2025年高考數(shù)學(xué)大題突破訓(xùn)練：圓錐曲線（8大題型）學(xué)生版+解析

培優(yōu)專題05園錐曲線

0■花墨型猜制?幡埴提今”

題型1中點(diǎn)弦、弦長、面積問題

一、中點(diǎn)弦問題

2222

設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)/（國,為），5（X2，%），代入橢圓方程，得4+“=1；

ab2+今小

將兩式相減，可得近二+匕二鵬=0;區(qū)+X2）%-X2）=—（%+%）,「％）；

/b1a-b'

最后整理得：l=，勺Lf）nij.”

b（為+%2）（玉一％2）bx0

同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：1=n]=h-.比

b（X1+%2）（%1—％2）bX。

2

設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)4>1，乂），3（X2，%），代入拋物線方程，得%2=2.]；y2=2px2；

y,-v2D

將兩式相減，可得（%—%）（乃+%）=20（石—9）；整理得：9=——

X1-X2必+%

二、弦長公式

j05|=，（西一工2）2+（必一%>

!\AB|=7（l+k2）（Xi-%2）2

=Jl+左2-%21

=J（1+左2）［（西+%）2—4匹雙（最常用公式，使用頻率最高）

+%）2_4乃必

三、三角形面積問題

|息0一%+根I

直線45方程：y=kx+md=\PH\=

ji+/

'|VA|AX0-y0+m\

“則心…y=

四、平行四邊形的面積

直線4B為歹="+嗎，直線為>=米+冽2

MM—Jl+t2k_X2|—Jl+七2小（%+、2）2-4%「2=J+'2

I----------

IV=1型小尸落犯叫=而叫溝

12口ABCD11⑷ViTF⑷

注意：4為直線與橢圓聯(lián)立后消去夕后的一元二次方程的系數(shù).

一、解答題

1.(24-25高三上?廣西?期末)已知?jiǎng)狱c(diǎn)〃到點(diǎn)(6,0)的距離比它到直線x+8=0的距離小2,記動(dòng)點(diǎn)M的

軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)直線/與C相交于48兩點(diǎn)，若線段N8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-2),求直線/的方程.

2.(24-25高三上?陜西渭南?期末)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸到x軸的距離為4,且|0口2=4+聞2,其

中2,〃均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為(4〃)曲線.

(1)判斷(2,-3)曲線為何種圓錐曲線？

(2)若區(qū)〃)曲線為雙曲線，試問兒必應(yīng)滿足什么條件？

(3)設(shè)曲線C為(3,4)曲線，斜率為1的直線/過曲線C的右焦點(diǎn)，且與曲線C交于48兩個(gè)不同的點(diǎn)，求

\AB\.

3.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知橢圓C：5+，=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,1)且離心率為等，設(shè)直線/與

橢圓C相交于4?兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/的斜率為1,求線段N5中點(diǎn)M的軌跡方程；

22

4.(24-25高三下?福建福州?開學(xué)考試)己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線E:十%=1(.>0,6>0)經(jīng)過點(diǎn)-5,2),

左、右焦點(diǎn)分別為耳(-6,0),工(6,0).

(1)求E的離心率；

(2)一組平行于。/的直線與E相交，證明這些直線被E截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上.

225

5.(24-25高三下?遼寧朝陽?開學(xué)考試)已知橢圓C:rJ+工=1(。>6>0)的離心率為半，片，月分別是

橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)片的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且AMA此的周長為4后

⑴求橢圓C的方程；

(2)直線，：>=x+〃?與C交于48兩點(diǎn)，求△0/8面積的最大值.

22

6.(24-25高三下?江蘇?開學(xué)考試)已知橢圓C:三+4=1(°>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小工，點(diǎn)P在C上,

ab

3

且尸與,耳耳，直線尸耳的斜率為W，過點(diǎn)片的直線/與C交于48兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，四邊形/丹鳥尸的

面積為3.

(1)求C的方程；

(2)若以48為直徑的圓與直線羋相切，求直線/的方程.

7.(24-25高三上?江蘇鎮(zhèn)江?期末)已知拋物線C：必=2加(°>0)的焦點(diǎn)為尸，位于第一象限的點(diǎn)尸(1,%)在

拋物線C上，且忸司=2.直線/過焦點(diǎn)下且與拋物線C交于/,B兩點(diǎn).

