2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《立體幾何》專項(xiàng)測試卷（附答案）

2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《立體幾何》專項(xiàng)測試卷附答案

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):.考號(hào):

一題型01球與截面面積問題

3兀

1.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）己知二面角P-AB-C的大小為2—,球。與直線A3相切，且平面R4B、

4

平面A3C截球。的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1、五,則球。半徑的最大可能值為（）

A.&B.2近D.M

2.（2023?海南?？?海南中學(xué)?？级＃﹤髡f古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個(gè)

圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，。2,a為圓柱上下底面的圓

心，。為球心，E尸為底面圓的一條直徑，若球的半徑廠=2,則平面截球所得的截面面積最小值為

（）

A.2兀

3.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三

角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=y[3,=點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作

球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

,3兀-2兀一兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

4.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體ABCD-A旦CQ中，A3=2,M,N分別為AD,BC的中點(diǎn)，

該正方體的外接球?yàn)榍颉?，則平面截球。得到的截面圓的面積為（）

m02體積、面積、周長、角度、距離定值問題

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5.（多選題）（2021?新高考I）在正三棱柱ABC-中，42=例=1,點(diǎn)P滿足=+,

其中Xe[0,1],〃e[0,1],貝U（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，△A4P的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐ABC的體積為定值

c.當(dāng)彳=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得

D.當(dāng)〃=3時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得48,平面做尸

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）正三棱柱ABC-A4a的各條棱的長度均相等，。為A4的中點(diǎn)，M,N

分別是線段B片和線段CG上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=GN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是

（）

A.在內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面Z）AW_L平面BCC]B]

C.三棱錐A-OMN的體積為定值

D.DAW可能為直角三角形

7.（2023?湖南?邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-A用G。中，尸為線段

上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則以下結(jié)論正確的有（）

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B.三棱錐尸-AB。的體積為定值

C.過點(diǎn)尸平行于平面48。的平面被正方體ABCO-4AG2截得的多邊形的面積為君

D.直線尸4與平面48。所成角的正弦值的范圍為岑，豐

8.（2023?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知正四面體ABC。的棱長為3,其外接球的球心為。.點(diǎn)E滿足

A￡=2AB（O<2<1）,過點(diǎn)E作平面a平行于AC和50,設(shè)。分別與該正四面體的棱3C、CD、DA相交

于點(diǎn)尸、G、H,則（）

A.四邊形￡FGH的周長為定值6

B.當(dāng)2時(shí)，四邊形EFG”為正方形

C.當(dāng)時(shí)，。截球。所得截面的周長為如"

D.32e（0,1）,使得四邊形EFG”為等腰梯形

9.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體A8C￡?-44C12中，點(diǎn)尸滿足。尸=,

Ae[0,l],we[0,1],則（）

A.當(dāng)彳=〃時(shí)，BP1AQ

B.當(dāng)〃=；時(shí)，三棱錐G-PB。的體積為定值

C.當(dāng)幾+〃=1時(shí)，PC+PB的最小值為+6

D.當(dāng)分+〃2=1時(shí)，存在唯一的點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到A3的距離等于到。R的距離

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W03體積、面積、周長、距離最值與范圍問題

10.（2022?乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.1B.1C.BD.克

3232

11.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3蒯3如，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[―,—C.[―,—]D.[18,27]

44443

12.（2023?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中）已知四面體ABCD的所有棱長均為分別為棱

的中點(diǎn)，尸為棱A3上異于A2的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論:

①線段MN的長度為1；②點(diǎn)C到面MFN的距離范圍為4)

③，周長的最小值為0+1；④的余弦值的取值范圍為

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知棱長為2的正方體43。-4月￡2，棱。2中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)P、Q、

R分別滿足：點(diǎn)P到異面直線BC、G2的距離相等，點(diǎn)。使得異面直線A。、3c所成角正弦值為定值等，

點(diǎn)R使得/&RB=7.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)恰好在正方體側(cè)面CDDG內(nèi)時(shí)，則多面體RMPQQ體積最小值為

A5忘R忘「亞nV2

A.---D.--C.D.--------

12426

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■k題型04立體幾何中的交線問題

14.（2023?四川成都?高三校聯(lián)考期末）在正方體A3CD-A耳GA中，E為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面

與平面CGE的交線為機(jī)，則直線機(jī)與AC所成角的余弦值為（）

A.1B.@C.叵D.正

2255

15.（2023?河北保定?高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐。-ABC1的所有棱長均為2,以2。為直徑的球面與ABC

的交線為3則交線L的長度為（）

人2百兀D46兀c2述兀c46兀

A.D.C,U.

