2025年高考數學總復習《概率與統(tǒng)計》專項測試卷（附答案）

2025年高考數學總復習《概率與統(tǒng)計》專項測試卷附答案

學校:姓名：班級：考號：

1、加強識圖能力，理解并記準頻率分布直方圖與眾數、中位數及平均數的關系；折線圖注意上升趨勢

以及波動性；扇形圖數據可先用表格列出，再計算、判斷.

頻率喘=頻率，

2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的高=，小矩形的面積=組距所有小矩形的

101

面積之和為1.

3、求回歸方程

(1)根據散點圖判斷兩變量是否線性相關，如不是，應通過換元構造線性相關.

(2)利用公式，求出回歸系數?

(3)待定系數法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數°.

4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當卜|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.

5、比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法

(1)通過計算K2的大小判斷：K?越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大.

(2)通過計算，-網的大小判斷：門-網越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大.

6、獨立性檢驗的一般步驟

(1)根據樣本數據制成2x2列聯(lián)表.

n(ad-bc\

(2)根據公式K°=7_一------1----------，計算K?的觀測值公.

\a+/?)([+(?)(/?+J)(c+d)

(3)比較上與臨界值的大小關系，進行統(tǒng)計推斷.

7、概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力

(1)與數列結合的實際問題

(2)與函數導數結合的實際問題

(3)與分段函數求最值、解不等式結合的實際問題

(4)與統(tǒng)計結合的實際問題

(5)與其他背景結合的實際問題

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1.（2023?天津）調查某種花萼長度和花瓣長度，所得數據如圖所示，其中相關系數r=0.8245,下列說法

正確的是（）

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關性

B.花瓣長度和花萼長度呈現負相關

C.花瓣長度和花萼長度呈現正相關

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.8245

2.（2023?乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、

乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

3.（2023?甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校

文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿易額描述

第2頁共49頁

B.從2018年開始，進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小

5.（2022?新高考I）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

6.（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為乃，p2,P3,且03＞0＞月＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，貝1（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

7.（2022?甲卷）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數字之積是4的倍數的概率為（）

1

AR1c22

5353

8.（2022?甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問

卷答題的正確率如圖：

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%

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C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

9.（2021?甲卷）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調

查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

10.（2021?新高考II）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布NQO,/）,則下列結論中不正確的是（）

A.er越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.1）內的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

11.（多選題）（2021?新高考I）有一組樣本數據%,%,…，xn,由這組數據得到新樣本數據必，必，…，

y?,其中y=%+c（i=l,2,n）,c為非零常數，貝ij（）

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

12.（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方

獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為三和三，且每次活動中甲、乙猜對與否

65

互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝

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2次的概率為

考點一：抽樣方法與隨機數表

[例1]（2024?青海西寧?高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中

選

取12人參與社區(qū)服務滿意度調研，則女居民比男居民多選?。ǎ?/p>

A.8人B.6人C.4人D.2A

【變式1-1]（2024?全國?高三專題練習）總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成，利用下

面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取

兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.02C.63D.01

【變式1-2]（2024?海南省直轄縣級單位?高三?？茧A段練習）某飲料廠生產A,8兩種型號的飲料，每小

時可生產兩種飲料共1000瓶，質檢人員采用分層隨機抽樣的方法從這1000瓶中抽取了60瓶進行質量檢測，

其中抽到A型號飲料15瓶，則每小時8型號飲料的產量為（）

A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶

考點二：統(tǒng)計圖表及其數字特征

【例2】（多選題）（2024?江西?高三玉山一中校聯(lián)考階段練習）江西省2017年到2022年常住人口變化圖

如圖所示，則（）

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江西省常住人口（單位:萬）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.江西省2017年到2022年這6年的常住人口在2019年取得最大值

B.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的極差為148.70萬

C.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的中位數為4527.98萬

D.江西省2017年到2022年這6年的常住人口的第80百分位數為4647.60萬

【變式2-1］（多選題）（2024?廣東惠州?高三惠州一中校考階段練習）某地環(huán)境部門對轄區(qū)內甲、乙、丙、

丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質量指數均不大于100,則認為

該地區(qū)的環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)的環(huán)境治理不達標.根據連續(xù)10天檢測所得數據的數字特征推斷,

