2023-2024學(xué)年北京市石景山區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故選：D.2.已知命題p：“”，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】特稱命題的否定是全稱命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.5【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，解得：?故選：B.4.已知事件A，B相互獨(dú)立，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以，所以，故選：B.5.在數(shù)列中，，（），則的值為（

）A.-2 B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列中，由，，得，同理可得，，...，所以，則.故選：D.6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由知，故.由于的斜率為，故在點(diǎn)處的切線斜率為.所以，故，得.故選：A.7.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所?故選：D.8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，而，所以，充分性成立；反過來若，若，則一定有，所以，，故，必要性成立；也就是說，已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.9.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).又，則當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值.又時(shí)，，據(jù)此可得大致圖象如下：則.故選：C10.數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），前n項(xiàng)和為，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在正整數(shù)，使得；②存正整數(shù)，使得；③記，則數(shù)列有最大項(xiàng)和最小項(xiàng).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整數(shù)，使得，所以①正確；由，存在正整數(shù)，使得，所以②正確；由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最大項(xiàng)，所以③正確.故選：A.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，故答案為：.12.已知函數(shù)定義域?yàn)?，為其?dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為________．【答案】【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，即不等式的解集為；故答案：13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則_____________.【答案】【解析】由是等比數(shù)列，知.所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則__________，過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為_______________.【答案】①4②【解析】的導(dǎo)數(shù)為，，解得，故，即；設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切，切點(diǎn)為，且，故切線斜率為，即切線方程為，切線方程過點(diǎn)，代入方程可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為.故答案為：4，.15.已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①可能是負(fù)數(shù)；②；③為定值；④若存在，使得，則.其中所有正確結(jié)論的序號是___________．【答案】②③④【解析】對于①，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)相異實(shí)根，這意味著，否則時(shí)，，即單調(diào)遞增，這與已知矛盾，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在的條件下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對于②，是方程的兩根，從而，故②正確；對于③，，故③正確；對于④，若存在，使，即關(guān)于的不等式有解，而沒有最大值，故原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，令,而函數(shù)的最小值為1，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即滿足題意，即若存在，使得，則，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，所以.得或.當(dāng)變化時(shí)，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如下表所示.＋0－0＋↗極大↘極小↗所以當(dāng)時(shí)取極大值；當(dāng)時(shí)取極小值.（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值.對都有恒成立，所以.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①，條件②，條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)選①②時(shí)：，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選①③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選②③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，因?yàn)?，所?18.某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（1）求的值；（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的概率.解：（1）依題意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012所以；（3）從所有花卉中隨機(jī)抽取3株，記至少有2株高度在為事件，則.19.已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，若曲線在曲線的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）令，.由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，，即；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，滿足題意.令，則.當(dāng)時(shí)，若，，則在上是減函數(shù).所以時(shí)，，不合題意.當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)，所以，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.若數(shù)列對任意的，均滿足，則稱為“速增數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)k的最大值.解：（1）數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由如下：由，則，，因?yàn)?，故，所以?shù)列是“速增數(shù)列”；（2）數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，，任意項(xiàng)，時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)k的最大值為63.北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故選：D.2.已知命題p：“”，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】特稱命題的否定是全稱命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.5【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得：?故選：B.4.已知事件A，B相互獨(dú)立，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以，所以，故選：B.5.在數(shù)列中，，（），則的值為（

）A.-2 B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列中，由，，得，同理可得，，...，所以，則.故選：D.6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由知，故.由于的斜率為，故在點(diǎn)處的切線斜率為.所以，故，得.故選：A.7.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所?故選：D.8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，而，所以，充分性成立；反過來若，若，則一定有，所以，，故，必要性成立；也就是說，已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.9.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).又，則當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值.又時(shí)，，據(jù)此可得大致圖象如下：則.故選：C10.數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），前n項(xiàng)和為，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在正整數(shù)，使得；②存正整數(shù)，使得；③記，則數(shù)列有最大項(xiàng)和最小項(xiàng).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整數(shù)，使得，所以①正確；由，存在正整數(shù)，使得，所以②正確；由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列有最大項(xiàng)，所以③正確.故選：A.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，故答案為：.12.已知函數(shù)定義域?yàn)?，為其?dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為________．【答案】【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即不等式的解集為；故答案：13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則_____________.【答案】【解析】由是等比數(shù)列，知.所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則__________，過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為_______________.【答案】①4②【解析】的導(dǎo)數(shù)為，，解得，故，即；設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切，切點(diǎn)為，且，故切線斜率為，即切線方程為，切線方程過點(diǎn)，代入方程可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為.故答案為：4，.15.已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①可能是負(fù)數(shù)；②；③為定值；④若存在，使得，則.其中所有正確結(jié)論的序號是___________．【答案】②③④【解析】對于①，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)相異實(shí)根，這意味著，否則時(shí)，，即單調(diào)遞增，這與已知矛盾，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在的條件下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對于②，是方程的兩根，從而，故②正確；對于③，，故③正確；對于④，若存在，使，即關(guān)于的不等式有解，而沒有最大值，故原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解，令,而函數(shù)的最小值為1，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即滿足題意，即若存在，使得，則，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，所以.得或.當(dāng)變化時(shí)，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如下表所示.＋0－0＋↗極大↘極小↗所以當(dāng)時(shí)取極大值；當(dāng)時(shí)取極小值.（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值.對都有恒成立，所以.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①，條件②，條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)選①②時(shí)：，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選①③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選②③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，因?yàn)椋?18.某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（1）求的值；（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的概率.解：（1）依題意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012所以；（3）從所有花卉中隨機(jī)抽取3株，記至少有2株高度在為事件，則.19.已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，若曲線在曲線的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）令，.