2023-2024學(xué)年江蘇省常州市溧陽(yáng)市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省常州市溧陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將本試卷答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上；2.考試時(shí)間為120分鐘，試卷總分為150分.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.10 B.8 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，則.故選：D2.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于，由，得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，所以，解得.故選：B3.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng),對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：C4.若，且為直線l的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，則m的值為（）．A. B. C. D.8【答案】C【解析】由題知，，故，解得.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以，則，故選：A6.拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”“兩個(gè)正面一個(gè)反面”“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.事件，，兩兩互斥 B.C. D.事件，相互獨(dú)立【答案】C【解析】拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”“兩個(gè)正面一個(gè)反面”“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件，，，對(duì)于A，事件，，中任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生，所以事件，，，兩兩互斥，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，所以事件，相互獨(dú)立，故D正確；故選：C7.已知，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以在上投影的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：C8.設(shè)定義在上，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱滿足“性質(zhì)”，下列函數(shù)滿足“性質(zhì)”的有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將變形為：，令，則在上至少有2個(gè)不等實(shí)數(shù)使得，所以在上不單調(diào)，即可滿足“性質(zhì)”；對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以不滿足“性質(zhì)”；對(duì)于B，，，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，滿足“性質(zhì)”；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，則不滿足“性質(zhì)”；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則不滿足“性質(zhì)”；故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.直線的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（）A.若，則直線平面B若，則平面平面C.若，則平面所成銳二面角的大小為D.若，則直線與平面所成角的大小為【答案】BCD【解析】由，則直線平面或，故錯(cuò)誤；由，則平面平面，故正確；若，設(shè)平面和平面所成角為，且，則，所以平面所成銳二面角的大小為，故正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，且，所以直線與平面所成角的大小為，故正確.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.過(guò)點(diǎn)可作曲線的一條切線【答案】ACD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，解得：，當(dāng)或時(shí)，，則的單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)減區(qū)間為，故當(dāng)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，當(dāng)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的圖象如下：所以有2個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)任意，，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；因?yàn)?，，則，所以切線方程為：，即，所以過(guò)點(diǎn)可作曲線的一條切線；故選：ACD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為線段中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的最大值為B.若，則三棱錐的體積為1C.若，則與平面所成角的最大值為D.若，當(dāng)最小時(shí)，則【答案】BD【解析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，可得，所以，可知當(dāng)時(shí)，的最大值為3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可知點(diǎn)在正方形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)(含邊界)，則點(diǎn)到平面的距離等于正方體的棱長(zhǎng)，即，結(jié)合可得三棱錐的體積，故B正確；對(duì)于C，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成夾角為，則若，取，，此時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是增函數(shù)，可得直線與平面所成角大于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)，則，結(jié)合，可得，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，即，共線反向時(shí)，達(dá)到最小值，由，得，，，解得：，，，即達(dá)到最小值時(shí)，的坐標(biāo)為，此時(shí)，可得，故D正確；故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.（第13題第一空2分，第二空3分）12.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，則____.【答案】【解析】由，可得，由題意得：，解得：，故答案為：13.已知隨機(jī)事件，則______.______.【答案】；【解析】由概率的乘法公式得，因?yàn)?，，則，所以由條件概率公式得，故答案為：；14.等腰梯形中，，現(xiàn)沿直線把折起，使二面角為直二面角，則二面角的余弦值為_(kāi)_____.【答案】【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，則平面，,所以，，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，已知四棱錐的底面為正方形，平面，分別為線段，中點(diǎn).（1）證明：共面；（2）求直線與平面所成角的大小.解：（1）由題意得：，則由共面向量定理知，共面.（2）方法一：由平面，知為平面的法向量，又平面，所以由（1）知：，，設(shè)直線與平面所成角為，所以，直線與平面所成角大小為.方法二：由題平面及為正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系;則，則，由平面知為平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則所以，直線與平面所成角大小為.16.扇形的面積公式為為扇形的弧長(zhǎng)，為扇形的半徑）.已知某扇形的面積為，半徑為，將此扇形卷成一個(gè)圓錐側(cè)面，得到的圓錐的體積為.（1）試把表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）多大時(shí)，圓錐的體積最大？解：（1）設(shè)圓錐側(cè)面扇形弧長(zhǎng)為，高為，底面圓的半徑為，則，則，所以由得，則的取值范圍為1,+∞；（2）由（1），令，則，令，則，令，解得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，即時(shí)，最大.即當(dāng)時(shí)，圓錐的體積最大.17.甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球.先隨機(jī)取一只袋，再?gòu)脑摯邢群箅S機(jī)取2個(gè)球.（1）求隨機(jī)取到的是甲袋且從中取出的兩球均為白球的概率；（2）求第一次取出的是白球的概率；（3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；解：（1）記“隨機(jī)取到甲袋”為事件，“隨機(jī)取到乙袋”為事件，“第一次取出的是白球”為事件，“第二次取出的是白球”為事件..所以取到甲袋且從中取出的兩球均為白球的概率為.（2）所以第一次取到白球的概率為.（3）所以.所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率為.18.圖①展現(xiàn)的是一種被稱為“正四角反棱柱”的多面體，其上下底面平行且均為正方形，它的俯視圖是一個(gè)正八邊形（圖②）.已知此多面體上下底面的邊長(zhǎng)為2，高為.（1）判斷直線與直線是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）求二面角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）連接，交于點(diǎn)，由為正方形知，連接，交于點(diǎn)，由“俯視圖為正八邊形”知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.則.，.所以不垂直于，所以直線與直線不垂直.（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角平面角為，則.由圖知，所以二面角的大小為.