2025年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2025年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，5有一項(xiàng)是符合題

目要求的.）

1.（4分）在2,-1,TT,-遙四個數(shù)中（）

A.-yB.2C.ITD.-1

2.（4分）篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為

3.（4分）第三十三屆夏季奧運(yùn)會中，來自全球206個國家和地區(qū)的代表團(tuán)的10500位運(yùn)動員齊聚巴黎,

向全世界奉獻(xiàn)了一場精彩的體育盛宴.中國體育代表團(tuán)在這次奧運(yùn)會中獲得40枚金牌（）

A.105X103B.10.5X102C.1.05X104D.0.105X106

4.（4分）如圖，已知直線/〃力將含30°角的直角三角板按如圖方式放置，則/2的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.（4分）估計(jì)加（泥4巧）的值應(yīng)在（)

A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.9和10之間

6.（4分）下列計(jì)算正確的是（）

A.。+2。=3。2B.a54-a2=a3

C.（-/D.(2a3)2=2心

7.（4分）如圖，已知N8,BC,在同一平面內(nèi)，以8C為邊在該正〃邊形的外部作正方形8cW.若/

ABN=126°()

第1頁（共28頁）

C.8D.6

8.（4分）甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒重啟未

來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》中各自隨機(jī)選擇了一部影片觀看（兩人選擇每部電影的機(jī)會均等），則兩

人恰好選擇同一部影片進(jìn)行觀看的概率是（）

A.AB.Ac.AD.2

3243

9.（4分）如圖所示為某新款茶吧機(jī)，開機(jī)加熱時每分鐘上升20℃,加熱到100℃,水溫開始下降，此時

水溫y（℃）（min）成反比例關(guān)系.當(dāng)水溫降至20℃時，飲水機(jī)再自動加熱，水溫y與通電時間x之間

的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

A.水溫從20℃加熱到100℃,需要4加沅

B.水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是了盤.

x

C.上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天10：30水溫為40℃

D.在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40°。的時間為Smin

10.（4分）對于實(shí)數(shù)a,b,定義新運(yùn)算a*6=.a?-ab（a＞b）,若函數(shù)了=代（2x-1）（）

b2-ab（a＜b）

①方程x*（2x-1）=0的解為x=0或x=l；

②關(guān)于x的方程x*（2x7）有三個解，貝!J0＜加＜工；

2

③當(dāng)x＜工時，y隨x增大而增大；

2

④當(dāng)時，函數(shù)y=x*（2x7）有最大值0.

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：（本大題共5個小題，每小題4分，共20分.）

第2頁（共28頁）

11.（4分）分解因式：x2-5x—.

12.（4分）一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機(jī)從袋

中摸出一個球，摸到白球的頻率是0.4,則袋中約有紅球個.

13.（4分）在一次函數(shù)y="-5）x-3中，y隨x的增大而減小，則左的值可以是（任

意寫出一個符合條件的數(shù)即可）.

14.（4分）如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形/8C的面積為1200111?加2,ZBAC=12Q°,BD=2AD,則

BD的長度為.

15.（4分）如圖，在菱形/2CZ）中，N4BC=60°,連接/P,將沿著4P折疊，連接。E,點(diǎn)F是

DE的中點(diǎn)，則C尸的最小值為.

三、解答題：（本大題共10個小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.）

1?1

16.（7分）計(jì)算：|一/§|-2sin60°+（-）+（2025-兀）

2（x_l）+1>-5

（分）解不等式組，，并寫出它的所有正整數(shù)解.

17.7上1夕i+x

18.（7分）如圖，四邊形45CD是矩形，點(diǎn)￡和點(diǎn)尸在邊上，求證：AF=DE.

19.（8分）【問題背景】某學(xué)習(xí)小組研究一種手提電腦支架設(shè)計(jì)的科學(xué)性，如圖①所示，它的側(cè)面可視作

如圖②，NC為支撐桿，CD為電腦托板，C轉(zhuǎn)動，測得NC=16c%

【實(shí)驗(yàn)研究】繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動，調(diào)節(jié)角度，測量數(shù)據(jù)

任務(wù)1：若/B/C=30°,/ACD=75°,求此時電腦托板的最高點(diǎn)。離底板AB的距離（精確到0.1cm,

第3頁（共28頁）

加心1.41）.

