2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練：圓中切線證明

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練

圓中切線證明專(zhuān)題訓(xùn)練

1.如圖，已知AS是0。的直徑，△的為。。的內(nèi)接三角形，C為B4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD,。尸_LAD于點(diǎn)E,交

CD于點(diǎn)尸，XADC=ZAOF.

⑴求證：是。。的切線.

(2)若sinC=；,BD=,求AD的長(zhǎng).

2.如圖，在。。中，直徑5與弦BC交于點(diǎn)尸，AC=BC,過(guò)點(diǎn)C作CE_LBD,與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

⑴求證：CE是O。的切線;

(2)若AB=6,4C=3M,求CP的長(zhǎng).

3.如圖，已知EC是。。的直徑，A在。。上，點(diǎn)。是VABC的內(nèi)心，BO的延長(zhǎng)線與。。相交于點(diǎn)E,過(guò)E作直線

EG//AC.

⑴求證：EG是O。的切線;

(2)若AE=?BC=6,

①求AB的長(zhǎng)；

②直接寫(xiě)出DF的長(zhǎng)度：.

4.如圖，VABC內(nèi)接于。。，BC是。。的直徑，過(guò)C4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)D作DG_LBC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F是。E

的中點(diǎn)，連接川.

(1)求證：”是＜3。的切線；

⑵若BG=OG=8,tanB=-,求”的長(zhǎng).

5.如圖，已知8為O。的直徑，ACJ.CD弦DE〃OA,直線AE,8相交于點(diǎn)B.

⑴求證：直線隹是。。的切線；

(2)當(dāng)AC=2,BE=4時(shí)，求。。的半徑.

6.如圖，在RSO鉆中，ZA=90。，延長(zhǎng)A。到點(diǎn)。，使OC=OA,在以。為圓心，AC為直徑的半圓上取一點(diǎn)

使連接30.

COA

(1)求證：瓦)是。。的切線；

⑵若CD=6,OB=g,貝！|。。的半徑長(zhǎng)為

7.如圖，在VABC中，AB=BC,AB為0。的直徑.AC與。。相交于點(diǎn)0.過(guò)點(diǎn)。作DE_LBC于點(diǎn)E,CB延長(zhǎng)線交0。

于點(diǎn)F.

(1)求證：DE為0。的切線；

⑵若BE=3,BF=8,求AD的長(zhǎng).

8.如圖，已知AB是。。的直徑，點(diǎn)尸在BA的延長(zhǎng)線上，弦BC平分NPBD,且BD_LP￡＞于點(diǎn)D

⑴求證：P。是。。的切線;

(2)若AB=4,BD=3,弧AC的長(zhǎng)為.

9.在VABC中，AB=BC,以AB為直徑的。。與AC交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作DF_LBC,交AB的延長(zhǎng)線于E,垂足為F.

⑴如圖①，求證：直線DE是G)。的切線;

(2)如圖②，作DG_LAB于H,交。。于G,若鉆=5,AC=8,求DG的長(zhǎng).

10.如圖，在VMC中，AB=AC,以AB為直徑作。。，分別交BC于點(diǎn)D,交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。H_LAC

于點(diǎn)H,連接DE交線段0A于點(diǎn)F.

(1)求證：是。。的切線；

⑵若E4=EF=1,求。。的半徑.

11.如圖，AB為＜3。的直徑，AC是。。的一條弦，作NBAC的平分線與。。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線DE1AC,

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接DB.

⑴求證：DE是。。的切線.

⑵若AE=6,DE=4,求圓心。到AD的距離.

12.如圖，的是。。的弦，過(guò)圓心。作8，居于點(diǎn)D,延長(zhǎng)8交。。于點(diǎn)F,與過(guò)點(diǎn)A的。。的切線交于點(diǎn)E,連

接BE.

⑴求證：BE是。。的切線.

