2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)三角形的最值問題》專項檢測卷及答案

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)三角形的最值問題》專項檢測卷及答案學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，已知是等邊三角形，，點D為的中點，點E，F(xiàn)分別為邊上的動點（點E不與B，C重合），且．(1)當(dāng)時，求出的長度(2)當(dāng)，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若E，F(xiàn)分別為直線上的動點（點E不與B，C重合），求的最大值．2．在矩形中，，，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為（），得到矩形，點B、點C、點D的對應(yīng)點分別為點E、點F、點G．(1)如圖①，當(dāng)點E落在邊上時，求線段EC的長度；(2)如圖②，當(dāng)點E落在線段上時，與相交于點H，連接．①求證：；②求線段的長度．(3)如圖③設(shè)點P為邊的中點，連接，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請直接寫出這個最大值；若不存在，請說明理由．3．如圖，在四邊形中，，E是邊上的一動點，連接．(1)__________，線段的最小值是__________；(2)過點E作線段的垂線l，點F在直線l上，且滿足．①在圖中利用尺規(guī)作圖作出滿足上述要求的圖形；（保留作圖痕跡，不寫作圖過程）②在點E運(yùn)動的過程中，當(dāng)點F落在邊上時，求證：；③直接寫出線段長的最小值；④連接．當(dāng)直線時，求線段的長．4．如圖，在矩形中，，，點，分別在，邊上，且，將，分別沿，折疊，點A的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，點不得超過對角線，連接．(1)當(dāng)時，求線段的長度；(2)當(dāng)時，求線段的長度；(3)在折疊過程中，直接寫出線段的最小值．5．如圖1，已知中，，，點為邊上一動點（不與點、重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，與交于點．(1)當(dāng)時，求的值；(2)試探究猜想、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)在點在邊上運(yùn)動的過程中，、的面積分別記為、，求的最小值．6．已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線交射線于點．(1)如圖，當(dāng)點在射線上時，求證：是的中點；(2)如圖，當(dāng)點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當(dāng)時，過點作，垂足為點，以為一邊構(gòu)造如圖正方形，連接，當(dāng)時，直接寫出的最小值．7．如圖，在中，，，點為直線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，取的中點，連接，交于點．(1)與的位置關(guān)系是_____________；(2)當(dāng)點在線段上運(yùn)動時，求證：；(3)若，直接寫出點到直線的距離的最小值．8．如圖，在邊長為6的等邊中，點D在邊上，，線段在邊上運(yùn)動，，(1)求四邊形面積的最大值？(2)求四邊形周長的最小值？9．如圖，，，，分別是四邊形各邊的中點，我們稱四邊形是四邊形的中點四邊形．(1)若四邊形中，，確定中點四邊形的形狀，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若，則的最小值為___________10．如圖所示，矩形中，，，把一塊三角尺的直角頂點置于邊上，，三角尺的兩條直角邊，分別交，兩邊于點，，連接．設(shè)．(1)當(dāng)平分時，求的值；(2)①當(dāng)，重合時，；②當(dāng)，不重合時，求的值．(3)設(shè)線段的中點為，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系為；再取的中點，連接，請直接寫出線段的最小值．11．如圖，在中，，分別是，的中點，，連接，，與交于點．(1)求證：；(2)點在直線上，若，，求的周長的最小值．12．已知，在中，，是上的一點，連接，在直線右側(cè)作等腰，．(1)如圖1，，，連接，求證：；(2)如圖2，，，，取邊中點，連接．當(dāng)點從點運(yùn)動到點過程中，求線段長度的最小值．13．【問題情境】如圖1，點E為正方形內(nèi)一點，，，，將直角三角形繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度（），點B，E的對應(yīng)點分別為點，．【問題解決】(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點落在了上，此時的長為______；(2)若，如圖3，得到（此時與D重合），延長交于點F．①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②連接，求的長；(3)在直角三角形繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，線段長度的最小值為______，最大值為______．14．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)如圖1，已知四邊形是箏形，則其對角線與滿足的關(guān)系是_________；(2)如圖2，中，，，，為線段上一點，將沿向外翻折得，將沿向右翻折得，連接，若，判斷四邊形是否為箏形，請說明理由，并求出的長；(3)如圖3，四邊形中，，，，點在上，，當(dāng)時，請直接寫出的最大值．15．如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點D，垂足為E，平分．(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，點P是直線上的動點，求的最大值．16．如圖，是等邊三角形，點D為平面內(nèi)一點．