2025年高考數(shù)學重難題型二輪復習：柯西不等式與權方和不等式（3大題型）原卷版+解析

i重難題型?解題技巧攻略

J_______________________

專題01柯西不等式與權方和不等式

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01二維形式下的柯西不等式.................................................................1

題型02三維形式下的柯西不等式................................................................2

題型03權方和不等式...........................................................................3

0---------------題型探析?明規(guī)律------------*>

題型01二維形式下的柯西不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

1.二維形式的柯西不等式

（a2+ZJ2）（c2+d2）>（ac+bd）2（?,b,c,deR,當且僅當4d=時，等號成立.）

2.二維形式的柯西不等式的變式

（1）V?2+b~-^c~+d~>\ac+bd\（a,b,c,deR,當且僅當ad=Ac時，等號成立.）

（2）八2+/-A/C2+d2>+M（a,。,c,deR,當且僅當ad=Ac時,等號成立.）

（3）（?+/j）（c+fi?）>{4ac+4bd）2（a,b,c,d>Q,當且僅當ad=反時,等號成立.）

【典例訓練】

一、單選題

1.柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不

等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量4=（4%）/=伍，％），由|叫眼忖得到

2

（中2+yty2）4（片+y；）（考+￡）,當且僅當占%=x2yr時取等號.現(xiàn)已知aNO,620,<7+3=5,則,2a+2+Jb+3

的最大值為（）

A.18B.9C.2/D.373

2.若實數(shù)a,b,c,d滿足a6+bc+cd+必=1,則a?+26?+3c?+4屋的最小值為（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不對

3.（2024?浙江?一模）若sinx+cosy+sin（x+y）=2,則sinx的最小值是（）

A.0B.2-73C.3-5/7D.；

二、多選題

4.（2024高三上?新疆?期中）己知x>0,y>0,且不等式耳彳+廳+y（y+l）2-（病-2租）個20恒成立，則

機的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

三、填空題

5.（23-24高三上.安徽?階段練習）為提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和學習數(shù)學的興趣，學校在高一年級開設了

《數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數(shù)量積知識證明

了著名的柯西不等式（二維）；當向量。=（%力=伍,%）時，有|￡引第慟，即

由%+%%）七W+對華+￡），當且僅當占%=%%時等號成立；學生乙從這個結論出發(fā).作一個代數(shù)變

換，得到了一個新不等式：（%々-&（X：-對（后-貨），當且僅當無跖=尤2%時等號成立，并取名為“類

12

柯西不等式”.根據(jù)前面的結論可知：當時,的最小值是.

xeR2x2+Cx2+l

題型02三維形式下的柯西不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

柯西不等式的擴展：+Q；+a；+??,+a：+,??+N（%濟+ajb?+的用+…+"也>，當

且僅當《：偽=&：&=…=/：優(yōu)時，等號成立.

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對/+ZJ2+C2,并不是不等式的形狀，但變成

|*（12+12+12）*（?2+/+02）就可以用柯西不等式了.

【典例訓練】

一、填空題

1.（2024高三下.浙江?階段練習）若2x+3y+z=7,則V+丁+z?的最小值為.

2.（2024高三下.浙江.階段練習）已知/+/+22=1,a+3HBe=16,則（x-a）?+（?-4+（z-c）?的最

小值為.

3.（24-25高三上?陜西西安?階段練習）存在正數(shù)x，%z,使得不等式々+曲2/“+y+z成立,則加

的最大值是.

4.已知q+?2+?3=0,且"=同=同=1，實數(shù)x，y，z滿足無+y+z=l,S.o<x<^<y<l,則卜q+ye2+263]

的最小值是.

二、解答題

22

5.(24-25高三上?遼寧?階段練習)我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：3eR,a+b>2ab,

當且僅當。=6時，等號成立.我們從不等式"+/22"出發(fā)，可以得到一個非常優(yōu)美的不等式——柯西不

等式，柯西不等式的一般形式為：▼《,生，，明也，瓦，.也wR,且她b,*。,(a：+靖++靖)

(月+優(yōu)++硝2(4也+凡仇++a也尸，當且僅當?=?==?時，等號成立.

一bib2b?

