2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)技巧：立體幾何小題（六大題型）含答案解析

立體幾何小題

CCC

【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】表面積與體積的計(jì)算

【題型二】最短路徑問題

【題型三】立體幾何新定義

【題型四】截面問題

【題型五】交線與軌跡問題

【題型六】“球”的切接問題

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)

易錯點(diǎn)：動點(diǎn)導(dǎo)致的體積，角度變化

解空高考

考情分析:立體幾何小題幾乎年年考。

通?？键c(diǎn)有，多面體，旋轉(zhuǎn)體表面積、體積的考察；與內(nèi)切球，外切球的方式考察；截面問題，軌跡問題,

動點(diǎn)問題形式考察

備考策略:

1.鍛煉自己的空間想象能力

2.熟悉各種解題模型

3.會對多面體的各個(gè)截面討論

題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】表面積與體積的計(jì)算

【例1】已知圓錐的母線長為6,其外接球表面積為等，則該圓錐的表面積為（）

A.12TIB.16兀C.18兀D.27兀

【答案】B

【分析】由圓錐及其外接球的軸截面可得關(guān)系（〃-尺）2+產(chǎn)=發(fā)，再結(jié)合戶+序=6?和R=2叵即可計(jì)算.

4

【詳解】圓錐及其外接球的軸截面如圖，

該其外接球的半徑為R,則外接球表面積為"=4兀叱，則氏=述，

24

即|&。|=|。0=苧，

設(shè)圓錐的高為|40=/7,圓錐的底面圓半徑為|。#=乙則—+/=62,

由（/7-R）2+/=R2,解得/2=竺=40/=2,

R

則此圓錐的表面積為7ir2+Ttrl=16TI.

【例2】如圖，已知圓臺形水杯（不計(jì)厚度）的杯口直徑為6,杯底的直徑為4,高為心水杯中盛有部分

水當(dāng)杯底水平放置時(shí)，杯中水的高度為上將半徑■的小球放入杯中，小球被完全浸沒，zK恰好填滿水

81918191

【答案】D

【分析】根據(jù)小球的體積和原來水中的體積之和為整個(gè)圓臺的體積，結(jié)合圓臺體積的計(jì)算公式，列出方程,

即可求得結(jié)果.

【詳解】圓臺水杯上底面圓半徑為R=3,下底面半徑為弓=2,

當(dāng)杯底水平放置時(shí)，液面半徑為2，

為方便理解，畫出圓臺的軸截面圖如下所示:

R

因?yàn)榇藭r(shí)杯中水的高度為3,故&為1=學(xué)]

g（7T，j+;K2+（無片XTrR。=g（4兀+9k+J36k2）/7=￡Tl/7,

整個(gè)水杯盛滿水時(shí)的體積為:1

未放置小球前水的體積為:

24

又小球體積為3兀*[*]=二^兀；

3⑴6

故旦也+經(jīng)-電業(yè)即旦由經(jīng)兀，解得力=馴.

246324691

故選：D.

【例3】如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)直徑為4的圓，使之恰好圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的

A.2上B.而C.V15D.2V15

【答案】D

【分析】由扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長得5氏=2兀/，求得衣=8,進(jìn)而由兒二病二3可求得圓錐

的高.

【詳解】由圖知，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，圓錐底面圓的半徑為r=2,

TT

設(shè)扇形半徑為R，則有：尺=2"，解得兄=8,因此圓錐的母線長為刀=8,

所以圓錐的高&=一/=。64.4=2屈.

故選：D

【變式1】若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，則它的體積為（）

8白

A.-----71B.8兀C.12兀D.8岳

3

【答案】A

【分析】由條件確定圓錐的底面半徑和高，在利用圓錐的體積公式求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，

所以圓錐的底面半徑r=2,高h(yuǎn)==26,

所以圓錐的體積V==兀、4*2/=述兀.

333

故選：A.

【變式2］（多選）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和4,母線長為5,則該圓臺的（）

A.高為4B.母線與底面所成角為60。

C.側(cè)面積為257tD.體積為28兀

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓臺軸截面等腰梯形、側(cè)面積及體積公式逐項(xiàng)求解判斷.

【詳解】依題意，圓臺軸截面等腰梯形的上、下底邊長分別有=2,2弓=8,腰長/=5,

對于A,圓臺的高等于圓臺軸截面等腰梯形的高耳=取=y=4,A正確；

對于B,母線與底面所成角等于圓臺軸截面等腰梯形的底角。，cos0=^-2L=|^1,B錯誤;

對于C,圓臺的側(cè)面積5=兀&+4）/=25兀，C正確；

對于D,圓臺的體積V=g兀a?+q弓+］）/z=g兀（1+Ix4+I6）x4=28n,D正確.