⑴若/的傾斜角為45。，求弦長|48|的值；

(2)若過/且與/垂直的直線交C于M,N兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值，

22

8.(23-24高三上?廣西桂林?階段練習(xí))已知橢圓C:三+上=1(。>6>0)上的點(diǎn)A到兩焦點(diǎn)的最大矩離和

a2b2

最小距離分別為3和1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)片作不與x軸重合的直線"N與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線加:x=-2a

的垂線〃紋E為垂足.求：

①已知直線EN過定點(diǎn)P,求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOEN面積的最大值.

9.(2025?福建莆田?二模)已知橢圓耳：［+==1(°>6>0)的離心率為"，點(diǎn)尸(0,1)在片上.

ab2

⑴求耳的方程；

⑵設(shè)橢圓￡：］+/=加(加>1).若過戶的直線/交及于另一點(diǎn)。，/交區(qū)于42兩點(diǎn)，且A在X軸上方.

(i)證明：網(wǎng)=照;

(ii)0為坐標(biāo)原點(diǎn).C為4右頂點(diǎn).設(shè)A在第一象限內(nèi)，BP=2PA>是否存在實(shí)數(shù)〃?使得A05尸的面積

與AC/M的面積相等？若存在，求機(jī)的值；若不存在，說明理由.

題型2定點(diǎn)及其探索性問題

一、定點(diǎn)問題

定點(diǎn)問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系

等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

【一般策略】

①引進(jìn)參數(shù).一般是點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等.

②列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表示出對應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程.

③探究直線過定點(diǎn).一般化成點(diǎn)斜式y(tǒng)-%=k(x-x())或者直線系方程f(x,y)+Ag(x.y)=0

一、解答題

1.(24-25高三下?河北?開學(xué)考試)已知橢圓C：￡+工=13>6>0)的離心率為由，且經(jīng)過Z(-2,0),

ab2

直線/交C于E,尸兩點(diǎn)，直線/斤斜率之和為1.

(1)求橢圓。的方程；

(2)證明：直線/過定點(diǎn).

2.(2025?湖南岳陽一一模)己知拋物線C:必=2px的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在直線2x+3y-2=0上，4夕是拋物

線C上兩個(gè)不同的點(diǎn).

(1)求拋物線c的方程；

(2)設(shè)直線。4。8的斜率為自'，自8,若自/?后以=-2,證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).

2222

3.(24-25高三上?安徽?期末)已知雙曲線CJ-會=l(a>0,6>0)與橢圓去+71的焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn)

尸(3,-1).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)是V軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，直線尸”與C交于另外一點(diǎn)A,直線尸N與C交于另外一點(diǎn)B,

試判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

4.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知雙曲線C：g—(=1,>0乃>0)的實(shí)軸長為4,離心率為乎.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)雙曲線c的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,若點(diǎn)尸為直線/：x=g上一點(diǎn)，直線4尸與直線4尸分別與C交于

另一點(diǎn)M,N(不與4,4重合),則直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

2222

5.(2025?河北保定?模擬預(yù)測)已知雙曲線￡:二-匕=1(。>0/>0)的一條漸近線與雙曲線:土-匕=1

ab416

的一條漸近線垂直，4,4分別為G的左、右頂點(diǎn)，且4到G的兩條漸近線的距離之和為1否.

(1)求雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)尸，。為G上異于的不同的兩點(diǎn)，且直線4尸的斜率與直線4。的斜率滿足產(chǎn)=-5,證明：直線

K

A2Q

尸。恒過定點(diǎn).

22H

6.(24-25高三上?寧夏吳忠?期末)已知橢圓C:5+A=l(a>b>0),四點(diǎn)<(1,1),^(0,1),P3-1,二

ClD卜/

巴卜中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

⑴求橢圓C的方程；

(2)求橢圓C上點(diǎn)。到直線》-〉+26=0距離的最大值;

（3）過橢圓C右焦點(diǎn)廠的直線/與C相交于a8兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)尸（見0）,使得ZAPO=/BPO?

