2025年高考數(shù)學專項復習：立體幾何中球的切接問題（6大題型）學生版+解析

i重難題型?解題技巧攻略

J_______________________

專題10立體幾何中球的切接問題

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目

題型01外接球模型一：墻角模型.................................................................1

題型02外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型..........................................2

題型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型........................................3

題型04外接球模型四：垂面模型................................................................4

題型05外接球模型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型....................................................6

題型06內(nèi)切球.................................................................................8

*>----------題型探析?明規(guī)律-----------<>

題型01外接球模型一：墻角模型

【解題規(guī)律?提分快招】

外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）

解決.外接球的直徑等于長方體的體對角線長（在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的

.__________^21L2_I_2

半徑為R,則2R=d?不再），秒殺公式：R2=-一.可求出球的半徑從而解決問題.有以下四

【典例訓練】

一、單選題

1.（云南省昭通市普通高中云南師范大學附屬鎮(zhèn)雄中學教研聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期聯(lián)考檢測數(shù)學試

題）棱長分別為2,4,。的長方體外接球的表面積為36兀，則。=（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?陜西商洛.一模）在四棱錐尸中，PAL平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,

AB=2?,PA=3,則四棱錐尸-ABCD外接球的體積是（）

3.（23-24高三下?廣西南寧?期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉席.在鱉

fgP-ABC中，24,平面ABC,AC±CB,PA=2BC=2,AC=6則此四面體的外接球表面積為（）

A.3兀B.8兀C.9兀D.迪兀

3

4.（23-24高三下.廣西河池?階段練習）已知三棱錐A-3CD的所有棱長均為2啦，球。為三棱錐A-BCD的

外接球，則球。的體積為（）

A.4兀B.67rC.46兀D.12兀

5.（2024?甘肅白銀?一模）在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=PC,P4,P氏尸C兩兩垂直，且該三棱錐外接球的

表面積為加，則該三棱錐的體積為（）

A.理B."C.6D.空

422

題型02外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型

【解題規(guī)律?提分快招】

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通

過構(gòu)造長方體來解決這類問題.

b2+c2=2

m22.2

〃2+02=〃2,三式相加可得片+廿+'2="+"，而顯

如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,貝U

2

a2+b2=t2

m2+n2+12

然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為R,貝!]/+/+/=4發(fā)，所以R=

【典例訓練】

一、填空題

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知三棱錐A-3CD的四個頂點都在球。的球面上，且AB=CZ）=石，

AC=BD=410,AD=BC=y/13,則球。的半徑為.

2.（23-24高三下.重慶榮昌?階段練習）在四面體ABCD中，AB=CD=M,AC=BD=276,AD=BC=4.

則四面體ABCD外接球的表面積為.

題型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型

【解題規(guī)律?提分快招】

外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法（多面體的外接球的球心是過多面體的兩

個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點.一般情況下只作出一個面的垂線，然后設(shè)出球心用算術(shù)方

法或代數(shù)方法即可解決問題.有時也作出兩條垂線，交點即為球心.）解決.以直三棱柱為例，模型如下圖，

由對稱性可知球心0的位置是^ABC的外心。1與4AiB,Ci的外心。2連線的中點，算出小圓01的半徑AOi

—r,OOi——,R2=r2+—.

24

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?山西?模擬預(yù)測）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,該圓柱的上下底面圓周上的點均在球。的表

面上，則球。的表面積為（）

.8A/2noccc20\/5

A.-----7iB.8兀C.20TID.-------兀

33

2.（24-25高三上?廣東河源?期中）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為。，頂點都在一個球面上，

則該球的表面積為（）

711

A.兀〃2B.一兀。2C.兀。2D.兀〃2

33

3.（24-25高三上?江蘇南通?期中）已知一個正三棱柱的底面邊長為6,高為4,則該正三棱柱的外接球的表

面積為（）

A.28兀B.32兀C.64KD.192TI

4.（24-25高三上?江蘇淮安?階段練習）如圖，在正三棱柱A5C-A用G中，鉆=2,直線AQ與平面AB耳4

所成角的正切值為走，則正三棱柱ABC-A瓦￡的外接球的表面積為（）

3

5.（24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）已知直三棱柱A5C-A4G中，AB=AC=2,ZBAC=-f

C點到直線A片的距離為近，則三棱柱A5C-A與G的外接球表面積為（）

A.12KB.16KC.20TID.24K

6.（24-25高三上,河南,階段練習）將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內(nèi)，則該球體的體積的最

小值為（）

.32?？?872171?20A/5TI?256島

37327

題型04外接球模型四：垂面模型

【解題規(guī)律?提分快招】

外接球模型四：

1、垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知球心。的位置是

卜場2

△CBD的外心Q與△A&O2的外心Q連線的中點，算出小圓01的半徑AQ=r,OOi=-,.代=八上.

