分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（第2課時）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性

第六章

計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第二課時復(fù)習(xí)回顧分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點區(qū)別注意都是用來計算“完成一件事”的不同方法種數(shù)的問題類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整兩個原理的異同點：分類完成，類類相加分步完成，步步相乘任何一類中的任何一種方法都能獨立完成這件事只有依次完成每一個步驟，才能完成這件事（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）解答計數(shù)問題的一般思路：完成一件什么事怎么完成這件事有什么要求方法的分類過程的分步利用加法原理進(jìn)行計數(shù)利用乘法原理進(jìn)行計數(shù)【例3】書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?解：(1)根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；(2)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N＝4×3×2＝24；(3)需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本,有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本,有3×2=6種方法；根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答:從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.注：有些較復(fù)雜的問題往往需要先“分類”，再在每一類中“分步”,綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理．【例3】書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法?【例4】要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法?(法一)分步乘法第1步：選1幅掛左邊(3種：甲、乙、丙)第2步：選1幅掛右邊(各2種選擇)(法二)分步乘法第1步：選出2幅畫(3種：甲乙、甲丙、乙丙)第2步：對2幅畫確定左右(各2種掛法)3×2=6(法三)分類加法第1類：甲在左(2種方法：甲乙、甲丙)第2類：乙在左(2種方法：乙丙、乙甲)第3類：丙在左(2種方法：丙甲、丙乙)2+2+2=63×2=6【例5】給程序模塊命名，需要用3個字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后兩個字符要求用數(shù)字1~9,最多可以給多少個程序模塊命名？分析:

要完成的一件事是給一個程序模塊命名,可以分三個步驟完成:第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，而首字符又可以分為兩類.由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是13×9×9=1053,解:由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13.后兩個字符從1~9中選，因為數(shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.即最多可以給1053個程序模塊命名.【例6】電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成．(1)1個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符?析：要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”【例6】電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成．(2)計算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示?解：由(1)知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個.

考慮2個字節(jié)能夠表示多少個字符.

前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方法．

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是因此要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示．[練習(xí)7]P7-5.由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個三位數(shù)：①各位上的數(shù)字可以重復(fù)：②各位上的數(shù)字不可以重復(fù)：5×5×5=125(種)5×4×3=60(種)[練習(xí)8]用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A．144個 B．120個

C．96個 D．72個解：①首位為5，末位為0：4×3×2＝24(個)；②首位為5，末位為2：4×3×2＝24(個)；③首位為5，末位為4：4×3×2＝24(個)；④首位為4，末位為0：4×3×2＝24(個)；⑤首位為4，末位為2：4×3×2＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個)．故選B．[練習(xí)9]P7-4.在1，2，…，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個？析：被5除余2的數(shù)為5n+2(n∈N)，令1≤5n+2≤500，得0≤n≤99.共100個【例7】

計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)．

一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．(1)圖6.1-4是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?(2)為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)．你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎?在實際測試中,程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱,即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.①先分別單獨測試5個模塊,以考察每個子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.②再測試各個模塊之間的信息交流是否正常,只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常,需要的測試次數(shù)為3×2=6.如果每個子模塊都工作正常,并且各個子模塊之間的信息交流也正常,那么整個程序模塊就工作正常.這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178.【例8】通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的、省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號，如圖6.1-5所示.其中，序號的編碼規(guī)則為：(1)由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個英文字母組成；(2)最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌？析：①無字母：10×10×10=1000(種)②1個字母：(24×10×10×10)×5=1200000(種)③2個字母：(24×24×10×10×10)×10=5760000(種)共1000+1200000+5760000=7060000(種)析：按個位數(shù)分類，共9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(種)2.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個？3.某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進(jìn)入商場，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式？析：先選進(jìn)入的門，再選出去的門，共6×5=30(種)4.任意畫一條直線，在直線上任取n個分點.(1)從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段？(2)從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量？2.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線？析：共2×3+4×2=14(條)