【應(yīng)用研究】為了適應(yīng)個性化需要，增強(qiáng)舒適度，進(jìn)行應(yīng)用研究.

任務(wù)2：陳老師工作時習(xí)慣于把電腦打開成大于120。角（如圖③，/CDE>120。.現(xiàn)小甬同學(xué)為陳

老師準(zhǔn)備電腦，把電腦展開后發(fā)現(xiàn)電腦屏幕助垂直于底板/以點(diǎn)C到底板N3的距離S是4cm,問

這樣是否符合陳老師的工作習(xí)慣？說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：sinl4.48°仁0.25,cos75.52°20.25,tan14.04°20.25）

20.（8分）如圖，Zk/BC中，ZACB=90°,以點(diǎn)。為圓心，。。為半徑作圓與48相切于點(diǎn)。

（1）求證：NABC=2N4CD；

（2）若。。的半徑為3,AC=8,求8C的長.

21.（9分）某學(xué)校開展了“校園科技節(jié)”活動，活動包含創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽、科技競賽兩個項(xiàng)目.為了解學(xué)生

的創(chuàng)意設(shè)計(jì)水平，從全校學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績（成績?yōu)榘?/p>

分制，用x表示），70Wx<80,80Wx<90

下面給出了部分信息：

70Wx<80的成績?yōu)椋?/p>

71,71,72,73,73,74,74,76,76,77,78,78,79,79.

第4頁（共28頁）

創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的頻數(shù)分布直方圖創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息解決下列問題:

(1)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(2)所抽取學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的中位數(shù)是分;

(3)請估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù);

(4)根據(jù)活動要求，學(xué)校將創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動各人的綜合

成績.

某班甲、乙兩位學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下:

創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽科技競賽

甲的成績9590

乙的成績9295

通過計(jì)算，甲、乙哪位學(xué)生的綜合成績更高?

22.（10分）【問題背景】2025年4月23日是第30個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境,

某學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，現(xiàn)需購進(jìn)20個書架用于擺放書籍，

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有/，3兩種書架可供選擇，/種書架的單價(jià)比2種書架單價(jià)高20%；

素材二：用14400元購買/種書架的數(shù)量比用9000元購買8種書架的數(shù)量多6個；

素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的工；

3

【問題解決】

問題一：求出43兩種書架的單價(jià)；

問題二：設(shè)購買。個/種書架，購買總費(fèi)用為w元，求w與。的函數(shù)關(guān)系式

23.（10分）物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質(zhì)量x（千克）（厘米）與

所掛物體質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系，有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)y有錯誤，重新測量后，并修改了表中

第5頁（共28頁）

這個數(shù)據(jù).

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你認(rèn)為表中第次數(shù)據(jù)了是錯誤的？正確的值是y=.

（2）觀察表中數(shù)據(jù)，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上

（3）當(dāng)彈簧長度為30厘米時，求所掛物體的質(zhì)量.

（4）若某同學(xué)在測量時第一次所掛物體的質(zhì)量為xi,記錄對應(yīng)的彈簧長度為口；第二次所掛物體的質(zhì)

量為X2,記錄對應(yīng)的彈簧長度為JV2,當(dāng)X2-Xl=14時，夕2-yi的值為.

24.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a?+6x-3（°、6為常數(shù)且aWO）.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3,0）、（2,-3）兩點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)直線/：y=x+a與拋物線交于點(diǎn)/、3時（點(diǎn)N在點(diǎn)3的左側(cè)），使得△N5C

的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸為直線x=l,當(dāng)直線y=x+a與拋物線y=a/+bx-3有兩個交點(diǎn)時，直接寫出

a的取值范圍.

備用圖

25.（12分）在直角三角形紙片N5C中，ZBAC=90a,AC=6

【數(shù)學(xué)活動】

將三角形紙片N3C進(jìn)行以下操作：①折疊三角形紙片N5C,使點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，得到折痕②將

△DEC繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△。aG,點(diǎn)E,G,當(dāng)直線G尸與邊/C相交時交點(diǎn)為與邊

相交時交點(diǎn)為N.