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

題型3斜率定值（含非對稱韋達(dá)）

一、圓錐曲線的定值問題

（1）解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段長度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某

些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，

求定值問題常見的解題方法有兩種：

法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；

法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去參數(shù)，從而得到定值。

（2）直接法解題步驟

第一步設(shè)變量：選擇適當(dāng)?shù)牧慨?dāng)變量，一般情況先設(shè)出直線的方程：y=+b或》=即+〃、點(diǎn)的坐標(biāo);

第二步表示函數(shù)：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，一般情況通過題干所給的已知條件，進(jìn)行

正確的運(yùn)算，將需要用到的所有中間結(jié)果（如弦長、距離等）用引入的變量表示出來；

第三步定值：將中間結(jié)果帶入目標(biāo)量，通過計(jì)算化簡得出目標(biāo)量與引入的變量無關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。

一、解答題

1.（24-25高三下?全國?開學(xué)考試）已知拋物線C:必=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線交拋物線

C于A,8兩點(diǎn).當(dāng)無軸時(shí)，4OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線/：》=機(jī)了+4與拋物線C交于尸，。兩點(diǎn)，點(diǎn)〃（-4,0）,設(shè)直線MP,的斜率分別為左，k2,求

21

"+丁的值.

左1左2

22

2.（24-25高三上?河北滄州?期末）已知4,4分別是雙曲線C:三-勺=1（。>0,6>0）的左，右頂點(diǎn)，|4闋=4,

ab

點(diǎn)（2夜,1）是C上一點(diǎn).過點(diǎn)71的直線/與雙曲線C的右支交于M,N兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若/的斜率為1,求|跖V|；

(3)若直線4N的斜率分別為勺，k2,證明：，是定值.

22

3.(24-25高三上?陜西榆林?期末)已知橢圓C：?+1=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,點(diǎn)A是C

的上頂點(diǎn)，在“=莖,△耳/鳥的面積為行.

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知《百,￡|,若直線/:y=等x+機(jī)與橢圓C相交于MN兩點(diǎn)(異于點(diǎn)B),求證：直線BM,BN的斜

率之和為0.

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知拋物線=20x(p>0),過點(diǎn)/(-3,0)的直線云_島+3=0與拋物線E相

切.

(1)求拋物線￡的方程；

(2)若過點(diǎn)A的直線/與E相交于8,C兩點(diǎn)，。為E上任意一點(diǎn)且直線8。，CD與直線x=3分別交于M,

N兩點(diǎn).求證：直線OM,ON的斜率之積是定值.

22

5.(24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí))已知雙曲線C：.\-2=16>0/>°)的離心率為近，點(diǎn)(3-1)

在雙曲線C上，過。的左焦點(diǎn)尸的直線/與C的左支相交于4,8兩點(diǎn)，且/分別交C的兩條漸近線于

N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若。是坐標(biāo)原點(diǎn)，的時(shí)=8指，求△A/ON的面積；

(3)已知點(diǎn)P(-4,2),直線/尸交直線x=-2于點(diǎn)0,設(shè)直線Q4,08的斜率分別自，k2,求證：人-勾為定

值.

6.(24-25高三上?遼寧大連?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)M和點(diǎn)

NBQ?,%),。優(yōu),%),。(岑”)是橢圓上異于頂點(diǎn)的四個(gè)點(diǎn)，直線/C與2D相

交于點(diǎn)￡(-1,0),直線N2的斜率存在且過點(diǎn)廠(1,0).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若成.定=2，求直線/C的方程;

(3)記心於左3分別為直線N8與直線CD的斜率，求

題型4長度、角度、面積定值

角度關(guān)系的證明往往轉(zhuǎn)化為斜率問題或坐標(biāo)問題，其中角相等問題優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)為斜率之和為零處理，或考

慮用向量進(jìn)行計(jì)算。

一、解答題

1.(24-25高三上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí))已知4T0),3(1,0),平面上有動(dòng)點(diǎn)尸，且直線N尸的斜率與直線3尸

的斜率之積為1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.

(2)過點(diǎn)A的直線與C交于點(diǎn)M在第一象限)，過點(diǎn)B的直線與C交于點(diǎn)N(N在第三象限)，記直

線AM,BN的斜率分別為左，k2,且尢=4后2.

①求證：直線政V過定點(diǎn)；

②試判斷A/WN與△皿W的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.