(1)如圖1，若點D在邊上，點M為的中點，連接，，若，求線段的長；(2)如圖2，若點D在的延長線上，點E為的中點，點H為上一點，且滿足，連接，交于點F，若，猜想線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，若，點D在直線的右側(cè)，點P，N分別在線段，上，且滿足，將繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)取得最小值時，將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交于點T，連接．若，直接寫出的最大值．參考答案1．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點F作于點，則，，則，解直角三角形可得，，再由勾股定理即可求解；（2）延長至點M，使得，連接，延長至點，使得，連接，證明，過點作于點G，過點C作于J，，設(shè)，則，同理可求，代入得到，即可求解；（3）分類討論，利用解直角三角形表示出，根據(jù)作差結(jié)合取值范圍判斷與大小，再由根的判別式求最值，比較大小即可．【詳解】（1）解：過點F作于點，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由見解析證明：延長至點M，使得，連接，延長至點，使得，連接，∴，∵，∴，同理∴，∵，，∴，∴，過點作于點G，過點C作于J，∴設(shè)，則，同理可求∴∵∴，∴，解得：或（舍），∴；（3）解：當(dāng)點E在線段上時，點F在點A下方時，如圖：過點D，F(xiàn)分別作于點，，∵為等邊三角形，∴，，∵為中點，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∵∴，∴同理可得：，，∴，∴，∴設(shè)，整理得：，則，解得：，∴的最大值，∴的最大值為：，當(dāng)點E在線段上時，點F在點A上方時，記為，如圖：∵，∴；當(dāng)點E在線段延長線上，點F在點A上方時，記為，連接，如圖：此時，則，當(dāng)點E在線段延長線上，點F在點A下方時，過點D，F(xiàn)分別作于點，如圖：同上：設(shè)，則，∴，∵綜上所述，的最大值為．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式等知識點，難度較大，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)①見解析；②(3)存在，【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖①，在中，利用勾股定理即可解決問題；（2）①利用進(jìn)行判定即可；②設(shè)，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程進(jìn)行計算即可；（3）存在，連接，作于點，當(dāng)與共線時，的面積最大，求出，即可求出答案．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，由于逆時針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為（），得到矩形，，在中，，；（2）①證明：當(dāng)點落在線段上，，在和中，，；②解：，，，設(shè)，在中，，，，；（3）解：存在，理由如下：連接，作于點，當(dāng)與共線，且時，面積最大，由題意得：，，，，，，，的面積的最大值為．3．(1)，線段的最小值是6(2)①見解析；②見解析；③的最小值為；④【分析】（1）過點D作于點G，可得四邊形是矩形，得，得，得；由，即得線段的最小值為6；（2）①過點E作直線，在l上取即可；②過點D作于點G，證明，得，即得；③過點D作于點G，過點F作交延長線于點H，于點J,在上取點I，使，連接，設(shè)交于點K，證明，可得，得，點F在直線上運(yùn)動，當(dāng)時，取得最小值，證明，得，根據(jù)四邊形是矩形，可得，得，得，即得的最小值為；④過點F作于點H,過點D作于點G，證明,,得,,得,即得

．【詳解】（1）解：過點D作于點G．則．∵，∴四邊形是矩形．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴線段的最小值為6．故答案為：135；6．（2）解：①如圖，線段即為所求作；②過點D作于點G，則，∴，∵，∴，由①知，，∴，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，∵，∴；③過點D作于點G，過點F作交延長線于點H，作于點J，在上取點I，使，連接，設(shè)交于點K．則．∴．由①知，，∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴點F在直線上運(yùn)動，當(dāng)時，取得最小值．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴四邊形是矩形．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．故的最小值為．④如圖，過點F作于點H，過點D作于點G，∵，∴．∴．∵，∴．∴,．∵，∴．∵，∴．∴．∴．解得．∴．【點睛】本題考查了三角形矩形綜合．熟練掌握過直線上一點作直線的垂線，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．(1)cm(2)(3)【分析】（1）連接，，由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)易得，則，，由此可得四邊形是平行四邊形，則可得，，根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而可得的長．（2）由折疊的性質(zhì)可得，．再根據(jù)證明，則可得，進(jìn)而可得，又由，可得，則可得，，根據(jù)勾股定理求出的長，即可求出的長．（3）由于折疊過程中長始終等于的長，由可得，當(dāng)和落在上時,有最小值為1.【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)于點時，連接，，在矩形中，，，．，，，，．．又，四邊形是平行四邊形，，，．（2）解：如圖，當(dāng)時，延長交于點，延長交于點，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，．，，，，，，，，，，，，．（3）解：在折疊過程中，中，,即,，,當(dāng)和落在上時,.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)，證明見解析(3)的最小值為【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，從而，再求出，，可得，進(jìn)而可求出；（2）過點作于點，由等腰三角形的性質(zhì)得，，證明，從而可證，由得，進(jìn)而可證；（3）過點作于點，過點作于點，過點作于點，由得，可得，由，可得，從而，設(shè)，，中，，，進(jìn)而可求出當(dāng)時，的最小值為．