⑵若AB=46,DF=2,求線段EF的長(zhǎng)及陰影部分的面積.

13.如圖，在VABC中，AB=AC,AO_LBC于點(diǎn)。，OE_LAB于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓心，OE為半徑作半圓，交A。于

點(diǎn)尸.

⑴求證：AC是。。的切線;

（2）若點(diǎn)尸是。A的中點(diǎn)，OE=3,求圖中陰影部分的面積;

⑶在（2）的條件下，點(diǎn)尸是EC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng).

14.如圖，AB是。。的一條弦，C為。。外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作A。的垂線，分別交AB,AB,A。于點(diǎn)G,點(diǎn)、E,點(diǎn)、D,

（備用圖）

⑴求證：BC是＜3。的切線;

⑵若3尸是半圓，

①求證：CD-DF=OD-

②若AE=a,BE=b,求所的長(zhǎng)(用含。、匕的代數(shù)式表示).

15.如圖，為。。的直徑，C為取延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。為。。上一點(diǎn)，連接A。，ZADC=ZBf作于點(diǎn)E,

交CD于點(diǎn)F.

⑴求證：CD是OO的切線.

(2)若NC=30。，BD=18f求5的長(zhǎng).

?2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓中切線證明專(zhuān)題訓(xùn)練》參考答案

1.(1)詳見(jiàn)解析

(2)2

【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的判定定理進(jìn)行證明，利用圓的

性質(zhì)得出等邊三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解；

(1)連接根據(jù)。尸和=尸證明ODLCZ)即可；

(2)根據(jù)sinC=g得出NC=30。，NCOD=60。，得出是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接“，

:OFLAD,

ZAEO=90°,

/.ZOAD+ZAOF=90°,

,OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

\ZADC=ZAOF,

.-.ZAZ)C+ZODA=90°,

NODC=90。，

/.OD1CD

???8是。。的半徑，

??.8是。。的切線；.

(2)解：在RtZV7QC中，sinC

/.ZC=30°,ZCOD=60°,

\OA=OD,

：.^OAD是等邊三角形，

ZOAD=60°,

???他是直徑，

ZBZM=90°,

4_BDBD_26

在RtAABD中，rt

~BADtan60°y/3

2.(1)證明見(jiàn)解析

⑵得而

【分析】(1)連接。BQC,先判斷出。C垂直平分再根據(jù)圓周角定理可得?的90?,根據(jù)平行線的判定可

得CE〃鈣，從而可得CELOC,然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

（2）連接。及"，延長(zhǎng)C。，交的于點(diǎn)F,先利用勾股定理可得CF的長(zhǎng)，再設(shè)。。的半徑為r（r>0）,則

OB=OC=r,AD=2r,OF=9-r,利用勾股定理可得，?的值，從而可得。GAD的長(zhǎng)，利用勾股定理可得BD的長(zhǎng)，然

后證出ACOPSRDP,禾lj用相似三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。B.OC,

?AC=BC,

：.AC=BCf

又<OA=OBf

：."垂直平分AB,

AZ）是。。的直徑，

2ABD90?,§P

\*CEVBD,

...CE//AB,

CE1OC,

又丁oc是。。的半徑，

???CE是。。的切線.

（2）解：如圖，連接O5OC,延長(zhǎng)CO,交AB于點(diǎn)F,

由（1）已得：CF垂直平分AB,

BF=-AB=-x6=3CFLAB,

22f

VAC=BCfAC=3A/10,

BC=AC=3>/i0,

CF=VBC2-BF2=9，

設(shè)O。的半徑為（>0）,貝!]O3=OC=r,AD=2r,

；?OF=CF-OC=9-rf

在RtABOF中，OF2+BF2=OB2,即（9一rf+32=r2,

解得「=5,

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

/.OC=5,AD=2x5=10,

AD是。。的直徑，

：.?ABD90?,§PAB±BD,

BD=y]AD2-AB2=8，

又?.?CF_LAB,AB±BDf

CF〃BD,

：.xCOPs^DP,

.CP_PC_5

..而一茄一W，

o

BP=-CP,

又?:CP+BP=BC=3M,

...CP+-CP=3y/10,

.?.CP=—x35/Io=—Vio.