22

2.(2025?江西贛州?一模)已知橢圓氏=+勺=1(。>6>0),其左頂點(diǎn)為P,上頂點(diǎn)為0,直線尸。交直

ab

線x=a于R,且|用|=8|。/=6應(yīng)(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

11

(2)點(diǎn)N在x軸上，過點(diǎn)N作直線/與E交于4,2兩點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)N,使得自亞+?訐為定值,

若存在，求出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)并且求出定值；若不存在，請說明理由.

3.(24-25高三上?安徽宣城?期末)已知圓N：(x+2)2+/=9,圓3：(x-2『+/=i,圓C與圓/、圓3

都外切，記圓心。的軌跡為￡.

⑴求E的方程；

(2)過點(diǎn)2(2,0)的直線交E于N兩點(diǎn)，與直線尤=g交于點(diǎn)7,過點(diǎn)T作x軸的平行線/,直線OM,ON

與直線/分別交于S,。兩點(diǎn)，證明：AOST與△。。7的面積相等.

4.(24-25高三上?上海?期末)已知過點(diǎn)尸(3,正)的雙曲線C的漸近線方程為x±3y=0.如圖所示，過雙曲

線C的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線/交C的右支于45兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若雙曲線C上的點(diǎn)。(%,%)到其兩條漸近線的距離分別為4，4,求4d2的值;

⑶已知點(diǎn)。求證：N4QF=NBQF.

5.(24-25高三下?云南昆明?階段練習(xí))橢圓C的長軸在x軸上，長軸長為4,離心率為，

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線4:尸幻-1與C交于/(再,>0),直線)：7=/xT與C交于

^(x3,y3),Q(x4,y4)(x4>0).

左石%2_kXX

①證明:234

再+x2x3+x4

\HM\

②設(shè)直線>=-1與直線軸分別交于點(diǎn)M,N,H,求匕V的值.

6.(24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期末)已知橢圓C：]+/=1(〃>6>0),點(diǎn)[1,￡|在C上，且C的焦距為

2,左焦點(diǎn)為尸，A(-a,O).

(1)求C的方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，8為C上(除左、右端點(diǎn)外)一點(diǎn)，N2的中點(diǎn)為P,直線O尸與直線機(jī)：x=t(直線小不

過。和尸)交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作歹，交直線加于點(diǎn)￡,證明：無論f為何值，均有NOQF=/OEF.

22

7.(2024?上海嘉定?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓+：=4工是其左、右焦點(diǎn)，過橢圓

「右焦點(diǎn)用的直線尸。交橢圓于尸，。兩點(diǎn).

(1)若珂?恒=3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(2)若△片尸。的面積為三,求直線PQ的方程；

(3)設(shè)直線I與橢圓r交于4B兩點(diǎn)，M為線段48的中點(diǎn).當(dāng)向好?kAB=自/七6時(shí)，的面積是否為定

值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由.

22

8.(24-25高三下?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))已知橢圓C:]+方=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),右頂點(diǎn)為A,

直線/:x=2與x軸交于點(diǎn)且=4/司.

⑴求橢圓C的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)3為直線/:x=2上的動(dòng)點(diǎn)，過B作C的兩條切線，分別交了軸于點(diǎn)尸,。.

①證明：直線8尸,2尸,3。的斜率成等差數(shù)列.

②設(shè)eN經(jīng)過瓦尸,0三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)5,使得NPAQ=90。？若存在，求忸河|；若不存在，請說明理由.

題型5圓錐曲線與向量交匯

點(diǎn)mSL

一、三點(diǎn)共線問題的解題策略

（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等來證明三

點(diǎn)共線；

（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；

（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；

（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第三點(diǎn)也在該直線上；

（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0,則

三點(diǎn)共線；

（6）面積法：通過計(jì)算求出以三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0,則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離

不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”。

一、解答題

丫2

1.（24-25高三上?湖北武漢?期末）已知直線/：>=f+l與雙曲線00-r=1（/>0）的右支交于不同的

m

兩點(diǎn)N.

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

——■1—

（2）直線/與y軸交于點(diǎn)尸，是否存在實(shí)數(shù)也使得9=3尸N成立？若存在，求出實(shí)數(shù)小的值；若不存在，請

說明理由.

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知拋物線C:r=2"（p>0）的焦點(diǎn)為尸，圓尤2+『=5與拋物線。在第

一象限的交點(diǎn)為P,若尸尸，x軸.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點(diǎn)P的直線/交圓和拋物線C分別于A（異于點(diǎn)p）,。兩點(diǎn)，若尸4=求/的方程.