故選：ACD

【題型二】最短路徑問題

【例1】如圖圓柱的底面周長是10cm,圓柱的高為12cm,BC為圓柱上底面的直徑，一只螞蟻如果沿著圓

柱的側(cè)面從下底面點(diǎn)A處爬到上底面點(diǎn)B處，那么它爬行的最短路程為（）

A.10cmB.11cmC.13cmD.12cm

【答案】c

【分析】把圓柱沿母線AC剪開后展開，點(diǎn)3展開后的對應(yīng)點(diǎn)為9，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷螞蟻爬行

的最短路徑為A9,利用勾股定理計(jì)算出48,即可.

【詳解】

把圓柱沿母線AC剪開后展開，點(diǎn)8展開后的對應(yīng)點(diǎn)為笈，

則螞蟻爬行的最短路徑為A8',

如圖，由題意可知AC=12,CB'=5,

在RtAACB',AB'=752+122=13>

所以它爬行的最短路程為13cm,

故選：C

【例2】圓錐頂點(diǎn)A,底面半徑為1,母線43=4,AB的中點(diǎn)為一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)B繞圓錐側(cè)

面一周到達(dá)M的最短路線中，其中下坡路的長是（）

A.0B.垣C.逑D.-J5

55

【答案】B

【分析】將圓錐側(cè)面沿母線A3剪開并展開成扇形，最短路線即為扇形中的線段過A作四的垂線，

垂足為N,求出的長即可.

【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線A3剪開并展開成扇形，

27r7T

則該扇形半徑AB=4,弧長為2兀><1=2兀，圓心角NBAM=：-=不，

42

最短路線即為扇形中的線段,BM=JAB。+AM。=2小,

過A作的垂線，垂足為N,當(dāng)螞蟻從8點(diǎn)爬行到點(diǎn)N過程中，它與點(diǎn)A的距離越來越小，

于是為上坡路段，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)N爬行到點(diǎn)M的過程中，它與點(diǎn)A的距離越來越大，

于是M0為下坡路段，下坡路段長===

265

故選：B

TT

【變式1】如圖，在正四棱錐2-鉆8中，PA=2,NBPA=—,一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿該棱錐的側(cè)面

12

爬一圈回到點(diǎn)4則小蟲走過的最短路線的長為

【答案】2

【分析】畫出正四棱錐P-ABCD的側(cè)面展開圖，得至UA,M,N,E共線時(shí)，小蟲走過的路線最短，最長

最短距離.

【詳解】畫出正四棱錐的側(cè)面展開圖，如圖所示.

當(dāng)A,M,N,E共線時(shí)，小蟲走過的路線最短，最短為A4'的長.

因?yàn)锽l=2,ZBPA=—’71,所以ZAPA=4x’71±=’712,

12123

則ARV是邊長為2的等邊三角形，則〃V=2,即小蟲走過的最短路線的長為2.

故答案為：2.

【變式2】已知圓臺上下底面的圓心分別為。，。0，母線AB=3（點(diǎn)8位于上底面），且滿足AO2=2BO-

圓儀的周長為2兀，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓臺的側(cè)面爬行一周到A3的中點(diǎn)C,則螞蟻爬行的最短路程

為（）

A.B.3/C.3幣D.正

22

【答案】A

【分析】首先求出底面圓。2的半徑R，與上底面的半徑「，將圓臺的側(cè)面沿著母線剪開，展成平面圖形，

延長A3、4瓦交于點(diǎn)0,連接AC,設(shè)NB。耳=a,利用弧長公式及4?=3求出a與。4,再在△A0C中

利用余弦定理求出AC即可.

【詳解】因?yàn)閳A。2的周長為2兀，則底面圓。2的半徑R=AQ=1,

=BO1=;,

將圓臺的側(cè)面沿著母線A3剪開，展成平面圖形，延長A3、A片交于點(diǎn)0,連接AC,如圖,

弧53]的長為兀，設(shè)N_B05]=a,則二義。4=2兀，axOB=Ti,

TT39

則04=203,又鉆=3,即04-03=3,所以0A=6,則"=一，OC=3+-=-,

322

在△A0C中由余弦定理AC=+OC--2OAOCcosa

912x6x2」*

,62+

1222

所以螞蟻爬行的最短路程為半.