環(huán)境治理一定達標的地區(qū)是（）

A.甲地區(qū)：平均數為90,方差為10B.乙地區(qū)：平均數為60,眾數為50

C.丙地區(qū)：中位數為50,極差為70D.丁地區(qū)：極差為20,80%分位數為80

【變式2-2］（多選題）（2024?廣東珠海?高三珠海市第一中學?？计谀┠硢挝粸榱私饴毠そ】登闆r，采

用分層隨機抽樣的方法從5000名職工中抽取了一個容量為100的樣本.其中，男性平均體重為64千克，

方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159,男女人數之比為5:3,下列說法正確的是（）

A.樣本為該單位的職工B.每一位職工被抽中的可能性為白

C.該單位職工平均體重元=61D.單位職工的方差『=169

【變式2-3］（多選題）（2024?廣東廣州?廣東實驗中學校考一模）（多選）“搜索指數”是網民通過搜索引

擎，以搜索關鍵詞的次數為基礎所得到的統(tǒng)計指標.“搜索指數”越大，表示網民該關鍵詞的搜索次數越多，

對與該關鍵詞相關的信息關注度也越高.如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個關鍵詞的搜索

指數變化的走勢圖.

35000搜索指數____________________________

30000...............-.......................................................

25000（..............A.......................................................

15000................../

10000-……................................

5000.........................................................Y-"上一一

9月10月11月12月1月2月

2018年2019年

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根據該走勢圖，下列結論正確的是（）

A.這半年中，網民對與該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化

B.這半年中，網民對與該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱

C.從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2018年10月份的方差大于11月份的方差

D.從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值

【變式2-4］（多選題）（2024?河南?模擬預測）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，

筆試成績前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績和年齡分別如頻率分布直方圖和

扇形統(tǒng)計圖所示，則（）

A.90后考生比00后考生多150人B.筆試成績的60%分位數為80

C.參加面試的考生的成績最低為86分D.筆試成績的平均分為76分

考點三：傳統(tǒng)線性擬合

■k題型特訓

【例3】某科學興趣小組的同學認為生物都是由蛋白質構成的，高溫可以使蛋白質變性失活，于是想初步探

究某微生物的成活率與溫度的關系，微生物數量y（個）與溫度x（c）的部分數據如下表：

溫度尤（C）481018

微生物數量y（個）30221814

由表中數據算得回歸方程為9=-x+G,預測當溫度為22c時，微生物數量為個.

正好經過樣本點（2,15）,則￡%=

1=1

【變式3-2】某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如

第7頁共49頁

下數據:

單價（元）456789

銷量（件）908483807568

由表中數據，求得線性回歸方程夕=Yx+”,若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為

考點四：非線性擬合處理

一題型特訓I

【例4】（2024?內蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考期末）用模型、擬合一組數據組（4》）［=1,2,3,…,7）,

其中為+赴+…+七=14,設z=lny,得變換后的線性回歸方程為」=x+l，則%為…%=（）

3521

A.eB.eC.35D.21

【變式4-1］（2024?四川宜賓?四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）下表為某外來生物物種入侵

某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數量》（單位：百只）的數據，通過相關理論進行分析，知可用回歸模型

y=e4'（aeR）對y與r的關系進行擬合，則根據該回歸模型，預測第7個月該物種的繁殖數量為（）

第，個月123

繁殖數量yeL4e2-2e2-4

A.e3百只B.e35百只

C.百只D.e"百只

【變式4-2］（2024?全國?高三專題練習）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據調查統(tǒng)計，得到楊梅

銷售價格（單位：。元/千克）與上市時間/（單位：天）的數據如下表所示：

時間〃（單位：天）102070

銷售價格。（單位：元/千克）10050100

根據上表數據，從下列函數模型中選取一個描述楊梅銷售價格。與上市時間/的變化關系：

。二必+瓦0二^產+初+^0二人兄0二人卜8八利用你選取的函數模型，在以下四個日期末，楊梅銷售價格

最低的日期為（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

考點五：傳統(tǒng)獨立性檢驗

【例5】（2024?全國?高三專題練習）為了解喜愛足球是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查，抽

