以的漸近線方程為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.2024年10月央行再次下調(diào)人民幣存款利率，存款利率下調(diào)是為了刺激經(jīng)濟(jì)增長促進(jìn)投資和消費(fèi)而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來的人民幣一年定期存款利率：時(shí)間2018年2019年2020年2021年2022年2023年2024年利率%1.551501.751.751.551.851.65關(guān)于表中的7個(gè)存款利率數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.極差為0.35 B.平均數(shù)小于1.65C.中位數(shù)為1.65 D.20%分位數(shù)為1.50【答案】AC【解析】【分析】先將數(shù)字從小到大排列，再利用極差的公式判斷A，平均數(shù)公式判斷B，百分位數(shù)公式判斷D，中位數(shù)公式判斷C即可.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，對于A，極差為，故A正確，對于B，平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤，對于C，由題意得這組數(shù)共有7個(gè)數(shù)，則中位數(shù)為第4個(gè)數(shù)，即，故C正確.對于D，因?yàn)椋苑治粩?shù)為第2個(gè)數(shù)，即，故D錯(cuò)誤，故選：AC10.已知等式其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，將a視為自變量x（，），b為x的函數(shù)，記為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則D.當(dāng)時(shí)，若的兩實(shí)根為，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意求出，即可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B選項(xiàng)；利用為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C選項(xiàng)；利用對數(shù)均值不等式即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意知，，故即，且，故，對于A，，故A正確；對于B，故在上，單調(diào)遞增；在和上，單調(diào)遞減；故且故，故B正確；對于C，，故為偶函數(shù)，則有4個(gè)不等的實(shí)根，即，有2個(gè)不等的實(shí)根，且和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，故C錯(cuò)誤；對于D，由的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，若的兩實(shí)根為，，則，且，故，引入不等式，證明過程如下：不妨設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，，則問題轉(zhuǎn)化為：，．令，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；所以，故，成立，所以．故，故，故D正確.故選：ABD11.已知曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于x軸對稱B.曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2C.曲線C內(nèi)部（不含邊界）有4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D.曲線C構(gòu)成的封閉圖形面積大于的面積【答案】ABD【解析】【分析】對于A項(xiàng)，運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是滿足方程，則曲線的圖象關(guān)于軸對稱；對于B項(xiàng)，根據(jù)已知條件可得即可；對于C項(xiàng)，計(jì)算邊界點(diǎn)來界定整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)；對于D項(xiàng)，根據(jù)已知整點(diǎn)及軌跡圖象估算面積判斷.【詳解】對于A,設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是，將代入曲線方程得，化簡得，此時(shí)方程成立，故也在曲線上，則軸是曲線的一條對稱軸，故A正確；對于B，由可得，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2，故B正確；對于C，令，解得或，即曲線經(jīng)過，不含邊界無整數(shù)解，由B可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2，，令，得，而，故曲線內(nèi)部有整點(diǎn)3個(gè)，令，得無解，令，得，即曲線經(jīng)過，不含邊界無整數(shù)解，令，得無解，因此曲線只能經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)，，，曲線C內(nèi)部有3個(gè)整點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D,由上分析，作出該曲線，可見圖象包含圓，所以曲線C構(gòu)成的封閉圖形面積大于的面積，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則______.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意可得：，即，所以，故答案為：13.已知曲線，圓，若直線與曲線在處的切線平行，且直線被圓C截得的弦長為6，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)可得切線斜率，進(jìn)而根據(jù)弦長可知直線經(jīng)過圓心，即可利用點(diǎn)斜式求解直線方程.【詳解】對求導(dǎo)可得，所以，故直線的斜率為1，又的半徑為圓心為，直線被圓C截得的弦長為6，故直線剛好經(jīng)過圓C的圓心，故方程為，即，故答案為：14.用平面截圓錐可得到不同的圓錐曲線.如圖，已知圓錐的側(cè)面積為，它的軸截面為等腰直角三角形.過圓錐底面圓心O作平面，使圓錐軸與平面成45°角，此時(shí)平面截圓錐側(cè)面所得圖形記為拋物線C，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為______.【答案】1【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出拋物線方程，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，因?yàn)檩S截面為等腰直角三角形.