24

AA

hh

CC

2、或者是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC,平面BCD,

如類型I,△ABC與△BCD都是直角三角形，類型H,ZkABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型

III,△ABC與2BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與^BCD的外心作該三角形所在平面的垂

線，交點。即為球心.類型IV,△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心01作該三角

形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題.設(shè)三棱錐A—3CZ）的高為九外接球的半徑為七球心為

1氏2=7+加2,

0.△BCD的外心為01,。1到5。的距離為d,。與01的距離為相，則“2工,、、2解得R可用

[R2=34d2+（h-m）2,

秒殺公式：爐=n2+々2一.（其中八、r2為兩個面的外接圓的半徑，/為兩個面的交線的長）

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐A-3co中，4￡>_L平面ABC,ZBAC=G0°,AB=1,AC=2,AD=4,

則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.IOTCB.20KC.257rD.30兀

2.（24-25高三上?四川成都?期中）在體積為12的三棱錐A-3CD中，ACYAD,BCLBD,平面420,平

JT冗

面3cO,ZACD=~,ZBCD=~,若點A,B,C,。都在球。的表面上，則球。的體積為（）

34

A.B.4871C.32垂1TtD.64無

3.（24-25高三上?廣東?階段練習）在三棱錐P-4BC中，PA=PB=BC=6,AC=6y/2,AB±BC,平面出8_L

平面ABC,若球。是三棱錐尸-ABC的外接球，則球。的表面積為（）

A.96兀B.84兀C.72兀D.48兀

4.（24-25高三上?陜西西安?階段練習）如圖，在三棱錐A-5CD中，平面ACD,平面5CD,△ACD是以C。

為斜邊的等腰直角三角形，AB^BC,AC=2CB=4f則該三棱錐的外接球的表面積為（）

D

A.16KB.32KC.407rD.64兀

二、填空題

5.（23-24高三下?遼寧葫蘆島.期末）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早

系外包皮革內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動.已知某鞠（球）的表面上有四個點

JT4

S,A,B,C,滿足&l=2,SAl.平面=上，若三棱錐ABC體積為士，則該“鞠”的體積最小值

23

為.

6.（24-25高三上?黑龍江?階段練習）在三棱錐A—3CD中，AB=AD=BD=2,BC=CD=4i,平面

平面CB。，則三棱錐A-BCD外接球表面積為.

題型05外接球模型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型

【解題規(guī)律?提分快招】

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?湖北十堰?期末）己知正三棱錐P-ABC的體積為1,48=豆，則該三棱錐外接球的表面

4

積為（）

.rn7兀-c9兀

A.7兀B.—C.9TID.—

22

2.（2024?陜西榆林?三模）已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面邊長的比值為6,若三棱錐尸-ABC外接球

Q1

的表面積為k無，則三棱錐尸-ABC的高為（）

O

A.1B.2A/2C.述D.逑

82

3.（2024高三.全國.專題練習）己知正三棱錐P-ABC,點P,A8,C都在半徑為白的球面上，若PA,PB,PC

兩兩垂直，則球心到平面ABC的距離為（）

、邪2A/3「用V2

A.DR.--------C.nU.

2332

4.（24-25高三上?山東德州?期中）己知四棱錐尸-ABCD的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，其各個頂點都在

球。的球面上，滿足m=4,AS=AD=6,ZSCD=120°,則球。的表面積為（）

A.1007tB.64兀C.3671D.32兀

二、填空題

5.（23-24高三上?安徽合肥?期末）已知正四棱錐的側(cè)棱長為20，其各頂點都在同一個球面上，若該球的

體積為三32兀，則該正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的正弦值為.

題型06內(nèi)切球

【解題規(guī)律?提分快招】

內(nèi)切球思路：

1、等積法思路

以三棱錐P—ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑.

