2025年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)九年級中考一模數(shù)學(xué)試題（含詳解）

2025年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在2,-1,n,一門四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-<5

2.篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視

圖為（）

從正面看

3.第三十三屆夏季奧運(yùn)會中，來自全球206個(gè)國家和地區(qū)的代表團(tuán)的10500位運(yùn)動(dòng)員齊聚巴黎，向全世界

奉獻(xiàn)了一場精彩的體育盛宴.中國體育代表團(tuán)在這次奧運(yùn)會中獲得40枚金牌，27枚銀牌和24枚銅牌的好成

績.其中10500用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.105x103B.10.5x102C.1.05x104D.0.105X106

4.如圖，已知直線將含30。角的直角三角板ABC按如圖方式放置,

若41=40。，貝吐2的度數(shù)為（）

A.20°

B.30°

C.40°

D.50°

5.估計(jì)，石（JI+YZ）的值應(yīng)在（）

A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.9和10之間

6.下列計(jì)算正確的是（）

35326

A.a+2。=3a2B.+q2=a3C.(—a)??a=—aD.(2a)=2a

7.如圖，已知ASBC,CO是正〃邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊

在該正〃邊形的外部作正方形BCMN.若乙4BN=126。，則〃的值為()

A.12B.10C.8D.6

8.甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未來》

《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》中各自隨機(jī)選擇了一部影片觀看(兩人選擇每部電影的機(jī)會均等)，則兩人恰好

選擇同一部影片進(jìn)行觀看的概率是()

A-B1Dl

9.如圖所示為某新款茶吧機(jī)，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升2(TC,加熱到io(rc,停止加熱，水溫開始下降，此

時(shí)水溫y(°C)與通電時(shí)間x(min)成反比例關(guān)系.當(dāng)水溫降至2(rc時(shí)，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱，若水溫在20T時(shí)接

通電源，水溫y與通電時(shí)間x之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.水溫從20℃加熱到100。&需要4min

B.水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=￥

C.上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天10：30水溫為4(TC

D.在一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于40。(2的時(shí)間為8min

10.對于實(shí)數(shù)a,b,定義新運(yùn)算=—若函數(shù)y=久*(2久一1),則下列結(jié)論正確的有

lb'-ab{a<b)

()

①方程％*(2x-1)=0的解為％=0或第=1；

②關(guān)于x的方程式*(2x-1)=m有三個(gè)解，則0<m<|；

③當(dāng)x<2時(shí)，y隨X增大而增大；

-1

④當(dāng)%>5時(shí),函數(shù)y=x*（2x-1）有最大值0.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。

11.分解因式：x2-5x=.

12.一只不透明的袋中裝有8個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機(jī)從袋中摸出

一個(gè)球，記下顏色后放回袋中.通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4,則袋中約有紅球

個(gè).

13.在一次函數(shù)y=（k—5）比-3中，y隨尤的增大而減小，且左為正整數(shù)，則上的值可以是（任意寫

出一個(gè)符合條件的數(shù)即可）.

14.如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形ABC的面積為1200兀。機(jī)2,NBAC=120。，BD=2AD,則BO的長

度為.

15.如圖，在菱形ABC。中，N4BC=60。，點(diǎn)尸是邊2C上一動(dòng)點(diǎn)，連接

AP,將A4BP沿著AP折疊，得到△力EP,連接。E,點(diǎn)尸是。E的中點(diǎn)，

AB=2,則CT的最小值為.

三、解答題：本題共10小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題7分）

計(jì)算：|——2sin60°+0）T+（2025-兀）°+74.

17.（本小題7分）

「2（%—1）+1>—5

解不等式組1,1+%,并寫出它的所有正整數(shù)解.

%-1<

18.（本小題7分）

如圖，四邊形A8CD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)/在邊8c上，且BE=CF,求證：AF=DE.

19.（本小題8分）

【問題背景】某學(xué)習(xí)小組研究一種手提電腦支架設(shè)計(jì)的科學(xué)性，如圖①所示，它的側(cè)面可視作如圖②，AB

為底板，AC為支撐桿，為電腦托板，分別可繞A,C轉(zhuǎn)動(dòng),測得4C=16cm,CD=20cm.