3.（24-25高三下?廣東?開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓C：W+竺=1（。>0）上，且C的左、右焦點(diǎn)分別為片，咒.

aa

設(shè)直線/：X=04,45為/上不重合的兩點(diǎn).

（1）求。的離心率;

(2)已知力“，與8；

(i)證明：點(diǎn)42在x軸的異側(cè);

(ii)證明：當(dāng)AP48的面積取最小值時(shí)，存在常數(shù)彳使得耳2+瓦方=彷瓦，并求彳的值.

22

4.(2025?廣東肇慶?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知橢圓C:三+q=l(a>6>0)的左、右、

上、下頂點(diǎn)分別為45,C,O.設(shè)己0為C上并且位于第一象限的兩點(diǎn)，滿足。。〃/尸.

D

2

(1)若/0。8=30。,/尸交V軸于6,且。4=§OC,求橢圓C的離心率.

⑵在(1)的條件下，W為NP的中點(diǎn)，直線■交C于點(diǎn)R(其中我在無軸上方).證明:

\OQ[+\OR|2=3『+IOCR

5.(2025?新疆?模擬預(yù)測)已知雙曲線。：與-￡=1("0力>0),點(diǎn)以1,1悻K的兩條漸近線距離之比為1:3,

過點(diǎn)P的直線/與C交于48兩點(diǎn)，且當(dāng)/的斜率為0時(shí)，AB=45.

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)48都在C的右支上，且/與x軸交于點(diǎn)。，設(shè)9=機(jī)而，而="皿，求〃?+〃的取值范圍.

6.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知拋物線「：y2=2.(0>0)經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),直線/與拋物線「有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)48,直線產(chǎn)/交V軸于直線尸3交V軸于N.

⑴若直線/過點(diǎn)Q(0,1),求直線/的斜率k的取值范圍；

(2)若直線/過拋物線「的焦點(diǎn)尸，交V軸于點(diǎn)。，萬人彳簫，麗=〃而，求％+〃的值；

⑶若直線/過點(diǎn)。(0,1),設(shè)0(0,0),的=4函，函=〃函，求!+'的值.

XU

題型6圓錐曲線中的切線問題

一、橢圓（雙曲線）的切線

（1）設(shè)切線方程為、=辰+以與橢圓方程聯(lián)立，由△=（）進(jìn)行求解；

22

（2）橢圓（雙曲線）三±4=1在其上一點(diǎn)（%,%）的切線方程為笠土岑=1,再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)

abab

22

證明直線浮士咨=1與橢圓（雙曲線）二±4=1相切.

abab

雙曲線，一，=1的以（%,%）為切點(diǎn)的切線方程為黃-黃=1.）

二、拋物線的切線

⑴點(diǎn)尸卜0，兀））是拋物線V=2加x（mHO）上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)尸的切線方程是：％v=加（Xo+x）；

（2）點(diǎn)一（%,九）是拋物線x?=2〃9（加片0）上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：xox^m（yo+y）.

一、解答題

22

1.（24-25高三下?浙江?開學(xué)考試）已知耳，片分別為橢圓C：「+q=1伍>6>0）的左、右焦點(diǎn)，/+62=4,

ab

點(diǎn)河（0,2）.

（1）若而=6,求C的離心率；

（2）過點(diǎn)M作c的兩條切線4，4,證明：

（3）在（2）的條件下，設(shè)4或4與。在第二象限的切點(diǎn)為尸，求APGB面積的最大值.

2.（24-25高三上?山西?階段練習(xí)）已知圓C:（x+lY+y2=i6,點(diǎn)。（1,0）,點(diǎn)尸是圓C上任意一點(diǎn).線段。尸

的垂直平分線/與半徑CP相交于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。的軌跡為曲線「

⑴求：r的方程；

（2）證明：直線/是曲線r的切線.

3.（2025?廣東湛江?一模）已知拋物線C：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為RA,8分別為C上的點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)3

上方）.過點(diǎn)48分別作C的切線4，3交于點(diǎn)P點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△0/8為正三角形時(shí)，其面積

為48G.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若直線AB經(jīng)過點(diǎn)R求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡以及點(diǎn)P到直線48的距離的最小值.

