2023-2024學(xué)年安徽省皖北名校高一下學(xué)期階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省皖北名校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得，故其定義域為.故選：C.2.如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（）A.一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成B.一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成C.一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成D.一個球、一個五棱柱、一個棱臺構(gòu)成【答案】B【解析】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.故選：B.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是函數(shù)圖象的最高點，是的圖象與軸的交點，則的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意以及題圖可知，所以.故選：B.4.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)周期為 B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)關(guān)于點對稱【答案】D【解析】對于A，由于，，因此，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯誤；對于C，由于，因此函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，C錯誤；對于D，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，D正確.故選：D.5.已知是兩個不共線的向量，向量共線，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】向量不共線，則，由共線，得，，于是，則且，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C.6.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（）A. B. C.1s D.【答案】D【解析】由題意得，，故函數(shù)的周期為，，可得，令，解得，故總時間為，綜上在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故選：D.7.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因為，，所以，，為外接圓的半徑，所以.故選：C.8.已知是方程的兩個解，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，分別作出兩個函數(shù)的圖像，如圖所示：不妨設(shè)，則由圖像知，則，兩式相減得，因為為減函數(shù)，所以，即0，則.因為，所以，可得，則，即，因為，所以.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.若，則的充要條件是D.的充要條件是【答案】BD【解析】對于A，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件，故A項錯誤；對于B，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故充分性不成立；若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故B項正確；對于C，當(dāng)時，，所以成立；當(dāng)時，所以成立；當(dāng)時，也成立，所以的充分不必要條件是，故C項錯誤；對于D，等價于，即，所以，故的充要條件是，故D項正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（）A. B.是周期函數(shù)C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】BC【解析】對于AB，因為是偶函數(shù)，所以，即，又是定義在上奇函數(shù)，所以，于是，即，所以是以4為一個周期的周期函數(shù)，故A錯誤，B正確；對于C，設(shè)，則的定義域為，因為，所以，則，即，所以為偶函數(shù)，故C正確；對于D，設(shè)，則的定義域為，因為，所以，則，即，所以為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.11.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，，且點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，若，則（）A. B.的最大值為C.最大值為9 D.【答案】ACD【解析】因為，AD的中點為O，所以，則，故A項正確；，，則，故D項正確；如圖，以點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，且在x軸的下半部分，所以設(shè)，，則，，，所以，因為，所以，所以當(dāng)時，取得最大值9，故C項正確；因為，所以，即，所以，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最大值，故B項錯誤．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則的共軛復(fù)數(shù)為______．【答案】【解析】依題意，，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為：.13.當(dāng)時，的最小值為____________．【答案】【解析】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.14.17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（JohannesKepler）曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖，在其中一個黃金中，，根據(jù)這些信息，可得__________.【答案】【解析】在等腰中，，則，由正弦定理得，故，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知，求的值；（2）求值：.解：（1）由于，則，故，因為，所以.（2）.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求圖象的對稱中心的坐標(biāo)；（3）若，，求的值.解：（1）由函數(shù)，令，可得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由函數(shù)，令，解得，所以圖象的對稱中心的坐標(biāo)為.（3）由，可得，則，因為，所以，所以，所以.17.某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，且要求獎金不低于7萬元，不超過年產(chǎn)值的.（1）若該地方政府采用函數(shù)作為獎勵模型，當(dāng)本地某新增小微企業(yè)年產(chǎn)值為92萬元時，該企業(yè)可獲得多少獎金？（2）若該地方政府采用函數(shù)作為獎勵模型，試確定滿足題目所述原則的最小正整數(shù).解：（1）當(dāng)時，，因為，所以，符合要求，故該企業(yè)可獲得10.5萬元獎金.（2），因為為正整數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，由題意知對時恒成立，故，解得，又，即在時恒成立，即所以正整數(shù)，綜上，故最小正整數(shù)的值為158.18.已知集合.（1）求；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）因為，由，得，所以，即，解得，所以，所以.