【數(shù)學(xué)思考】如圖1：

第6頁（共28頁）

(1)折痕DE的長為_________________；

(2)試判斷與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

【數(shù)學(xué)探究】

(3)如圖2,當(dāng)直線GB經(jīng)過中點(diǎn)N時，求此時的長度；

【問題延伸】

(4)在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DG,3c時，是否存在點(diǎn)M,請求的長度；若不存在

EC

圖1圖2備用圖

第7頁(共28頁)

2025年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案A.DC.ACBBCDB

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，5有一項(xiàng)是符合題

目要求的.）

1.（4分）在2,-1,TT,-遍四個數(shù)中（）

A.-V5B.2C.TTD.-1

【解答】解：V-V5<-1<3<TT,

，最小的數(shù)是：-■'/弓.

故選：A.

2.（4分）篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功.如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為

)

從正面看

故選：D.

3.（4分）第三十三屆夏季奧運(yùn)會中，來自全球206個國家和地區(qū)的代表團(tuán)的10500位運(yùn)動員齊聚巴黎,

向全世界奉獻(xiàn)了一場精彩的體育盛宴.中國體育代表團(tuán)在這次奧運(yùn)會中獲得40枚金牌（）

A.105X103B.10.5X102C.1.05X104D.0.105X106

【解答】解：10500=1.05X104.

第8頁（共28頁）

故選：c.

4.（4分）如圖，已知直線機(jī)〃”將含30°角的直角三角板N2C按如圖方式放置，則N2的度數(shù)為（

A.20°B.30°C.40°D.50°

【解答】解：?..直線機(jī)〃小

AZ2+ZABC+Z\+ZBAC^1SQ0,

VZABC^30°,ZBAC=9Q°,

.".Z2=180°-30°-90°-40°=20°,

故選：A.

5.(4分)估計(jì)版(72W3)的值應(yīng)在(）

A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.9和10之間

【解答】解：V8(V3+V8)

=我xVs+V?X72

=V24+4

=4通+4，

?/V8<V6<V6.25,

8<V6<2.7,

/.4<2V3<5,

8<4V6+4<7,

故選：C.

6.(4分)下列計(jì)算正確的是()

A.a+2a=3a2B.a5-i-a2=a3

C.(-〃)2?Q3=_/D.(2/)2=2Q6

【解答】解：Q+2Q=3Q,則4不符合題意;

Q6+Q2=“3,則B符合題意；

(-a)8?Q3=Q5,則。不符合題意；

（6〃3）2=8Q6,則。不符合題意;

第9頁（共28頁）

故選：B.

7.（4分）如圖，已知48,BC,在同一平面內(nèi)，以為邊在該正〃邊形的外部作正方形BCMN.若/

C.8D.6

【解答】解：在同一平面內(nèi)，以8C為邊在該正〃邊形的外部作正方形8cMM

:./NBC=90°,

：.ZABC=360°-90°-126°=144°,

...正"邊形的一個外角為180°-144°=36°,

:.n的值為即&—=10,

36°iu

故選：B.

8.（4分）甲、乙兩人在2025年新上映的四部熱門電影《哪吒之魔童鬧?！贰短铺?900》《熊出沒重啟未

來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》中各自隨機(jī)選擇了一部影片觀看（兩人選擇每部電影的機(jī)會均等），則兩

人恰好選擇同一部影片進(jìn)行觀看的概率是（）

A.-1B.AC.AD.Z

3243

【解答】解：把《哪吒之魔童鬧?！贰短铺?900》《熊出沒重啟未來》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》四部影

片分別記為/、B、C、D,畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知：共有16種等可能的結(jié)果，其中二人恰好選擇同一部影片觀看的結(jié)果有4種，

???兩人恰好選擇同一部影片進(jìn)行觀看的概率是-乞=9，

164

故選：C.