故選：A

【題型三】立體幾何新定義

【例11從幾何體的某一頂點(diǎn)開始，沿著棱不間斷、不重復(fù)地畫完所有棱的畫法稱為"一筆畫”.下列幾何體

可以“一筆畫"的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)一筆畫的要求，先找到都是偶點(diǎn)的圖形，一定可以一筆畫，再驗(yàn)證奇點(diǎn)的圖形是否符合一筆

畫的條件.

【詳解】從一頂點(diǎn)出發(fā)的邊數(shù)為雙數(shù)的頂點(diǎn)叫偶點(diǎn)，凡是偶點(diǎn)組成的圖形一定可以一筆畫，所以c選項(xiàng)正

確；

從一頂點(diǎn)出發(fā)的邊數(shù)為單數(shù)的頂點(diǎn)叫奇點(diǎn)，凡是奇點(diǎn)組成的圖形，必須滿足只有兩個(gè)奇點(diǎn)，其余點(diǎn)為偶點(diǎn)

才可以一筆畫，

而ABD選項(xiàng)圖形中，每個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以不能一筆畫.

故選：C

【例2】如果拉伸兩個(gè)端頭，下列繩子會打結(jié)的是？.

【答案】1,2

【分析】通過想象每根繩子在拉伸兩個(gè)端頭時(shí)的變化過程，來確定哪些繩子會形成結(jié)，直接判斷即可.

【詳解】繩子工的判斷：當(dāng)拉伸繩子1的兩個(gè)端頭時(shí)，由于繩子自身的纏繞方式，在拉伸過程中會形成一

個(gè)結(jié)，可以想象將兩個(gè)端頭慢慢拉開，繩子中間的纏繞部分會收緊形成結(jié)；

繩子2的判斷：同樣，對于繩子2,其纏繞方式使得在拉伸兩個(gè)端頭時(shí)，中間部分會因?yàn)槔K子的交叉纏繞而

形成一個(gè)結(jié)；

繩子3的判斷：繩子3在拉伸兩個(gè)端頭時(shí)，繩子可以順利地被拉直，不會出現(xiàn)打結(jié)的情況，因?yàn)槠淅p繞方

式并沒有形成閉環(huán)式的交叉；

繩子4的判斷：繩子4拉伸時(shí)也能順利拉直，不會形成結(jié)，其交叉部分在拉伸過程中會自然解開；

根據(jù)對每根繩子拉伸過程的想象和判斷，會打結(jié)的繩子是1,2,

故答案為：1,2.

創(chuàng)新題主要是在原概念、原公式、原定理、原法則、原運(yùn)算等的基礎(chǔ)上，給出新概念、新公式、新定理、

新法則、新運(yùn)算等，然后此基礎(chǔ)上去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對

新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題"不一定是"難題”,

掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

【變式1】給定兩個(gè)不共線的空間向量。與分，定義叉乘運(yùn)算規(guī)定：①0x6為同時(shí)與a力垂直的向

量；②a,6,axb三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③|"6|=同卜卜皿氏6〉.如圖2,在長方體中

一44G2中，A8=AZ）=2,AA=4,則下列說法中錯誤的是（）

圖1圖2

A.ABxAD=A4j

B.ABxAD=ADxAB

C.（AB+A￡））x朋=ABxAAl+ADxAAi

D?KABCD-A用GP=（^^xAD）?CG

【答案】B

【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)AB；根據(jù)新定義計(jì)算等號左右兩邊可判斷C；計(jì)算

長方體的體積結(jié)合新定義以及數(shù)量積的定義可判斷D.

【詳解】對于A,例同時(shí)與A民AD垂直，

lUimuumiiUiDi||Uuui|/Uimuuw\IUUHI

ABxAD=ABAD\sin（AB,AD}=2x2xsin90°=4=招,

且AB,AZ）,A4,構(gòu)成右手系，即ABxAZ）二朋成立，A正確；

對于B,ABxAD=AAl,ADxAB=-AAl,則ABxwADxAB,B錯誤；

zuunuumxtoriionumii

對于C,（AB+ADIXA4=ACxAAJ=2V2x4xsin90°=872,

ACxA4,與05共線，且方向相同，

|ABx44tl=2x4xsin90=8,ABxA4,與.共線，且方向相同，

^￡）x7141=2x4x8^90=8,ADx懼與.共線，且方向相同，

貝|]刖*胡+46司=8"4人44,+46441與￡）8共線，且方向相同，

因止匕（AB+AO）xA4]=48x441+AT>x44],C正確；

2

對于D,^ABco-ABCDt=2x2x4=16,（ABxAD〉C￡=AA}-CCt=4=16,

因此匕BCD-MG=（A3xAD）CG，D正確.

故選：B

【變式2】在一張紙上寫著一個(gè)詞，把紙對半折下，使能夠看到詞的下半部分.從紙的另一面你能看到什么？

描述一下.

