2025年高考數(shù)學(xué)新定義題型：數(shù)列下的新定義（七大題型）學(xué)生版+解析

專題05數(shù)列下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：牛頓數(shù)列問題

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

題型三：數(shù)列定義新概念

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

題型五：數(shù)列定義新情景

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列

題型七：非典型新定義數(shù)列

【方法技巧與總結(jié)】

1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以

簡單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類、套路總

結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.

2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：

(1)通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題

的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，

達(dá)到靈活解題的目的.

(2)遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要

求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以順利解決.

(3)類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.

【典型例題】

題型一：牛頓數(shù)列問題

【典例1-1](2024?廣東韶關(guān)二模)記R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),滿足=%-務(wù)eN*)

的數(shù)列｛x“｝稱為函數(shù)/(尤)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝為函數(shù)〃x)=x2-尤的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛氏｝滿足

X

%=2,?！?ln—,x?>1.

x“-1

⑴求的;

(2)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求巴；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為，若不等式(-1)"?電-144｛對(duì)任意的〃eN*恒成立，求t的取值范圍

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【典例1-2】(2024?高二?浙江紹興?期末)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/'(X),若滿足(zM-xj/aj+yajuo,則稱數(shù)列

卜｝為牛頓數(shù)列.已知/(x)=/,如圖，在橫坐標(biāo)為國=1的點(diǎn)處作/(X)的切線，切線與X軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為巧，用當(dāng)代替不重復(fù)上述過程得到X3,一直下去，得到數(shù)列｛%｝.

(1)求數(shù)列卜“｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列｛〃?%｝的前〃項(xiàng)和為S”,且對(duì)任意的〃eN*，滿足求整數(shù)X的最小值.(參考數(shù)

據(jù)：0.94=0.6561,09w0.5905,0.96?0.5314,0.97?0.4783)

【變式1-1](2024?廣東廣州?二模)已知函數(shù)f(x)=hw+2x-b(6>2).

(1)證明：/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)。，且ae(l,b)；

(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取

實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)(xj(xJ)處作/(x)的切線，交x軸于點(diǎn)心⑼：在點(diǎn)伍，/仁))處作;'⑺

的切線，交x軸于點(diǎn)(尤3，。)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列｛尤,｝,它的各項(xiàng)是/'(x)不同精確度的零點(diǎn)

近似值.

⑴設(shè)x.+i=g(x“)，求g(xj的解析式；

(ii)證明：當(dāng)再€。山)，總有x"<x“+i<a.

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

【典例2-1](2023?北京?高考真題)已知數(shù)列｛0“｝,｛"｝的項(xiàng)數(shù)均為加(〃?>2),且?！耙瞖｛1,2,…,間，｛%｝,｛4｝

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的前〃項(xiàng)和分別為4,3",并規(guī)定4=2。=0.對(duì)于)€｛0,1,2,…，時(shí),

定義〃=max｛H耳<4，屹｛0，12…,能｝｝,其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(1)若G=2,出=1,%=3,瓦=1也=3也=3,求4，八,々,々的值；

(2)若色24，且2。〈5+[+%],j=1,2「“,優(yōu)-1,,求心；

(3)證明:存在〃g,sJe｛0,l,2,…,小｝,滿足。>q,s>4使得《+瓦=4+及.

【典例2-2】(2022?北京?高考真題)已知?？?。2,…，應(yīng)為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)加，若對(duì)任意的

〃e｛1,2,…，間，在。中存在q,aM嗎+2,ai+j(j>0),使得at+aM+aM+---+al+j=n,則稱0為掰-連續(xù)

可表數(shù)列.

(1)判斷。：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(2)若。:心電，…，為為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：左的最小值為4；

(3)若Q：%,生，…，日為20-連續(xù)可表數(shù)列,且可+的+…+%<20,求證：k>1.

【變式2-1](2021?北京?高考真題)設(shè)〃為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列｛%｝滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱｛g｝為況.數(shù)列:

①q+p20,且%+p=0；

②%,T<%",("=1,2,…);

aeaa

@m+?｛??+?+P^+?+P+1],(私"=12…).

(1)如果數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為此數(shù)列？說明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝是況。數(shù)列，求出;

(3)設(shè)數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為I.是否存在風(fēng)，數(shù)列｛。,｝,使得^^品,恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，說明理由.

【變式2-2](2020?北京?高考真題)已知｛。“｝是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì):

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①對(duì)于｛。“｝中任意兩項(xiàng)4嗎(，>，)，在中都存在一項(xiàng),使+=

②對(duì)于｛%,｝中任意項(xiàng)?！?〃…3),在｛%｝中都存在兩項(xiàng)%必/>/).使得%=，.

(I)若。"=〃(〃=1,2,…)，判斷數(shù)列｛6｝是否滿足性質(zhì)①，說明理由；

(H)若。"=2"T(〃=1,2,i),判斷數(shù)列｛%｝是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由;

(III)若｛%,｝是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：｛4,｝為等比數(shù)列.