9.（4分）如圖所示為某新款茶吧機(jī)，開機(jī)加熱時每分鐘上升20℃,加熱到100℃,水溫開始下降，此時

水溫y（°C）（min）成反比例關(guān)系.當(dāng)水溫降至20℃時，飲水機(jī)再自動加熱，水溫V與通電時間x之間

的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

第10頁（共28頁）

A.水溫從20℃加熱到100℃,需要4加〃

B.水溫下降過程中，夕與X的函數(shù)關(guān)系式是y=幽

X

C.上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天10：30水溫為40℃

D.在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40℃的時間為Smin

【解答】解：水溫從20℃加熱到100℃,需要的時間為（100-20）4-20=4（min）,

正確，不符合題意；

設(shè)水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是>=&,

X

將坐標(biāo)（4,100）代入y=K,

X

得ioo=K,

8

解得左=400,

水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是>=理2,

x

正確，不符合題意；

當(dāng)y=20時，得20=駟L,

y

解得y=20,

水溫從20℃加熱到100℃,再降到20℃所用時間為20min,

'20x+20（0<x<4）

水溫與通電時間之間的函數(shù)關(guān)系式為>=?400-,，

yX-^（3<x<20）

X

上午10點(diǎn)到10：30共30分鐘，則30-20=10（分鐘），

當(dāng)x=10時，得了=%,

10

上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天10：30水溫為40℃,

；.C正確，不符合題意；

當(dāng)0WxW4時，當(dāng)y=40時，

第11頁（共28頁）

解得％=6,

當(dāng)4<xW20時，當(dāng)y=40時，得理2,

X

解得％=10,

10-1=2(min),

???在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40℃的時間為9mm,

工。不正確，符合題意.

故選：D.

10.(4分)對于實(shí)數(shù)a,b,定義新運(yùn)算a*6=,a"ab(a>b),若函數(shù)尸狀⑵-1)(

b2-ab(a<b)

①方程x*(2x-1)=0的解為x=0或x=l；

②關(guān)于x的方程x*(2x-1)=機(jī)有三個解，則OWmvL；

2

③當(dāng)時，歹隨x增大而增大；

2

④當(dāng)X>JL時，函數(shù)y=x*(2x7)有最大值0.

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①當(dāng)x22x-l時，即xW3,

x*(2x-1)

=、3-X(2x-1)

=x3-2X2+X

=-x8+x,

；?-x2+x=0,

：?x=7或x=l；

當(dāng)％V2x-8時，即x>l,

x*(2x-5)

=(2x-1)8-x(2x-1)

=5x2-4x+5-2X2+X

=4x2-3x+2,

2x2-6x+l=0.

.,.x=8(不符合題意)或％=工(不符合題意)，

2

第12頁(共28頁)

綜上所述，方程X*(4x-1)=0的解為x=6或x=l.

②由①可得：當(dāng)x22x-4時，即xWl?+x=-(x-旦)2+—,

24

A-x2+x的最大值為

4

當(dāng)x<2尤-7時，即X>12-6X+1=2(x--)--,

44

2x2-5x+l的最小值為--1,

4

綜上，于X的方程X*(2x-1)=加有三個解〈工.

8m3

.??②的結(jié)論不正確；

當(dāng)x<1時，y=-x2+x,

V-4<0,

...拋物線的開口方向向下，X<A,

5

.?.③的結(jié)論正確；

當(dāng)x>l時，函數(shù)了=2》6-3x+l=5(x--)-―,

48

V2>6,

拋物線的開口方向向上，x>l,

.?.當(dāng)x>工時，函數(shù)y=x*(2尤-1)沒有最大值.

4

④的結(jié)論不正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①③.

故選：B.

二、填空題：(本大題共5個小題，每小題4分，共20分.)

11.(4分)分解因式：/-5x=x(x-5).

【解答】解：X2-5x=x(x-3).

故答案為：x(x-5).

12.(4分)一只不透明的袋中裝有8個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后每次隨機(jī)從袋

中摸出一個球，摸到白球的頻率是0.4,則袋中約有紅球12個.

【解答】解：由題意可得，

袋中約有紅球：84-0.6-8

=20-8

第13頁(共28頁)

=12（個），

故答案為：12.