【實(shí)驗(yàn)研究】繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，調(diào)節(jié)角度，測量數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)推算.

任務(wù)1：若N84C=30。，^ACD=75°,求此時(shí)電腦托板的最高點(diǎn)。離底板A3的距離（精確到O.lczn,

/2-1.41）.

【應(yīng)用研究】為了適應(yīng)個(gè)性化需要，增強(qiáng)舒適度，進(jìn)行應(yīng)用研究.

任務(wù)2：陳老師工作時(shí)習(xí)慣于把電腦打開成大于120。角（如圖③，乙CDE>120。.現(xiàn)小甬同學(xué)為陳老師準(zhǔn)備電

腦，把電腦展開后發(fā)現(xiàn)電腦屏幕即垂直于底板A8,量得乙4CD=40。，點(diǎn)C到底板的距離是

4cm問這樣是否符合陳老師的工作習(xí)慣？說明理由.

(參考數(shù)據(jù):sinl4.48°?0.25,cos75.52°-0.25,tanl4.04°?0.25)

20.（本小題8分）

如圖，△力8C中，N4CB=90。，點(diǎn)。為AC邊上一點(diǎn),以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑作圓與相切于點(diǎn)

D,連接CD.

⑴求證：^ABC=2/.ACD-,

（2）若。。的半徑為3,AC=8,求3C的長.

21.(本小題9分)

某學(xué)校開展了“校園科技節(jié)”活動(dòng)，活動(dòng)包含創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽、科技競賽兩個(gè)項(xiàng)目.為了解學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)水

平，從全校學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績(成績?yōu)榘俜种?，用x表示

),并將其分成如下四組：60<%<70,70<%<80,80<%<90,90<%<100.

下面給出了部分信息：

70<%<80的成績?yōu)椋?/p>

71,71,72,72,73,73,74,74,74,75,76,76,76,77,78,78,78,79,79,79.

創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的頻數(shù)分布直方圖創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息解決下列問題:

(1)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(2)所抽取學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的中位數(shù)是分;

(3)請估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù);

(4)根據(jù)活動(dòng)要求，學(xué)校將創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動(dòng)各人的綜合成績.

某班甲、乙兩位學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績與科技競賽成績(單位：分)如下:

創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽科技競賽

甲的成績9590

乙的成績9295

通過計(jì)算，甲、乙哪位學(xué)生的綜合成績更高?

22.（本小題10分）

【問題背景】2025年4月23日是第30個(gè)“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，某學(xué)校決

定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個(gè)書架用于擺放書籍，

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有A,8兩種書架可供選擇，A種書架的單價(jià)比2種書架單價(jià)高20%；

素材二：用14400元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買8種書架的數(shù)量多6個(gè)；

素材三：A種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的3

【問題解決】

問題一：求出A,8兩種書架的單價(jià)；

問題二：設(shè)購買。個(gè)A種書架，購買總費(fèi)用為w元，求w與“的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時(shí)的購買方

案.

23.（本小題10分）

物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質(zhì)量》（千克）的函數(shù).某興趣小組為探究一彈

簧的長度y（厘米）與所掛物體質(zhì)量W千克）之間的關(guān)系，進(jìn)行了6次測量.如表為測量時(shí)所記錄的一些數(shù)據(jù).在

數(shù)據(jù)分析中，有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)y有錯(cuò)誤，重新測量后，證明了他的猜想正確，并修改了表中這個(gè)

數(shù)據(jù).

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你認(rèn)為表中第次數(shù)據(jù)y是錯(cuò)誤的？正確的值是y=.

（2）觀察表中數(shù)據(jù)，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表

達(dá)式.

（3）當(dāng)彈簧長度為30厘米時(shí)，求所掛物體的質(zhì)量.

（4）若某同學(xué)在測量時(shí)第一次所掛物體的質(zhì)量為乙,記錄對應(yīng)的彈簧長度為乃；第二次所掛物體的質(zhì)量為

%2＞記錄對應(yīng)的彈簧長度為〉2，當(dāng)久2-乂1=14時(shí)，%的值為.