題型三：數(shù)列定義新概念

【典例3-1】(2024?廣西南寧?一模)若無窮數(shù)列｛%｝滿足%=0,|。向-?！皘=/("),則稱數(shù)列｛aJ為之?dāng)?shù)列,

若B數(shù)列｛%｝同時(shí)滿足％49，則稱數(shù)列｛%｝為7數(shù)列.

⑴若數(shù)列｛%｝為/數(shù)列，/(?)=l,?eN,,證明：當(dāng)“42025時(shí)，數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列的充要條件是

02025=2024；

(2)若數(shù)列也｝為/數(shù)列，/(?)=?,記CL%，且對(duì)任意的〃eN*,都有C“<C“N，求數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式.

【典例3-2](2024?山東泰安?一模)已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且

ax=2,a2=4,anan+x=2Sn(5?+l+Sn_x-2Sn)(?6N*,且北2).

⑴求數(shù)列,勺前〃項(xiàng)和1;

(2)定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G-數(shù)列”.證明：

①對(duì)任意445且壯N*,存在“G-數(shù)列”｛a｝,使得任成立;

②當(dāng)左26且八N*時(shí)，不存在“G-數(shù)列”｛，｝,使得分4%1Vgi+1對(duì)任意正整數(shù)機(jī)4上成立.

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【變式3-1](2024?江西南昌?一模)對(duì)于各項(xiàng)均不為零的數(shù)列上｝,我們定義：數(shù)列[邛)為數(shù)列｛g｝的“a-

比分?jǐn)?shù)列”.已知數(shù)列｛%｝,｛〃｝滿足/=4=1,且｛%,｝的“1-比分?jǐn)?shù)歹廣與也｝的“2-比分?jǐn)?shù)歹/是同一個(gè)數(shù)歹(J.

⑴若｛b,,｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和，；

(2)若山｝是公差為2的等差數(shù)列，求生,.

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

【典例4-1](2024?江蘇徐州,一模)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P：%，出，…,巴,定義變換北，工將數(shù)列P

變換成數(shù)列彳(P)：n,ai-\,a2-t-,a,-1.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列。心也,…也,，定義

義0)=2(4+2%+…+加“)+爐+片+…+鬣，定義變換(,(將數(shù)列。各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零

的項(xiàng),得到數(shù)列4(。).

(1)若數(shù)列片為2,4,3,7,求5口(如)的值；

(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列片，令九=%偌記))，左eN.

(i)探究S(((4))與S(心的關(guān)系;

(ii)證明：S⑷)4趴6).

【典例4-2】(2024?江西贛州?一模)設(shè)數(shù)列/：4,。2，-一，冊(cè)322).如果對(duì)小于"(2。區(qū)")的每個(gè)正整數(shù)人都

有以＞見.則稱〃是數(shù)列A的一個(gè)時(shí)刻”.記。(⑷是數(shù)列A的所有“。時(shí)亥上組成的集合，D(A)的元素個(gè)數(shù)

記為card。,4).

⑴對(duì)數(shù)列/：-1」,-2,2,-3,3,寫出。(/)的所有元素；

(2)數(shù)列4：％,電，…,。6滿足｛生，電，…，&｝=｛1，23,4,5,6｝,若card(。,4)=4.求數(shù)列A的種數(shù).

⑶證明：若數(shù)列A滿足an-a”-2-15=2,3,4,…,N),則card(明/)2%-a麻,

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【變式4-5](2024?高三?山東?開學(xué)考試)在無窮數(shù)列｛4｝中，令T“=a/L冊(cè),若\/〃eN*,(8。,｝,則

稱｛見｝對(duì)前〃項(xiàng)之積是封閉的.

(1)試判斷：任意一個(gè)無窮等差數(shù)列｛%｝對(duì)前n項(xiàng)之積是否是封閉的？

(2)設(shè)｛%｝是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)為=2,公比為/若｛%｝對(duì)前"項(xiàng)之積是封閉的，求出鄉(xiāng)的兩個(gè)值；

(3)證明：對(duì)任意的無窮等比數(shù)列｛為｝,總存在兩個(gè)無窮數(shù)列他J和卜｝,使得巴=6“q(〃eN*),其中也｝

和｛c“｝對(duì)前〃項(xiàng)之積都是封閉的.

【變式4-6](2024?福建泉州?模擬預(yù)測)(。,6)表示正整數(shù)0,6的最大公約數(shù)，若

｛xi，y4｝u｛l,2,一、m｝W，7MeN"),且,儀為,％,,(X,ZM)=1,則將左的最大值記為夕(加)，例如:

夕⑴=1，。(5)=4.

⑴求9⑵,9(3),夕⑹；

(2)已知("")=1時(shí),(p(mri)=(p(m)(p[n).