1313

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、弧與弦的關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平

分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定和圓周角定理是解題關(guān)鍵.

3.⑴見(jiàn)解析

（2）①的長(zhǎng)為4;②5而嚴(yán).

【分析】⑴連接。石，交AC于點(diǎn)H,貝ljN0E5=NC3石，由叱是。。的直徑，點(diǎn)。是VABC的內(nèi)心，得N8AC=90。，

ZABE=/CBE,貝（jNOES=Z4B￡,所以O(shè)E〃四，貝［JNOHC=Zfi4c=90。，而￡G〃AC,所以NO￡G=NSC=90。，即可證

明石G是0。的切線；

（2）①連接CE,貝lj4￡C=90。，由=得AE=CE,貝ljAE=CE=?,因?yàn)?c=6,所以O(shè)E=；3C=3,由ZH4E=NCBE,

得莊=sinNHAE=sin/CBE=生=立,求得HE=^AE=1,貝?。?0=2,由AH=C",BO=CO,得AB=2HO=4；

AEBC66

②作于點(diǎn)Z,由4AD=NC4￡）=45。，推導(dǎo)出AZ=￡>/,求得BEABC?-CE?=圓,貝U告=tanZA8￡=tan/CBZ="||=+,

tsiB匕

所以BI=^DI,小DI+DI=4,求得D1=下—1,由理=cosNA3E=cosNC跳;=殷=畫(huà)，求得3尸=拽^,由

BFBC65

生=sin/ABE=sinNCBE=也，求得B?=屈-卡，則DF=BF-BD=5舁回,于是得到問(wèn)題的答案.

BD65

【詳解】（1）證明：連接。石，交AC于點(diǎn)H,

貝!j0E=03,

:./OEB=NCBE,

???叱是。。的直徑，點(diǎn)。是VABC的內(nèi)心,

.-.ZBAC=90°,ZABE=ZCBE.

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

:.^OEB=ZABE,

：.OE//AB,

NOHC=ZBAC=90。.

\'EG//AC,

:.NOEG=NOHC=90。.

?.?OE是。。的半徑，且團(tuán)人。%

「?EG是0。的切線.

（2）解：①連接

貝l]ZBEC=90。，

???ZABE=NCBE,

AE=CE.

AE=CE—娓.

vBC=6,

\OE=-BC=3.

2

?；NHAE=NCBE,NAME=90。，

/.=sinZHAE=sinZCBE=.

AEBC6

:.HE=—AE=—x6=l,

66

HO=OE-HE=3=1=29

?.?OE_LAC于點(diǎn)H,

:.AH=CH,

???BO=CO,

:.AB=2HO=4f

.的長(zhǎng)為4.

②作于點(diǎn)/,貝(JZA7Z)=NH￡)=90。,

/BAD=ZCAD=-NBAC=45°,

2

—=tan45°=1,

AI

:.AI=DI.

?.BE=y/BC2-CE2=府—函)2=病,

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

CE_76_1

—=ianZABE=tanZCBE

BIBE—病一正

BI=y/5DI.

AB=BI+AI=>/5DI+DI=4.

DI=y/5-l.

.嘿=c°sZABE=c°sNCBE=翳呼,

盤(pán)、4=返

:.BF

V305

,/——=sinZABE=sinZCBE=——,

BD6

.?.5D=n￡>/=nx(?-1)=病-#.

:.DF=BF-BD=^p--^430-46)=5^~^.