方法：等體積法，三棱錐P—ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和;

第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,球心為O,建立等式：Vp-ABC=Vo-ABC~^~Vo-PAB~^~Vo-PAC~^~Vo-PBC^Vp-ABC—^

SAABC，r+3sA3sAPAC'f-^~3sAPBC"

_________3VP-ABC____________3V

第三步:解出r

So-ABC~^So-PAB~^So-PAC~^~So-PBCSift'

2、球內(nèi)接圓錐

如圖1,設(shè)圓錐的高為Zi,底面圓半徑為r,球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來計算

R.如圖2,當PC>CB時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖3,當PC<CB時，球心在圓錐外部.和本專題前面的

內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

Zj-+/

由圖2、圖3可知，OC=h-R^R-h,故(〃-R了+產(chǎn)=&，所以R=---------.

2/7

3、球內(nèi)接圓柱

如圖，圓柱的底面圓半徑為r,高為〃，其外接球的半徑為R,三者之間滿足§)+/=R2.

4、球內(nèi)接圓臺

，其中小勺〃分別為圓臺的上底面、下底面、高.

5、棱切球

方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?貴州?階段練習）正方體的棱長為2,其內(nèi)切球的表面積為（）

A.6兀B.5兀C.4兀D.3兀

2.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知體積為16兀的圓柱存在內(nèi)切球,則該內(nèi)切球的表面積為（）

32兀

A.8兀B.-----C.16兀D.32兀

3

3.（24-25高三上?江蘇南京?階段練習）已知圓錐的母線與底面所成角為60。，其內(nèi)切球（球與圓錐底面及側(cè)

面均相切）的表面積為16兀，則該圓錐的體積為（）

A.72兀B.36兀C.24兀D.167t

4.（24-25高三上?廣西貴港?階段練習）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面

都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰

面所成二面角都相等）.數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、

正十二面體、正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（）

A.y/3B.2也C.

5.（23-24高三下?山東?期中）已知正四棱錐尸-ABCD的底面邊長為2,高為6，則其內(nèi)切球半徑是（）

03一百

D.--------------c.B

6.（23-24高三下?廣東深圳?階段練習）已知圓臺存在內(nèi)切球。（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的

球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為5:8,設(shè)球。的體積與圓臺分別為匕匕,

則9=（）

V2

7.（2024?湖北?二模）已知圓錐PO的頂點為P,其三條母線以，PB,PC兩兩垂直，且母線長為6,則圓

錐尸。的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（）

A.1200-3回兀B.24（20-7甸兀C.60（8-3㈣兀D.3（40-7甸兀

二、填空題_

8.（24-25高三上?江西贛州?開學考試）若正三棱柱A2C-A用G的內(nèi)切球體積為4岳，則該正三棱柱的底

面邊長為.

9.（2024高三?全國?專題練習）已知三棱錐P-A5C,若以，PB,PC兩兩垂直，且上4=2,PB=PC=1,

則三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的表面積為.

10.（24-25高三上?廣東深圳?期中）在正方形ABCD中，E,尸分別為線段AB,BC的中點，連接DE,DF,

EF,將VA￡>E,NCDF,ABEF分別沿DE,DF,所折起，使A,B,C三點重合，得到三棱錐O-DEF,

則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為.

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.（23-24高三下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾.期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是矩形，PAL平面

ABCD.PA^AB=3,AD=4,則該四棱錐外接球的表面積為（）

A.347tB.36兀C.4O7tD.136兀

2.（2024?海南?？?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形A5co中，AC與交于點。，且。4=1,

OB=OC=OD=2,剪去△COD,將△AO□沿Q4翻折，EOC沿08翻折，使點C與點。重合于點尸，

則翻折后的三棱錐P-A08外接球的表面積為（）

A.5itB.8兀C.97rD.137r

3.（23-24高三下.福建福州?期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的

計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵ABC-AbC'中，AB.LAC,AB=1,AC=2,

33'=3,則此塹堵的外接球半徑是（）

A.2A/3B.V3??半D.據(jù)

4.（24-25高三上?福建福州?期中）已知在高為1的正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,則正四棱錐P-ABCD外

接球的表面積為（）

「9兀-32兀一

A.9兀B.—C.------D.4兀

23

5.（24-25高三上?廣東?開學考試）外接球半徑為新的正四面體的體積為（）

A.電￡B.24C.32D.480

6.（24-25高三上?天津?階段練習）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，SA=^,AB=\,

AC=2,ZBAC=Gd°,SA_L平面ABC,則球。的表面積為（）

A.4兀B.12TIC.7兀D.8TI

7.（24-25高三上?廣東?階段練習）在四面體ABC。中，AB=BC=AC=BD=2,AD=CD=6,且四面體

ABC。的各個頂點均在球。的表面上，則球。的體積為（）

A..后B.C.32后D.2扃

27927

8.（24-25高三上?甘肅武威?期末）已知球。是正三棱錐尸-ABC的外接球，若正三棱錐尸-ABC的高為也,

底邊=則球心。到平面ABC的距離為（）

A.走B.交C.邁D."