(1)若x+2y+2z=3y/3,x2+y2+z2的最小值；

⑵求\[x+j3x-32+A/17-%的最大值；

(3)若a>3,b>3,不等式〃+尸_3a2_3〃z皿4-3)s-3)恒成立，求比的取值范圍.

6.(23-24高三下?黑龍江佳木斯?期中)在VA5C中，/A,ZB,NC對應的邊分別為。，b,c,

2sinAsinBsinC=^(sin?B+sin2C-sin2A).

⑴求A；

⑵若Af為BC邊中點，BC=y/3,求AM的最大值；

(3)奧古斯丁?路易斯?柯西(AugustinLouisCauchy,1789年-1857年)，.法國著名數(shù)學家，柯西在數(shù)學領域有

非常高的造詣，很多數(shù)學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等

式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.現(xiàn)在，在(1)的條件下，若a=2,P是VABC內(nèi)一點，

過尸作AB,BC,AC垂線，垂足分別為。，E,凡借助于三維分式型柯西不等式：%,%，%eR+，

2

Xixf(xl+x2+x3)，當且僅當『x『x?二x.時等號成立.求廣A記B+扇4\BC\+所AC的最小直

M%%%+%+為

題型03權方和不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

權方和不等式：若a,仇x,y>0,則土+生2(1+為一,當且僅當幺=2時，等號成立.

xyx+yxy

證明1：va,b,x,y>0

芭T/—2(a+b)2

xyx+y

口平、工ya2+xb2(a+6)2

只需證--------->--------

xyx+y

即證xya2+y2a2+x2b2+xyb2>xya2+2xyab+xyb2

故只要證y2/+%2。2>2xyab

（ya-xb）2>0

當且僅當=O時，等號成立

2

aW”），,當且僅當q=2時，等號成立.

即——+

Xyx+yxy

證明2：對柯西不等式變形，易得（《+貴）。+丫”（4+6）2在4,久達丫>0時，就有了《+工2絲土空當

xyxyx+y

4=2時，等號成立.

xy

《+工+三2絲土”生，當@=2=￡時，等號成立.

推廣1：

xyzx+y+zxyz

若%>0,仄>0,則C+或+…+￡之（4+的+…+?）2,當4》時，等號成立.

推廣：2：

*b2bn*+瓦+…+b”

若《〉0,2〉0,根〉0,則丈t+或，…+之2（”％+…+4）；當a=幾2時，等號

推廣3：

成立.

【典例訓練】

一、填空題

18

1.已知正實數(shù)1、y且滿足％+y=i,求_的最小值_________.

xy

CQ

2.（2024高三.全國?專題練習）/（%）=—^--+-~~~7的最小值為______.

2smx+35cosx+6

3.（2024.河南信陽?模擬預測）已知正數(shù)。涉滿足0+6=?]+”]，則。+人的最小值為.

247+12b+l

*>----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

1.實數(shù)尤、y滿足3Y+4y2=12,則z=2x+石y的最小值是（）

A.-5B.-6C.3D.4

2.若實數(shù)x+2y+3z=l,貝晨2+_/+22的最小值為()

A.14B.—C.29D.—

1429

3.已知%>0,yeR,且Y+沖一x+5y=30,則J2—x+j3O—3y的最大值為()

A.6B.76C.2A/6D.3a

二、多選題

4.設非負實數(shù)x,y,Z滿足,++(y+l)2+(z+￡|=y,貝Ijx+y+z的()

A.最小值為厄一3B.最小值為巫二1

22

37

C.最大值為1D.最大值為］

5.（24-25高三上?新疆?期中）已知無＞0,y>0,且不等式x(x+l)2+y(y+l)2_0〃2_2m)肛20恒成立，則

機的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

三、填空題

18

6.已知正實數(shù)無、＞且滿足％+y=l,求二+二的最小值_________.

%y

7.（2024高三?全國?專題練習）已知％+2y+3z+4〃+5V=30,求%之+2/+3z?+4/+5-的最小值為

8.（2。24高三全國.專題練習）已知m小為正實數(shù),且滿足“+4"9c=4,則三+出+2的最小

值為.