12

CAHNPyKA

un1111'111"K

34

rMpH6AVbl

1VI1flUFlVUIR

【答案】答案見解析

【分析】想象各張紙的上半部分折過去然后旋轉(zhuǎn)過來，即從另一面看過來的圖象即可.

【詳解】由題意各紙張從另一面看的圖形為：

1為

nnvu

2為v2i?a

3為D口yi」

4為

1*1flV0

【變式3】在《線性代數(shù)》中定義：對于一組向量％,%,見存在一組不全為。的實(shí)數(shù)勺，h,…除使

得：用4+&4+.+M%=0成立，那么則稱%,%,%線性相關(guān)，只有當(dāng)左=履=左=0時(shí)，才能使

￡%+&%++尢,%=。成立，那么就稱為,%，?！熬€性無關(guān).若｛%,%,2｝為一組不共面的空間向量，

則以下向量組線性無關(guān)的是（）

A.%+%，%+%+。3，a3B.%,%+%,a2~a3

C.%,%+a?，%—a?D.%+a）,cc^—a?,%

【答案】D

【分析】根據(jù)向量組線性相關(guān)，無關(guān)的定義列出等式，解方程組即可判斷.

【詳解】因?yàn)椋?,4,4｝為一組不共面的空間向量，則內(nèi)不能用電，線性表示，

即只有當(dāng)勺=攵2=攵3=。時(shí)，匕％+左2%+占。3=6

對于A：設(shè)%（%+%）+左2（。1+。2+%）+%%=0，

整理得：（勺+左2）%+（匕+左2）。2+（e+&）。3=。，

所以有+k2=。,七十%3=。，取勺=%=1,攵2=—1,

所以%+%,%+%+%，電線性相關(guān)，故A錯誤；

對于B：設(shè)勺%+左2（。2+%）+匕（。2-。3）二°，

整理得：（k[+&+%）&+（&-匕）%=0，

所以有匕+左2+與=。/2-43=。，取用=一2,左2=左3=1'

所以a2,a2+a3,%-%線性相關(guān)，故B錯誤；

對于C：設(shè)勺/+&（%+4）+%（1-%）=。，

整理得：（勺+&+匕）。1+（左2—%）。2=。，

所以有匕+左2+/=。/2-攵3=。，取勺=一2,攵2=%=1，

所以的,%+%,%線性相關(guān)，故C錯誤；

對于D：設(shè)發(fā)（%+%）+&（%-%）+&%=0，

整理得：（/+左2）。1+（勺_左2）。2+&。3=0，

所以有4+左2=。，左一左2=。，左3=。，解得用=k2=k3=0,

所以%+%,%-%，%線性無關(guān)，故D正確.

故選：D

【題型四】截面問題

【例1】如下圖所示，在正方體ABCD-ABIGR中，如果點(diǎn)E是A4的中點(diǎn)，那么過點(diǎn)2、B、E的截面圖

形為（

C.正方形D,菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.

[詳解】分別取BBi,CG的中點(diǎn)G,尸，連接AG,BF,D、F,GF,

如圖QEB廠即為過點(diǎn)2、B、E截正方體所得的截面圖形,

由題意可知：4E//G8且4E=GB,所以四邊形AEBG為平行四邊形,

所以AG//E8,又因?yàn)镚尸〃4G且Gf=B1G,4。//4G且AR=B[C],

所以AA〃G尸且A2=GB,所以四邊形為平行四邊形，所以RF//AG,

所以DF//EB,同理ER//BF,所以四邊形2E3F為平行四邊形，

又因?yàn)镋B=BF,所以平行四邊形REB尸為菱形，

【例2】已知一正方體木塊ABCD-ABC2的棱長為4,點(diǎn)E在棱AA上，且AE=3.現(xiàn)過2瓦用三點(diǎn)作一

截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

A.4726B.5V17C.2726D.2m

2

【答案】A

【分析】如圖，在CG上取一點(diǎn)尸，使得c/=1,連接耳尸,。尸，則四邊形。班/為平行四邊形，即平行

四邊形。班/為所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角形的面積公式求出S,og,即可求

解.