9999

16.（2023?安徽?統(tǒng)考一模）安徽徽州古城與四川闿中古城、山西平遙古城、云南麗江古城被稱為中國四大

古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個(gè)正方體-4月￡。.已知該正方體中，點(diǎn)瓦尸

分別是棱M,Cq的中點(diǎn)，過〃,E,尸三點(diǎn)的平面與平面ABCD的交線為I，則直線/與直線ADy所成角為（）

一^型05空間線段以及線段之和最值問題

17.（2023?河北?高一校聯(lián)考期末）已知四棱錐尸-ABCD的底面ABC。是邊長為2的正方形，上4,底面

ABCD,PA=4也,則四棱錐尸-MCD外接球表面積為；若點(diǎn)。是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則間|+|。同

的最小值為.

18.（2023?浙江紹興?高一統(tǒng)考期末）直三棱柱ABC-A4G中，ZB=j,AB=BB】=BC=1,P、。分

別為線段AC、A4的動(dòng)點(diǎn)，則△用PQ周長的最小值是.

19.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖，在

鱉腌RISC中，上4,平面ABC,ABJ.BC,AB=3,BC=yf5,B4=4,D,E分別為棱PC,P8上一點(diǎn)，

則AE+DE的最小值為.

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R

D

20.（2023?北京門頭溝?統(tǒng)考一模）在正方體AB。-A46A中，棱長為1,已知點(diǎn)P、。分別是線段4R、

AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

①尸。與與C垂直；

②直線尸。與直線8不可能平行；

③二面角P-AC-0不可能為定值；

④則|PQ|+|QC|的最小值是:

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

?題型06空間角問題

21.（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱A8C-A4G,AC=A\,E,尸分別是棱8C,4G上的點(diǎn).記EF

與A4,所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為￡,二面角尸-BC-A的平面角為7,貝U（）

B

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A.滋好/B.鷹hyC.尸轟上aD.磅//?

22.（2022?甲卷）在長方體ABCD-44GA中，已知與￡（與平面ABCD和平面朋耳臺(tái)所成的角均為30。，

則（）

A.AB=2AD

B.AB與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CBj

D.4￡）與平面84GC所成的角為45。

23.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖，斜三棱柱ABC-A4G中，底面，4?C是正三角形，E，￡G分別

是側(cè)棱4vB片,C￡上的點(diǎn)，且AE>CG>8產(chǎn)，設(shè)直線OUC8與平面EFG所成的角分別為名￡,平面印G

與底面A3C所成的銳二面角為凡則（）

A.sin^<sincif+sin/3,cos0<coscr+cos^

B.sin?2sina+sin/?,cos。vcos2+cos4

C.sin。vsina+sin"cos8>cosa+cos4

D.sin^>sincr+sin/?,cos0>cosa+cos/3

24.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）在三棱錐尸-ABC中，頂點(diǎn)尸在底面的射影為ABC的垂心。（。在ABC

內(nèi)部），且尸。中點(diǎn)為M,過AM作平行于BC的截面。，過8M作平行于AC的截面夕，記a,夕與底面

ABC所成的銳二面角分別為4，%,若NPAM=NPBM=6,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若仇=%,則AC=3C

B.若4*&，則tan4?tan%=；

C.?？赡苤禐?