13.（4分）在一次函數(shù)y="-5）x-3中，夕隨x的增大而減小，則左的值可以是1（答案不唯一）（任

意寫出一個符合條件的數(shù)即可）.

【解答】解：???在一次函數(shù)》=（左-5）x-3中，y隨x的增大而減小，

：.k-7<0,

解得：k<5,

為正整數(shù)，

左值可以為3（答案不唯一）.

故答案為：1（答案不唯一）.

14.（4分）如圖，扇形紙扇完全打開后，扇形4BC的面積為1200TTC/,/R4c=120°,BD=2AD,則

BD的長度為40。力.

【解答】解：^AD=xcm,則5D=24D=2xCM由題意可得，

120K2￡lMl=12oOTr,

360

解得x=20（負(fù)值舍去），

.".BD=2x=4Q（cm）.

故答案為：40cm.

15.（4分）如圖，在菱形/BCD中，ZABC=60°,連接/尸，將尸沿著4P折疊，連接點(diǎn)尸是

的中點(diǎn)，則CF的最小值為,芥-1.

【解答】解：延長。C至點(diǎn)。，使得CD=CQ,EQ,

,點(diǎn)尸是。E的中點(diǎn)，

第14頁（共28頁）

:.CF是ADEQ的中位線，

:.CF=XEQ,

當(dāng)EQ取最小值時，CF有最小值，

連接NC,

:四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=2,BC//AD,

：/B=60°,

***4ABe是等邊三角形，

：.CQ=AC=CD=2,ZADQ=ZB=60°,

ZBCQ=ZADQ=60°,

9：BCLAQ,垂足為"，

：.ZQ=30°,AQ=2QM.

：.CM=1JCQ=\,

42

?<-QM=7CQ-CM=Vs，

：.AQ=3y[3,

由折疊可知N￡=3/=2,

XAE+EQ^AQ,

:.EQ,AQ-AE,

當(dāng)點(diǎn)/,E,。共線時、幾-2,

此時CF的最小值為愿-8,

故答案為：Vs-1.

三、解答題：（本大題共10個小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.）

1~1

16.（7分）計(jì)算：||-2sin60°+（―）+（2025-兀）口,

第15頁（共28頁）

￡

【解答】解：||-2sin60°++（2025-兀）3也

=Vs-4乂也

2

=V3-J^+3+3+2

=6.

2（xT）+1>-5

17.（7分）解不等式組/i+x，并寫出它的所有正整數(shù)解.

卜14工

’2（x-l）+6〉-5①

【解答】解：』5+x今，

X-15-。

解不等式①得，x>-2；

解不等式②得，xW3,

所以不等式組的解集為：-2<xW3,

則不等式組的正整數(shù)解為4,2,3.

18.（7分）如圖，四邊形48CD是矩形，點(diǎn)￡和點(diǎn)尸在邊3。上，求證：AF=DE.

BEFC

【解答】證明：?.?四邊形/BCD為矩形，

：.AB=CD,ZB=ZC=90°,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF.

即：BF=CE,

在和△DC￡中，

'AB=CD

<NB=NC，

,BF=CE

:.AABF沿ADCE（SAS'）,

：.AF=DE.

19.（8分）【問題背景】某學(xué)習(xí)小組研究一種手提電腦支架設(shè)計(jì)的科學(xué)性，如圖①所示，它的側(cè)面可視作

如圖②，NC為支撐桿，CD為電腦托板，C轉(zhuǎn)動，測得NC=16c%

【實(shí)驗(yàn)研究】繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動，調(diào)節(jié)角度，測量數(shù)據(jù)

第16頁（共28頁）

任務(wù)1：若NA4c=30°,NACD=75。，求此時電腦托板的最高點(diǎn)。離底板N3的距離（精確到QAcm,

【應(yīng)用研究】為了適應(yīng)個性化需要，增強(qiáng)舒適度，進(jìn)行應(yīng)用研究.