故答案為：境淖.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、勾股定理、解

直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見(jiàn)解析

(2)AF=13

【分析】本題主要考查切線的判定，正切值的計(jì)算，掌握直徑所對(duì)圓周角為直角，等邊對(duì)等角，直角三角形

斜邊中線等于斜邊的一半，正切值的計(jì)算方法是關(guān)鍵.

(1)連接。A,由直徑所對(duì)圓周角為直角得到NB4C=9O。，由直角三角形斜邊中線得到AF=DF=EF二OE,由等

邊對(duì)等角得㈤￡=NBEG,根據(jù)垂直的定義得ZB+NBEG=90。，根據(jù)等邊對(duì)等角得ZB=/ft4B,則NQ4?+NK1E=9O。，

ZOAF=90%結(jié)合切線的判定即可求解；

(2)根據(jù)題意得GC=OG+OC=8+16=24,在RtABGE中，tanB=g=],可得GE=6,根據(jù)角的計(jì)算得到ZB=ZD,

tfU4

qnr_GC_24_

貝hanD=tanB=.在RtADGC中，℃=嬴5=§=32,則比=26,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可求

4

解.

【詳解】(1)證明：連接以，

是。。的直徑，

ZBAC=90°f

^DAE=90°,

??,在RtzJME中，點(diǎn)方為DE的中點(diǎn),

AF=DF=EF=3DE,

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

..ZFAE=ZFEA,

\*ZFEA=ZBEGf

NFAE=NBEG,

?/DG±BCf

ZBGE=90°,

ZB+ZBEG=90°f

;OA=OB,

ZB=ZOABf

ZOAB+ZFAE=9Q°f

Z(MF=90°,

OA±AF,

??,3為0。的半徑，

???川是O。的切線.

(2)解：???BG=OG=8,

OC=OB=BG+OG=16,

GC=OG+OC=8+16=24,

在RtABGjE中，tanB=――=—,

B(J4

3

GE=5GtanB=8x'=6,

4

ZB+/BEG=90°,ZD+ZDEA=90°,ZDEA=ZBEG,

ZB=ZD,

.3

tanD=tanB=—.

4

MGC_24

???在RtADGC中，tan。一3一,

4

，DE=DG-GE=32-6=26,

?，?AF=-DE=13.

2

5.(1)詳見(jiàn)解析

(2)。。的半徑長(zhǎng)為a

【分析】(1)連接OE,貝！J。￡=。。=。。，所以NOED=/ODE，由DE〃tM,得ZOED=ZAOE,NODE=ZAOC,貝!]ZAOE=ZAOC,

可證明AAOE0AAOC,得/困=NC=90。，即可證明直線AE是。。的切線；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=2,而陽(yáng)4,所以"=6,則3?！┙?_=2=40,由tan3=1f=某=坐，求

BEBC4

得OE=與BE=6,貝！1。。的半徑長(zhǎng)為

【詳解】(1)證明：連接。石，貝1|?！?。。=。-

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

A

:.ZOED=ZAOE,ZODE=ZAOC,

ZAOE=ZAOC,

在八40￡和△A。。中，

OE=OC

"AAOE=ZAOC,

OA=OA

.-.△AOE^AAOC(SAS),

QAC1CD,

:.ZOEA=ZC=90°f

????！晔?。。的半徑，且AE_LO￡,

二直線AE是OO的切線.

(2)角尾：由(1)得"=90°,小AOEAAOC,

:.AE=AC=2,

?.?5石=4,

:.AB=AE+BE=2+4=6f

:.BC=>]AB2-AC2=762-22=472，

/OEB=90。,

?OEAC2y/2

tano===—產(chǎn)=,

BEBC4V24

:.OE=^BE=—x4=y/2,

44

二。。的半徑長(zhǎng)為應(yīng).

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、

解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵

6.⑴見(jiàn)解析

⑵5

【分析】(1)連接。，貝!JOD=OC=(M,證明△BO￡*ABQA,可得NODB=NOAB=90。，從而可得答案；

⑵連接犯證明△CZMs△。也可得唱=點(diǎn)，進(jìn)一步可得答案.