D.當(dāng)。取值最大時(shí)，4=2

25.（2023?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體ABCD-A'3'CZ>'的棱長為3,E為棱A3上的靠近點(diǎn)B的三

等分點(diǎn)，點(diǎn)尸在側(cè)面CC。。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面B'EP與平面A3CZ）和平面CC'DO所成的角相等時(shí)，則。，尸的

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最小值為（）

A3A/10359^107M

5101010

一題型07軌跡問題

26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正方體ABCO-AZ'C'D的棱長為4,E,歹分別為33',CD的中

點(diǎn)，點(diǎn)P在平面中，PF=2小,點(diǎn)N在線段AE上，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①點(diǎn)P的軌跡長度為2萬；

②線段FP的軌跡與平面ABCD的交線為圓??；

③NP的最小值為6qT°；

④過A、E、F作正方體的截面，則該截面的周長為：a+2正

A.4B.3C.2D.1

27.（2023-江西?模擬預(yù)測）已知正方體A2CO-A8GD的棱長為3,點(diǎn)尸在△4。田的內(nèi)部及其邊界上

運(yùn)動(dòng)，且。尸=拒，則點(diǎn)尸的軌跡長度為（）

A.&兀B.27rC.2缶D.3兀

28.（2023?重慶?模擬預(yù)測）已知棱長為3的正四面體A-BCD,P是空間內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，且滿足d上2PD,

E為中點(diǎn)，過點(diǎn)。的平面a〃平面BCE,則平面。截動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成的圖形的面積為（）

A.7TB.2%C.3%D.4%

29.（2023?浙江?模擬預(yù)測）在棱長為百的正方體ABCD-AAG2中，P為側(cè)面3CC圈內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直

線與的夾角為30。，則點(diǎn)尸的軌跡長為；若點(diǎn)A［與動(dòng)點(diǎn)P均在球。表面上，球。的表

面積為.

30.（2023?江蘇無錫?高三期末）正四面體A3CD的棱長為12,在平面BCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，且滿足AP=6石，

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則p點(diǎn)的軌跡是；設(shè)直線AP與直線Be所成的角為e,貝hose的取值范圍為,

一題型08以立體幾何為載體的情境題

31.（2023?河北?高三校聯(lián)考期末）由空間一點(diǎn)。出發(fā)不共面的三條射線。4,OB,OC及相鄰兩射線所

在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為O-ABC.其中。叫做三面角的頂點(diǎn)，面AOB,BOC,CQ4叫做

三面角的面，NAOB,ZBOC,ZAOC叫做三面角的三個(gè)面角，分別記為a,夕，/,二面角A-03-C、

B-OA-C,A-OC-3叫做三面角的二面角，設(shè)二面角A-OC-3的平面角大小為為，則一定成立的是（）

cosa-cos6cos/cosa+cos6cos/

A.cosx=----------------------R.cosx=----------------------

sin/7sin/sin^sin/

sina-sinQsinysina+sm/3smy

C.cosx=------------------—D.cosx=------------------

cos0cosycos尸cos/

32.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)

定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度

用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.則正八面

D.8兀

33.（2023?山西長治?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體/在P處的離散曲

率為1-二-（/。F。2+/。22。3+-+/。/9）其中2，（，=123..,心3）為多面體知的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn),

27r

且平面QFQz，Q2PQ3,……，Q/Qi遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、

正十二面體和正二十面體，若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a,b,c,d,則a,b,c,d的大小關(guān)系是

（）

第9頁共62頁

正四面體正八面體正十二面體正二十面體

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

■題蟄09翻折問題

34.（2023?江蘇南京?高一南京師大附中校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,M為BC

的中點(diǎn)，將沿直線A"翻折成一連接與C和耳。，N為幻D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列

說法中錯(cuò)誤的是（）

A.AM1B,C

B.不存在某個(gè)位置，使得用“〃平面ACN

C.存在某個(gè)位置，使得A片，。

D.A耳與CN的夾角為三

35.（2023?浙江衢州?高一統(tǒng)考期末）在矩形ABC。中，BC=4,/為BC的中點(diǎn)，將和八0。/沿

AM,DM翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)尸，若NAPD=135。，則三棱錐"-7^4。外接球的表面積為（）

A.12TIB.36TIC.（36-16A/2）7TD.（44一16四）兀

36.（2023?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正方形ABCD的邊長為2,現(xiàn)將AADC沿對(duì)

角線AC翻折，得到三棱錐O-ASC.記AC,BC,A￡＞的中點(diǎn)分別為O,M,N,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

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D

DC

N,

、嚴(yán)

AC

M

AB

B

7171

A.與平面所成角的范圍是

MNBOD4,2

三棱錐ABC體積的最大值為逑

B.

