2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊分類訓(xùn)練：勾股定理的逆定理【7個】原卷版

第05講勾股定理的逆定理［7個必考點】

【人教版】

【知識點1互逆命題與互逆定理】...............................................................1

【必考點1判斷逆命題的真假】.................................................................1

【知識點2勾股定理的逆定理】................................................................2

【必考點2判斷直角三角形的條件】............................................................2

【必考點3網(wǎng)格圖中判斷直角三角形】..........................................................3

【知識點3勾股數(shù)1......................................................................................................................................................4

【必考點4勾股數(shù)的判斷】.....................................................................4

【必考點5利用勾股定理逆定理在網(wǎng)格中求角的度數(shù)】............................................5

【必考點6利用勾股定理逆定理求面積】........................................................6

【必考點7利用勾股定理逆定理證垂直】........................................................7

【知識點1互逆命題與互逆定理】

1.互逆命題

如果兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那

么另一個叫做它的逆命題.

2.互逆定理

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理為互逆定理，其中一個定

理叫做另一個定理的逆定理.

【必考點1判斷逆命題的真假】

【例1】判斷下列命題：①等腰三角形是軸對稱圖形；②若。>1且6>1,則a+6>2；③全等三角形對應(yīng)

角相等；④直角三角形的兩銳角互余.其中逆命題正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

【變式1】下列說法中正確的是（）

A.如果一個命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題

B.任何定理一定有逆定理

C.任何命題一定有逆命題

D.定理一■定是命題，但不一■定是真命題

【變式2】下列命題的逆命題是真命題的個數(shù)是（）

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；

③直角三角形的兩個銳角互余；

④全等三角形的面積相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3】下列命題：

①全等三角形的對應(yīng)角相等；

②一個正數(shù)的絕對值等于本身；

③若三角形的三邊長.、6、c滿足a2+/=c2,則該三角形是直角三角形.

其中逆命題是真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【知識點2勾股定理的逆定理】

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形，且邊長c所對的角為直角.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形

（1）先比較三角形三邊長的大小，找到最長邊：

（2）計算兩條較短邊的平方和與最長邊的平方；

（3）比較二者是否相等；

（4）若相等，則這個三角形是直角三角形，且最長邊所對的角是直角；若不相等，則這個三角形不是直角

三角形.

【必考點2判斷直角三角形的條件】

【例1】適合下列條件的△NBC中，//、NB、NC的對邊分別是a、b、c,則直角三角形的個數(shù)為（）

①a：b：c—1：V3：2：

^11

②4A=~/-B=-Z-C；

③N4：NB：ZC=3：4：5；

④。=返，&=V12，c=V13;

2

⑤a=82,6=152,c=i7.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1】在△NBC中，a、b、c分別是三邊的長，下列說法：①②層=（6+c）（b-

c）；③//：NB：NC=3：4：5；④a：b：c=5：4：3；⑤/：b2：c2=l：2：3.其中，能判斷△

/8C為直角三角形的條件有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【變式2】下面的三角形中：①△4BC中，NC=/A-NB；②△48C中，乙4：NB：/C=3：4：5；③△

4BC中，a：b：c=5：12：13；④△48C中，三邊長分別為主其中，直角三角形的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3］如果△4BC的三邊分別為"3-1,2m,m2+X,其中加為大于1的正整數(shù)，則（）

A.△48C是直角三角形，且斜邊為加2一1

B.△/2C是直角三角形，且斜邊為2加

C.△NBC是直角三角形，且斜邊為加2+1

D.△NBC不是直角三角形

【必考點3網(wǎng)格圖中判斷直角三角形】

【例1】如圖，小正方形組成的3X2網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點.點/,B,C,D,M,N均在

格點上，其中點4,B,C,。能與點M,N構(gòu)成一個直角三角形的是（）

【變式1】如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點4B,C,。中任取三點，所構(gòu)成三角形不是

直角三角形的是（）

A.4ABDB.￡\ADCC.叢BCDD.AABC

【變式2】如圖，在網(wǎng)格圖（每個小方格均是邊長為1的正方形）中，以N2為一邊作直角三角形/2C,要

求頂點C在格點上，則圖中不符合條件的點是（）

A.CiB.C2C.C3D.C4

【變式3】如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上,有/、B、C、D、E、F、G七個點，則在

下列任選三個點的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是（）

B.點/、點。、點G

D.點、B、點G、點、E

【知識點3勾股數(shù)】

1.定義：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.滿足條件：①三個數(shù)都是正整數(shù);②兩個較小整數(shù)的平方和等于最大整數(shù)的平方.