9.（23-24高三下?全國?強基計劃）已知d+V+z?W1,貝鼠,+2y-2z+3的取值范圍是

四、解答題

10.（23-24高三下?山東?期中）在VABC中，ZA,/8,NC對應的邊分別為a,b,c,6sinA+atanAcos3=2asinC.

⑴求A；

（2）奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數(shù)學家.柯西在數(shù)學領域有非常高的造詣.很多數(shù)學的定理和公式都以他

的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應

用.

①用向量證明二維柯西不等式：（占%+4儲+對（考+鎮(zhèn)；

②已知三維分式型柯西不等式：力加力^口二江+.+江2叱紅區(qū)-，當且僅當五=三=石時等號成

X%%X+%+為M%%

AB\9\BC\AC\

立.若。=3,尸是VABC內(nèi)一點，過尸作AB,3GAe的垂線，垂足分別為。，及尸，求?=篇+強?+篇的

PD\\PE\PF\

最小值.

:重難題型?解題技巧攻略

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專題01柯西不等式與權方和不等式

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

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題型01二維形式下的柯西不等式................................................................6

題型02三維形式下的柯西不等式................................................................9

題型03權方和不等式..........................................................................15

?>-----------題型探析?明規(guī)律----------?>

題型01二維形式下的柯西不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

1.二維形式的柯西不等式

（?2+Z?2）（c2+<72）>（ac+bd）2（?,b,c,dR,當且僅當ad=時，等號成立.）

2.二維形式的柯西不等式的變式

2222

（1）7?+b-y/c+d>\ac+bd\（a,b,c,deR,當且僅當ad=Ac時，等號成立.）

22

（2）Ja?+/?ylc+d>|tzc|+\bd\（a,b,c,deR,當且僅當ad=Ac時,等號成立.）

（3）（a+b）（c+d）>{4ac+4bd）2（a,b,c,d>Q,當且僅當ad=Ac時,等號成立.）

【典例訓練】

一、單選題

1.柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不

等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量￡=&,%）,6=（如％），由|叫眼忖得到

（中2+必%）2V（片++￡）,當且僅當XM=x2H時取等號.現(xiàn)已知*20,a+6=5,則J2a+2+Jb+3

的最大值為（）

A.18B.9C.2月D.36

【答案】D

【分析】根據(jù)（不馬+X%）2v&2+y；）（x；+'；）,令石=3,乂=1,*2=Ja+l,%=Jb+3代入公式,結合已知條件

。>0/20,。+/?=5即可得至?。萁Y果.

6/23

【詳解】因為(占%+%域<(片+嫡(考+貨)，

令司=V5，x=1,%2=\[a+i,y2=y/b+3,y.a>0,b>0,a+b=5,

所以++V(A/2)2+12?伍+l+6+3)=27,

當且僅當0.日分=1.而7即。=51=0時等號成立，

BPV2O+2+A/F+3<3V3,

故選:D.

2.若實數(shù)a,b,c,d滿足oZ?+bc+cd+加=1,則/+2爐+3c?+4屋的最小值為()

A.1B.2C.3D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.

【詳解】根據(jù)題意，<ab+bc+cd+da=l^>(a+c)(b+d)=l,

而(片+3,2)[1+(a+c『，當且僅從a=3c時等號成立.

同理(2/+4>優(yōu)+a)?,當且僅當勸=4d式等號成立，

記題中代數(shù)式為M,于是M=(〃+3c?)+(2從+4筋)

(a+c)2(b+d)2§4

~V~~1~~T~=—(a+c)2+—(b+d)222(Q+c)(Z?+d)=2,

1+--+—43

324

b

等號當：=2,n〃:0:c:d=3:2:l:l時取得，因此所求代數(shù)式的最小值為2.

a

a+c_4-

b+d~3"

故選：B.

3.(2024?浙江?一模)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,貝！Jsin尤的最小值是()

A.0B.2-73C.3-幣D.1

【答案】C

【分析】先把已知整理成2-sinx=(sinx+l)cosy+cosxsiny的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進行

放縮，得到關于sinx的一元二次不等式進行求解.