3

7171

與所成角的范圍是

C.MNAC452

D.三棱錐。-ABC的外接球的表面積為定值

37.（2023?全國?高三對(duì)口高考）如圖，已知矩形ABC。，AB=1,BC=&.將△AB。沿矩形的對(duì)角線2。

所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，（）

A.對(duì)任意位置，三組直線“AC與BD”，“AB與?！?，“4￡＞與8?！本淮怪?/p>

B.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線8。垂直

C.存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直

D.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線8垂直

參考答案

一題鱉01球與截面面積問題

3兀

1.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知二面角尸-AB-C的大小為彳，球。與直線相相切，且平面尸通

平面ABC截球。的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1、五,則球。半徑的最大可能值為（）

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A.5/2B.2A/2C.3D.V10

【答案】D

【解析】設(shè)點(diǎn)。在平面PAB、平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)分別為M、N,

設(shè)球。切AB于點(diǎn)E,連接ME、NE、MN,如下圖所示：

因?yàn)镺M_L平面ABu平面R4B,則

由球的幾何性質(zhì)可知，OELAB,

因?yàn)镺MOE=O,OM、OEu平面OME,則AB1平面OME,

同理可知，AB2平面QVE,

因?yàn)檫^點(diǎn)￡作直線A3的垂面，有且只有一個(gè)，所以，平面。0E、平面ONE重合,

因?yàn)椤_1_平面R4B,MEu平面則OM_LME,同理可知，ONA.NE,

所以，。、M、E、N四點(diǎn)共圓，

由已知條件可知，ME=1,NE=亞,

因?yàn)槠矫鍻WE,NE、MEu平面OME,則ABLNE,

所以，二面角尸-AB-C的平面角為/AffiN或其補(bǔ)角.

37r

①當(dāng)NMEN=一時(shí)，

由余弦定理可得MN2=ME-+NE2-2ME-WECOS—=1+2-2x1x72x

=5,故MN=也

易知，0E為一MNE外接圓的一條弦，

MN_75

所以，球。半徑0E的最大值即為JWNE外接圓的直徑，即為sin/MEN=方

V

JT

②當(dāng)=一時(shí)，

第12頁共62頁

由余弦定理可得其解=其6+律?-2ME-NEcos-=l+2-2xlxy/2x—=l

42

故肱V=l,

易知，OE為ACVE外接圓的一條弦，

MN，一6

所以，球。半徑0E的最大值即為出外接圓的直徑，即為sin/MENI.

綜上所述，球。的半徑的最大可能值為JQ.

故選：D.

2.（2023?海南?？?海南中學(xué)?？级＃﹤髡f古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個(gè)

圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，Q，&為圓柱上下底面的圓

心，。為球心，所為底面圓。1的一條直徑，若球的半徑〃=2,則平面OEb截球所得的截面面積最小值為

13-14c16

A.2兀B.——71C.---71D.——7T

555

【答案】D

【解析】由球的半徑為人可知圓柱的底面半徑為廠，圓柱的高為2丁，過。作OGLOO］于G,如圖所示:

第13頁共62頁

DO2C

A

O,

則由題可得OG=^X與=2叵

22755

設(shè)平面OEF截得球的截面圓的半徑為｛,

當(dāng)所在底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),

0到平面DEF的距離4VOG,

所以1=產(chǎn)一力=4_力＞4--|=y

所以平面DEF截得球的截面面積最小值為g兀，

故D正確；

故選：D.

3.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三

角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=e,=點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)￡作

球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

,37t2兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

【答案】A

【解析】如圖：

是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圓半徑x'=l.

sin602

由勾股定理得棱錐的高=萬1=1設(shè)球。的半徑為R,

第14頁共62頁

貝I］我=（1-R『+1,解得R=l,

所以|oq|=o,即Q與。重合,

所以當(dāng)過點(diǎn)E作球。的截面垂直于0E時(shí)，截面面積最小，

此時(shí)截面半徑為由E|=立，截面面積為學(xué).

1124

故選：A.