任務(wù)2：陳老師工作時習(xí)慣于把電腦打開成大于120°角（如圖③，ZCDE>120°.現(xiàn)小甬同學(xué)為陳

老師準(zhǔn)備電腦，把電腦展開后發(fā)現(xiàn)電腦屏幕垂直于底板點(diǎn)。到底板N3的距離C"是4c〃z,問

這樣是否符合陳老師的工作習(xí)慣？說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：sinl4.48°-0.25,cos75.52°20.25,tan14.04°-0.25）

【解答】解：任務(wù)1：在圖②中，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)過點(diǎn)C作以于點(diǎn)尺,

在RtZk/Q?中，sin/B/C=里，

AC

.,.MN—CR—AC,smZBAC—16X—=8(cm),

7

在RtZVJNC中，ZDCN=ZACD-ZACN=ZACD-ZCAR=15°-30°=45°,

VsinZ￡>C7V=M,

CD

DN=CD?sinZDCN=20X14.1(cm),

6

DM=DN+MN^14.1+2=22.1(cm),

即點(diǎn)。離底板的距離約為22.1c加；

任務(wù)6：不符合陳老師的工作習(xí)慣，理由如下:

在圖③中，延長ED交A8于點(diǎn)尸，

在RtzXNC”中，sinZCAH=^=-^-,

AC16

：.ZCAH^14A8°,

,/CKLDF,EDLAB,

J.DF//AB,

第17頁（共28頁）

AACK=ZCAH=14.48°,

；./DCK=/ACD-/ACK=40°-14.48°=25.52°,

/.ZEDC=ZCDK+ZDCK=90°+25.52°=115.52°<120°,

不符合陳老師的工作習(xí)慣.

③

②

20.(8分)如圖，ZX/BC中，ZACB=90°,以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑作圓與N5相切于點(diǎn)。

(1)求證：N4BC=2/4CD；

(2)若。。的半徑為3,NC=8,求8c的長.

【解答】（1）證明：連接。。，如圖,

為。。的切線，

：.OD±AB,

：.ZODA=ZODB=90°,

VZACB=90°,

：.ZABC+ZCOD=ISO°,

VZAOD+ZCOD^ISO0,

第18頁(共28頁)

???/ABC=/AOD,

OC=OD,

：./ACD=/ODC,

：.ZAOD=ZACD+ZODC=2ZACD,

：.ZABC=2ZACD；

(2)解：???。。的半徑為3,4C=8,

：?OD=OC=3,

：.AO=AC-OC=3f

在RtA^OD中，

?,?^￡)=7AO2-OD2=：8,

?：/OAD=/BAC,ZADO=ZACB,

：./\AOD^/\ABC,

?OD—ADpn3—4

BCACBC2

21.（9分）某學(xué)校開展了“校園科技節(jié)”活動，活動包含創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽、科技競賽兩個項(xiàng)目.為了解學(xué)生

的創(chuàng)意設(shè)計(jì)水平，從全校學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績（成績?yōu)榘?/p>

分制，用x表示），704M80,804<90

下面給出了部分信息：

70<xV80的成績?yōu)椋?/p>

71,71,72,73,73,74,74,76,76,77,78,78,79,79.

第19頁（共28頁）

創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的頻數(shù)分布直方圖創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息解決下列問題：

（1）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

（2）所抽取學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績的中位數(shù)是78分；

（3）請估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù)；

（4）根據(jù)活動要求，學(xué)校將創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績、科技競賽成績按2：3的比例確定這次活動各人的綜合

成績.

某班甲、乙兩位學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績與科技競賽成績（單位：分）如下:

創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽科技競賽

甲的成績9590

乙的成績9295

通過計(jì)算，甲、乙哪位學(xué)生的綜合成績更高？

【解答】解：（1）V104-20%=50,而70<x<80有20人,

.?.80Wx<90有50-20-5-10=15,

第20頁（共28頁）

而70Wx<80的成績?yōu)椋?/p>

71,71,72,73,74,75,76,77,78,79,79.

???50個成績按照從小到大排列后，排在第25個，78；

中位數(shù)為78+78=78（人），

2

故答案為：78；

（3）估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù)為：

1500X15+6=600（.人）,

50

答：估計(jì)全校1500名學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)比賽成績不低于80分的人數(shù)為600人；

（4）甲的成績?yōu)椋?5X2+9°X3=92（分）；

5+3

乙的成績?yōu)椋?2X2+95X7=93.6（分）

2+3

???乙的綜合成績更高.