4.(24-25高三上?浙江寧波?期末)如圖，雙曲線=l的左右焦點(diǎn)分別為大，片，雙曲線

-=1(。＞0,人＞0)與。有相同的漸近線和焦距.過。上一點(diǎn)尸伉,為)作C2的兩條切線，切點(diǎn)分別

為A,B,/在x軸上方，連接交G于點(diǎn)

(注：過曲線工+忙=1外一點(diǎn)(x'/')作曲線的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為立+比=1)

mnmn

(1)求雙曲線c2的方程;

(2)證明：直線與G切于點(diǎn)〃，且

(3)當(dāng)點(diǎn)尸(%,%)在第三象限，且尸加〃8旦時(shí)，求凡孫&的值.

22

5.(24-25高三上?河南焦作?期末)己知雙曲線C:方=1"0,6＞0)的右焦點(diǎn)為尸(3,0),右頂點(diǎn)為A,

AF

直線/"=1與X軸交于點(diǎn)￡,且正=a.

(1)求C的方程；

(2)若G為/上不同于點(diǎn)E的動(dòng)點(diǎn)，直線GF交了軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)G作C的兩條切線GP,GQ,分別交了軸

于點(diǎn)P,Q,交x軸于點(diǎn)M,N.

(i)證明：|尸印=|"|；

(ii)證明：中絲=苓皿(S表示面積).

、AGMF、AGNF

6.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期末)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F.拋物線C上一點(diǎn)尸(修1)

滿足忸尸|=2,。為直線/：x-y-4=0上的動(dòng)點(diǎn)，過。作曲線C的兩條切線。/,QB,其中43為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求證：直線48恒過定點(diǎn)；

(3)求面積的最小值.

題型7定直線及其探索性問題

?6、■■6Hl

一、定直線問題

定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求

軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點(diǎn)的獨(dú)特性采用一些特殊方法.

【一般策略】

①聯(lián)立方程消去參；

②挖掘圖形的對稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；

③將橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消參；

④設(shè)點(diǎn)，對方程變形解得定直線.

解題技巧：動(dòng)點(diǎn)在定直線上：題設(shè)為某動(dòng)點(diǎn)尸(七,%)在某定直線.

目標(biāo)：需要消掉關(guān)于動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的所有參數(shù)，從而建立一個(gè)無參的直線方程，此時(shí)會分為三種

情況：

(1)x0=a,即動(dòng)點(diǎn)恒過直線x=a.

(2)y0=b,即動(dòng)點(diǎn)恒過直線y=6.

x

(3)y0-/(o),即動(dòng)點(diǎn)恒過直線y=.

一、解答題

1.(24-25高三上?云南麗江?階段練習(xí))已知拋物線dj?=4x焦點(diǎn)為歹，過尸作兩條互相垂直的直線12,

且直線4與。交于M,N兩點(diǎn)，直線，2與。交于E,尸兩點(diǎn)，M,E均在第一象限，設(shè)4,B分別為弦MN,

￡尸的中點(diǎn)，直線腔與直線NP交于點(diǎn)〃

(1)直線是否過定點(diǎn)？請說明理由；

(2)證明：點(diǎn)”在直線x=—l上.

2.(24-25高三上?廣東深圳?期末)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，上焦點(diǎn)為(0,2道)，離心率為6.記C

的上、下頂點(diǎn)分別為4，4,過點(diǎn)(0,4)的直線與C的上支交于M,N兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)直線4M和4N的斜率分別記為占和k2,求上；+的最小值；

(3)直線4M與4N交于點(diǎn)P,證明：點(diǎn)尸在定直線上.

3.(24-25高三上?江蘇蘇州?階段練習(xí))橢圓C：5+/=1(°>/,>0)的焦距為2拒,且經(jīng)過點(diǎn)(信■.如圖,

橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線/與直線42平行且交橢圓C于點(diǎn)及廠兩點(diǎn)，連接1及2下交于點(diǎn)P.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線的斜率分別為熊魚，證明占?優(yōu)為定值;

(3)證明：點(diǎn)尸在一條定直線上.

R22

4.(23-24高三上?河南南陽?期末)已知離心率為力的雙曲線C:2=1(°>0,6>0)的虛軸長為2.

2ab

(1)求C的方程；

⑵已知4-2,0),5(2,0),過點(diǎn)(4,0)的直線/(斜率不為0)與。交于"，N兩點(diǎn)，直線皿與A?交于點(diǎn)P,

若。為圓(x+2)2+=1上的動(dòng)點(diǎn)，求I尸。I的最小值.