4.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體A3CQ-A5cA中，AB=2,M,N分別為的中點(diǎn),

該正方體的外接球?yàn)榍颉?，則平面AMN截球。得到的截面圓的面積為（）

A.如B.辦c.旦D.巴

5555

【答案】D

【解析】如圖，連接與N,由題意易知MNA用，

AfN=A4,故四邊形A四MW為平行四邊形.

設(shè)用CcBG=H,取耳G的中點(diǎn)K,連接NK,

在Rt—81KN中，B\N=yB,B\K=l,NK=2,

故點(diǎn)K到B\N的距離為半，故點(diǎn)H到B、N的距離為g,

因此圓心0到平面\MN的距離為咚.由題易知球。的半徑R&

故平面AMN截球O得到的截面圓的半徑r=,故截面圓的面積S=無產(chǎn)=g兀.

■題型02體積、面積、周長、角度、距離定值問題

5.（多選題）（2021?新高考I）在正三棱柱ABC-A耳J中，43=44,=1,點(diǎn)P滿足=+,

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其中4e[0,1],〃日0,1],則（）

A.當(dāng)；1=1時(shí)，△用P的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為定值

c.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得產(chǎn)

D.當(dāng)〃=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得平面AB/

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)4=1時(shí)，BP=BC+啊,即CP=〃M；,所以C尸//B用，

故點(diǎn)P在線段CG上，此時(shí)△ABXP的周長為ABX+BtP+AP,

當(dāng)點(diǎn)P為CG的中點(diǎn)時(shí)，的周長為e+夜，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G處時(shí)，△44尸的周長為20+1,

故周長不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+BB],即B]P=/IBC,所以4P/ABC,

故點(diǎn)P在線段BC上，

因?yàn)?G//平面ABC，

所以直線B￡上的點(diǎn)到平面A,BC的距離相等，

又△ABC的面積為定值，

所以三棱錐P-48c的體積為定值，故選項(xiàng)3正確；

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對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，取線段3C,8c的中點(diǎn)分別為M,,連結(jié)MM,

因?yàn)?+,即M尸=〃84，所以M尸//B瓦，

則點(diǎn)P在線段必加上，

當(dāng)點(diǎn)P在M處時(shí)，A,M}IBjCp4Ml

又B.CJBtB=Bt,所以A必1平面BBgC,

又u平面BBC。，所以即4尸_1,3尸，

同理，當(dāng)點(diǎn)P在〃處，\PLBP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)〃=g時(shí)，取CG的中點(diǎn)，，的中點(diǎn)。，

因?yàn)?尸=+,§PDP=ABC,所以。尸//BC,

21

則點(diǎn)P在線的￡>2上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)2處時(shí)，取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)A[E,BE,

因?yàn)锽EJ_平面ACGA，又ADU平面ACGA，所以ARJ.BE,

在正方形ACGA中，AD^A.E,

又BEp]AE=E,BE,AEu平面ABE,

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故AD】_L平面ABE，又ABu平面ABE,所以ABLAR,

在正方體形AB4A中，AB_LA4，

又A￡>i「AB]=A,AD1；Agu平面A4R,所以_L平面ABQ],

因?yàn)檫^定點(diǎn)A與定直線AtB垂直的平面有且只有一個(gè)，

故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A3,平面尸，故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）正三棱柱ABC-A4G的各條棱的長度均相等，。為你的中點(diǎn)，M,N

分別是線段8月和線段CG上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=GN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是

（）

A.在DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面。MN_L平面8CG4

C.三棱錐A-OMV的體積為定值

D..OWN可能為直角三角形

【答案】ABC

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【解析】取MN、BC的中點(diǎn)。、E,連接0。、OE、AE.