【詳解】

DiG

如圖，在CG上取一點(diǎn)f，使得CP=1,B.F,DF,AF,ECVEF,AQ,

因?yàn)锳E//CZ旦AE=C￡,所以四邊形AECXF為平行四邊形，

所以所與AG相交于。且。為AG的中點(diǎn)，

又。在上，所以E尸與耳。相交于0,且。平分￡F,B.D,

所以四點(diǎn)￡?,瓦綜尸四點(diǎn)共面且四邊形DEBXF為平行四邊形,

所以過D,E,4三點(diǎn)的截面是平行四邊形。匹/，

22后,/亦+府=

DE=\lAE+AD=5,BtE="尸+(BG'=DB[=4A/3,

B]E2+DE?—B[D?_17+25-48___3

..cosNDEB1

2B】EDE~2x5x67—5717

4A/26

..sinNDEB】=Jl-cos?NDEB1

5A/17

故截面面積為S=2S=2x-DExB.EsinZDEB.=5xVF7x生”=4而.

215V17

故選：A.

【變式1】如圖，正方體ABC。-A4GQ的棱長為4,BtP=2PC,RQ=3QG，過2,P,。三點(diǎn)的平面

截該正方體，則所截得的截面面積為（)

1573C.15厲D.3721

【答案】D

CRCP1

【分析】延長3尸交eq于點(diǎn)穴,貝（1----,推出B,H,Q，R四點(diǎn)共面，再計(jì)算S梯形BH2R即可得

人」B、BB、P2

出答案.

CRCP1

【詳解】延長交CG于點(diǎn)R,貝!J----=----=一,

人」B[BB[P2

即R為CC1的中點(diǎn)，

連接。R,取A片中點(diǎn)連接則8"http://QR,

所以B,H,Q,R四點(diǎn)共面，故梯形QR8H即為截面圖形,

BH=BR=2QR=275,QH=y/V7,

RH=依同+BR=才+4C：+CIR2=2A/6,

記3"邊上的高為〃，BN=x

貝ljRB2-BN2=QH2-{BH-QR-BN)2=h1=>(2右『_1=(a-(2石一#-x『=力解得

4,2國

*飛yr

所以曲3=+BH）拉=$3乖義工=3?.

故選：D.

【變式2】如圖，正方體A2CD-ABC?的棱長為2,點(diǎn)E,廠分別是42,8C的中點(diǎn)，過點(diǎn)2,E,尸的

平面截該正方體所得的截面多邊形記為。，則。的周長為（

A.4夜+46B.4肉后C.V2+2V13D.4舊+0

【答案】C

【分析】作出輔助線，得到五邊形。/以舊即為截面O,根據(jù)三角形全等或相似得到各邊長度，求出截面

周長.

【詳解】延長D4,DC,與直線所相交于M,。，

連接QM，2Q與4AGC分別交于點(diǎn),連接尸耳班

則五邊形QPEFH即為截面。，

正方體的棱長為2,點(diǎn)及尸分別是的中點(diǎn),

所以砂=—xj2?+22=五,

2

由RtBEF=R3CQF三RtAAEM得,

AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=^,

4

所以p,H分別為靠近AC的三等分點(diǎn)，故AP=G"=§，

所以由勾股定理得D,P=D[H=22+=J4+—=戶=,

所以。的周長為D/+PE+E尸+打/+么/7=冬叵*2+巫又2+0=2如+忘.

33

【變式3】如圖，正方體ABC。-44^口的棱長為1,尸為3C的中點(diǎn)，Q為線段CG上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A、P、

Q的平面截該正方體所得的截面記為S,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)0<CQ<g時(shí)，S為四邊形；

②當(dāng)CQ=；時(shí)，S為等腰梯形；

③當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為亞；

2

31

④當(dāng)。。=7時(shí)，s與。12的交點(diǎn)r滿足GR=§.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】做截面的常用兩種方法：作平行線和作延長線.對于本題，過點(diǎn)A作PQ的平行線即可得到截面.

【詳解】①當(dāng)0<CQ<g時(shí)，如圖(1),S是四邊形，故①正確;

DiCi

圖⑴

②當(dāng)時(shí)，如圖是等腰梯形，

CQ=g(2),S故②正確；

DiCi

圖⑵

③當(dāng)CQ=1時(shí)，如圖(3),此時(shí)截面為菱形兩條對角線的長分別為四，石

所以S=,x0x百=】但，③正確.