4242

9.（24-25高三上?河北衡水?階段練習）已知圓錐的軸截面為P為該圓錐的頂點，該圓錐內(nèi)切球的表

面積為12萬，若44尸8=60。，則該圓錐的體積為（）

A.9后B.12AC.18&D.27后

10.（24-25高三上?湖北荊州?階段練習）若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），

且母線與底面所成角的正弦值為且，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（）

2

4137

A.—B.2C.—D.一

363

二、填空題_

11.（24-25高三上?湖北?開學考試）三棱錐。一ABC中，DA±^pmABC,AB1BC,DA=AB=^,BC=y[i,

則該三棱錐的外接球體積等于^____.

12.（2024?湖南株洲.一模）若半徑為R的球。是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差

為.

13.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）三棱錐A-3c0中，AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=1,那么該三

棱錐外接球的表面積是.

14.（23-24高三下?山東棗莊.期中）已知三棱錐J4BC,滿足VA=BC=3夜，VB=VC=AC=AB=5,則

該三棱錐的外接球的表面積為.

15.（23-24高三下?河南?階段練習）直三棱柱ABC-的各頂點都在同一球面上，若

2兀

AB=\,AC=AAi=2,ZBAC=—,則此球的表面積等于

3

16.（2024?陜西漢中.二模）己知三棱錐4一38,48=4￡>=23。=2。0=2,3<?，8,點人到平面2。的

距離是由，則三棱錐A-BCD的外接球表面積為.

17.（23-24高三下?陜西西安?期中）在四面體產(chǎn)一ABC中，PALPB,PA=PB=3,AC=2y^,BCf,

則該四面體外接球的表面積為.

18.（24-25高三上?上海?期中）己知一個圓臺有內(nèi)切球，且兩底面半徑分別為1,4,則該圓臺的表面積

為.

19.（24-25高三上?北京?階段練習）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為。，頂點都在一個球面上,

則該球的表面積為,體積為.

20.（24-25高三上?江蘇?階段練習）若正四棱錐的高為8,且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱

錐的側(cè)面積為.

21.（24-25高三上?浙江杭州?期中）在四邊長均為的菱形AB。中，NA=60°沿對角線8。折成二面角

4-班>-C為90°的四面體ABCZ）,則此四面體的外接球表面積為.

22.（2024高三下?廣東佛山?競賽）已知三棱錐V-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且01=1,^8=2,1/。=3,則

該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為.

23.（23-24高三下?廣東江門?階段練習）已知正四面體A-3CD的內(nèi)切球的表面積為36元，過該四面體的一

條棱以及球心的平面截正四面體A-3c0,則所得截面的面積為.

24.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在三棱柱中，A4,，底面ABC,AAl=4,AC=BC=2,

ZACB=90°,。在上底面4月G（包括邊界）上運動，則三棱錐O-ABC的外接球體積的最大值為

C,

25.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=2^3,二面角A-BD-C的平面角為60。，則該球的表面積是

:重難題型?解題技巧攻略

J_________________________________________________________

專題10立體幾何中球的切接問題

o-----------題型歸納?定方向-----------?

目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）

題型01外接球模型一：墻角模型.................................................................1

題型02外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型..........................................2

題型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型........................................3

題型04外接球模型四：垂面模型................................................................4

題型05外接球模型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型....................................................6

題型06內(nèi)切球.................................................................................8

?>-----------題型探析,明規(guī)律------------?>

題型01外接球模型一：墻角模型

【典例訓練】

一、單選題

13/60

1.（云南省昭通市普通高中云南師范大學附屬鎮(zhèn)雄中學教研聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期聯(lián)考檢測數(shù)學試

題）棱長分別為2,4,。的長方體外接球的表面積為36兀，則。=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】由條件結(jié)合球的表面積公式求球的半徑,根據(jù)關(guān)系長方體體對角線等于其外接球的直徑列方程求

【詳解】設(shè)長方體的外接球的半徑為R,

由已知4位2=36兀，所以R=3,

又棱長分別為2,4,。的長方體的體對角線長為萬手工7=打1/，

長方體體對角線等于其外接球的直徑，

所以,20+3=6,

所以。=4.