對(duì)于A選項(xiàng)，BBJ/CQ且BBi=CQ,BM=C[N,

:.BM+CN=ClN+CN=CCl=AA1,^BM//CN//A^,

易知四邊形3CW為梯形或平行四邊形，

因?yàn)?。、E分別為MN、3c的中點(diǎn)，所以，OEHBMHCN,則。E7/AD,

gM+CjV

>OE==-CCl=-AAi,

222

QO為4A的中點(diǎn)，，Ar>=:44,=OE,

所以，四邊形AD0E為平行四邊形，.?.OD〃AE,

0￡>O平面ABC,AEu平面ABC,；.OD〃平面ABC,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，ABC為等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，則AELBC,

2耳_1_平面A8C,

QBCI=8,二AE，平面BCGBi,ODHAE,OD，平面BCC國,

ODu平面DMN,因此，平面Z)A/N_L平面BCC4,B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椤癆DM■的面積為定值，

CCJ/AA，。(^^平面抽耳？，A^u平面A4t耳8,所以，CG〃平面9片B,

因?yàn)镹eCC”所以，點(diǎn)N到平面4418n的距離為定值，進(jìn)而可知，三棱錐A-DMN的體積為定值，C選

項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，8,平面BBCC，%乂匚平面8月。。，，0。，出，

。為朋N的中點(diǎn)，則DM=OV,

若，DWN為直角三角形，則DMN為等腰直角三角形，則。D=OM=ON=gMN,

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設(shè)正三棱柱ABC-4與￡的棱長為2,則?！?gt;=4￡1=2$也60=百，則MV=26,

因?yàn)镸NVBG=2及，散MN豐2乖,所以，二。MN不可能為直角三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

7.（2023?湖南?邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體A3CD-A瓦GQ中，P為線段

上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則以下結(jié)論正確的有（）

B.三棱錐尸的體積為定值

C.過點(diǎn)尸平行于平面4出。的平面被正方體AB8-AAG2截得的多邊形的面積為指

D.直線尸4與平面48。所成角的正弦值的范圍為岑，豐

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，三棱錐A-8DG外接球即為正方體A8C。-的外接球，

正方體ABC。-ABIGQ的外接球直徑為2R=A/L

故三棱錐A-BOG外接球的表面積為4萬尺2=3%,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锽即/。2且故四邊形B8QD為平行四邊形，

所以，BQJIBD,QgRa平面ABD,5Z）u平面Af。，「.BQi〃平面ABD,

PeBR,所以點(diǎn)p到平面AXBD的距離等于點(diǎn)Dx到平面的距離，

5"叩=/4A,DD]=—,Vp_\BD==^B-\DDX=§S"ODj"AB=g，B對(duì)；

對(duì)于c選項(xiàng)，4片//8且A4=CQ,則四邊形Age。為平行四邊形，

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所以，AD“B,C,

月。0平面48。，A|Du平面所以，BC〃平面ABD,

又因?yàn)橛肦〃平面A?。，BCcBR=Bi，所以，平面4cA〃平面AB。,

所以，過點(diǎn)尸平行于平面48。的平面被正方體A8CD-A4GD截得的多邊形為B.CD,,

易知.BCR是邊長為行的等邊三角形，該三角形的面積為曰*（后『=*，C錯(cuò)；

設(shè)點(diǎn)尸到平面48。的距離為"由VP_A：BD=以“皿=g知，

l

點(diǎn)P到平面ABD的距離為h=等吧=一3x言=乎，

~2

當(dāng)點(diǎn)尸在線段4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)?與=AR,若尸為4。的中點(diǎn)時(shí)，2,4。一（尸a）.=1用烏=變,

X*/min2112

當(dāng)點(diǎn)尸為線段8目的端點(diǎn)時(shí)，（9）1mx=1，即日WPAW1，

設(shè)直線尸4與平面48。所成角為e,Sin6=ge冬恪,D正確.

故選：ABD.

8.（2023?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知正四面體ABCD的棱長為3,其外接球的球心為。.點(diǎn)E滿足

AE=2AB（O<2<1）,過點(diǎn)E作平面a平行于AC和3D,設(shè)a分別與該正四面體的棱2C、CD、DA相交

于點(diǎn)f、G、則（）

A.四邊形EFGH的周長為定值6

B.當(dāng)2時(shí)，四邊形E/GH為正方形

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C.當(dāng)2=g時(shí)，a截球。所得截面的周長為加萬

D.32€（0,1）,使得四邊形EFG”為等腰梯形

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳C//平面EFGH,ACu平面ABC,平面ABC1平面EFGH,