22

S

圖⑶

3使RN=g,連接⑷V交42于S,連接QN交C12于尺，連接SR,

④當(dāng)CQF寸，如下圖，延長皿至N,

12

則4V//PQ,由NRDrQRC】,可得C]R:RR=qQ:D]N=1:2,所以。毋=:,即=],故④正確;

N

DiRG

aQ

--HC

TP

圖⑷

故選：D

【題型五】交線與軌跡問題

【例1】如圖，三棱柱A8C-A4cl中，AB=4,AC=3,BC=5,懼=6,。為CC1中點(diǎn)，E為8耳上一

點(diǎn)，BB[=3BE,ZACD=120°,M為側(cè)面MGC上一點(diǎn)，且//平面,則點(diǎn)M的軌跡的長度為

C.及D.1

【答案】B

【分析】在CD上取點(diǎn)M，使得MD=2，MC=1,在AC上取點(diǎn)也，使得％A=2，MC=1,則BM//OE、

加|加2//4。，根據(jù)線面、面面平行的判定定理可證明平面//平面相圮，則點(diǎn)M的軌跡為線段〃1加2，

結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意知，BE=2,CD=3,在C。上取點(diǎn)Mj,使得MQ=2,M0=1,

則MXDUBE豆M、D=BE,所以四邊形BEDMt為平行四邊形,

故BMJIDE,又平面ADE,DEu平面ADE,

所以BM〃平面

在AC上取點(diǎn)外,使得％A=2,%C=1,

有畿=淺=1所以（MM-CDA,則必加2〃47）,

LVL,iyivl2/1乙

又叫平面ADE,4）u平面ADE,

所以M{M2II平面ADE,又BMJ=Mi，BM「MXM2u平面BMXM2,

所以平面BM%//平面ADE，則點(diǎn)M的軌跡為線段MjM”

在,CMjM?中，CM,=CM2=l,ZMtCM2=120°,由余弦定理，

22

得M,M2=^M,B+M2B-2MXB-M2Bcos120°=6,

【例2】在三棱錐A-3CD中，底面BCD是等邊三角形，側(cè)面ABZ）是等腰直角三角形，AB=AD=?，P

是平面BCD內(nèi)一點(diǎn)，且AP=1,若AC=#，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）

A.匝B.-C.3生D.-

3333

【答案】C

【分析】取的中點(diǎn)。，連接AO,CO,作AN，CO交CO的延長線于點(diǎn)N,利用線面垂直的判定得到AN1

平面BCD,進(jìn)而得出AN,NP,再結(jié)合余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得點(diǎn)P的軌跡是以N為圓心,

正為半徑的圓，最后結(jié)合圓的周長計(jì)算公式即可求解.

3

【詳解】如圖，取30的中點(diǎn)。，連接AO,CO,易得AOLBACOLB。,

又AOCO=O,AO,COu平面AOC,所以3。工平面AOC,

又AB=AD=也,所以如=2,AO=1,C0=6,

在△AOC中，AC=4^，由余弦定理得cosNAOC=-^^t=-走，

2xlxV33

作4VJ_C。交CO的延長線于點(diǎn)N,則AN_LBD,

又BD1CO=O,即,COu平面BCD,所以4V7,平面BCD,

又NPu平面BCD,所以4VJ_NP,

所以sin/AOC=必，所以A7V=A0-sin/A0N=9,

33

在Rt^AAP中，AP=1,則NP=J”?-W=昱，

3

所以點(diǎn)P的軌跡是以N為圓心，也為半徑的圓，

3

則點(diǎn)尸的軌跡長度為宜況，

3

A

故選：C,

【變式1】在棱長為I的正方體ABC。-中，點(diǎn)0為側(cè)面84GC內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），若D\Q瀉,

則點(diǎn)。的軌跡長度為.

TT1

【答案】兀

【分析】根據(jù)題設(shè)描述確定Q的軌跡，即可求其長度.

【詳解】由題意，。在面B4GC的軌跡是以G為圓心，半徑為3的四分之一圓弧，

11TT

所以軌跡長度為1"廠“

故答案為：—

4

【變式2］已知正方體ABC。-AB］CQ］棱長為3,點(diǎn)M在正方體內(nèi)部運(yùn)動（包括表面），且HAf//平面ARC,

則動點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積為.

【答案】唯/薛

22

【分析】利用截面8AG〃平面AC2,判斷出動點(diǎn)M的軌跡在△AGB三角形及其內(nèi)部，即求VABG的面

積即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槠矫鍮AC//平面ACD,,

所以點(diǎn)Af是該正方體表面及其內(nèi)部的一動點(diǎn)，且〃平面AD,C,

所以點(diǎn)M的軌跡是三角形及其內(nèi)部，

2

所以VA5G的面積為SABC=-（3A/2）.sin-=^.

外￡?52\/32

故答案為：竽

【題型六】“球”的切接問題

【例1］己知球。與正三棱柱ABC-A4G的各個(gè)面均相切，記平面ABG截球。所得截面的面積為耳，球。

的表面積為$2,則3=（）

39101113

A.—B.—C.D.