第8頁共49頁

取女性人數是男性的2倍，男性喜愛足球的人數占男性人數的二，女性喜愛足球的人數占女性人數的!，若

63

本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，則被調查的男性至

少有（）人

2

2_n(ad-be)

”(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8415.6357.87910.828

A.11B.12C.13D.14

【變式5-1]（2024?四川達州?統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考綜合

改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學生的首選意愿，對

部分高一學生進行了抽樣調查，制作出如下兩個等高條形圖，根據條形圖信息，下列結論正確的是（）

A.樣本中選擇物理意愿的男生人數少于選擇歷史意愿的女生人數

B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數多于男生選擇歷史意愿的人數

C.樣本中選擇物理學科的人數較多

D.樣本中男生人數少于女生人數

【變式5-2]（2024?浙江溫州?高三蒼南中學校聯(lián)考階段練習）在新高考改革中，浙江省新高考實行的是7

選3的3+3模式，即語數外三門為必考科目，然后從物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術（含信

息技術和通用技術）7門課中選考3門.某校高二學生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）

選物理不選物理總計

男生340110450

女生140210350

總計480320800

表一

選生物不選生物總計

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男生150300450

女生150200350

總計300500800

表二

試根據小概率值。=0.005的獨立性檢驗，分析物理和生物選課與性別是否有關（）

n(ad-bc)2

附:/=n-a+b+c+d.a=P{<%2>j

(。+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.150.100.050.0250.010.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.選物理與性另I有關，選生物與性別有關

B.選物理與性別無關，選生物與性別有關

C.選物理與性別有關，選生物與性別無關

D.選物理與性別無關，選生物與性別無關

考點六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計

■k題型特訓

【例6】（多選題）（2024?全國?模擬預測）教育統(tǒng)計學中，為了解某考生的成績在全體考生成績中的位置，

通常將考生的原始分數轉化為標準分數.定義標準分數z,=:■-，（i=l,2,L,〃），其中七為原始分數，工為

原始分數的平均數，,為原始分數的標準差.已知某校的一次數學考試，全體考生的平均成績［=115,標準

差5=10.8,轉化為標準分數后，記平均成績?yōu)闄C，標準差為則（）

A.加=115B.m=OC.cr=10.8D.a=l

【變式6-1］（2024?湖北?高三校聯(lián)考開學考試）定義空間直角坐標系中的任意點P（x,〉,z）的“N數”為：

在尸點的坐標中不同數字的個數,如：N（LLD=1,N（1,3,1）=2,N（1,2,3）=3,若點P的坐標羽丁*e{0,1,2,3},

則所有這些點P的“N數”的平均值為（）

3725

A.—B.64C.—D.40

1616

【變式6-2］（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考一模）一組數據為,々,不，…，毛的平均數為"現定義這組數據的平均

差二」用一M+同一1+匕一x|++其「“下圖是甲、乙兩組數據的頻率分布折線圖

第10頁共49頁

甲組數據頻率分布折線圖乙組數據頻率分布折線圖

根據折線圖，判斷甲、乙兩組數據的平均差。,2的大小關系是（）

無法確定

A.DX<D2B.Dt=D2C.Dt>D2D.

【變式6-3]（2024?江西九江?統(tǒng)考一模）恩格爾系數（EwgelsCo助7cie”）是食品支出總額占個人消費支出總

額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為

我國2013年至2019年全國恩格爾系數和居民人均可支配收入的折線圖.

201220132014201520162017201820192020

給出三個結論：

①恩格爾系數與居民人均可支配收入之間存在負相關關系；

②一個國家的恩格爾系數越小，說明這個國家越富裕；

③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.