EF//AC,同理可得G"〃AC,所以，EFHGH,同理￡W〃PG,

所以，四邊形EFGH為平行四邊形，則EF=G〃，EH=FG,

因?yàn)樘?/AC,則變=殷=1-2,同理型=四=2,

ACABBDAB

所以，EF+EH=3（l-2）+32=3,因此，四邊形E/G"的周長為定值6,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，取線段血的中點(diǎn)連接AM、CM,

因?yàn)?Af為3。的中點(diǎn)，所以，AMVBD,同理9_LCM,

因?yàn)锳McCVf=Af,所以，8￡>_L平面ACM,ACu平面ACM,:.AC±BD,

當(dāng)a=：時(shí)，則所=gAC=；BO=E”，

因?yàn)镋F//AC,EH//BD,ACLBD,.-.EF±EH,

所以，四邊形EFGH為正方形，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，將正四面體ABCD補(bǔ)成正方體APBQ-NCTD,

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則正方體APBQ-NCTD的棱長為AP=@AB=還，

22

該正方體的體對(duì)角線為47=屬產(chǎn)=孚，

所以，線段4T的中點(diǎn)。為正四面體ABCD的外接球球心，則球。的半徑為R=手,

4

因?yàn)镻BHDN且PB=DN,則四邊形P3DN為平行四邊形，所以，BD//PN,

因?yàn)镋F//AC,后/仁平面""，ACu平面AP。V,.?.EF〃平面APCN,

因?yàn)镋HHBD,則EH//PN,因?yàn)?平面APCN,PNu平面APCN,,即〃平面APCN,

因?yàn)轷臙H=E,所以，平面EFG"〃平面APCN,

設(shè)平面5FG”分別交棱CT、PB、AQ、DN于點(diǎn)、I、J、K、L,連接〃、JK、KL、LI,

因?yàn)槠矫鍱FGH//平面APCN,平面APBQ，平面EFGH=JK,平面AP8Q1平面APCN=AP,JK//AP,

同理〃〃CN,因?yàn)锳PHCN,JK//IL,同理〃〃工K,

所以四邊形〃KL為平行四邊形，

AKAE11F)

JK//AP,AP//QB,則JK〃Q8,則〒=弁=胃，...LQ^±,

AQAB3AK=3A=2

因?yàn)辄c(diǎn)。到平面APCN的距離為：AQ=W，

易知平面IJKL與平面APCN之間的距離為AK=—,

2

所以，球心。到平面EFGH的距離為1=述-也=",

424

所以，球。被平面E打汨所截的圓的半徑為r=^/F%?=恒，

2

因此，當(dāng)力=:時(shí)，/截球。所得截面的周長為2b=A&,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，四邊形4GH必為平行四邊形，D錯(cuò).

故選：ABC.

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9.（2023-江蘇蘇州?模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體ABCO-4耳中，點(diǎn)尸滿足。尸=幾￡）人,

Ae[0,l],we[0,1],則（）

A.當(dāng)彳=〃時(shí)，BP±ACl

B.當(dāng)〃=；時(shí)，三棱錐G-PB。的體積為定值

C.當(dāng)幾+〃=1時(shí)，PC+PB的最小值為+6

D.當(dāng)分+〃2=1時(shí)，存在唯一的點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到A3的距離等于到。R的距離

【答案】ABD

【解析】當(dāng)時(shí)，P的軌跡為線段DA，連接AC,即，則ACL8。,

又GC_L平面A8C￡），GC_L8￡>,￡CcAC=C,

BD_L平面ACC],BD_LACX,

同理可得AC]_LD\,D\nBD=D,

故AG，平面BDA，BPu平面BDA，所以BPLAG，故A正確;

當(dāng)〃=g時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為線段E尸（瓦尸為4。42的中點(diǎn)），直線EF//平面BCC4,故三棱錐G-尸耳C

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的體積分.9c為定值，故B正確;

當(dāng)彳+〃=1時(shí)，尸點(diǎn)軌跡為線段RA,將三角形CQA旋轉(zhuǎn)至平面RA2G內(nèi)，可知CP+P32CB,由余弦定

理可得C8=Jl+2+2xlx&x]=+"，故C錯(cuò)誤;

當(dāng)力+〃2=1時(shí)，尸點(diǎn)軌跡為以