⑴求夕(6")；

(ii)設(shè)數(shù)列間的前"項(xiàng)和為小證明：T,喂.

題型五：數(shù)列定義新情景

【典例5-1](2024?海南?模擬預(yù)測)若有窮數(shù)列為,出，…,%(〃是正整數(shù))，滿足％=a?.M(zeN,且

就稱該數(shù)列為“S數(shù)列”.

⑴己知數(shù)列也,｝是項(xiàng)數(shù)為7的S數(shù)列，且4也也也成等比數(shù)列，a=2也=8,試寫出也｝的每一項(xiàng)；

⑵已知｛c“｝是項(xiàng)數(shù)為24+1億N1)的S數(shù)列，且CM,%2,…仁.構(gòu)成首項(xiàng)為100,公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)

列｛%｝的前2左+1項(xiàng)和為邑則當(dāng)無為何值時(shí)，邑"]取到最大值？最大值為多少？

(3)對(duì)于給定的正整數(shù)?>1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2加的S數(shù)列，使得1,2,22,…,2時(shí)|成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng);

當(dāng)加>1500時(shí)，試求這些S數(shù)列的前2024項(xiàng)和S2024.

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【典例5-2】(2024?高三?全國?專題練習(xí))將平面直角坐標(biāo)系中的一列點(diǎn)4(1,%)、4(2,%)、L、4("")、

L,記為｛4｝,設(shè)/(同=而=)，其中7為與歹軸方向相同的單位向量.若對(duì)任意的正整數(shù)"，都有

/(?+1)>/(?),則稱｛4｝為T點(diǎn)列.

⑴判斷4(1,1)、4(2,￡|、4卜，1]、L、4,1)、L是否為T點(diǎn)列，并說明理由；

⑵若｛4｝為T點(diǎn)列，且。2>。1?任取其中連續(xù)三點(diǎn)4、4+八4+2,證明A44M4+2為鈍角三角形；

⑶若｛4｝為T點(diǎn)列，對(duì)于正整數(shù)左、1、比較44工4與布:7的大小，并說明理由.

【變式5-1](2024?遼寧葫蘆島?一模)大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所

蘊(yùn)含的價(jià)值，數(shù)據(jù)篩選在整個(gè)數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會(huì)起到事半功倍的效

果.現(xiàn)有一個(gè)“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作刪去一個(gè)無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)

為N的項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個(gè)新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

4=3"—,〃eN+,通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對(duì)數(shù)列｛%｝進(jìn)行”3,1)操作后得到也｝,設(shè)｛%+a｝前〃項(xiàng)和為S”.

⑴求加

(2)是否存在不同的實(shí)數(shù)p,q/eN+,使得邑，Sq,邑成等差數(shù)列？若存在，求出所有的(°應(yīng)，廠)；若不存

在，說明理由；

ns

(3)若e"=",〃eN+,對(duì)數(shù)列上｝進(jìn)行“3,0)操作得到優(yōu)｝，將數(shù)列優(yōu)｝中下標(biāo)除以4余數(shù)為0,1

-1)

的項(xiàng)刪掉，剩下的項(xiàng)按從小到大排列后得到加,｝,再將｛%｝的每一項(xiàng)都加上自身項(xiàng)數(shù)，最終得到｛qj,證

明：每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是｛g｝中相鄰兩項(xiàng)的和.

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列

【典例6-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)給定數(shù)列｛%｝,稱他-a“.J為｛%｝的差數(shù)列(或一階差數(shù)列)，稱數(shù)列

的差數(shù)列為｛??)的二階差數(shù)列……

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(1)求｛2"｝的二階差數(shù)列；

(2)用含m的式子表示｛2"｝的m階差數(shù)列，并求其前?項(xiàng)和.

【典例6-2](2024海南省直轄縣級(jí)單位?一模)若有窮數(shù)列%,%，...，%(”是正整數(shù))，滿足4=an_M(feN*,

且就稱該數(shù)列為“S數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列也,｝是項(xiàng)數(shù)為7的S數(shù)列，且4，b2,b3,4成等比數(shù)列，4=2,2=8,試寫出｛2｝的每一項(xiàng)；

(2)已知｛的｝是項(xiàng)數(shù)為2斤+1(左21)的S數(shù)列，且與+i，ck+2,c2Hl構(gòu)成首項(xiàng)為100，公差為-4的等差數(shù)

列，數(shù)列｛?！埃那?斤+1項(xiàng)和為$2什「則當(dāng)無為何值時(shí)，SZE取到最大值？最大值為多少？

(3)對(duì)于給定的正整數(shù)卬＞1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2加的S數(shù)列，使得1,2,2?…2，片成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；

當(dāng)機(jī)＞1500時(shí)，試求這些S數(shù)列的前2024項(xiàng)和$2。24.