24.（本小題12分）

在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知拋物線y=a/+6%一3（a、》為常數(shù)且aKO）.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3,0）、（2,-3）兩點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)直線/：y=x+a與拋物線交于點(diǎn)A、B時(shí)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），位于直線/下方的

拋物線上是否存在一點(diǎn)C,使得AZBC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由；

(3)若拋物線的對稱軸為直線久=1,當(dāng)直線y=久+a與拋物線丫=a/+6%-3有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出a

的取值范圍.

備用圖

25.(本小題12分)

在直角三角形紙片A3C中，/.BAC=90°,AC=6,zC=30°.

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】

將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作：①折疊三角形紙片ABC,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕DE,然后展開

鋪平；②將ADEC繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到ADFG,點(diǎn)E,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E,G,當(dāng)直線GF與邊

AC相交時(shí)交點(diǎn)為與邊A8相交時(shí)交點(diǎn)為N.

【數(shù)學(xué)思考】如圖1：

(1)折痕DE的長為；

(2)試判斷與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

【數(shù)學(xué)探究】

(3)如圖2,當(dāng)直線GB經(jīng)過A8中點(diǎn)N時(shí)，求此時(shí)AM的長度；

【問題延伸】

(4)在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DG1BC時(shí)，是否存在點(diǎn)若存在，請求AM的長度；若不存在，

請說明理由.

斷圖2備用圖

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：一門<-1<2<7T,

最小的數(shù)是：

故選：A.

利用實(shí)數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)

都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)

反而小.按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可.

本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕

對值大的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是解答本題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解:10500=1.05X104.

故選：C.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10兀的形式，其中w為整數(shù).確定w的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。

時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時(shí)，w是正數(shù)；當(dāng)原

數(shù)的絕對值<1時(shí)，力是負(fù)數(shù).

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax的形式，其中〃為整

數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

4.【答案】A

【解析】解：,直線m〃n,

Z2+/.ABC+Z1+ABAC=180",

^ABC=30°,Z-BAC=90",Z1=40",

Z2=180°-30°-90°-40°=20°,

故選：A.

根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：78(73+A<2)

=xA/_3+xV-2

=724+4

=2<6+4,

V-4<y]~6<V6.25,

2<V-6<2.5,

4<2V-6<5,

8<2\/_6+4<9,

故選：C.

先根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則求出，豆+<2)=2<6+4,再根據(jù)無理數(shù)的估算方法得到2〈屏<2.5,

進(jìn)而得到8<2<6+4<9,據(jù)此可得答案.

本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，注意正確計(jì)算.

6.【答案】B

【解析】解：a+2a=3a,則A不符合題意；

。5+42=。3,則B符合題意；

(-a)2-a3=a5,則C不符合題意；

(2a3)2=4a6,則。不符合題意；

故選：B.

利用合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)暴乘法及除法法則，塞的乘方與積的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查合并同類項(xiàng)，同底數(shù)塞乘法及除法，塞的乘方與積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

7.【答案】B

【解析】解：在同一平面內(nèi)，以2C為邊在該正"邊形的外部作正方形2cMN,乙ABN=126。,

???4NBC=90°,

AABC=360°-90°-126°=144°,

.?.正〃邊形的一個(gè)外角為180°-144°=36°,

???九的值為=10,

30

故選：B.

先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.

本題考查正方形的性質(zhì)，解答此類題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形內(nèi)角和=(n-2)?180。，多邊形的外角和等

于360°.

8.【答案】C

【解析】解：把《哪吒之魔童鬧?！贰短铺?900》《熊出沒重啟未來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》四部影

片分別記為4B、C、D,畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知：共有16種等可能的結(jié)果，其中二人恰好選擇同一部影片觀看的結(jié)果有4種，

???兩人恰好選擇同一部影片進(jìn)行觀看的概率是言=p

164

故選：C.

畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一部影片觀看的結(jié)果有4種，再由概率公式求

解即可.