［詳解］由已知sin%+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得

2—sinx=(sinx+l)cosy+cosxsiny,

由柯西不等式得

7/23

(sinx+l)cosy+cosxsiny<J(l+sinx)2+cos2x-^/cos2y+sin2y=j2+2sinx，

當(sinx+1)siny=cosycosx時取等號，

所以(2-sinx)~W2+2sinx,即sin?尤-6sin尤+240,

解得3-J7〈sin尤41,所以sinx的最小值為3—J7.

故選：C.

二、多選題

4.（2024高三上?新疆?期中）已知x>0,y>0,且不等式x（x+l）2+y（y+l）2-（布-2租）孫20恒成立，則

機的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】BCD

【分析】將不等式變?yōu)榀煛?m<（'+1）+,利用柯西不等式和基本不等式可求得（'+1）+（'+1）的

y%y尤

最小值，進而構造不等式求得用的取值范圍，從而得到結果.

【詳解】由天（》+1）2+丁（丁+1）2-卜7/-2機）孫NO得：加2_2,W4無（?+1+?丫（丫+1）=（-+1）+（y+i）,

xyxyyx

［市+］苗］>［（%+l）+（y+l）］2（當且僅當］=詈，即x=y時取等號），

...f±<+31x+y+2）2=—+y）+4+」「+力-4=8（當且

僅當x=y=i時取等號），

即當x=y=i時，x（x+D+可」+1）=8,

xyxy

,加一2加48,解得：-2<m<4,二加可能的取值為-2,2,4.

故選：BCD.

5.（23-24高三上.安徽?階段練習）為提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和學習數(shù)學的興趣，學校在高一年級開設了

《數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數(shù)量積知識證明

了著名的柯西不等式（二維）；當向量0=（3,％）,6=（無2，%）時，有|￡引第卞『，即

（個2+%%）2?解+犬）（￥+貨），當且僅當%%=%/時等號成立；學生乙從這個結論出發(fā).作一個代數(shù)變

換,得到了一個新不等式：（占無2-%％）&氏-川田-賢），當且僅當占%=3%時等號成立，并取名為“類

8/23

12

柯西不等式”.根據(jù)前面的結論可知：當xeR時,的最小值是.

2X2+1~X2+1

【答案】-1

2

【分析】根據(jù)不等式（片-片）（考-yl）＜（V2-yty2）構造不等式左側

<.1-V2X2+1--.2-V2X2+2=1,

(亞/+1V2X2+2)

當且僅當WTT,也y+之=J2：+2.'2d+1'即x=°時，等號成立，

所以------------=-------------->-1最小值為-1,此時兀=0.

加以2f+ix2+l2X2+12^+2—

故答案為：-1.

題型02三維形式下的柯西不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

柯西不等式的擴展:~（a：++a；H---1-a；+6；+Z?；-i----1-葉）2（巳自+a力1+a3b3-1---1-a“b”）一,

且僅當%:偽=g：d=…=4：〃時，等號成立.

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對/+/+02,并不是不等式的形狀，但變成

|*（12+12+12）*（?2+/+02）就可以用柯西不等式了.

【典例訓練】

一、填空題

1.（2024高三下?浙江?階段練習）若2x+3y+z=7,貝U+9+z?的最小值為.

【答案】I7

【分析】利用柯西不等式（X2+y2+Z2）-（22+32+12）＞（2%+33；+Z）2可直接求得結果.

9/23

222222

【詳解】由柯西不等式得：(x+/+z)-(2+3+1)>(2x+3y+z),

即14(f+y2+z2)249,.-.x2+y2+z2>^(當且僅當：=]=z時取等號)，

尤2+/+Z2的最小值為小7

7

故答案為：—.

2.2024高三下?浙江?階段練習)已知V+y2+z2=l,.+3匕+6=16，則(x—a)?+(y—+(z—c)2的最

小值為.

【答案】9

【分析】根據(jù)柯西不等式求解最小值即可.