故選：C.

2.（2024?陜西商洛?一模）在四棱錐中，24,平面ABC。，四邊形是正方形，

AB=20PA=3,則四棱錐P-ABCD外接球的體積是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體的外接球即可求解體對角線得半徑，進而利用體積公式求解.

【詳解】將四棱錐放入正方體中，則四棱錐2-鉆8的外接球與正方體的外接球相同,

設(shè)四棱錐尸-ABCD外接球的半徑為R,貝?。?w=（20尸+（20）2+3?=25,所以R=g,

故四棱錐P-ABCD外接球的體積丫=44成3=歲.

故選：C

3.（23-24高三下?廣西南寧?期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉席.在鱉

fgP—ABC中，ABC,AC±CB,PA=2BC=2,AC=g,則此四面體的外接球表面積為（）

A.3兀B.8?tC.97rD.舅2兀

14/60

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可得平面P4C,將鱉腌P-ABC補全成長方體，進而可求外接球半徑，從而得

解.

【詳解】根據(jù)題意，以，平面ABC,BCu平面ABC,所以R4J_3C,

又AC_LCB,PAcAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BC_L平面PAC,

將鱉瑞尸-ABC補全成長方體，如圖，

則此四面體的外接球的半徑為gpB=；也2+F+舊=72,

其外接球的表面積為S=4兀叱=8無.

故選：B.

4.（23-24高三下?廣西河池?階段練習）已知三棱錐A-3C。的所有棱長均為2行，球。為三棱錐A-BCD的

外接球，則球。的體積為（）

A.4itB.67tC.45/371D.12兀

【答案】C

【分析】利用正方體的外接球來研究正四面體的外接球，只需要把正四面體放入正方體中，如圖分析研究

即可得到球的半徑.

【詳解】因為三棱錐A-BCD的所有棱長均為2&,故可把已知三棱錐A-BCD放置在正方體

AlBClD-AB}CDt如圖所示，

設(shè)正方體的棱長為。，則/+.2=（2&）2,解得a=2,

三棱錐A-BCD的外接球就是正方體的外接球，故球。的半徑R=叵=道,

2

15/60

所以球。的體積丫=皿=網(wǎng)?=4扃，

33

故選：C.

5.（2024?甘肅白銀?一模）在三棱錐尸-ABC中，上4=P3=PC,上4,尸B,PC兩兩垂直，且該三棱錐外接球的

表面積為9兀，則該三棱錐的體積為（）

A.巫B.立C.6D.還

422

【答案】B

【分析】將該三棱柱放入正方體中，借助正方體的外接球求解長度，即可根據(jù)體積公式求解.

【詳解】由于尸4=28=尸。,尸4,尸氏尸。兩兩垂直,將該三棱柱放入正方體中，如圖：

故該三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，

故該三棱錐外接球的半徑為‘尸K+PB'+PC：=BPA.

22

由=971,得尸A=g.

由于PAL平面MC,所以該三棱錐的體積為工義工93=3.

322

故選：B

題型02外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型

【解題規(guī)律?提分快招】

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=*AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通

過構(gòu)造長方體來解決這類問題.

b2+C1=m2222

如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為C,貝"/+02="2,三式相加可得/+/+="+獷+"，而顯

2

a2+b2=t2

16/60

【典例訓練】

一、填空題

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知三棱錐A-BCD的四個頂點都在球。的球面上，且48=。=君,

AC=BD=M,AD=BC=岳,則球。的半徑為.

【答案】叵/《市

22

【分析】利用三棱錐對棱相等，將三棱錐A-BCD補全為為長方體，再利用長方體的外接圓直徑為長方體

的體對角線即可得解.

【詳解】

如圖，由于三棱錐對棱相等，

將三棱錐A-BCD補全為為長方體，

從而外接圓直徑為長方體的體對角線，

設(shè)長方體的棱長分別為。，瓦c,球。的半徑為R,

貝!|a2+b2=AB2,b2+c2=AC2,a2+c2=AD2,

所以2R=sla2+b2+c2=JB2+A；+A比=可，

解得R=巫.