【變式6-1](2024?河南開封?二模)在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA

加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p,q是兩個(gè)正整數(shù)，若0,q的最大公約數(shù)是1,則稱0,q互素.對(duì)于任意正整數(shù)

n,歐拉函數(shù)是不超過〃且與“互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為夕小).

⑴試求夕⑶，。(9),夕⑺，夕(21)的值；

(2)設(shè)〃是一個(gè)正整數(shù)，p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求討3"),(p(pq)與ip(p)和°⑷的關(guān)系；

(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰.具體而言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)0,夕；

②計(jì)算"=pq,歐拉函數(shù)夕(〃)；

③求正整數(shù)公使得旬除以夕,)的余數(shù)是1；

④其中(凡4)稱為公鑰，(〃㈤稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到

一列數(shù)記為數(shù)列低｝,數(shù)列｛c,,｝滿足80cL2+47,求數(shù)列｛tanc?.tanc?+1)的前〃項(xiàng)和7；.

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【變式6-2](2024?貴州?三模)差分密碼分析(DifferentialCryptanalysis)是一種密碼分析方法，旨在通過

觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對(duì)于數(shù)列｛0“｝(〃eN*),規(guī)

定｛△%｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△%=%+「%；規(guī)定｛儲(chǔ)%｝為｛與｝的二階差分?jǐn)?shù)列，其中

A%,=如果｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列滿足幽國力,則稱｛叫是“絕對(duì)差異數(shù)列”；

如果｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列滿足尸生卜卜2aMy/eN*),則稱｛。"｝是“累差不變數(shù)列1

(1)設(shè)數(shù)列/：1,3,7,9,13,15,判斷數(shù)列A是否為“絕對(duì)差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請(qǐng)說明理由；

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。"=2/+〃(〃eN*),分別判斷｛MJ,｛A?%｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；

(3)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛g｝為“累差不變數(shù)列”，其前〃項(xiàng)和為S“，且對(duì)V〃eN*，都有

k=\

對(duì)滿足〃+機(jī)=2左(〃-〃)的任意正整數(shù)〃,加,左都有C,“RC"，且不等式S.+S,”>0恒成立，求實(shí)數(shù)f的最大值.

題型七：非典型新定義數(shù)列

【典例7-1】(2024?高三?全國?專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛與｝的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前"項(xiàng)和為S"，稱滿足條

件“對(duì)任意的加，〃eN*,均有("-機(jī)電+為=5+m)(英-黑)”的數(shù)列｛%｝為“好”數(shù)列.

⑴試分別判斷數(shù)列應(yīng)｝,也｝是否為“好”數(shù)列，其中?！?2"T,〃cN*并給出證明；

(2)已知數(shù)列｛[｝為“好”數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為(.

①若.24=2025,求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

②若G=P，且對(duì)任意給定的正整數(shù)s(s>l),有q,q,c,成等比數(shù)列，求證：fZsL

【典例7-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列用為〃(〃=2,3,4,…)階“曼德拉

數(shù)列”：

(T)%+/+/+■■■+a“=0；(2)J|+，■■+1"”|=].

(1)若某2左^eN*)階“曼德拉數(shù)列，，是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)。"(1<?<2^,用左，”表示)；

(2)若某蛛+1(左€川)階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)。"(1W〃V24+1,用左，〃表示)；

⑶記〃階“曼德拉數(shù)列”｛4｝的前左項(xiàng)和為熊(左=1,2,%.?,”)，若存在機(jī)e｛l,2,3,…使鼠=；，試問：數(shù)

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列慨｝。=1,2,3,…能否為〃階“曼德拉數(shù)列，，？若能,求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.

【變式7-1](2024?湖南長沙一模)對(duì)于數(shù)列｛%｝,如果存在正整數(shù)7,使得對(duì)任意〃都有%+7=%，

那么數(shù)列｛%｝就叫做周期數(shù)列，7叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)列｛"｝,｛1｝滿足：存在正整數(shù)左，對(duì)每一

個(gè)中4/eN*),都有〃=q,我們稱數(shù)列低｝和上｝為“同根數(shù)列”.

=1

(1)判斷數(shù)列%=sin〃7t、4=3,n=2是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理

bn-x-bn-2，n>3

由；

(2)若㈤｝和也“｝是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是加+2和小+4?eN*),求人的最大值.

【過關(guān)測試】

1.(2024?天津和平一模)若數(shù)列｛%｝滿足°用=7^萬(〃eN*),其中4片0,?！?gt;0,則稱數(shù)列｛%｝為“數(shù)

列.

(1)已知數(shù)列｛%｝為M數(shù)列，當(dāng)4=1,%=1時(shí).