（2）當(dāng)時，因為單調(diào)遞減，所以，因為對任意的恒成立，所以當(dāng)時，則恒成立，即，即，因為，所以解得；當(dāng)時，則恒成立，即，因為，所以解得.綜上，的取值范圍是.19.“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，設(shè)點為的費馬點，求；（3）設(shè)點為的費馬點，，求實數(shù)的最小值．解：（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1），所以三角形的三個角都小于，則由費馬點定義可知：，設(shè)，由得：，整理得，則.（3）點為的費馬點，則，設(shè)，則由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時，等號成立，又，即有，解得或（舍去），故實數(shù)最小值為.安徽省皖北名校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得，故其定義域為.故選：C.2.如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（）A.一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成B.一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成C.一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成D.一個球、一個五棱柱、一個棱臺構(gòu)成【答案】B【解析】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.故選：B.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是函數(shù)圖象的最高點，是的圖象與軸的交點，則的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意以及題圖可知，所以.故選：B.4.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)周期為 B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)關(guān)于點對稱【答案】D【解析】對于A，由于，，因此，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯誤；對于C，由于，因此函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，C錯誤；對于D，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，D正確.故選：D.5.已知是兩個不共線的向量，向量共線，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】向量不共線，則，由共線，得，，于是，則且，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C.6.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（）A. B. C.1s D.【答案】D【解析】由題意得，，故函數(shù)的周期為，，可得，令，解得，故總時間為，綜上在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故選：D.7.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因為，，所以，，為外接圓的半徑，所以.故選：C.8.已知是方程的兩個解，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，分別作出兩個函數(shù)的圖像，如圖所示：不妨設(shè)，則由圖像知，則，兩式相減得，因為為減函數(shù)，所以，即0，則.因為，所以，可得，則，即，因為，所以.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.若，則的充要條件是D.的充要條件是【答案】BD【解析】對于A，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件，故A項錯誤；對于B，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故充分性不成立；若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故B項正確；對于C，當(dāng)時，，所以成立；當(dāng)時，所以成立；當(dāng)時，也成立，所以的充分不必要條件是，故C項錯誤；對于D，等價于，即，所以，故的充要條件是，故D項正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（）A. B.是周期函數(shù)C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】BC【解析】對于AB，因為是偶函數(shù)，所以，即，又是定義在上奇函數(shù)，所以，于是，即，所以是以4為一個周期的周期函數(shù)，故A錯誤，B正確；對于C，設(shè)，則的定義域為，因為，所以，則，即，所以為偶函數(shù)，故C正確；對于D，設(shè)，則的定義域為，因為，所以，則，即，所以為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.11.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，，且點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，若，則（）A. B.的最大值為C.最大值為9 D.【答案】ACD【解析】因為，AD的中點為O，所以，則，故A項正確；，，則，故D項正確；如圖，以點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，且在x軸的下半部分，所以設(shè)，，則，，，所以，因為，所以，所以當(dāng)時，取得最大值9，故C項正確；因為，所以，即，所以，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最大值，故B項錯誤．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則的共軛復(fù)數(shù)為______．【答案】【解析】依題意，，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為：.13.當(dāng)時，的最小值為____________．【答案】【解析】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.14.17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（JohannesKepler）曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖，在其中一個黃金中，，根據(jù)這些信息，可得__________.【答案】【解析】在等腰中，，則，由正弦定理得，故，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知，求的值；（2）求值：.解：（1）由于，則，故，因為，所以.（2）.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求圖象的對稱中心的坐標(biāo)；（3）若，，求的值.解：（1）由函數(shù)，令，可得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由函數(shù)，令，解得，所以圖象的對稱中心的坐標(biāo)為.（3）由，可得，則，因為，所以，所以，所以.17.某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，且要求獎金不低于7萬元，不超過年產(chǎn)值的.（1）若該地方政府采用函數(shù)作為獎勵