本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以

上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率為所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

9.【答案】D

【解析】解：水溫從20K加熱到10(TC,需要的時(shí)間為(100-20)+20=4(min),

a正確，不符合題意；

設(shè)水溫下降過程中，y與X的函數(shù)關(guān)系式是y=5，

將坐標(biāo)(4,100)代入y=$

得100=P

4

解得k=400,

???水溫下降過程中，y與1的函數(shù)關(guān)系式是y=”，

???8正確，不符合題意；

當(dāng)y=20時(shí)，得20=駟，

y

解得y=20,

水溫從20。(：加熱到100℃,再降到2(TC所用時(shí)間為20min,即一個(gè)循環(huán)是20min,

r20x+20(0<x<4)

???水溫y與通電時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=［竺￡(4<久v20)，

上午10點(diǎn)到10：30共30分鐘，貝IJ30—20=10(分鐘)，

當(dāng)x=10時(shí)，得y=察=40,

???上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天10：30水溫為40℃,

???C正確，不符合題意；

當(dāng)0W久W4時(shí)，當(dāng)y=40時(shí)，得20%+20=40,

解得x=1,

當(dāng)4<xW20時(shí)，當(dāng)y=40時(shí)，得當(dāng)=40,

解得x=10,

10—1=9(min),

???在一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于4(TC的時(shí)間為9min,

???D不正確，符合題意.

故選：D.

A根據(jù)“從20二加熱到10CTC水溫升高的溫度+加熱時(shí)每分鐘上升的溫度”計(jì)算即可；

5利用待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

C求出將水溫從20二加熱到io(rc,再降到20K一處循環(huán)需要的時(shí)間，寫出這個(gè)過程中y與尤的函數(shù)關(guān)系式

并據(jù)此計(jì)算即可；

。根據(jù)x的取值范圍對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，分別計(jì)算當(dāng)y=40時(shí)對應(yīng)的尤的值，求出兩個(gè)尤值的差即為在一

個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于40T的時(shí)間.

本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意、掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：①當(dāng)先22%—1時(shí)，即工工1,

x*(2%-1)

=x2—x(2x—1)

=x2—2x2+x

=—x2+%,

???—x2+%=0,

???x—0或久=1；

當(dāng)％<2x—1時(shí)，即汽>1,

x*(2x—1)

=(2x—l)2—x(2x—1)

=4%2—4%+1—2x2+x

=2%2—3x+1,

???2x2—3%+1=0.

X=1(不符合題意)或X=女不符合題意)，

綜上所述，方程久*(2久一1)=0的解為x=0或x=1,故①說法正確.

②由①可得：當(dāng)x22比一1時(shí)，即xK1,y=-x2+x--(x-1)2+

…2+x的最大值為］

o1

當(dāng)％<2%—1時(shí)，即％>1,y=2x2—3%+1=2(%

2久2—3x+l的最小值為一，

O

綜上，于尤的方程X*(2久—1)有三個(gè)解，則—

o4

???②的結(jié)論不正確；

當(dāng)％<1時(shí)，y=—%2+x,

???-1<0,

???拋物線的開口方向向下，x<|,y隨x增大而增大，

.??③的結(jié)論正確；

O1

當(dāng)%>1時(shí)，函數(shù)y=2x2—3%+1=2(%

2>0,

?,?拋物線的開口方向向上，X>1,y隨尤增大而增大，

二當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)y=x*(2x-1)沒有最大值.

??.④的結(jié)論不正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①③.

故選：B.

依據(jù)題意，利用新定義的規(guī)定把相應(yīng)的值代入，結(jié)合函數(shù)的增減性對每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可.

本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程的解法，本題是新定義型，正確理解

并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】x(x—5)

【解析】解：x2-5x-x(x-5).

故答案為：x(x-5).

直接提取公因式x分解因式即可.

此題考查的是提取公因式分解因式，關(guān)鍵是找出公因式.

12.【答案】12

【解析】解：由題意可得，

袋中約有紅球：8+0.4—8

=20-8

=12(個(gè))，

故答案為：12.

根據(jù)白球個(gè)數(shù)和頻率，可以估算出球的總數(shù)，然后即可計(jì)算出紅球個(gè)數(shù).

本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用頻率的知識估算出紅球的個(gè)數(shù).

13.【答案】1(答案不唯一)

【解析】解：???在一次函數(shù)y=(k—5)x—3中，y隨x的增大而減小，

k—5<0,

解得：fc<5,

???k為正整數(shù)，

k值可以為1(答案不唯一).