AUUD

【詳解】(1)證明：連接O。，則OQ=OC=OA,

:.ZODC=ZC,

.-CD//OB,

NODC=/BOD,ZC=/BOA,

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

OD=OA

在小。。和△友M中，ZBOD=ZBOAf

OB=OB

:.ZODB=ZOAB=90°f

???。。是。。的半徑，且BD_LOD,

???瓦）是。。的切線.

（2）解：連接AD,

「AC是。。的直徑,

:.ZCDA=90°,

:.ZCDA=ZOAB=90°f

又ZAOB=ZC,

:.△CDM△OAB,

DCAC日”￡=

,'而=礪，即：A0*

解得：AO=5.即圓的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性

質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

7.⑴見(jiàn)解析

⑵何

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵熟練掌握切線的判定.

（1）根據(jù)已知條件證得。0WC即可得到結(jié)論；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)。作?！鄙限D(zhuǎn)于點(diǎn)H,則NC?E=NDEH=NSE=90。，構(gòu)建矩形ODEH,根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定

理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。。，

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

,OA=OD,

EB

:.ZA=ZADOf

\AB=BC,

.-.ZA=ZC,

\'ZADO=ZCf

:.OD//BC,

,:DEIBC,

:.DE±ODf

???0。是。。的半徑，

二?DE是。。的切線

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作O"_LAF于點(diǎn)則/ODE=ZD￡W=NQHE=90。,

四邊形是矩形,

:.OD=EH,OH=DE,

：.OF=OBf

:.BH=FH=4,

:.OD=EH=OB=1f

22

:.AB=2OD=14fOH=y/OB-BH=733,

:.DE=0H=?

：.BD=>]DE2+BE2

?.?M是。。的直徑,

:.ZADB=90°

:.AD=ylAB2-BD2=y/15i?

8.(1)證明見(jiàn)解析

⑵與

［分析】(1)連接OC,等邊對(duì)等角得到ZOCB=ZOBC,角平分線得到ZOBC=NZ汨C,推出OC〃如，進(jìn)而得到0CLPD,

即可得證；

(2)證明求出外的長(zhǎng)，進(jìn)而求出-4OC的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：連接"，如圖，

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

ZOCB=ZOBC.

?.?弦3c平分一尸3。，

NOBC=NDBC,

，ZOCB=ZDBC.

OC//BD,

?BD±PDf

：.OC1PD.

???oc為。。的半徑,

???P￡＞是。。的切線;

(2)解：連接"，如圖,

由(1)知：OC//BD,

：.△PCMAPDB,

,PCPO

''~BD~~PB"

.2_PA+2

，*3-PA+4

PA=2.

I.PO=PA+OA=4.

在RSOCP中,

,/cosZCOP=—=i

OP2

/.ZCOP=60°.

=—7tx2=—

AC1803

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定以及弧長(zhǎng)的計(jì)算.同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形.熟練

掌握切線的判定方法，以及弧長(zhǎng)公式，是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見(jiàn)解析

⑵葺

【分析】(1)連接。。，由AB=6C,OA=。。,得至|J/A=/C,/A=/AD。，貝！jNC=ZAD。,得至ljOD〃5。，而。方_L5C,則

NOD￡=90。,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

(2)連接BAM是。。的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到ZADB=90。，而AB=BC,則AD=DC=4,在RtZVDB中,

利用勾股定理可計(jì)算出m=3,再利用等積法得到=可計(jì)算出。H,然后根據(jù)垂徑定理即可得解.