(i)求證：數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列｛0“｝(〃eN*)的通項(xiàng)公式；

2Mni

(ii)(這[(]+硝求

k=lk=\1k

n1

⑵若｛4｝是〃數(shù)列GeN*),且d>0,證明：存在正整數(shù)".使得2—>2024.

z=lai

2.(2024?黑龍江?二模)如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3,則稱這個(gè)數(shù)列為“G型

數(shù)列

(1)若數(shù)列｛氏｝滿足2%=5,+1,判斷｛%｝是否為“G型數(shù)列”，并說明理由；

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(2)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝為“G型數(shù)列"，%=1,數(shù)列也｝滿足“=%+2,〃eN*,也｝是等比數(shù)列，公比為正

整數(shù)，且不是“G型數(shù)列”，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)qwO,定義數(shù)列｛4｝如下：如果"=%+2%+2?9+…+2』,x,e｛0,1｝,

2k

i=0,1,2,…，左，貝[|a'=%。+xrq+x2q4----Fxkq.

⑴求%和心(用表示)；

n

⑵令"=%T,證明：?[=%,7；

Z=1

⑶若1<?<2,證明：對(duì)于任意正整數(shù)"，存在正整數(shù)〃7,使得。+1.

4.(2024?天津?一模)若某類數(shù)列｛叫滿足“V〃22,&>2,且％片0，，(〃wN*),則稱這個(gè)數(shù)列｛%｝為“G型

an-\

數(shù)列”.

(1)若數(shù)列｛%｝滿足％=3,4"用=32"+1,求生，%的值并證明：數(shù)列｛4｝是“G型數(shù)列”；

(2)若數(shù)列如｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且q=l,｛%｝為“G型數(shù)列"，記6,=。,+1,數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，公比

為正整數(shù)，當(dāng)｛4｝不是“G型數(shù)列”時(shí)，

(i)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(ii)求證：Z~~

"嗎+i12

5.(2024?高三?浙江?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系X0中，我們把點(diǎn)(x,y),x,”N*稱為自然點(diǎn).按如圖所示

的規(guī)則，將每個(gè)自然點(diǎn)(羽丫)進(jìn)行賦值記為「(小了)，例如尸(2,3)=8,尸(4,2)=14,尸(2,5)=17.

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.

7

6--

4@-T>,

5,

--?T-

4@-

@--?o

34>--J--:

(z)-?丁

43)--0@-4?-

2@-,<

&?^&-

1(2)-6⑥

d)-

I'?'-''二

O

1234567X

⑴求尸(羽1)；

(2)求證:2P(x,y)=P(x-l,y)+P(x,y+1)；

(3)如果P(x,y)滿足方程P(x+l,y-l)+P(x,y+1)+P(x+l,y)+P(x+l,y+V)=2024,求P(x,y)的值.

6.(2024?內(nèi)蒙古包頭?二模)已知數(shù)列｛為｝為有窮數(shù)列，且&eN*,若數(shù)列｛4｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)

列｛%｝為加的上增數(shù)列：

①q+&+%+…+?！?m；

②對(duì)于1Wi<j4",使得at<%的正整數(shù)對(duì)(z,J)有左個(gè).

⑴寫出所有4的1增數(shù)列；

(2)當(dāng)〃=5時(shí)，若存在力的6增數(shù)列，求〃z的最小值.

7.(2024?河南鄭州?二模)已知數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列，且々"?N*,若數(shù)列｛《,｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列

｛叫為加的后增數(shù)列:Q)al+a2+a3+—+an=m.②對(duì)于使得q<%的正整數(shù)對(duì)(，,/)有左個(gè).

⑴寫出所有4的1增數(shù)列；

(2)當(dāng)〃=5時(shí)，若存在他的6增數(shù)列，求加的最小值；

(3)若存在100的左增數(shù)列，求左的最大值.

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8.(2024?安徽黃山?一模)隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛.差分和差分方程是描述

離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用.對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定｛△%｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其

2

中△%=°向-%eN*),規(guī)定｛非%｝為數(shù)列｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列,其中A??=Aa?+1-NaneN*).

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為試判斷數(shù)列格?！埃?｛相。“｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？

(2)數(shù)列｛log/J是以1為公差的等差數(shù)列，且。>2,對(duì)于任意的〃eN*,都存在zweN*,使得△論=勾，

求。的值；

(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列匕｝的前“項(xiàng)和為S"，且｛Ac,,｝為常數(shù)列，對(duì)滿足用+"=2t,m片n的任意正整數(shù)m,n,t

都有曦Re”，且不等式與+S“>2S,恒成立，求實(shí)數(shù)4的最大值.

9.(2024?北京門頭溝?一模)已知數(shù)列…MM，數(shù)列{4}：4也,…也，其中M>2,且

.記{an},{bn}的前〃項(xiàng)和分別為S”,Tn,規(guī)定邑=4=0.記

S={S}-S,.\i=0,1,2,■■■,Mj=1,2,■■■,M,且i</},T=\Tj-Ti\i=W,-,M-j=\,2,-,M,且i<j}.