其中正確的是（）

第11頁共49頁

A.①B.②C.①②D.②③

考點七：正態(tài)分布

一題型特訓

【例7】已知某社區(qū)居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X?N（5.5,〃），P（x>6）=0.2.現

從該社區(qū)中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（）

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

【變式7-1］（2024?重慶?高三重慶八中?？茧A段練習）阿鑫上學有時坐公交車，有時騎自行車.若阿鑫坐

公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結論錯誤的是（）

1A

o\26303438x

A.y的數據較x更集中

B.若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大

C.若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大

D.P（X>30）+P（y<30）=1

【變式7-2）（2024?全國?模擬預測）某早餐店發(fā)現加入網絡平臺后，每天小籠包的銷售量X?N（1000,2500）

（單位：個），估計300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是（）

（若隨機變量X?，則尸（〃一b4XM〃+b）=0.6827,P（/z-2cr<X<//+2cr）?0.9545,

-3cr<X<//+3cr）?0.9973）

A.236B.246C.270D.275

考點八：超幾何分布與二項分布

一題型特訓

【例8】（2023上?上海浦東新?高三統(tǒng)考期末）在100件產品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機抽取

3件產品，則恰好含1件二等品的概率為（結果精確到0.01）.

【變式8-1］（2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預測）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數之和為4或5或6,則稱

這是一次成功試驗.現進行四次試驗，則恰出現一次成功試驗的概率為.

【變式8-2］（2023上?江蘇常州?高三常州高級中學?？奸_學考試）設隨機變量X~8（〃,0）,記

kkk

pk=cnp（i-py-,左=o』,2,在研究”的最大值時，某學習小組發(fā)現并證明了如下正確結論：若

第12頁共49頁

（〃+l）P為正整數，當々=（〃+1）P時，P?=PI，此時這兩項概率均為最大值；若5+1）。不為正整數，則當

且僅當左?。ā?l）P的整數部分時，P?取最大值.某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出

現的次數.當投擲到第20次時，記錄到此時點數1出現4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100

次投擲試驗中，點數1總共出現的次數為的概率最大.

考點九：隨機變量的分布列、期望、方差

一題型特訓

【例9】（2024.全國?高三專題練習）某同學參加學校數學知識競賽，規(guī)定每個同學答20道題，已知該同學

每道題答對的概率為0.6,每道題答對與否相互獨立.若答對一題得3分，答錯一題扣1分，則該同學總得

分的數學期望為，方差為.

【變式9-1］（2024?全國?高三專題練習）有一批產品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3

件，若X表示取到次品的次數，貝|P（X=2）=,D（X）=.

【變式9-2］（2023上?全國?高三專題練習）有一批產品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中

次品的件數記為X,則次品件數X的期望為.

考點十：古典概型

【例10】（2024?全國?模擬預測）某藝術展覽會的工作人員要將A,B,C三幅作品排成一排，則A,B這

兩幅作品排在一起的概率為.

【變式10-1］（2024?全國?模擬預測）如圖，A氏C三個開關控制著1,2,3,4號四盞燈，其中開關A控制

著2,3,4號燈，開關8控制著1,3,4號燈，開關C控制著1,2,4號燈.開始時，四盞燈都亮著.現先后按動

A3,C這三個開關中的兩個不同的開關，則其中1號燈或2號燈亮的概率為

'ZJ1B\。

【變式10-2］（2024?全國?模擬預測）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉

行.在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶

文化、酒文化.這次晚宴菜單中有“全家福”“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝

酥”“象形枇杷”.假設在上菜的過程中服務員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），貝產沙蔥牛肉”“北京烤鴨”

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相鄰的概率為.

考點十一：條件概率與全概率

■—題型特訓

【例11]（2024?山東濱州?高三統(tǒng)考期末）甲和乙兩個箱子中各裝有10個除顏色外完全相同的球，其中

甲箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球、2個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出

一球放入乙箱，分別用A、4和4表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出

一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則P（4|B）=

【變式11-1]（2024?河南?模擬預測）設同一隨機試驗中的兩個事件A,8滿足尸（A）=（,P（B）=]，

_1

P（A|B）=-,則P（A|8）=.