故答案為：1(答案不唯一).

由y隨x的增大而減小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出k-5<0,解之即可得出左的取值范圍，在其取值范

圍內(nèi)任取一正整數(shù)即可得出結(jié)論.

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x的增大而減小”是解題的

關(guān)鍵.

14.【答案】40cm

【解析】解：設(shè)4。=xcm,貝！=2AD=2xcm,AB-x+2x-3xcm,由題意可得,

120黑,3x)2=]200兀,

36U

解得x=20(負(fù)值舍去),

BD=2x=40(cm).

故答案為：40cm.

設(shè)4。=xcm,可得BO=2xcm,AB=3xcm,由扇形面積的計(jì)算方法列方程進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查扇形的面積公式，掌握扇形面積的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵.

15.【答案】73-1

【解析】解：延長。C至點(diǎn)。使得CD=CQ,連接A。，EQ,

???點(diǎn)/是DE的中點(diǎn),

。?是4DEQ的中位線，

1

CF=-EQ,

???當(dāng)月。取最小值時(shí)，C尸有最小值，

連接AC,

???四邊形ABC。是菱形，

.?.AB=BC=CD=AD=2,BC//AD,

???乙B=60°,

??.△ABC是等邊三角形，

??.CQ=AC=CD=2,^ADQ=(B=60°,

???乙BCQ=Z.ADQ=60°,

vBC1AQ,垂足為

???Z-Q=30°,AQ=2QM,

??.CM=；CQ=1,

??.QM=JCQ2-CM2=V3,

AQ=2V3，

由折疊可知AE=BA=2,

又4E+EQ>AQ,

?*.EQAQ—AEf

當(dāng)點(diǎn)A,E,Q共線時(shí)，EQ有最小值2展—2，

此時(shí)CF的最小值為時(shí)-1,

故答案為：6-1.

延長DC至點(diǎn)。，使得CQ=CD,連接A。，EQ,則CE是△DEQ的中位線，證明△ABC是等邊三角形，求

出2Q=2，W,EQ>AQ-AE=2<3-2,從而可得結(jié)論.

本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊與軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用.

16.【答案】6.

【解析】解：|一一2sin60°+(i)-1+(2025-TT)°+74

lV3

=v3-2x——F3+1+2

—V-3—V~3+3+1+2

=6.

先計(jì)算絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零次幕和算術(shù)平方根，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加

減.

此題考查了絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、零次塞和算術(shù)平方根的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是

能準(zhǔn)確確定運(yùn)算方法和順序，并能進(jìn)行正確地計(jì)算.

17.【答案】—2<xW3,正整數(shù)解為1,2,3.

2(久—1)+1>—5(1)

【解析】解:

x-1《亨②

解不等式①得，%>-2；

解不等式②得，%<3,

所以不等式組的解集為：-2<xW3,

則不等式組的正整數(shù)解為1,2,3.

根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，對所給不等式組進(jìn)行求解，再根據(jù)題意寫出正整數(shù)解即可.

本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解及解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組的步驟是解

題的關(guān)鍵.

18.【答案】證明：???四邊形ABC。為矩形,

???AB=CD,NB=NC=90",

???BE=CF,

：.BE+EFCF+EF.

即：BF=CE,

在AABF和ADCE中，

AB=CD

AB=AC,

.BF=CE

；.△2BF0△￡)￡1￡1(SAS),

AF=DE.

【解析】利用矩形的性質(zhì)證得AABF名△DCE(SAS),從而證得結(jié)論.

本題考查了矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解矩形的對邊相等，四個(gè)角都是直

角，難度不大.

19.【答案】解：任務(wù)1：在圖②中，過點(diǎn)。作DM14B于點(diǎn)過點(diǎn)C作CN1DM于點(diǎn)N,過點(diǎn)C作

CR14B于點(diǎn)R,

在Rt△ACR中，sin^BAC=段

1

MN=CR=AC-sinzBi4C=16x-=8(cm),

在Rt△DNC中，乙DCN=4ACD-乙ACN="CD-4CAR=75°-30°=45°,

②

vsinZ-DCN=—,

DN=CD-sin4DCN=20x苧?14.1(cm).