5.(2024?吉林長春?一模)已知尸為拋物線C:/=2.(p>0)的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)歹作一條直

線/。交C于2兩點(diǎn)，點(diǎn)河在C的準(zhǔn)線/上，且直線兒不的斜率為-1,△OEM的面積為1.

(1)求拋物線C的方程；

(2)試問在/上是否存在定點(diǎn)N,使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在,求出點(diǎn)N

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)過焦點(diǎn)尸且與x軸垂直的直線4與拋物線。交于尸，0兩點(diǎn)，求證：直線/尸與80的交點(diǎn)在一條定直線

上.

22

6.(24-25高三下?廣西桂林?開學(xué)考試)己知橢圓。:=+々=1的離心率為3，K，耳分別是

橢圓。的左，右焦點(diǎn).過點(diǎn)鳥且斜率不為0的直線/與橢圓。交于43兩點(diǎn).A/8耳的周長為&

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線I的斜率為1,求線段AB的長；

(3)若點(diǎn)尸在橢圓。上，且|尸聞=|尸卻，試問是否存在直線/,使得A/8尸的重心在了軸上？若存在，請求出

直線/的方程；若不存在，請說明理由.

題型8圓錐曲線中的新定義問題

■圓錐曲線背景下的新定義問題，關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，并將其與常規(guī)圓錐曲線知識相結(jié)合。

i方法總結(jié)如下：i

11、明確新定義：首先仔細(xì)閱讀題目，明確新定義的內(nèi)容、符號及其含義。

i2、聯(lián)系常規(guī)知識：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標(biāo)準(zhǔn)方程等常規(guī)知識聯(lián)系起來，找出它們的i

!相似之處或轉(zhuǎn)換關(guān)系。

；3、建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)新定義，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或方程，利用解析幾何或代數(shù)方法進(jìn)行求解。

!4>驗(yàn)證與推理：在求解過程中，注意驗(yàn)證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。

I____________________________________________________________________I

「5：策法應(yīng)再74芋復(fù)親荷菽一時(shí)麓常囊藕運(yùn)前篆荷藪孽嘉而『疥二黃潔應(yīng)讓"

I_______________________________________________________________________________________

一、解答題

22

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知橢圓G：a+%=1(。＞6＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為G，B，拋物線Q以

坐標(biāo)原點(diǎn)。為頂點(diǎn)，片為焦點(diǎn)，G，Cz的一個(gè)公共點(diǎn)為尸.若KI=2則稱G，C2為'"一相伴”.

4

(1)若G，C2為“1—相伴”，求直線壁的斜率.

⑵若GG為“九一相伴”.

(i)求力的取值范圍；

(ii)若2=：，。＜3,G的方程為/=-4x,直線了=Mx-l)與G交于點(diǎn)45,判斷是否存在定點(diǎn)7?,0),

使得直線與37的傾斜角互補(bǔ)，若存在，求出，的值，若不存在，說明理由.

2.(2025?廣東汕頭?一模)若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)尸沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某一確定直線工的距離

趨向于零，則稱直線乙為曲線C的漸近線.當(dāng)漸近線乙的斜率不存在時(shí)，稱工為垂直漸近線.例如曲線＞=,

X

2

具有垂直漸近線x=0；當(dāng)漸近線上的斜率存在且不為零時(shí)，稱L為斜漸近線，例如雙曲線/一匕=1存在

4

兩條斜漸近線V=±2x.

(1)請判斷正弦曲線了=$出》是否存在垂直漸近線或斜漸近線，不必說明理由；

(2)證明曲線/(x)=x+，存在垂直漸近線x=0、斜漸近線V=x；

X

⑶求曲線g(尤)=_X_的漸近線，并作出曲線y=g(X)的簡圖.

x+2x—3

22

3.(2025?江西萍鄉(xiāng)?一模)如圖所示，由橢圓4：=+4=1(。＞6＞0)和拋物線C2:/=2px(p＞0)組

ab

合成曲線r,若。與C2存在共同焦點(diǎn)，由圖形特點(diǎn)，它們的形狀像收回四條腿的七星瓢蟲，這里稱曲線「

為“七星瓢蟲曲線”.特別地，若橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距成等差數(shù)列，則稱其為“等差橢圓”.