1313117468

【答案】A

【分析】因?yàn)榍蚺c正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直徑，底面正三角形內(nèi)切圓半徑是球半徑，

由此確定正三棱柱底面邊長.求球心到平面距離時(shí)，找到相關(guān)點(diǎn)連線，利用正三棱柱上下底面中心與高的關(guān)

系得到耳，再在直角三角形中求cosNCEG，進(jìn)而得出球心到平面距離.根據(jù)勾股定理求截面圓半徑，再

用圓面積公式得截面圓面積.用球表面積公式求球表面積，最后算兩者面積比值.

【詳解】如圖，設(shè)球。的半徑為R:球。與正三棱柱ABC-4與￡的各個(gè)面均相切

???正三棱柱ABC-A4a的高為2R,底面邊長為2辰.

設(shè)正三棱柱A5C-A與G上，下底面的中心分別是是48的中點(diǎn)，連接EG交。。2于廠，

則。到平面ABC,的距離d=|。叫sin/OP￡

=|OP|cosNCEC]^|OF|=

所得截面圓半徑r=依-1=,虺

故選：A.

出

or-

'c

【例2】已知菱形ABC。的邊長為26,NEW=6。，以8。為折痕把△ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)4的位置,

且平面A3D，平面BCD若點(diǎn)A,民C。都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.16兀B.20兀C.24JID.28兀

【答案】B

【分析】先把平面平面3CD,轉(zhuǎn)化為HELCE,再利用等邊三角形的性質(zhì)，確定△3CD和

的外接圓的圓心。，。2的位置，從而得到四邊形。?！?為正方形，進(jìn)一步得到。&=1，再求出△3CD的外

接圓半徑,在包含球半徑R的Rt^BOa中求解即可.

【詳解】如圖所示，取5。的中點(diǎn)E,連接4E,CE,

由題意可知43。和△BCD均為全等的等邊三角形，

所以A'ELBZXCELBD,且AE=CE=2若xsin60。=3,

因?yàn)槠矫鍭BD_1_平面BCD,平面平面38=31）,

所以A'E_L平面BCD,因?yàn)镃Eu平面3C。，所以A'E_LCE.

設(shè)。為球心，0］為△BCD的外心，。2為的外心，

則平面BCD,。。2,平面A3D,且?E=O2E=gcE=gAE=l,

所以四邊形。。也。2為正方形，即。。=1.

2

又因?yàn)椤?8的外接圓半徑8。=CQ=§CE=2,

所以在RtABO。］中，BO2=OOC+BO^,即代=1+2?=5,

所以球的表面積為S=4成°=20TI.

故選：B.

【變式1】已知A,B,C,D是半徑為15的球的球面上四點(diǎn)，AB1AC,BC=24,則三棱錐A-3co體

積的最大值為（）

A.384B.1152C.38473D.11525/3

【答案】B

【分析1利用直角三角形的斜邊就是其外接圓的直徑，再利用過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心，

就可以構(gòu)成勾股定理求距離，從而可求得最大體積.

【詳解】因?yàn)锳BSAC,3c=24,所以BC為VABC的外接圓的直徑，即半徑廠=/===12,

22

由過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心可知，

球心到平面ABC的距離d=JR2f2=^52-122=9，

2222

D擊454n工口c1…An1AC+AB1BC124一”

又口一角\ABC面租SABC=—AC,ABW-----------=------=-x=144,

ABC2222222

當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB=12A/2時(shí)取等號，

而點(diǎn)。到平面ABC的距離的最大值為d+H=9+15=24,

所以三棱錐A-BCD體積的最大值為$144x24=1152.

故選:B.

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯點(diǎn)：動點(diǎn)問題導(dǎo)致的體積，角度，距離的變化

解題技巧：1.對各個(gè)題型進(jìn)行總結(jié)。

2.在掌握題型的基礎(chǔ)上鍛煉自己的空間想象能力。

例1.（多選）如圖，在棱長為2的正方體耳GQ中，M是棱8c的中點(diǎn)，N是棱。2上的動點(diǎn)（含

端點(diǎn)），則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐的體積為定值

B.若N是棱。2的中點(diǎn)，則過A、M、N的平面截正方體ABCD-ABCiR所得的截面圖形的周長為逃

2

C.若N是棱。2的中點(diǎn)，則點(diǎn)R到平面的距離為勺旦

21

D.若CN與平面所成的角為凡則sin。e與與

【答案】ACD

【分析】對于A選項(xiàng)，-AMN~^N-AA^M，由題。2〃面所以不論N在棱。2上如何運(yùn)動，錐體的底

和高都不會發(fā)生變化；對于B選項(xiàng)，作出過A、M、N的平面截正方體所得截面，再求出相關(guān)線段的長即可；

對于C選項(xiàng)，運(yùn)用等體積法計(jì)算即可；對于D選項(xiàng)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，用向量法求出設(shè)面

的法向量，代入線面角公式即可求范圍.

