中考三輪沖刺訓(xùn)練胡不歸問題專題訓(xùn)練（含答案）

九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練胡不歸問題專題訓(xùn)練一、問題背景從前，有一個小伙在在外地求學(xué)，得知父親病危的消息后便日夜趕路回家。然而，當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親的面前時，老人剛剛咽氣了。人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃地叨念：“胡不歸？胡不歸？”早期的科學(xué)家曾為這則古老的傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線：如下圖（1），A是出發(fā)地，B是目的地；直線l是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)是沙地。為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB。但是，他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快的這一因素。如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長一些，但是速度可以加快），是可以提前抵達(dá)家門的。那么，這合適的路線應(yīng)該是哪條路線呢？顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上行走的速度值，可以在驛道上選定一點(diǎn)C，小伙子從A走到點(diǎn)C，然后從點(diǎn)C折往點(diǎn)B，可望最早到達(dá)點(diǎn)B。二、典型習(xí)題（一）、選擇題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點(diǎn)，連接AP、BP，則13AP+BPA．7 B．52 C．4+10 2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），C（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．若P為y軸上一個動點(diǎn)，連接AP，則22A．2 B．2 C．22 3．如圖，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個動點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則22AP+PBA．3 B．3 C．1 D．2第3題圖第3題圖第2題圖第1題圖第2題圖第1題圖（二）、填空題4．如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，則AC+55BC的最大值為5．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA=45，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為線段BD上的動點(diǎn)，則PC+356．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．第5題圖第6題圖第4題圖第5題圖第6題圖第4題圖（三）、解答題7．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC邊上一個動點(diǎn)，連接AE，AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N，連接EN、CN．（1）求證：EN＝CN；（2）求2EN+BN的最小值．8．如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC＝30°延長BC至D使CD＝BC，連接AD．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）若E為線段CD的中點(diǎn)，且AD＝8，點(diǎn)P為線段AC上一動點(diǎn)，連接EP，BP．求EP+129．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O(shè)A為半徑作圓，P為弧AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連接OP、PA．（1）求證：∠POA＝2∠PAQ；（2）連接PB，求PB+210．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，則PD+12PC的最小值為，PD?12（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求PD+12PC的最小值，以及PD?11．如圖，已知拋物線y=k8（x﹣2）（x+4）（k為常數(shù)，且k大于0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線第一象限的圖象上，且∠（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，設(shè)F是線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BF，一動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BF以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時最少，最少用時是多少？12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C，D，E，F(xiàn)四個頂點(diǎn)按逆時針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動，且CD=2，連結(jié)AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC；（2）在正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，求BD+2213．拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸分別交于A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P，在y軸上找一點(diǎn)Q，使PQ+1010CQ的值最小，求出最小值，以及此時Q14．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，OA＝6，⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)，連接AP，BP，求AP+1215．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)．（1）求AM+BM+CM的最小值；（2）求AM+12參考答案一、選擇題題號123答案DCA1．【解答】解：在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴PCCA∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM﹣△ACP，∴PMPA∴MP=1∴13∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝6，∴BM=1∴13AP+BP≥則13AP+BP的最小值為37故選：D．2．【解答】解：連接BC，AP，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，連接AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，∵C（﹣3，0），B（0，3），∴OC＝OB，∴∠OBC＝45°，∴PG=22∴22BP+AP=PG+AP≥AG≥∴22BP+AP的最小值為∵A（1，0），C（﹣3，0）∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，AC＝4，∴AH=22AC∴22BP+AP的最小值為故選：C．3．【解答】解：以AP為斜邊在AP的下方作等腰直角三角形ADP，則AD＝DP=22∴22AP+PB＝DP+PB∴當(dāng)D，P，B在一條直線上時，22AP+PB∵△ADP是等腰直角三角形，∴∠DAP＝45°．∵∠BAC＝15°，∴∠DAP＝60°．在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=BD∴BD＝AB?sin60°＝2×3∴22AP+PB的最小值為3故選：A．二、填空題、4．