2

故答案為：叵

2

2.（23-24高三下.重慶榮昌?階段練習）在四面體ABCD中，AB=CD=410,AC=BD=2前,AD=BC=4.

17/60

則四面體ABC。外接球的表面積為.

【答案】257r

【分析】將四面體A3CD補形成長方體，使得對棱的長度分別為長方體面對角線的長，則長方體的體對角

線即為四面體ABC。的外接球的直徑，再結(jié)合球表面積公式計算即可.

【詳解】由題意知，將四面體ABC。補形成長方體，使得對棱的長度分別為長方體面對角線的長，如圖所

示，

C

設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,

x2+y2-10

貝!J/+Z2=24,解得V+y2+z2=25,

y1+z1=16

所以長方體的體對角線長為+9+d=5,

所以外接球的直徑為2R=5,即R=g,

所以四面體A5C。的外接球的表面積為S=4近=25n.

故答案為：257t.

題型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型

【解題規(guī)律?提分快招】

外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法（多面體的外接球的球心是過多面體的兩

個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點.一般情況下只作出一個面的垂線，然后設(shè)出球心用算術(shù)方

法或代數(shù)方法即可解決問題.有時也作出兩條垂線，交點即為球心.）解決.以直三棱柱為例，模型如下圖,

由對稱性可知球心O的位置是小ABC的外心。1與4AiBiCi的外心。2連線的中點，算出小圓Oi的半徑AOi

=r,OOi=—,R2=r2+—.

24

18/60

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?山西?模擬預(yù)測）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,該圓柱的上下底面圓周上的點均在球。的表

面上，則球。的表面積為（）

.8A/2COccc20y

A.-----兀B.8兀C.20KD.-------7i

33

【答案】B

【分析】利用圓的截面性質(zhì)與圓柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合勾股定理求出球的半徑，從而得解.

【詳解】依題意，圓柱的底面半徑為r=l,高為〃=2,

因為該圓柱的底面圓周都在球。的表面上，設(shè)球的半徑為R,

則發(fā):仁）+/，即4=1+1=2，

所以球。的表面積為4派2=47tx2=87i,

故選：B.

2.（24-25高三上?廣東河源?期中）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為頂點都在一個球面上，

則該球的表面積為（）

711

A.na2B.—TierC.—Tta~D.na2

33

【答案】B

【分析】根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為"的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，即可求

解.

【詳解】

19/60

由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為上下底面中心連線的中點就是球心,

如圖，P為三棱柱上底面的中心，。為球心，易知AP=2乂@~（1=心~（1,OP=—a,

3232

7

所以球的半徑R=Q4滿足爐=,故$球=4TIR2=—na2.

故選：B

3.（24-25高三上?江蘇南通?期中）已知一個正三棱柱的底面邊長為6,高為4,則該正三棱柱的外接球的表

面積為（）

A.287rB.32TIC.64無D.1927r

【答案】C

【分析】根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半徑即可求其表面

積.

底面外接圓半徑設(shè)為r,則也一"，."=2豆，

外接球半徑設(shè)為R,

則R=J12+4=4,S=4TIR2=4兀.16=64兀.

故選：C.

4.（24-25高三上?江蘇淮安?階段練習）如圖，在正三棱柱ABC-A再G中，AB=2,直線A0與平面

所成角的正切值為無，則正三棱柱A8C-A瓦G的外接球的表面積為（）

3

20/60

20兀c40n

C.10兀D.——

3—3

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用線面角的正切求出入A，再求出正三棱柱的外接球半徑，再得出球的表面積

即可.

【詳解】在正三棱柱ABC-44G中，取A4的中點。，連接AQCQ,如圖,

則CQ"旦,

由AA，平面A4G，CQu平面A4G，得又A41n4瑪=4，

441，4瓦U平面AB4A,因此GO_L平面AB4A,

所以NGA。是直線AG與平面ABB.A所成的角，

則tan/C]A￡>=￥，由鉆=2,得弓。=6，而tanNGA￡>=器，

則AD=3,A4,=2后，

因此正三棱柱ABC-ABJQ的外接球球心到平面A8C的距離d=：朋=0,

_12_273

而的外接圓半徑「=5、f=亍，

sin—

3

所以正三棱柱4