[詳解1a+3b+y/6c=16<Jl2+32+(A/6)2yja2+b2+c2=^a2+b2+c2

_________abc

；?+b?+c?24,當且僅當7=§=能時等號成立，即〃=l/=3,c=n,

222

*.*(x-a)2+(y_/7y+(z-c)2_2—2^xa+by+cz^+O+b+c

>1-2+y2+z2，？+〃+c'+CI2-^-b2+c2=1-ly/a2+b2+c2+O2+Z72+c2

=(yla2+b2+c2-l\>9,當且僅當q=?=￡時等號成立，TCx=-,y=-,z=^

故答案為：9

3.(24-25高三上?陜西西安?階段練習)存在正數(shù)x，%z,使得不等式?+而+癥2加后"7成立，則機

的最大值是.

【答案】3

【分析】運用柯西不等式計算即可.

【詳解】解:由柯西不等式可知(1+3+5)(尤+y+z)2(石+四+后TnC+后+底<3

6+y+z

由機W氏：?+顯能成立n"243nmmax=3.

故答案為：3.

4.已知q+e；+e3=0,且/卜同=同=1，實數(shù)％y，z滿足無+y+z=l,且則,+4+zej

的最小值是.

【答案】y/0.25

【分析】在平面直角坐標系中，令勺=(1,0),由此求出4與％的坐標，再用x,y表示出|xe}+ye2+z^31,

10/23

然后借助柯西不等式求解作答.

【詳解】在平面直角坐標系中，令,二（1,0）,設4=（cos&sin，），則色=（-1-cos。,-sin，），

|勺F=2+2COS6=1,解得cos6=-g,貝!）sin6=±g,依題意，不妨令％=（-；,￡）,6=（-;,--~）?

2

而z=I—%—y,貝?。㊣%+ye2+Z/=-+,有I%,+ye2+ze31=

（1-；）2+gx+島-爭咱（一再+3%—）2+gx+5一爭］

石）（_1彳-5+3（￥彳十6'一￥）?=^（3A/3J-A/3）2=^-（3y-l）2,

3￡Be_>/3

當且僅當5"2_2X2，即2x+y=l時取“="，M0<x<-<y<1,則當且僅當

F=324

丫=；時取“=”，

因此，|無4+片2+2031飛J（3y-1）2N當且僅當2尤+y=l且y=1,即x=J且y=：時取“="，

416242

所以當X=；,y=g,2=；時，卜4+州2+203|取得最小值；.

故答案為：；

【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標系中，借助向量的坐標表示，

利用代數(shù)方法解決.

二、解答題

22

5.（24-25高三上?遼寧?階段練習）我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：Va/eR,a+b>2ab,

當且僅當。=6時，等號成立.我們從不等式6+5222"出發(fā)，可以得到一個非常優(yōu)美的不等式一柯西不

等式，柯西不等式的一般形式為：V%,%，，%,,瓦也,.，b,wR,且她白產(chǎn)。，（<2：+蠟++*

（b：+以++硝2（她+他+-+。也了，當且僅當?=詈=…=?時，等號成立.

⑴若x+2y+2z=3A/3,^.x2+y2+z2的最小值；

⑵求A/X+j3x-32+<17-x的最大值；

（3）若a>3,b>3,不等式〃+63_3a2_3/2皿°-3）（6-3）恒成立，求相的取值范圍.

【答案】⑴3

（2）9

（3）m<24

【分析】（1）構造應用柯西不等式計算即可；

11/23

(2)構造應用柯西不等式計算即可；

(3)先化簡得出±+m，再構造應用柯西不等式結合基本不等式計算(工+二］=24即可求

b7a-3\b-3”3兀

解；

【詳解】⑴因為柯西不等式可得(f+y2+z2)(F+22+22”(x+2y+2z)2,

又因為x+2y+2z=35

所以(無2+y2+z?)02+2?+2?”卜目)2,即得尤2+y2+z223.