DM=DN+MN=14.1+8=22.1(cm),

即點(diǎn)D離底板AB的距離約為22.1czn；

任務(wù)2：不符合陳老師的工作習(xí)慣，理由如下：

在圖③中，延長即交A8于點(diǎn)E過點(diǎn)C作CK1DF于點(diǎn)K,

在RtAACH中,sin/C4H=絲=芻=0.25,

AC.16

??.Z.CAH=14.48°,

???CK1DF,EDLAB,

??.DF//AB,

NACK=ACAH=14.48°,

.-.乙DCK=NACD-LACK=40°-14.48°=25.52°,

.-./.EDC=乙CDK+乙DCK=90°+25.52°=115.52°<120°,

???不符合陳老師的工作習(xí)慣.

【解析】任務(wù)1：在圖②中，過點(diǎn)。作DM1AB于點(diǎn)過點(diǎn)C作CNLDM于點(diǎn)N,過點(diǎn)C作CR14B于

點(diǎn)、R,在RtAACR中，利用正弦的定義，可求出MN的長，在RtADNC中,利用正弦的定義，可求出QN

的長，再將其代入DM=DN+MN中，即可求出結(jié)論；

任務(wù)2：在圖③中，延長交A8于點(diǎn)兒過點(diǎn)C作CK1DF于點(diǎn)K,在RtA/lCH中，利用正弦的定義，

可求出NC4H的度數(shù)，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出乙4CK的度數(shù)，結(jié)合乙DCK=N4CD-NACK,可求出

NDCK的度數(shù)，利用三角形的外角性質(zhì)，可求出NEDC的度數(shù)，再將其與120。比較后，即可得出結(jié)論.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：任務(wù)1：通過解

直角三角形，求出MN,DN的長；任務(wù)2：根據(jù)各角之間的關(guān)系，求出NDCK的度數(shù).

20.【答案】見解析;

【解析】(1)證明：連接O。，如圖

???4B為。。的切線,

.-.001745,

.-./.ODA=ZODB=90°,

???乙ACB=90°,

.-.NABC+NC。。=180°,

???/.AOD+乙COD=180",

??.Z.ABC=Z.AOD,

???OC=OD,

???Z-ACD=Z.ODC,

???Z.AOD=Z-ACD+Z-ODC=2/.ACD,

Z.ABC=2/.ACD；

(2)解：???。。的半徑為3,TIC=8,

.?.OD=OC=3,

??.AO=AC-OC=5,

在Rt△A。。中，

AD=7Ao2-0D2=4，

Z.OAD=Z.BAC,Z-ADO=乙ACB,

AODs〉A(chǔ)BC,

,0D__AD_即巨_4

**BC-AC9閔BC-8,

解得BC=6.

⑴連接O。，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NODA=NODB=90。，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與等角的補(bǔ)角

相等得到乙4BC=NAOD,接著根據(jù)圓周角定理得到20。=2乙4CD,從而得到結(jié)論；

（2）先利用勾股定理計(jì)算出AD,再證明△AODSAABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得答案..

本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是

解決問題的關(guān)鍵.

21.【答案】補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)圖見解析過程；

78；

600人；

乙的綜合成績更高.

【解析】解：（I）：10+20%=50,而70Wx<80有20人，

.--80<x<90有50-20-5-10=15,

補(bǔ)全圖形如下：

(2)???10+20=30,

而70<%<80的成績?yōu)?

71,71,72,72,73,73,74,74,74,75,76,76,76,77,78,78,78,79,79,79.

.??50個(gè)成績按照從小到大排列后，排在第25個(gè)，第26個(gè)數(shù)據(jù)分別是：78,78；

中位數(shù)為誓=78（人）,

故答案為：78；

(3)估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù)為:

1500=600(人)，

答:估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù)為600人；

(4)甲的成績?yōu)椋?5x；：;ox3=92(分);

乙的成績?yōu)椋?2x；：；5x3=93.8(分)

???乙的綜合成績更高.