【詳解】（1）解：如圖2，∵，∴由旋轉(zhuǎn)得，，∴∵∴∴，∴，∴∴∴∴（2）猜想：．證明：如圖3，過點作于點，∵，∴，∴∵∴又∵，∴∴∴∴∴∴；（3）解：如圖4，過點作于點，過點作于點，過點作于點，∴，∴∴∵，∴∵∴∴∴∴設(shè)，，∵，∴，，，中，，∴∵∴當(dāng)時，的最小值為．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)求最值，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）連接，由題意得：，進(jìn)而得出，得到，證明是中點．（2）通過作輔助線構(gòu)造，再結(jié)合得出線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）先求出動點的運(yùn)動軌跡是的角平分線，再利用正方形的性質(zhì)和對稱，將轉(zhuǎn)化為兩點間線段，再根據(jù)勾股定理求最小值．【詳解】（1）證明：連接，由題意得：，，，，，，，，，，∴點是的中點；（2）在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，，，，，，，，，，∵G是的中點，，，，，，，；（3）解：，在中，，，，正方形中，，，，，，，，，，，，動點的運(yùn)動軌跡是的角平分線，作點關(guān)于的對稱點，則點一定在上，連接，交于點，，即的最小值就是，過點作垂直于，交的延長線于點，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，∴，即的最小值是．【點睛】本題考查了三角形全等，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及判定，正方形的性質(zhì)，以及利用幾何變換求線段最值等知識．解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件合理構(gòu)造全等，利用其性質(zhì)進(jìn)行線段關(guān)系的推導(dǎo)，對于求線段和最小值問題，要運(yùn)用對稱等方法轉(zhuǎn)化．7．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)、結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到相關(guān)角度、線段關(guān)系，再由兩個三角形全等的判定與性質(zhì)即可得證；（2）延長到點，使，連接，如圖所示，先由全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而由全等性質(zhì)及平行性質(zhì)得到邊與角的關(guān)系，從而由兩個三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性質(zhì)及兩角互余即可得證；（3）取的中點，過點作垂足為，作垂足為，如圖所示，先判斷，進(jìn)而得到四邊形為矩形，在和中，解直角三角形求出，結(jié)合點在以為直徑的上，當(dāng)點在線段上時，點到直線的距離最小，求出即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，在和中，，，則，，故答案為：；（2）證明：延長到點，使，連接，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴；（3）解：取的中點，過點作垂足為，作垂足為，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴在中，，∴，在中，，，∴，∴，∵長度不變，∴點在以為直徑的上，當(dāng)點在線段上時，點到直線的距離最小，此時，∴點到直線的距離的最小值為．【點睛】本題考查幾何綜合，綜合性強(qiáng)、難度較大，涉及等腰直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、動點最值問題-輔助圓等知識，熟記相關(guān)幾何判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及動點最值問題-輔助圓問題的解法是解決問題的關(guān)鍵．8．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則四邊形的面積，當(dāng)x取最大值5時，可得求得四邊形的面積最大值；（2）作點D關(guān)于的對稱點，連接，以、為邊作平行四邊形，過C作，交的延長線于N，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，即可發(fā)現(xiàn)當(dāng)M，P，C在同一直線上時，的最小值等于的長，即的最小值等于的長，再根據(jù)勾股定理求得的長，即可得出四邊形周長的最小值．【詳解】（1）解：設(shè)，則，四邊形的面積，∵x的最大值為，∴時，四邊形的面積最大，最大值；（2）如圖，作點D關(guān)于的對稱點，連接，以、為邊作平行四邊形，交于，則，，，過C作，交的延長線于N，則，四邊形為矩形，，，∴，，當(dāng)M，P，C在同一直線上時，的最小值等于的長，即的最小值等于的長，此時，中，，又∵，，∴四邊形周長的最小值為．【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及軸對稱最短問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．9．(1)中點四邊形是矩形，見解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)中位線定理，得出，，，進(jìn)而得出，，結(jié)合推出，即可得出結(jié)論；（2）過點D作，且，連接，則四邊形是平行四邊形，可得，可推出當(dāng)C、B、H三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值為的長，再證明，則由勾股定理得到，則的最小值為．