【詳解】(1)證明：連接。。，如圖，

.-.ZA=ZC,

\'OA=OD

：.ZA=ZADO,

ZC=ZADOf

OD//BCf

,.DF1BC,

ZODE=90°f

二直線DE是。。的切線;

(2)解：連接DB,

..ZADB=90°,

,AB=BC,

AD=DC,

AC=8,

:.AD=49

在RtAADB中，BD=>IAB2-AD2=752-42=3,

QDG_LAB于H,

由三角形面積公式，得ABDH=AI>DB,

55'

,AB±DG,

DG=2DH=—

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論，垂徑定理以及勾股定理等知

識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

10.⑴見(jiàn)解析

⑵w

【分析】（1）連接。。，利用等腰三角形性質(zhì)得到WC=NC,ZODB=ZABC,進(jìn)而得到NC=NODB,證明OD〃AC,

利用平行線性質(zhì)和切線的判定定理證明，即可解題；

（2）設(shè)OB=OD=x,利用等腰三角形性質(zhì)，圓周角定理得到。尸=BD=CD=DE=x+l,進(jìn)而得到AF,再證明VBD尸syg

利用相似三角形性質(zhì)黑=蓋建立等式求解，即可解題.

DFBD

【詳解】（1）證明：連接“，

E

?：OB=OD,

:.ZODB=ZABC,

4c=/ODB,

:.OD//ACf

?：DHA.AC,

:.ZDHC=90P,

：.ZODH=90°f

???為半徑，

是。。的切線；

(2)解：設(shè)。5=8=%,

1?,EA=EF=1,

..ZEAF=ZEFAf

.OD//ACf

:.ZDOF=ZEAFf

QZDFO=ZEFA,

ZDOF=ZEAF=ZEFA=ZDFO,

:.DF=OD=x,

:.DE=x+l,

,/AD=ADf

:.ZAED=ZABC

ZABC=NC,

:.ZAED=ZCf

CD—DE=x+l,

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

連接A。，

???A3為OO直徑，

.-.ZADB=90°,BPADJ.BC,

BD=CD=x+lf

:BE=BE，

:.ZBDF=ZEAF=ZEFA=ZBFD,

..BF=BD=x+lfNBDF^NEFA,

...4AF17=2C%—/(x+1、)=x—1,AF=AE.

、7DFBD

,x-l_1

'^"x+T'

解得x=W或-萼(不合題意，舍去)，

。。的半徑為

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，切線的判定定理，圓周角定理，相似三角

形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

11.(1)見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.

(1)根據(jù)切線的判定方法，連接。D,證出。D1DE即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。垂足為H,則OH的長(zhǎng)即為圓心。到弦AD的距離，先由勾股定理得AO=2g,進(jìn)而得A?=而,

再證明得普=焉，即可得0H的長(zhǎng)，即圓心。到AD的距離.

:.ZCAD=ZBAD,

.OA=OD,

:.ZBAD=ZADO,

:.ZCAD=ZADO,

:.AC//DO,

vDEIAC,

:.ODLDE,

又OD是OO的半徑,

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

DE是。。的切線；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作垂足為H,

則。H的長(zhǎng)即為圓心。到弦4)的距離，且AH/AD,

在RtAAfiD中，AD=>lAE2+DE2=^62+42=2-J13，

:.AH='=岳,

是NBAC的平分線，

:.ZCAD=ZDAB

又?.?O"_LA￡),DEJ.AC,

.-.△AED^AAHO,

AEDE

'AH='OH,

.64

\/13~OH9

3

即圓心。到AD的距離為季.

12.(1)證明見(jiàn)解析

(2)EF=4,陰影部分的面積為16G-竽

【分析】本題考查圓的綜合運(yùn)用，涉及垂徑定理，切線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓中陰影

面積的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OA,。5,利用得出OD垂直平分A3,得出胡=良，證明絲結(jié)合切線的性質(zhì)得出O3_L3￡

即可證明；

(2)設(shè)。。的半徑為％，則8=0尸"尸=x-2,03=%，在中，利用0。2+即2=032列式求出％=4,利用sin/03D=；,

求出NOa)=30。，則400=60。，即可求出0E和8￡,則可求出E尸，求出ZAO5=120。，利用S陰影=S四邊形。曲-S扇形曲即可

求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接OA,0B,

???AE為。。的切線,

:.OA±AE,

.\ZOAE=90°.