⑴求“等差橢圓，，的離心率；

(2)在“七星瓢蟲曲線”「中，若G是“等差橢圓"，且。=5.

(i)求與G和都相切的直線的方程；

(ii)直線/：＞=丘+加(物?=2),且/與G相交所得弦的中點(diǎn)為與G相交所得弦的中點(diǎn)為N,證明:

直線(W,ON(。為原點(diǎn))的斜率之積左為定值.

4.(2025?黑龍江?一模)在平面直角坐標(biāo)系X?！抵?，若圓/:(x-a『+y2=r2(aeN*)與拋物線C：j?=4x有

公共點(diǎn)r(x,y)(xW0),且圓A與拋物線。在點(diǎn)T處有相同的切線，則稱。為拋物線。的和諧數(shù)，圓A為。的

和諧圓.

(1)試判斷3是否為拋物線C的和諧數(shù).若是，求出3的和諧圓；否則，請說明理由.

(2)設(shè)4,%，…，4,(〃23)均為拋物線C的和諧數(shù)，且為＜出＜…＜凡，記可，出，…，6的和諧圓分別

為圓4，4,…，4,設(shè)圓4，4,…，4與拋物線c的公共點(diǎn)分別為工，T2,T?,己知％=5,且

VA：e｛2,3,圓4T與4外切.

(i)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

?11

(ii)設(shè)點(diǎn)4(1,0)，記△44〃的面積為耳，證明：

5.(24-25高三下?河北保定?階段練習(xí))已知拋物線C:/=4x,按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)￡("=1,2,3,…)：

過點(diǎn)(1,0)作斜率為人"為常數(shù))的直線與拋物線C相交于4，片兩點(diǎn)(4在x軸的上方)；過點(diǎn)(2,0)作

斜率為左的直線與拋物線C相交于4,與兩點(diǎn)(4在X軸的上方)，直線4與和44相交于點(diǎn)6；過點(diǎn)(3,0)

作斜率為左的直線與拋物線。相交于4，4兩點(diǎn)(4在X軸的上方)，直線4員和4員相交于點(diǎn)心；…；

過點(diǎn)(〃,0)作斜率為左的直線與拋物線c相交于4，紇兩點(diǎn)(4在X軸的上方)，直線4一百,和4紇7相交

于點(diǎn)；過點(diǎn)(〃+1,0)作斜率為k的直線與拋物線。相交于4M，Bn+X兩點(diǎn)(4+1在X軸的上方)，直線44M

和4M功相交于點(diǎn)

⑴若A=求|4可；

(2)6，

證明：點(diǎn)P2,P3,《在一條直線上；

(3)記線段4月的中點(diǎn)為9,線段4與的中點(diǎn)為02,線段4員的中點(diǎn)為。3,…，線段44,的中點(diǎn)為2,求

出(用k,n表示).

培優(yōu)專題05園錐曲線

籍

'■敗口特鈉?春卜提￡戶.

題型1中點(diǎn)弦、弦長、面積問題

點(diǎn)

一、中點(diǎn)弦問題

2222

設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)/（七,為），BQ2,%）,代入橢圓方程，得%+4=1;與+烏=1；

abab

將兩式相減，可得上二%2=0；>+/華—%）=__（"+8）,「%）；

a2b2a2b1

最后整理得：i

b（X]+%2）（占一'2）bx0

同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：i=a（二+%）（”—%）nl=h*?江

（玉+x）（x

b21-x2）bx0

設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)/（國,為），5（X2，%）,代入拋物線方程，得%2=2R]；%2=22明；

y,-v2P

將兩式相減，可得（乃—%）（y+%）=22（國―9）；整理得：7=——

X1-X2%+%

「三虛S公一式

!J（X-X2）2+（乂-%>

i\AB|=J（l+k2）（匹_1）2

|%1-1

=A/I+kx7

2（X[2

=yj（l+k）[+x2）-4XJX2]（最常用公式，使用頻率最高）

三、三角形面積問題

|飆一%+小|

直線4B方程：y=kx+md=\PH\=

\kxQ-y0+m\VA|AX0—y0+m\

=2M

四、平行四邊形的面積

直線AB為y=kx+,直線CD為y=fcr+%2

if

I------------:------------------