【變式11-2]某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學生對勞動教育重要性的認識，現

需從中抽取2人參加學校開展的勞動技能學習，恰有一名女生參加勞動學習的概率則為；在至

少有一名女生參加勞動學習的條件下，恰有一名女生參加勞動學習的概率.

考點十二：概統(tǒng)結合問題

【例12]（2024?黑龍江大慶?鐵人中學?？寄M預測）如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板.上釘著

若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，小球從上方的通道口

落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內.若小球下落過程中向左、向右落下的機會

均等，則小球最終落入④號球槽的的概率為（）

—B.—C.—D.—

32643216

【變式12-1]（2024?海南?統(tǒng)考模擬預測）我國實行個人所得稅專項附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)

教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項專項附加扣除.某單位老年、中年、青年員

工分別有90人、270人、180人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調查專項附加扣

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除的情況，再從這6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（）

【變式12-2】（2024?四川綿陽?鹽亭中學校考模擬預測）已知x、丫的對應值如下表所示:

X02468

y1m+12m+l3m+311

y與x具有較好的線性相關關系，可用回歸直線方程y=L3X+0.6近似刻畫，則在y的取值中任取兩個數均

不大于9的概率為（）

考點十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題

題型特訓

【例13]（2024?浙江寧波?效實中學校考模擬預測）盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任

取i?=1,2）個球,在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數記為X,（z=l,2），則（）

A.P（X1=2）>P（X2=2）,E（Xj>E（Xj

B.P（X1=2）＜P（X2=2）,E（X）＞E（XZ）

C.P（X1=2）＞P（X=2）,E（X1）＜E（X2）

D.P（X1=2）＜P（X2=2）,E（X1）＜E（X2）

【變式13-1]（2024?全國?高三專題練習）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，

其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各

取到1個的概率是

【例14】（2024?廣東清遠?高二統(tǒng)考期末）盒中有。個紅球，6個黑球，c個白球，今隨機地從中取出一

個，觀察其顏色后放回，并加上同色球d個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是（）

bb

A.B.

a+b+ca+b+c+d

b+db+d

C.D.

a+b+ca+b+c+d

考點十四：新賽制概率問題

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【例15]（2024?河南信陽?高二統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊與法國隊在120分鐘

比賽中3:3戰(zhàn)平，經過四輪點球大戰(zhàn)阿根廷隊以總分7:5戰(zhàn)勝法國隊，第三次獲得世界杯冠軍.其中門將馬

丁內斯撲出法國隊員的點球，表現神勇，撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選

擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而

且門將即使方向判斷正確也有g的可能性撲不到球.若不考慮其他因素，在點球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲

出點球的個數X的期望為（）

112

A.-B.5C.-D.2

623

【變式15-1】通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢.單檢，是

將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨檢測；混檢，是將多個人的采集拭子放入一個采樣管中合為一

個樣本進行檢測，若檢測結果呈陽性，再對這多個人重新采集單管拭子，逐一進行檢測，以確定當中的陽

性樣本.混檢按一個采樣管中放入的采集拭子個數可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等.

調查研究顯示，在群體總陽性率較低（低于0.1%）時，混檢能較大幅度地提高檢測效力、降低檢測成本.

根據流行病學調查結果顯示，某城市居民感染新冠病毒的概率為0.0005.若對該城市全體居民進行核酸檢測，

記采用“10合1”混檢方式共需檢測X次，采用“5合1”混檢方式共需檢測丫次，已知當0＜。＜0.001時，

（1-0晨1-秋據此計算磯X）:E（F）的近似值為（）

A.1B.匕C.?D.2

227119

【變式15-2]（2024?遼寧本溪?高二?？计谀┮咔槠陂g，甲、乙、丙三人均來自高風險地區(qū)，需要進行

核酸檢測，假設每個人的檢測結果是否為陽性相互獨立，若甲和乙都不是陽性的概率為:，甲和丙都不是陽

性的概率為:，乙和丙都不是陽性的概率為],則甲、乙、丙三人中最多有2人是陽性的概率為（）

A.—B.-C.4D.-

24424

【變式15-3]（2023下?江蘇常州?高二江蘇省漂陽中學?？茧A段練習）在數字通信中，信號是由數字“0”和“1”

組成的序列.現連續(xù)發(fā)射信號”次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的?記發(fā)射信號“1”的次數為X.