所以，母線長為，所以側(cè)面積為：，解得，如圖：取的中點(diǎn)，過作，連接，易知，由圓錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易知，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又在平面，所以，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，所以即為圓錐軸與平面成45°角，即，.O為AB的中點(diǎn)，M是中點(diǎn)，所以O(shè)M為中位線，所以,所以.又.以M為原點(diǎn)，MO為x軸建立坐標(biāo)系如圖示，則.可設(shè)拋物線，把帶入拋物線方程可得：，所以拋物線為：，焦點(diǎn)，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求外接圓面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊化角，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化，可得答案；（2）由余弦定理與重要不等式，可得邊的最小值，根據(jù)正弦定理可得外接圓的半徑，可得答案.【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理，則，即，由，則，由，即，則，解得.【小問2詳解】由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的最小值為，所以外接圓面積的最小值為.16.在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C方程；（2）若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，，求k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將三角形周長的條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到，的距離和為定值，利用橢圓的定義即可求解；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式和垂直平分線的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由題意可知：，.由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.可設(shè)方程為，則，，解得，則，故曲線的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立方程組，消去，整理可得.則.設(shè)，，的中點(diǎn)為，則由韋達(dá)定理可知：，.，.∵，，則，如圖所示.又，則，即，解得.17.如圖，在等腰梯形中，，，E是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存，【解析】【分析】（1）先證四邊形ABED是菱形，可得，根據(jù)翻折前后不變的位置關(guān)系可證AE⊥平面，結(jié)合，即可得證；（2）先說明AE，，DM兩兩垂直，再以M為原點(diǎn)建系，利用向量法求面面角的余弦值即可；（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)P，使得平面，作出輔助線，得到A，M，P，Q四點(diǎn)共面，并證得四邊形AMPQ為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，推出P是的中點(diǎn)，得解．【小問1詳解】在梯形ABCD中，連接DE，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，，所以，又，所以四邊形ABED是平行四邊形，同理可證四邊形AECD也是平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形ABED是菱形，所以，翻折后，有，，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅蜛ECD是平行四邊形，所以，所以平面；【小問2詳解】平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，所以，由（1）知，，故AE，，DM兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以為等邊三角形，同理也為等邊三角形，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，由圖，平面與平面夾角為銳角，故平面與平面夾角的余弦值為；【小問3詳解】假設(shè)線段上存在點(diǎn)P，使得平面，過點(diǎn)P作交于Q，連接MP，AQ，如圖所示，所以，即A，M，P，Q四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面AMPQ，平面平面，所以，所以四邊形AMPQ為平行四邊形，所以，所以P是的中點(diǎn)，故在線段上存在點(diǎn)P，使得平面，且.18.甲、乙兩個(gè)不透明的口袋內(nèi)裝有除顏色外大小質(zhì)地完全相同的若干個(gè)小球，已知甲口袋有個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙口袋有個(gè)紅球和2個(gè)白球.現(xiàn)在小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球.（1）當(dāng)時(shí).（i）求小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球的概率;（ii）設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P，則當(dāng)m為何值時(shí)，P最大？【答案】（1）（i）；（ii）分布列見解析，（2）時(shí)，P最大.【解析】【分析】（1）（i）利用對立事件計(jì)算概率；（ii）根據(jù)題意計(jì)算概率，再分布列和求數(shù)學(xué)期望；（2）列出概率，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、最值得關(guān)系求解.【小問1詳解】（i）設(shè)事件：小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球，則.（ii）由題可知，可能的取值為，甲口袋每次摸到紅球的概率為，每次摸到白球的概率為，乙口袋每次摸到紅球的概率為，每次摸到白球的概率為，,,，，，分布列如下，01234所以.【小問2詳解】小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率P，因?yàn)椋?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，P最大，最大值為.19.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法.如圖，r是函數(shù)的零點(diǎn)，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實(shí)數(shù)，，…，，在點(diǎn)處作的切線，則在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，同理在處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列，從圖中可以看到，較接近r，較接近r，……，當(dāng)n很大時(shí)，很小，我們就可以把的值作為r的近似值，即把作為