當且僅當》=走,y=z=^8取最小值3；

33

(2)因為柯西不等式可得［x+3x-32+4(17-x)］12+12+^■(&+j3x-32+,

3^因%+3%-32+4(17-x)=36,

所以3612+12+W>(71+V3x-32+717-x)2,

即得(炭+J3X-32+J17-X『《81,化簡得?+j3x-32+J17-xW9,

當且僅當x=16取最大值9；

(3)因為43+戶-3°2—3/、制a-3)S-3),

"2h2

所以a?(〃—3)+。2s—3)之m(a—3)(Z?—3),所以-----1-------2m,

b—3a-3

'2b2

因為柯西不等式可得［為(。-3+〃-3)之(Q+》/

ci—3

又因為a>3,b>3,所以a+Z?>6,令，=a+b—6,

6Z2b2(a+bY(7+6)2

所以?>------L=1——乙=,+一+1222+12=24,

a+b—6

"212A

即得二+I=24,當且僅當。=6=6取最小值24；

Xb-3a-3/Jmi.n

所以m的取值范圍是小W24.

【點睛】關鍵點點睛：化簡構造柯西不等式結合基本不等式是解題的關鍵點.

6.(23-24高三下?黑龍江佳木斯?期中)在VABC中，/A,ZB,NC對應的邊分別為。，b,c,

2sinAsinBsinC=A/3(sin2B+sin2C-sin2A).

12/23

⑴求A；

⑵若“為BC邊中點，BC=43,求AM的最大值；

(3)奧古斯丁?路易斯?柯西(AugustinLottisCauchy,1789年-1857年)，.法國著名數(shù)學家，柯西在數(shù)學領域有

非常高的造詣，很多數(shù)學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等

式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.現(xiàn)在，在(1)的條件下，若。=2,P是VABC內(nèi)一點，

+

過P作AB,BC,AC垂線，垂足分別為E,F,借助于三維分式型柯西不等式：%,%，73eR,

x.xX.AC

上君上后>(玉+々+七)2,當且僅當丁丁?;時等號成立.求e7=A"B+向413+a"的最小直

-x-；--1------1----<------------------

%%%%+%+%

【答案】嗚

【分析】(1)先用正弦定理角化邊，然后結合余弦定理可以解出A.

(2)利用余弦定理及基本不等式求出6cW3,再由AM=g(AB+AC),將兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運算律

求出的最大值；

(3)將T構造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結合余弦定理可解.

【詳解】(1)因為2sinAsinBsinC=V^(sin2B+sin?C—sin?A),

由正弦定理得2bcsinA=g一/),

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

所以2bcsinA=\/5x2bccosA,即sinA=gcosA,

若8sA=0,等式不成立，貝(IcosAwO,可得tanA=百，

因為Ae(O,7t),所以A=(.

(2)

由余弦定理6=尸+C2-26ccos4,BP3=Z?2+c2-be,+c2=3+bc>2bc,當且僅當6=c時取等號,

所以從43,當且僅當b=c=有時取等號,

13/23

因為M為2C邊中點，所以=+

所以AM。=；(AB+AC)2=^AB2+2AB-AC+AC2)=1(C2+Z?C+Z?2)

iQ

=-(3+2Z?c)<^

所以當且僅當》=c=有時取等號,

3

所以AM的最大值為］.

AB4\BC\ACc4abc24a2b2

PD\PE\PF\PD\\PE\\PF\C\PD\a\PE\b\PF\'

又5.=：印犯,5PAc=\b\PF\,S

PAB+SPBC+SPAC=SABC>

所以＜7戶&+《咫+”p同=2S

22(6+C+4)2

(24x2。b(6+c+4)-

由三維分式型柯西不等式有T=22sx

c\PD\a\PE\b\PF\

121

當且僅當網(wǎng)=西=西即盧囿=2|叨=2|閉時等號成立.

222

由余弦定理/22+c_2Z?ccosA得4=b+c—be9

所“工二『即(b+cf-4皿17>2(b+c+4)［2石(b+c+盯

所以(6+c)—4=3bc即bc=-------------f貝！J，2百———?