3.勾股數(shù)的整數(shù)倍仍為勾股數(shù)，如3,4,5的2倍6,8,10仍為勾股數(shù).

4.常見形式：①序-1,2〃，〃2+1（〃為大于1的整數(shù)）；②4小4/4,4層+1（〃為正整數(shù)）等.

【必考點4勾股數(shù)的判斷】

【例1】下列各組數(shù)據(jù)的三個數(shù)，是勾股數(shù)的有（）

①32,42,52

②6,8,10

③7,24,25

⑤1.5,2,2.5

A.1個B.2個C.3個D.4個

717171

【變式1]當(dāng)"為正整數(shù)時，下列各組數(shù)：①3〃，4〃，5〃；②《；③2〃-1,2/7+1,2/7+3.其中是

勾股數(shù)的是（）

A.①B.①②C.①③D.②③

【變式2】如果加表示大于1的整數(shù)，設(shè)a=2"[,b=m2-1,c=2m2+2m,d=m2+l,其中任選三個數(shù)能構(gòu)

成勾股數(shù)的為（）

A.a,b,cB.a,b,dC.cijcfdD.b,c,d

【變式3】觀察下列勾股數(shù)組：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；若°,144,

145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，a=.（提示：5=方一，13=方一，…）

【必考點5利用勾股定理逆定理在網(wǎng)格中求角的度數(shù)】

【例1】如圖，在2X3的正方形網(wǎng)格中，點、A,B,M均在格點上，則的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.45°D.60°

【變式1】如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點/,B,C均在格點上，則N/C2=（）

【變式2】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，ZPAB-ZPCD=（）°.（點/,B,C,D,P是網(wǎng)格線

交點）

A.15B.30C.45D.60

【變式3】如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，/、B、C、。四點都在小方格的格點上，貝()

,11yl11

A.30°B.45°C.60°D.75°

【必考點6利用勾股定理逆定理求面積】

【例1】某校為加強(qiáng)學(xué)生勞動教育，將勞動基地按班級進(jìn)行分配，如圖是八年級勞動實踐基地的示意圖形狀,

經(jīng)過同學(xué)共同努力，測得48=4加，AD=3m,BC=l2m,CD=\3m,ZA=90°.

(1)求8、。之間的距離；

(2)求四邊形4BCD的面積.

【變式1】我區(qū)某校校園有一塊四邊形的空地/BCD,如圖所示，為了綠化環(huán)境，學(xué)校擬對空地進(jìn)行美化施

工，已知/8=3米，2C=4米，NABC=90°,40=12米，CD=13米，學(xué)校欲在此空地上鋪草坪.

(1)求四邊形的空地48co的面積；

(2)已知草坪每平方米160元，試問用該草坪鋪滿這塊空地共需花費多少元？

A

【變式2】如圖有一塊等腰三角形菜地，其中/C=8C=26,A8=20,點￡為A8的中點.現(xiàn)需要開辟一塊4

/￡廠的空地用于堆肥，己知/尸=8,EF=6.

(1)你能確定斯的形狀嗎，請說明理由;

(2)計算陰影部分的面積.

【變式3】某小區(qū)在規(guī)劃建設(shè)時，準(zhǔn)備在住宅樓和臨街的拐角處規(guī)劃一塊綠化用地(如圖中的陰影部分所示)

已知/8=12加，BC=9m,CD=8m,AD=17m,技術(shù)人員通過測量確定了//8C=90°.

(1)為了方便居民出入，技術(shù)人員計劃在綠化用地中開辟一條從點/到點C的小路，請問這條小路的

最短長度是多少加？

(2)這塊綠化用地的面積是多少加2?

【必考點7利用勾股定理逆定理證垂直】

【例1】如圖，在△N8C中，N5的垂直平分線分別交8C、AB于點、D、E,聯(lián)結(jié)ND

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(1)如果/C=6,BD=—,CD=~,求證：ZC—90°；

44

(2)如果/C=90°,4D平分/C4B,AB=4,求/C的