（3），由（2）平面的一個(gè)法向量為，所以，點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn).①求的取值范圍；②若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1），（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，時(shí)，,時(shí)，.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①由（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.則.令，由知，在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，，不滿足有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，又，則在有一個(gè)零點(diǎn).又，令，可得，所以，則，則在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是②，.令，則.由①知，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，.由題有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)零點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，.則，又.所以，的取值范圍是.江蘇省常州市溧陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將本試卷答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上；2.考試時(shí)間為120分鐘，試卷總分為150分.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.10 B.8 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，則.故選：D2.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于，由，得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，所以，解得.故選：B3.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng),對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：C4.若，且為直線l的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，則m的值為（）．A. B. C. D.8【答案】C【解析】由題知，，故，解得.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以，則，故選：A6.拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”“兩個(gè)正面一個(gè)反面”“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.事件，，兩兩互斥 B.C. D.事件，相互獨(dú)立【答案】C【解析】拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”“兩個(gè)正面一個(gè)反面”“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件，，，對(duì)于A，事件，，中任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生，所以事件，，，兩兩互斥，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，所以事件，相互獨(dú)立，故D正確；故選：C7.已知，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以在上投影的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：C8.設(shè)定義在上，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱滿足“性質(zhì)”，下列函數(shù)滿足“性質(zhì)”的有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將變形為：，令，則在上至少有2個(gè)不等實(shí)數(shù)使得，所以在上不單調(diào)，即可滿足“性質(zhì)”；對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以不滿足“性質(zhì)”；對(duì)于B，，，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，滿足“性質(zhì)”；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，則不滿足“性質(zhì)”；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則不滿足“性質(zhì)”；故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.直線的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（）A.若，則直線平面B若，則平面平面C.若，則平面所成銳二面角的大小為D.若，則直線與平面所成角的大小為【答案】BCD【解析】由，則直線平面或，故錯(cuò)誤；由，則平面平面，故正確；若，設(shè)平面和平面所成角為，且，則，所以平面所成銳二面角的大小為，故正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，且，所以直線與平面所成角的大小為，故正確.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.過(guò)點(diǎn)可作曲線的一條切線【答案】ACD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，解得：，當(dāng)或時(shí)，，則的單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)減區(qū)間為，故當(dāng)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，當(dāng)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的圖象如下：所以有2個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)任意，，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；因?yàn)?，，則，所以切線方程為：，即，所以過(guò)點(diǎn)可作曲線的一條切線；故選：ACD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為線段中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的最大值為B.若，則三棱錐的體積為1C.若，則與平面所成角的最大值為D.若，當(dāng)最小時(shí)，則【答案】BD【解析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，可得，所以，可知當(dāng)時(shí)，的最大值為3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可知點(diǎn)在正方形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)(含邊界)，則點(diǎn)到平面的距離等于正方體的棱長(zhǎng)，即，結(jié)合可得三棱錐的體積，故B正確；對(duì)于C，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成夾角為，則若，取，，此時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是增函數(shù)，可得直線與平面所成角大于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)，則，結(jié)合，可得，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，即，共線反向時(shí)，達(dá)到最小值，由，得，，，解得：，，，即達(dá)到最小值時(shí)，的坐標(biāo)為，此時(shí)，可得，故D正確；故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.（第13題第一空2分，第二空3分）12.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，則____.【答案】【解析】由，可得，由題意得：，解得：，故答案為：13.已知隨機(jī)事件，則______.______.【答案】；【解析】由概率的乘法公式得，因?yàn)?，，則，所以由條件概率公式得，故答案為：；14.等腰梯形中，，現(xiàn)沿直線把折起，使二面角為直二面角，則二面角的余弦值為_(kāi)_____.【答案】【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，則平面，,所以，，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，已知四棱錐的底面為正方形，平面，分別為線段，中點(diǎn).（1）證明：共面；（2）求直線與平面所成角的大小.解：（1）由題意得：，則由共面向量定理知，共面.（2）方法一：由平面，知為平面的法向量，又平面，所以由（1）知：，，設(shè)直線與平面所成角為，所以，直線與平面所成角大小為.方法二：由題平面及為正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系;則，則，由平面知為平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則所以，直線與平面所成角大小為.16.扇形的面積公式為為扇形的弧長(zhǎng)，為扇形的半徑）.已知某扇形的面積為，半徑為，將此扇形卷成一個(gè)圓錐側(cè)面，得到的圓錐的體積為.（1）試把表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）多大時(shí)，圓錐的體積最大？解：（1）設(shè)圓錐側(cè)面扇形弧長(zhǎng)為，高為，底面圓的半徑為，則，則，所以由得，則的取值范圍為1,+∞；（2）由（1），令，則，令，則，令，解得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，即時(shí)，最大.即當(dāng)時(shí)，圓錐的體積最大.17.甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球.先隨機(jī)取一只袋，再?gòu)脑摯邢群箅S機(jī)取2個(gè)球.（1）求隨機(jī)取到的是甲袋且從中取出的兩球均為白球的概率；（2）求第一次取出的是白球的概率；（3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；解：（1）