-,'ODIAB,

AD=BD,

即OD垂直平分

:.EA=EB.

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

在△OAE和AOBE中,

OA=OB

<OE=OE,

EA=EB

:.^OAE^OBE(SSS),

；.NOBE=NOAE=90°,

又QOB是<3。的半徑，

二BE是0。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為了，貝！|o0=OF"F=x-2,OB=X,

由(1)可知BD=：AB=2收

,OD2+BD2=OB2,

.\(X-2)2+(2^)2=X2,

解得：％=4,

:.OD=2,03=4

sinZOBD=-=-.

OB2

:.ZOBD=30°f

NBOD=60。,

'°E=^B=2OB=8,BE=°BSD=4S,

.\EF=OE-OF=S-4=4.

?:/\OAE^AOBE,

:.ZAOE=ZBOE=GO°

:.ZAOB=12QP,

S網(wǎng)彭=-^neBOA=2X-^X4X4A/3-^^=\6石——.

23603

13.（1）詳見(jiàn)解析

（2）9丁

⑶不

【分析】（1）作。HJ_AC于凡如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得A。平分4MC,再根據(jù)角平分線性質(zhì)得0H=0E,

然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）先確定NO4￡=30。，ZAOE=60°,再計(jì)算出AE=tan6（yxOE=3區(qū)然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分

的面積=S,a°「S身.即?進(jìn)行計(jì)算：

（3）作尸點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接EP交EC于P,如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)EP+FP最小，通過(guò)

證明得到尸E+PF最小值為36，然后計(jì)算出0P和。8得到此時(shí)PB的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：作。H_LAC于H,如圖，

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

AO平分NBAC,

.OELAB,OHVAC,

：.OH=OE,

；.AC是0。的切線；

(2)解：：點(diǎn)尸是A。的中點(diǎn)，

:.AO=2OF=6f

而。E=3,

:.ZOAE=30°,ZAOE=60°,

AE=tanZAOExOE=^OE=3君,

,圖中陰影部分的面積=S,「S胡斯=：x3x3G-嚅=噸產(chǎn)；

2301)2

(3)解：作尸點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/，連接E尸交BC于尸，如圖,

F

PE+PF=PE+PF'=EFf,止匕時(shí)EP+FP最小，

,OF'=OF=OE,

:.NF=NOEF,

而ZAOE=NF+ZOEF'=60°,

.?"=30。,

:.ZF,=ZEAF,,

:.EF'=EA=3y/3f

即PE+P尸最小值為373,

在RtaO尸尸中，0P=與0F=6,

在R3ABO中，OB=^OA=Rx6=26,

:.BP=26-百=也,

即當(dāng)PE+P歹取最小值時(shí)，族的長(zhǎng)為相.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂

直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”，也考查了等腰

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

三角形的性質(zhì)、解直角三角形和最短路徑問(wèn)題.

14.⑴見(jiàn)解析

(2)①見(jiàn)解析；②M=5+6

【分析】本題考查圓周角，切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

(1)連接。進(jìn)而證明根據(jù)圓的切線判定，從而求解；

(2)①連接BG,BF,判定BGC為FDO,進(jìn)而證明。尸=DG,即可求解；②連接"，證明，根據(jù)勾股

定理石尸=y/AE2+AF2即可求解；

【詳解】(1)解：連接03,

ZOAB=ZOBAf

:BC=CE,

NCEB=ZCBE=ZAED,

■.DC±AD,

:.ZOAE+ZAED=90°f

ZOBC=ZCBA+ZOBA=ZAED+Z.OAB=90°,

OB±BC,

二叱是。。的切線；

(2)解：①連接BG,BF,

???3尸是半圓，