①當〃=6時，尸（XV2）=；

②已知切比雪夫不等式:對于任一隨機變量乙若其數學期望后代）和方差D（Y）均存在,則對任意正實數a,

有尸（卜--根據該不等式可以對事件中-E（Y）|＜a”的概率作出下限估計為了至少有

98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，估計信號發(fā)射次數"的最小值為.

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考點十五：遞推型概率命題

■■題型特訓

【例16］（2023.廣東佛山.統(tǒng)考二模）有〃個編號分別為1,2,w的盒子，第1個盒子中有2個白球1

個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒

子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是,從第〃個盒子中取

到白球的概率是.

【變式16-1］（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測）盒子里裝有5個小球，其中2個紅球，3個黑球，從盒子中隨機

取出1個小球，若取出的是紅球，則直接丟棄，若取出的是黑球，則放入盒中，則：

（1）取了3次后，取出紅球的個數的數學期望為；

（2）取了“5=2,3,4,-）次后，所有紅球剛好全部取出的概率為.

【變式16-2］（2024上.甘肅.高三統(tǒng)考階段練習）某學校有A、3兩個餐廳，已知同學甲每天中午都會在這

兩個餐廳中選擇一個就餐，如果甲當天選擇了某個餐廳，他第二天會有60%的可能性換另一個餐廳就餐，

假如第1天甲選擇了A餐廳，則第幾天選擇A餐廳的概率與為.

參考答案

1.（2023?天津）調查某種花萼長度和花瓣長度，所得數據如圖所示，其中相關系數廠=0.8245,下列說法

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關性

B.花瓣長度和花萼長度呈現負相關

C.花瓣長度和花萼長度呈現正相關

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.8245

【答案】C

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【解析】:相關系數r=0.8245>0.75,且散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布，

花瓣長度和花萼長度呈正相關.

若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數不一定是0.8245.

故選：C.

2.（2023?乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、

乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【解析】某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，

甲、乙兩位參賽同學構成的基本事件總數“=6x6=36,

其中甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題包含的基本事件個數，"=30,

則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為尸='=型=*.

n366

故選：A.

3.（2023?甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校

文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【解析】某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名，

從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，

基本事件總數〃=瑪=6,

這2名學生來自不同年級包含的基本事件個數m==4,

則這2名學生來自不同年級的概率為「='=壯=2.

n63

故選：D.

4.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿易額描述

錯誤的是（）

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2018—2021中國進出口總額總計圖

萬億本

B.從2018年開始，進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小

【答案】C

【解析】顯然2021年相對于2020年進出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最大，A對；

統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故3對；

2020年相對于2019的進口總額是減少的，故C錯；

顯然進出口總額2021年的增長率最大,而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小,

且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，。正確.

故選：C.

5.（2022?新高考I）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【解析】從2至8的7個整數中任取兩個數共有C；=21種方式，

其中互質的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14種，

故所求概率為匕=2.

213

故選：D.

6.（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為A，必，P3,且區(qū)＞。2＞月＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為「，貝I"）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

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【答案】D

【解析】A選項，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以「受比賽次序影響，故A錯誤；

設棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為與，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為多，棋手在第二

盤與丙比賽連贏兩盤的概率為4,

導=(1一必)P1P3+P2Pl(1-03)+(1-Pi)PiPi+P3Pl(1-02)=2[四(P?+P3)一,

同理可得，多=2[P2(P1+P3)-2P1P2P31，

9=2[RP3+p2P3-2Plp2P3],

扁-冷=202(。3-Pi)>。，/-七=2“(n-。2)>o,

??.扁最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大.

故選：D.

7.(2022?甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數字之積是4的倍數的概率為()

A.-B.-C.-D.-

5353

【答案】C

【解析】根據題意，從6張卡片中無放回隨機抽取2張，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法，

其中抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6種情況，

則抽到的2張卡片上的數字之積