373bc(Z?+c)-4

2后_2A/3

令r=b+c+4,則［I)——上_8+：

t2t

bc_(b+c『_4V(b+c^

因為3-I2J,解得2<b+cV4,當且僅當6=c時等號成立.

b+c>a=2

所以6vi48?則」《0<L

8t6

令股爭”=12口」［J,則y=12J耳」在上［J上遞減,

t-t3)3?))3tL86J

當Lg即八c=2時，y有最大值工此時T有最小值逑.

t8163

14/23

題型03權方和不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

權方和不等式：右。/羽y>0,則土+匕2((+為一,當且僅當4=2時，等號成立.

xyx+yxy

證明1：?.?a.b,x,y>0

加、十/b1（。+加2

要證一+———-

xyx+y

只需證

%+y

BPiffxya2+y2a2+x2b2+xyb2>xya2+2xyab+xyb1

故只要證y2a2+x2b2>2xyab

(ya-xb)2>0

當且僅當y〃-xZ?=0時，等號成立

即《+忙2(/+加二當且僅當?=2時，等號成立.

xyx+yxy

證明2:對柯西不等式變形，易得(4+Q)(x+y)N(a+6)2在"x,y>0時，就有了里+工2絲土生當

xyxyx+y

3=2時，等號成立.

1y

22

隹上1ab。2(Q+8+C)2〃bc,生口卡一

推廣1:—+—+—>---------=，當一=一=一時D，等號成乂.

xyz%+y+zxyz

推廣:2：若q〉0也〉0,則生+生+…+%之(.+02+…+%)-，當。=把時，等號成立.

Ab2bn…+…+〃

則…+4嚴

推廣3：若a>0,Z?>0,m>0,當a-叫時，等號

tzb：b：b：-版+瓦+…+盯i

成立.

【典例訓練】

15/23

一、填空題

18

1.已知正實數(shù)1、>且滿足％+y=i,求T+T的最小值_______.

%y

【答案】27

【分析】設》=腐0,j=sin*2?,名，由權方和不等式計算可得.

【詳解】設戶渥C，y=sin2?,?efo,^L

18I323(1+2)3

由權方和不等式，可知;7+茅=/,/+/,~」V=27,

%yIcosa\(sina\(cosa+sina\

121?

當且僅當即1=，時取等號，

cos2asin2a

18

所以w+的最小值為27.

%y

故答案為：27

2.(2024高三?全國?專題練習)/(%)=—^~~-+-一~~7的最小值為____.

2smx+35cosx+6

…d.817

【答案】4

r,、585242

【分析】〃少云E+37T5(2-3)+2(5儂。+6)，進而利用權方和不等式可求最小直

58

【詳解】/(%)=---?~2------1-------9------

2sinx+35cosx+6

〉

52?42(5+4)2_8]

5^2sin2x+3)2(5cos2x+6^10(^sin2x+cos2x)+2737

542

當且僅當5(2sin2x+3)=2(5cos2x+6)，即五1=±十，cosx=±§時取等號，

所以/(x)=：.?A的最小值為胃.

2sinx+35cosx+637

故答案為：

3.(2024?河南信陽?模擬預測)已知正數(shù)。涉滿足。+。=盧1+”]則，+人的最小值為_______.

2a+l2b+l

【答案】V2

11

【分析】根據(jù)分離常量法可得“+〃—+22,結合權方和不等式計算可得(。十人1)(。+"1巨1,即

Cl\U-1?+I

2a+l2b+l

(a+b)2>2,即可求解.

16/23

【詳解】。>0力>0,

11

1r1—(2〃+1)H——(2Z?+1)4—

,a+\b+17??7

+Z7=-------+-------=/-------------工+/----------二

2a+12b+12a+12b+11+備+備

、2

所以221

a+b—1—212之'.......-=

2a+l26+12a+1+2b+1a+b+\

當且僅當=_X即〃=6時等號成立，

2a+12b+1

所以（。+匕一1）（。+6+1）之1,得（a+b>之2,

所以a+b之逝或。+匕4-0（舍去），

即a+人的最小值為行.

故答案為：血

o-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

1.實數(shù)尤、y滿足3Y+4y2=i2,則z=2x+6y的最小值是（）

A.-5B.-6C.3D.4

【答案】A

【分析】由3/+4/=12得;+]=1,運用柯西不等式有!+[116+9）平x+島『，進而得解.

【詳解】解：實數(shù)x、y滿足3f+4y2=12,

-5<2%+45,

當且僅當3氐=8y時取等號，

z=2x+百y的最小值是一5.

故選：A.

【點睛】考查柯西不等式的應用，基礎題.

2.若實數(shù)無+2y+3z=l,貝U+J+z?的最小值為