【詳解】對于A選項(xiàng)，〃一AMN=%一肥”，因?yàn)椤?//的，可得〃面A4,M,

所以不論N在棱上如何運(yùn)動，錐體的底和高都不會發(fā)生變化，

即匕,-AMN為定值，故A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，四邊形AMHN為過A、M、N的平面截正方體所得截面，

因?yàn)槠矫嫫矫?BCG，且面AAD?1平面4WHN=4V,

面B^BCCic面AMHN=MH,

有MHHAN,又因?yàn)閂、N為中點(diǎn)，所以H為四等分點(diǎn)，

貝1JC.RN=\AM\+\AH\+\HN\+\AN\=y/5+^-+^-+^[5,故B選項(xiàng)錯誤；

對于C,當(dāng)N是棱。2的中點(diǎn)時(shí)，AM=\lAB2+BM2=V22+12=y/5>AN=\/Ab2+DN2=>/22+l2=75-

MN=^MDr+DN-=7（22+l2）+l2=瓜.

人小…m八，AM2+AN2-MN25+5-62,I~27歷

由余弦定理cosAMAN=-；—=——『一尸==，則nsinZMAN=.1-（-）2=—.

2-AM-AN2xV5xV55\55

所以S=-xAMxANxsinZMAN=-xy/5xy/5x—^—.

小AMN2252

1112

%-A.N=§xSXCD=-x—x2x1x2=—,又％_AD]NVD「AMN?

設(shè)點(diǎn)。到平面曲的距離為"根據(jù)丫…=#"人即上浮x，=|，解得仁當(dāng)，所以選項(xiàng)

C正確.

對于D選項(xiàng)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖,

則4（0,0,0）,4（2,0,2）,C（2,2,0）,設(shè)N（0,2,X）,Xe[0,2],所以陰=（2,0,2）,AC=（2,2,0）,CN=（-2,0㈤,

2x+2y=0

設(shè)面世C的法向量為〃=(x,y,z),則令尤=1,解得”=所以

2x+2z=0

s*邛傷詈邛后"當(dāng)"二°時(shí)‘沖”?’當(dāng)人。時(shí),

當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號成立，因此北字豐，故D選項(xiàng)正確;

故選：ACD.

變式1.（多選）在長方體中，己知43=4,4。="的=°,點(diǎn)P是線段與C上的動點(diǎn).則

下列說法正確對的是（）

A.a-b-c,則AP_L8￡>|

B.若a=b=c,則點(diǎn)尸到平面AG。的距離是走4

3

TTTT

C.若a>b>c,則直線AP與直線AA所成角的范圍是

D.若a>b>c,分別經(jīng)過43,A2AA且平分三棱錐4-48。體積的截面面積依次為，，邑,邑，則

Sl>S2>S3.

【答案】ABD

【分析】由。=6=c,即ABCD-A與G2為正方體，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定及性質(zhì)判斷

A；通過證明4c〃面AC。，得到點(diǎn)p到平面AG。的距離，即為3。到面AG。的距離d,再求出s到面

MC的距離為心結(jié)合d=-2右判斷B；注意直線A尸與直線AA所成角，即為直線AP與直線AD所成

2222

角，利用P與耳重合時(shí)AD_LAP判斷C；根據(jù)長方體的性質(zhì)有Si=/a汨+Yc2,S2=ylab+bc,

與702cl+6%2,結(jié)合a>6>c即可判斷D.

【詳解】若a=6=c,即ABCD-ABCQ］為正方體，

由又。R，面ABCD,ACu面ABC。，則。R_LAC,

又BDDR=￡>都在面8￡）2內(nèi)，故47_1_面8。2，BRu面BDR,

所以ACL8。，同理可證又ACcA耳=A都在面相。內(nèi)，

所以3A_L面陰C,而APu面陰C,貝lj4P_L32，A對；

由正方體的結(jié)構(gòu)特征易知，CD4f與為平行四邊形，則

4￡）u面AG￡>,4c（Z面AC。，則用C//面ACQ,而尸e4C,

所以點(diǎn)尸到平面AG。的距離，即為與c到面AG。的距離d,

若3到面陰c的距離為〃，則La.La2=L〃.L24.Yl,可得h=吃,

32322V3

所以<7=BD1—2h-a,B對；

AB

由42//A。，則直線AP與直線AA所成角，即為直線AP與直線A