⑴若{叫:2,1,3,也}:1,3,3,寫出S,T；

(2)若5={2,3,5,6,8},寫出所有滿足條件的數(shù)列{%},并說明理由；

(3)若％=…出>&，且S=r.證明：蟲{2,…M，使得“=%_%.

10.(2024?河南?一模)在正項(xiàng)無窮數(shù)列｛%｝中，若對(duì)任意的〃eN*,都存在meN*,使得，

則稱｛%｝為加階等比數(shù)列.在無窮數(shù)列也,｝中，若對(duì)任意的〃eN*,都存在“eN*,使得b,,+b,+21n=2b“+m，

則稱也｝為冽階等差數(shù)列.

(1)若｛?！ǎ秊?階等比數(shù)列，%+&+〃3=:，〃3+%+。5=77，求｛%｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和；

416

(2)若｛%｝為掰階等比數(shù)列，求證：｛In%｝為加階等差數(shù)列；

(3)若｛%｝既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：｛〃"｝是等比數(shù)列.

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11.(2024?吉林白山?二模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若數(shù)列｛%｝滿足：①數(shù)列｛%｝項(xiàng)數(shù)有限為N；

N

②S'=。；③2同句，則稱數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”.

Z=1

(1)若等比數(shù)列｛%｝。4〃<10)為“10階可控?fù)u擺數(shù)列"，求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若等差數(shù)列2m,meN*)為“2〃?階可控?fù)u擺數(shù)列"，且%>am+l,求數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式；

N

(3)已知數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在iWmWN,使得工同=2黑，探究：數(shù)列｛&｝能否為“N階

Z=1

可控?fù)u擺數(shù)列"，若能，請(qǐng)給出證明過程；若不能，請(qǐng)說明理由.

12.(2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試)牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解

方程的方法.比如，我們可以先猜想某個(gè)方程1(力=0的其中一個(gè)根『在x=x。的附近，如圖所示，然后在

點(diǎn)(%，/(%))處作/(力的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是為，用為代替不重復(fù)上面的過程得到巧；一

直繼續(xù)下去，得到毛,為，X?,……，x?.從圖形上我們可以看到玉較迎接近r,巧較占接近，等等.顯

然，它們會(huì)越來越逼近「于是，求「近似解的過程轉(zhuǎn)化為求當(dāng),若設(shè)精度為￡,則把首次滿足|尤“-%」<￡

的X”稱為r的近似解.

已知函數(shù)［(x)=x3+(a-2)x+a,aeR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，試用牛頓迭代法求方程/'("=0滿足精度￡=0.5的近似解(取升=-1,且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后

第二位)；

(2)^/(x)-x3+x2lnx>0,求。的取值范圍.

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13.(2024?高二?廣東?階段練習(xí))關(guān)于x的函數(shù)/(無)=litt+2x-b(6>2),我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過“二分法”

求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法一“牛頓切線法”.

⑴證明：/(x)有唯一零點(diǎn)。，且好(1,6)；

(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳⊥鮻(1必)開始，實(shí)施如下步驟：

在(玉,/(再))處作曲線/(”的切線，交無軸于點(diǎn)值⑼；

在(％J(%))處作曲線/'(x)的切線，交x軸于點(diǎn)仿⑼；

在(％J(%))處作曲線/(x)的切線，交x軸于點(diǎn),0)；

可以得到一個(gè)數(shù)列{%},它的各項(xiàng)都是/(x)不同程度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)%+i=g(x〃)，求g(尤〃)的解析式(用當(dāng)表示X“+])；

(ii)證明：當(dāng)再€(1,。)，總有x“<x"+i<a.

14.(2024?高三?山西呂梁?階段練習(xí))三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)/(切=以2+：的圖象

恰如其形，因而得名三叉戟函數(shù)，因?yàn)榕ｎD最早研究了這個(gè)函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函

數(shù)〃x)="x2+g的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,8),且〃-2)=0.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)用定義法證明：/(x)在(-雙0)上單調(diào)遞減.

.、\a,a>b,,、\b,a>b,

15.(2024?河南信陽，一模)定義：max{a,b}=(min{cz,/>}=公已知數(shù)列{?！皚旃足

仇[a,a<b,

見+min{an+l,an+2]=max{an+x,an+2].

(1)右%=2,%=3,%,%的值；

(2)若V〃eN*,北eN*,使得%4知恒成立.探究：是否存在正整數(shù)0,使得4=0,若存在，求出〃的可

能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由；

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(3)若數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，證明：不存在實(shí)數(shù)力,使得V〃eN*,a"W/.

16.(2024?高三?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試)對(duì)于數(shù)列｛%｝(〃eN*),記9,=。用-。“，稱數(shù)列｛△%｝為數(shù)列｛叫的

一階差分?jǐn)?shù)列；記稱數(shù)列｛△%“｝為數(shù)列｛叫的二階差分?jǐn)?shù)列，…，一般地，對(duì)

于人N,記AS“=A0%,)=A%x-A%",規(guī)定:A°??=??,△'??=Aa?,稱｛△,/為數(shù)列｛%｝的左階差分

數(shù)列.對(duì)于數(shù)列｛6｝,如果屋%=dw0(d為常數(shù))，則稱數(shù)列｛g｝為左階等差數(shù)列.