22.（10分）【問題背景】2025年4月23日是第30個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境,

某學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，現(xiàn)需購進(jìn)20個書架用于擺放書籍，

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有/,3兩種書架可供選擇，/種書架的單價(jià)比8種書架單價(jià)高20%；

素材二：用14400元購買/種書架的數(shù)量比用9000元購買2種書架的數(shù)量多6個；

素材三：/種書架數(shù)量不少于2種書架數(shù)量的工；

3

【問題解決】

問題一：求出4,5兩種書架的單價(jià)；

問題二：設(shè)購買。個N種書架，購買總費(fèi)用為1V元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式

【解答】解：問題一：設(shè)3種書架的單價(jià)為x元，則/種書架的單價(jià)為x（1+20%）=1.5x元，

14400_9000=s

1.2xx

解得x=500,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=500是原分式方程的解，

*,*1.2x=600?

答：/種書架的單價(jià)為600元，2種書架的單價(jià)為500元；

問題二：由題意可得，

w=600a+500(20-a)=100a+10000,

第21頁（共28頁）

-：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的旦,

3

（20-a）,

6

解得a25,

...當(dāng)a=5時，w取得最小值，20-a=15,

即卬與。的函數(shù)關(guān)系式為w=100a+10000,費(fèi)用最少時的購買方案是購買A種書架6個.

23.（10分）物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體質(zhì)量x（千克）（厘米）與

所掛物體質(zhì)量千克）之間的關(guān)系，有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)y有錯誤，重新測量后，并修改了表中

這個數(shù)據(jù).

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

X01020304050

y6912171821

（1）你認(rèn)為表中第4次數(shù)據(jù)y是錯誤的？正確的值是"=15.

（2）觀察表中數(shù)據(jù)，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上

（3）當(dāng)彈簧長度為30厘米時，求所掛物體的質(zhì)量.

（4）若某同學(xué)在測量時第一次所掛物體的質(zhì)量為xi,記錄對應(yīng)的彈簧長度為刀；第二次所掛物體的質(zhì)

量為X2,記錄對應(yīng)的彈簧長度為了2,當(dāng)X2-X1=14時，V2-VI的值為4.2.

【解答】解：（1）由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得發(fā)現(xiàn)，y增加3,

.,.當(dāng)x=30時，^=6+5X3=15,正確的值是y=15.

故答案為：4,15.

（2）由各點(diǎn)的分布規(guī)律可知，它們在同一條直線上，

.”是x的一次函數(shù).

設(shè)這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為夕=履+6（k、6為常數(shù).

將坐標(biāo)（3,6）和（10,

.（b=6

110k+b=3

?（k=0.3

'（b=7'

這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=0.3x+4（0WxW50）.

（3）當(dāng)y=30時，0.8x+6=30,

當(dāng)彈簧長度為30厘米時，所掛物體的質(zhì)量為80千克.

第22頁（共28頁）

（4）根據(jù)題意，得yi=3.3xi+6①，＞2=0.3%2+6②，

②-①，得/-歹1=0.2（X2-xi）,

?X3

，"一”=0.3X14=2.2.

故答案為：4.4.

24.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yua/+bx-3（°、6為常數(shù)且aWO）.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3,0）、（2,-3）兩點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)直線/：y=x+a與拋物線交于點(diǎn)/、3時（點(diǎn)/在點(diǎn)3的左側(cè)），使得△ABC

的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸為直線x=l,當(dāng)直線y=x+a與拋物線y=ox2+6x-3有兩個交點(diǎn)時，直接寫出

a的取值范圍.

備用圖

【解答】解：（1）由題意得：［°=9a+5b-3,

I-3=8a+2b-3

解得：卜=3,

lb=-2

故拋物線的表達(dá)式為：y=x2-5x-3；

（2）存在，理由：

第23頁（共28頁）

由(1)知，〃=1,

聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：x+6=x2-2x-6,則x=-1或4,

即點(diǎn)4、5的橫坐標(biāo)分別為：