用0，1，2，3，4五個數(shù)字.(1)可以排出多少個不同的三位數(shù)字的密碼？例

1三位數(shù)字的密碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，故共可排成5×5×5=125(個)不同的三位數(shù)字的密碼.步步高P5(2)可以排成多少個不同的三位數(shù)？三位數(shù)的百位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮百位的排法，除0外共有4種排法，十位、個位都可以排0，有5種排法，因此，共可排成4×5×5=100(個)不同的三位數(shù).(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？能被2整除的數(shù)即偶數(shù)，個位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是個位數(shù)字為0，則有4×3=12(種)排法；一類是個位數(shù)字不為0，則個位有2種排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3種排法，十位有3種排法，則有2×3×3=18(種)排法.故共有12+18=30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

由本例中的五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種取法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個數(shù)，在剩下的3個數(shù)中任取一個，有3種取法；第三步、第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位，有3種排法，再排十位，有2種排法.由分步乘法計數(shù)原理知，共能組成2×3×3×2=36(個)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).延伸探究(2)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為A.243 B.252

C.261

D.279√0，1，2，…，9共能組成9×10×10=900(個)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648(個)，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252(個).

(1)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進(jìn)行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有A.360種

B.420種

C.369種

D.396種例

2√方法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的一個班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4=16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4=96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他三個班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4=256(種).綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369(種).方法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即5×5×5×5-4×4×4×4=369(種)方案.

(1)如圖所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有

種不同的涂法.例

3①若A，C涂色相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2=12(種)不同的涂法.②若A，C涂色不相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1=6(種)不同的涂法.所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12+6=18(種)不同的涂法.18(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在三塊不同土質(zhì)的土地上，其中黃瓜必須種植，則有

種不同的種植方法.

方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2=6(種)不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2=6(種)不同的種植方法.故共有6×3=18(種)不同的種植方法.方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，共有4×3×2=24(種)不同的種植方法，其中不種黃瓜有3×2×1=6(種)不同的種植方法，故共有24-6=18(種)不同的種植方法.18

反思感悟(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步乘法計數(shù)原理計算.(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理計算.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn).涂色與種植問題的四個解答策略

(1)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為

.跟蹤訓(xùn)練

3按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3=180(種)不同的染色方法；第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2=240(種)不同的染色方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有180+240=420(種)不同的染色方法.420(2)如圖，一個地區(qū)分為5個區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有______種(以數(shù)字作答).72作業(yè):P11習(xí)題6.13---126.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第三課時

習(xí)題6.13.如圖，要讓電路從A處到B處接通，可有多少條不同的路徑？4.用1，5，9，13中的任意一個數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個數(shù)作分母，可構(gòu)成多少個不同的分?jǐn)?shù)？可構(gòu)成多少個不同的真分?jǐn)?shù)？析：先定分子，再定分母，可構(gòu)成4×4=15個不同的分?jǐn)?shù)；按分子分類，可構(gòu)成4+3+2+1=10個不同的真分?jǐn)?shù)；析：先定斜率，再定縱截距，共4×4=16條直線；6.(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在A={0，1，2，3，4，5}內(nèi)取值的不同點共有多少個？(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合B={1，3，5，7}內(nèi)取值，y軸上的截距在集合C={2，4，6，8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條？析：先選橫坐標(biāo)，再選縱坐標(biāo)，共6×6=36個不同的點.7.一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有0～9共10個數(shù)字.現(xiàn)最后一個撥號盤出現(xiàn)了故障，只能在0～5這6個數(shù)字中撥號，這4個撥號盤可組成多少個四位數(shù)字號碼？析：10×10×10×6=6000個四位數(shù)字號碼8.(1)4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數(shù)是是34還是43？[變式]4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每個運動隊只選一名學(xué)生參加，不同的結(jié)果有____種.析：人選運動隊，每人有3種選擇，共3×3×3×3=34=81析：運動隊選人，每隊有4種選擇，共4×4×4=43=64(2)3個班分別從5個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53？析：各班選景點，每班有5種選擇，共5×5×5=53=125[變式]火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有_____種.510析：