(1)數(shù)列｛r｝是否為左階等差數(shù)列，如果是，求左值，如果不是，請(qǐng)說明為什么？

⑵請(qǐng)用％,4體,42%,N生,…表示心嗎，并歸納出表示%的正確結(jié)論(不要求證明)；

(3)請(qǐng)你用(2)歸納的正確結(jié)論，證明：如果數(shù)列｛?！埃秊闊o階等差數(shù)列，則其前〃項(xiàng)和為

S,=C；%+C；A%+C：A24+???+；

(4)某同學(xué)用大小一樣的球堆積了一個(gè)“正三棱錐”，巧合用了2024個(gè)球.第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)，

第3層有6個(gè)球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多

1個(gè)球，問：這位同學(xué)共堆積了多少層？

17.(2020?江蘇?高考真題)已知數(shù)列｛%｝(〃?N*)的首項(xiàng)。尸1,前力項(xiàng)和為設(shè)九與左是常數(shù)，若對(duì)一切

正整數(shù)〃，均有s:一s：_2a1成立，則稱此數(shù)列為“?〃'數(shù)列.

(1)若等差數(shù)列｛%｝是、?1”數(shù)列，求入的值；

(2)若數(shù)列｛%｝是“。-2”數(shù)列，且的＞0,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)對(duì)于給定的3是否存在三個(gè)不同的數(shù)列｛?！埃秊椤?3”數(shù)列，且〃侖0?若存在，求九的取值范圍；若不存

在，說明理由，

(、*2?，氏V18，/、

18.(2015?北京?高考真題)已知數(shù)列｛%｝滿足：％eN*,%436,且。用=｛.工(力=1,2,…).記

Zc1n—36,4“>1o

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集合W=｛a“|〃eN*｝.

(I)若為=6,寫出集合/的所有元素；

(II)若集合“存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：”的所有元素都是3的倍數(shù);

(III)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

19.(2013?北京?高考真題)已知｛%｝是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項(xiàng)的最大值記為4,第〃

項(xiàng)之后各項(xiàng)a“+i，%+2…的最小值記為必，<=An-Bn.

⑴若｛%｝為2,1,4,3,2,1,4,3...,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意“GN*,a?+4=a?),寫出4也,德，〃

的值；

(2)設(shè)4為非負(fù)整數(shù)，證明：4=-"("=1,2,3…)的充分必要條件為｛%｝為公差為"的等差數(shù)列；

(3)證明：若4=2,<=1(?=1,2,3...)，則｛0,｝的項(xiàng)只能是1或2,且有無窮多項(xiàng)為1.

20.(2024?高三?北京西城?開學(xué)考試)若數(shù)列｛%｝滿足：存在N°eN*和7eN*,使得對(duì)任意〃或和左?N*,

都有??=a?+kT,則稱數(shù)列｛a?｝為“p數(shù)列”;如果數(shù)列㈤｝滿足：存在N°eN*,使得對(duì)任意/>的No(z,jeN*),

都有qV%,則稱數(shù)列｛aJ為“/數(shù)列”；

(1)在下列情況下，分別判斷｛4｝是否“P數(shù)列”，是否“/數(shù)列"？①4=1,磴=2,。什2=-(%+。用)；②為=5,

2

??+i=|??-3|；

⑵若數(shù)列｛4｝：4>%>0，?！?2=5(%+|+?！?是”/數(shù)列”，其中4eZ且左*0,求上的所有可能值；

(3)設(shè)“/數(shù)列”｛叫和“戶數(shù)列”｛"｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，定義分段函數(shù)/(x),xe[l,+s)如下:記國為“不超過

x的最大正整數(shù)”，f(x)=/([x])=%]內(nèi)證明：若/(X)是周期函數(shù)，則｛4｝是“尸數(shù)列”.

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專題05數(shù)列下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：牛頓數(shù)列問題

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

題型三：數(shù)列定義新概念

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

題型五：數(shù)列定義新情景

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列

題型七：非典型新定義數(shù)列

【方法技巧與總結(jié)】

1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以

簡單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力

和探索能力（多想少算甚至不算）.因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類、套路總

結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.

2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：

（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題

的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，

達(dá)到靈活解題的目的.

（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要

求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以順利解決.

（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.

【典型例題】

題型一：牛頓數(shù)列問題

【典例1-11（2024?廣東韶關(guān)二模）記R上的可導(dǎo)函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為了'⑺，滿足=斗-犬eN*）

的數(shù)列上｝稱為函數(shù)/（x）的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝為函數(shù)/（X）=/T的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛叫滿足

%=2,a?=ln-^—,x?>1.