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，理由如下，如圖所示，連接，，∵點E、F、G、H是四邊形各邊中點，∴，分別是的中位線，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖所示，過點D作，且，連接，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)C、B、H三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值為的長，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，中點四邊形，矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．10．(1)(2)①；②(3)；的最小值【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)易得，再分別用勾股定理表示出和，進(jìn)而建立方程求解；（2）①由即可得解；②參照①思路，構(gòu)造矩形，過點Q作，垂足為H，證，即可得解；（3）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出，進(jìn)而得到點T在的垂直平分線上，很明顯當(dāng)垂直于的垂直平分線上時，有最小值，再參考（2）中思路構(gòu)造相似求解即可．【詳解】（1）解：在矩形和三角尺中，有．當(dāng)平分時，應(yīng)有，即．而，，∴，解得，即當(dāng)平分時，；（2）解：①如圖，∴，故答案為：；②過點Q作，垂足為H，則，∴四邊形為矩形，．在中，，又，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，在中，，在中，，∴，∴點T在的垂直平分線上，如圖，連接，作的垂直平分線，交于點E，交于點F，過O作，當(dāng)時，有最小值，∵，K為中點，∴，由輔助線可知四邊形是矩形，∴，∴，∴，在中，，，設(shè)，則，∴，∴，在中，，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．(1)證明見解析；(2)的周長的最小值是．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)首先得出，，，進(jìn)而得出；（2）首先得出平行四邊形為菱形，進(jìn)而得出當(dāng)點位于點時，取到最小值為，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：在中，，分別是，的中點，，，，在和中，，；（2）解：在中，，分別是，的中點，，，四邊形為平行四邊形；在中，為中點，，平行四邊形為菱形，垂直平分，點關(guān)于的對稱點為點，當(dāng)點位于點時，取到最小值為，在中，，，由勾股定理得，又由（1）知，，的周長的最小值：．【點睛】本題考查的知識點是平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、菱形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形，解題關(guān)鍵是通過證明四邊形為菱形推得點是點關(guān)于的對稱點．12．(1)見解析；(2)．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理．根據(jù)垂直定義可知，所以可證，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，所以可得，從而可證結(jié)論成立；由可知，，因為點是的中點，所以，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時的長度最小，此時是等腰直角三角形的，利用勾股定理求出的長度即可．【詳解】（1）證明：，，，，，又，，在和中，，，，，；（2）解：如下圖所示，連接，由可知，又，點是的中點，，在中，當(dāng)時的長度最小，又，，在中，，，，的最小值為．13．(1)(2)①正方形，理由見解析；②(3)，【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性質(zhì)得，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即可求解；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再證四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；②過點C作于點G，證，得，，則，再由勾股定理求解即可；（3）的最小值就是初始位置時的長度；當(dāng)落在的延長線上時，，最長，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，故答案為：；（2）解：①四邊形是正方形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，∵，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形；②過點C作于點G，如圖3所示：則，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；（3）解：∵點E不會在線段上，∴的最小值就是初始位置時的長度，當(dāng)落在的延長線上時，，最長，故答案為：，．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識．14．(1)垂直平分(2)(3)【分析】（1）由箏形可得，，即垂直平分；（2）由折疊的性質(zhì)可得，，，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得垂直平分，即，可證四邊形是箏形，由面積法可求的長；（3）由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，可證，由勾股定理可求的長，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是箏形，∴，，∴垂直平分；故答案為：垂直平分；（2）解：四邊形是箏形，理由如下：如圖2，設(shè)與交于點H，由折疊的性質(zhì)得，垂直平分，垂直平分，∴，，，，∵，∴垂直平分，∴，∴四邊形是箏形，∵，，，∴，∵，，，∴∵∴，∴；（3）解：如圖3，將沿翻折得，將沿翻折得，在截取，連接，，∵，，∴，由折疊得，，，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴當(dāng)點A，點G，點H，點D共線時，有最大值，∴的最大值．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了新定義，折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．15．(1)30°(2)見解析