(1)先求解總?cè)藬?shù)，再求解80Wx<90的人數(shù)，再補(bǔ)全圖形即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)的含義確定第25個(gè)，第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可得到中位數(shù)；

(3)由總?cè)藬?shù)乘以80分(含80以上)的人數(shù)百分比即可得到答案；

(4)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式分別計(jì)算甲，乙二人成績，再比較即可.

本題考查的是頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，利用樣本估計(jì)總體，加權(quán)平均數(shù)，掌握基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)知識是解本題

的感覺.

22.【答案】問題一：A種書架的單價(jià)為600元，8種書架的單價(jià)為500元；

問題二：w與a的函數(shù)關(guān)系式為w=100a+10000,費(fèi)用最少時(shí)的購買方案是購買A種書架5個(gè)，8種書

架15個(gè).

【解析】解：問題一：設(shè)2種書架的單價(jià)為x元，則A種書架的單價(jià)為x(l+20%)=1.2x元，

144009000_

1.2%—二6，

解得％=500,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=500是原分式方程的解，

???1.2%=600,

答：A種書架的單價(jià)為600元，B種書架的單價(jià)為500元；

問題二：由題意可得，

w=600a+500(20—a)=100a+10000,

???/種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的余

???a之§(20—a),

解得a>5,

???當(dāng)a=5時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w=10500,20-a=15,

即W與a的函數(shù)關(guān)系式為w=100a+10000,費(fèi)用最少時(shí)的購買方案是購買A種書架5個(gè)，8種書架15

個(gè).

問題一：根據(jù)題意和題目中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可；

問題二：根據(jù)題意，可以寫出w與。的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可以求出費(fèi)用最少時(shí)的購

買方案.

本題考查分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程，寫出相

應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

23.【答案】4,15；是，y=0.3尤+6(0WxW50)；80千克；4.2.

【解析】解：(1)由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x每增加10時(shí)，y增加3,

.?.當(dāng)x=30時(shí)，y=6+3x3=15,即第4次數(shù)據(jù)y是錯(cuò)誤的，正確的值是y=15.

故答案為：4,15.

(2)由各點(diǎn)的分布規(guī)律可知，它們在同一條直線上，

y是x的一次函數(shù).

設(shè)這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(Kb為常數(shù)，且k豐0).

將坐標(biāo)(0,6)和(10,9)分別代入y=kx+b,

.8=6

"ilOk+b=9'

(k=0.3

ib=6-

??.這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=0.3%+6(0<%<50).

(3)當(dāng)y=30時(shí)，0.3%+6=30,解得％=80,

???當(dāng)彈簧長度為30厘米時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為80千克.

(4)根據(jù)題意，得yi=0.3%i+6①，丫2=0?3%2+6②，

②-①,得71=0-3(%2-%i)，

汽2—=14,

???y2~y1=°,3x14=4.2.

故答案為：4.2.

(1)依據(jù)題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x每增加10時(shí)，y增加3,從而當(dāng)％=30時(shí)，y=6+3x3=

15,從而可以判斷得解；

(2)根據(jù)各點(diǎn)的分布規(guī)律，即可判斷它們是否在同一條直線上，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可；

(3)將y=30代入(2)中求得的函數(shù)表達(dá)式，求出對應(yīng)x的值即可；

(4)將刀=久1，丫=丫1和比=%2，y=%分別代入(2)中求得的函數(shù)表達(dá)式，兩式相減并將*2-X1=24代入

即可求出力-%的值.

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】y=%2一2%-3；

存在，點(diǎn)C(|,-竽);

、1,/14_^/./14

a>—1+-^4―或a<—1--—4.

0=9a+3b—3

【解析［解：(1)由題意得:

-3=4a+2b—3

解得：［二、

故拋物線的表達(dá)式為：y=X2-2X-3；

聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：x+l=%2—2x—3,則久=—1或4,

即點(diǎn)A、8的橫坐標(biāo)分別為：一1,4,

過點(diǎn)C作CH〃y軸交AB于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)-2x-3),則點(diǎn)H(x,x+1),

貝IJ△4BC的面積=xCHxQB—久4)=gx(久+1——+2%+3)x(4+1)=—|(x—1)2+罷,

當(dāng)x=5時(shí)，AaBC的