⑴求的;

（2）證明數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列并求巴；

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(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S.，若不等式(T)”.電-14<5；；對(duì)任意的〃eN*恒成立，求t的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)閒(x)=x2-x,則/'(x)=2x-l,從而有%+]=x“-°J、=x“

J2x〃—l'I

由%=2，%=ln」\,則2=111』7

x“T

24

xx；_e

則—=e、解得再=舁則有%=所以出二^￡=2仄3=4；

再一11e2-l2x,-l-e4-l

所以%+i=In=ln-^—\=21n^--=2a?(x?>1),

x“+|TX"-l

故縱=2(非零常數(shù))，且4=2*0,所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

an

所以4=2x2i=2〃；

(3)由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得：s=2(1_2")=2向_2,

"1-2

因?yàn)椴坏仁?-D"?0-14<S/對(duì)任意的〃eN*恒成立，又5“>0且E,單調(diào)遞增,

14令g(x)=x+f,

所以(-1)〃?三S〃+7對(duì)任意的〃N*恒成立,XG(0,+<%)),

貝Ijg，(x)=l-2=三耳，當(dāng)xe(0,JH)時(shí)，g'(x)<o,g(x)是減函數(shù)，

當(dāng)'w)時(shí)，g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)，

又2=耳<舊<$2=6,且g(2)=9,g(6)=F，g⑹<g⑵，則g(x)1nJg(6)=F，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，原式化簡為區(qū)S〃+不14，所以當(dāng)〃=2時(shí)，，(2q5；

?〃3

14

當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，原式化簡為TWS'+不，所以當(dāng)〃=1時(shí)，-t<9,所以拈-9；

25

綜上可知，-"三市

【典例1-2](2024?高二?浙江紹興?期末)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/'(x),若滿足(％+「％)/'(無")+/(%)=0,則稱數(shù)列

｛七｝為牛頓數(shù)列.已知/(x)=/,如圖，在橫坐標(biāo)為占=1的點(diǎn)處作/(x)的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐

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標(biāo)為N，用王2代替毛重復(fù)上述過程得到七，一直下去，得到數(shù)列｛%｝.

(1)求數(shù)列k“｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列｛〃?％｝的前“項(xiàng)和為S,,且對(duì)任意的“eN*,滿足,求整數(shù)2的最小值.(參考數(shù)

據(jù)：0.94=0.6561,0.9$a0.5905,0.96~0.5314,0.97?0.4783)

【解析】(1)

/'(x)=4x3,

.■./(X)在點(diǎn)(X",%)處的切線方程為：y-yn=4x^(x-xtl)

3

令y=0,得乙+1=］%，

a

所以｛無,｝是首項(xiàng)為1,公比為:的等比數(shù)列，

(2)令bn=n，x〃=n,

法一：錯(cuò)位相減法

兩式相減得：：s〃=i+1:]+[、)-1—~n

化簡得:邑二16-(16+4〃)圖’

故16一(16+4〃)圖>16-

化簡得22(16+4〃)［得］

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令d〃=(16+4〃

當(dāng)〃W5時(shí)，dn+i-dn>0,即痣=4〉乙〉人〉&〉4，

當(dāng)6時(shí)，dn+x-dn<0,即痣>4>4>...,

所以（4，）蚪

從而整數(shù)小m=22;

法二：裂項(xiàng)相消法

所以S〃=4+坊+…+6〃=[(。2-)+(。3—。2)+…+(?！?1-g)]

3

=c〃+i~c\=16—(16+4〃)

故16-(16+4”)審>16-2^|J,化簡得促(16+4〃)2]

令d“=(16+4〃)

則號(hào)二江"1時(shí),r5,

當(dāng)當(dāng)〃<5時(shí)，~^r~21,即痣=4>“4>4>"2>4，

當(dāng)〃26時(shí)，0<—<1,gpd6>dy>ds>...,

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所以(Z)max=d5=d6=36.(總?21.26

從而整數(shù)41M=22

【變式1-1](2024?廣東廣州?二模)已知函數(shù)/(x)Mlnx+2x-6(6>2).

(1)證明：/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)。，且ae(1,6)；

(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取

士41,0),實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)(占J(xJ)處作/(x)的切線，交x軸于點(diǎn)伍⑼：在點(diǎn)(%,[伍))處作/(x)

的切線，交x軸于點(diǎn)(無3,0);一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列{%},它的各項(xiàng)是/(力不同精確度的零點(diǎn)

近似值.

(i)設(shè)無“+i=g(X"),求g(xj的解析式；

(ii)證明：當(dāng)玉總有x“<z+i<a.

【解析】(1)/(x)=hu+2x-60>2),定義域?yàn)?0,+<?),

所以，/'(x)」+2>0在(0,+功上恒成立，

X

所以函數(shù)/(X)在(0,E)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?⑴=lnl+2-