【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1所示：∵tan∠C＝2，在Rt△BCD中，設(shè)DC＝x，則BD＝2x，由勾股定理可得BC=5x∴DCBC=x∴AC+5延長DC到E，使EC＝CD＝x，連接BE，如圖2所示：∴AC+55∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，則∠E＝45°，在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°，由輔助圓﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圓，如圖3所示：由圓周角定理可知，點(diǎn)E在⊙O上運(yùn)動，AE是⊙O的弦，求AC+55BC的最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦AE過圓心O∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝5，∴BE＝AB＝5，則由勾股定理可得AE=AB2+BE故答案為：525．【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sinA=BDAB=4∴BD＝4，由勾股定理得AD=A∴sin∠ABD=AD∴EP=3∴PC+35PB＝PC+即點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線時，PC+35∴PC+35PB的最小值為∵S△ABC=1∴4×4＝5×CH，∴CH=16∴PC+35PB的最小值為故答案為：1656．【解答】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD=1∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF=1∴PA+2PB＝2（12PA+PB）＝2（PF+PB）＝2在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×22=∴（PA+2PB）最小＝2BF＝42，故答案為：42．三、解答題7．【解答】解：（1）連接AN，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于直線BD軸對稱，∴AN＝CN，∵AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N，∴AN＝EN，∴EN＝CN；（2）過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，連接AN，AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BN＝2NG，∵AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N，∴EN＝AN，∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH，∴2EN+BN的最小值為2AH，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴AH＝AB?sin60°=3∴2EN+BN的最小值為23．8．【解答】（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AC⊥BD，∠B＝60°，∴AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等邊三角形．（2）如圖，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′，∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，∴PF=1∴PE+1∴當(dāng)E、P、F共線時，即EF′⊥AB時，PE+PF最短，最小值為線段EF′，∴EB=BC+12∵∠B＝60°，∴∠BEF′＝30°，∴BF′=∴EF′=E∴EP+12AP9．【解答】（1）證明：延長AO，交圓O于點(diǎn)Q，連接PQ，∵AQ為圓O的直徑，∴∠QPA＝90°，即∠QPO+∠OPA＝90°，∵正方形OABC，∴∠OAB＝90°，即∠PAB+∠OAP＝90°，∵OP＝OA，∴∠OPA＝∠OAP，∴∠QPO＝∠OAP，∵OP＝OQ，∴∠QPO＝∠PQO，∵∠POA為△OPQ的外角，∴∠POA＝2∠QPO，則∠POA＝2∠PAQ；（2）解：延長QP到F，使PF＝PQ，在PF下方作正方形PFGN，連接PG，此時PG=2PF=2要使PB+2PQ最小，即為BP+PG最小，如圖所示，當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線，且在OB上時最小值為BG，∵正方形OABC的邊長為2，∴OB=2OA＝22∵OP＝OA＝2，∴PB＝OB﹣OP＝22?2，PQ＝PF=22PB∴PQ=2PF＝22?2，即BG＝4則PB+2PQ的最小值為4210．【解答】解：（1）如圖1，在BC上截取BE=32∴BEBP∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴PEPC∴PE=12∴PD+12PC＝PD+PE≥PD?12PC＝PD﹣PE≤∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE=CD∴PD+12PC的最小值為：152，此時點(diǎn)PPD?12PC的最大值為：152，此時點(diǎn)P故答案為：152，15（2）如圖2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延長線于F，∴BEBP∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴PEPC∴PE=12∴PD+12PC＝PD+PE≥PD?12PC＝PD﹣PE≤在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4?cos60°＝2，DF＝4?sin60°＝23，在Rt△DEF中，DF＝23，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE=5∴PD+12PC的最小值為：37，此時點(diǎn)P在PD?12PC的最大值為：37，此時點(diǎn)P在11．【解答】解：（1）拋物線y=k8（x﹣2）（令y＝0得，（x﹣2）（x+4）＝0，解得x＝2或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∴OA＝4，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，∴OE＝5，AE＝9，∵∠BAD＝30°，∴DE＝tan30°×AE＝9×33=∴D（5，33），∵點(diǎn)D在拋物線y=k8（x﹣2）（x∴k8（x﹣2）（x+4）＝33∴k=8∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=39（x﹣2）（即y=3（2）過點(diǎn)D作x軸的平行線，過點(diǎn)B作BH∥y軸交平行線于H，交AD于F，∴∠HDF＝∠DAB＝30°，∴HF=12由題意知：動點(diǎn)M的運(yùn)動路徑為BF+DF，∴點(diǎn)M的運(yùn)動時間t＝BF+12DF＝BF+根據(jù)垂線段最短得：t的最小值為BH的長，即t＝33秒，此時F的橫坐標(biāo)為2，設(shè)AD的解析式為：y＝kx+b，將（﹣4，0），（5，33）代入得：?4k+b=05k+b=3解得：k=3∴直線AD的解析式為：y=3當(dāng)x＝2時，y＝23，∴F（1，23）．∴當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，23）時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時最少，為33秒．12．【解答】（1）證明：∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠FCD＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：如圖．取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．∵CD=2，CA＝2，CM∴CD2＝CM?CA，∴CDCA=∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴DMAD∴DM=22∴BD+22AD＝BD+DM≥∴BD+22AD的最小值為∵BM=C∴BD+22AD的最小值為13．【解答】解：如圖，連接AC，過點(diǎn)Q作QD⊥AC于D，由x2﹣4x+3＝0得，x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），P（﹣3，0），當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C（0，3），∴AC=O∴sin∠ACO=OAAC=10∴DQ=1010∴PQ+1010CQ＝PQ+∴當(dāng)點(diǎn)P、Q、D共線時，PQ+1010∵∠PDA＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠APD+∠CAO＝90°，∴∠APD＝∠ACO，∴PD＝PA?cos∠APD＝4?cos∠ACO＝4×3∴PQ+1010CQ的最小值為：∵OP＝OC，∴△POQ≌△COA（ASA），∴OQ＝OA＝1，∴Q（0，1）．14．【解答】