2023-2024學(xué)年山東省泰安市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省泰安市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則值為（）A.1 B. C.2 D.e【答案】C【解析】函數(shù)，則，故，所以.故選：C2.若函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，故選：D3.函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象可知為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在每一處的導(dǎo)數(shù)值，即得，設(shè)，則連線的斜率為，由于曲線是上升的，故，所以，作出曲線在處的切線，設(shè)為，連線為，結(jié)合圖象可得的斜率滿足，即，即.故選：B4.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C.69 D.70【答案】A【解析】的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，所以的項(xiàng)的系數(shù)是.故選：A.5.為了落實(shí)五育并舉，全面發(fā)展學(xué)生素質(zhì)，學(xué)校準(zhǔn)備組建書(shū)法、音樂(lè)、美術(shù)、體育社團(tuán)，現(xiàn)將6名同學(xué)分配到這4個(gè)社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)，每名同學(xué)只分配到1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A.1200 B.1560 C.2640 D.4800【答案】B【解析】先將6名同學(xué)分為或的四組，共有種，再將4組分到書(shū)法、音樂(lè)、美術(shù)、體育社團(tuán)，共有種，所以共有種.故選：B.6.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因（*）對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，又，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，對(duì)（*）兩邊求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，且，所以，，故選：D8.已知定義在上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，，設(shè)，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BC【解析】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑯O大值，且極小值，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，共1個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；由A知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；由A知，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，需，即，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，而，即不是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，故函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的不同的球和5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有一個(gè)盒子不放球，共有120種放法C.每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有24種D.將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有5種【答案】ABD【解析】對(duì)于A，每個(gè)球都有5種放法，共有種放法，故A正確；對(duì)于B，把球全部放入盒子內(nèi)，恰有一個(gè)盒子不放球，則有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球，有種放法，故B正確；對(duì)于C，每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有種放法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒，即有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球的放法有5種，故D正確，故選：ABD.11.在探究的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們把二項(xiàng)式系數(shù)寫(xiě)成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的一些規(guī)律，我們稱這個(gè)表為楊輝三角（如圖1），小明在學(xué)完楊輝三角之后進(jìn)行類比探究，將的展開(kāi)式按x的升冪排列，將各項(xiàng)系數(shù)列表如下（如圖2）：上表圖2中第n行的第m個(gè)數(shù)用表示，即展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】依據(jù)題意結(jié)合圖2可知圖2中每一行的每一個(gè)數(shù)等于其上一行頭頂和左右肩上共三個(gè)數(shù)的和（沒(méi)有的用0代替），如：第四行的第三個(gè)數(shù)10，等于上一行頭頂上的數(shù)3加上左右肩上的數(shù)1和6；第三行中第二個(gè)數(shù)3，等于上一行頭頂上的數(shù)1加上左右肩上的數(shù)0（左肩上沒(méi)有數(shù)，故用0代替）和2；所以，對(duì)于A，由上，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由圖可知，以此類推可得，故B對(duì)；對(duì)于C，由上可知正確，故C對(duì)；對(duì)于D，因?yàn)?，，則，所以根據(jù)乘法規(guī)則的展開(kāi)式中的系數(shù)為：，又，其通項(xiàng)為，因?yàn)椋收归_(kāi)式中的系數(shù)為0，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現(xiàn)有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體的六個(gè)頂點(diǎn)，要求，用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有________種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】首先給，兩個(gè)頂點(diǎn)掛彩燈，有種方法，再給頂點(diǎn)掛彩燈，有種方法，①若、掛同一種顏色的彩燈，則有種方法，最后掛點(diǎn)有種方法，故有種；②若、掛不同種顏色的彩燈，此時(shí)掛點(diǎn)有種方法，掛點(diǎn)有種方法，最后掛點(diǎn)有種方法，故有種；綜上可得一共有種不同的方法.故答案為：13.已知的展開(kāi)式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且常數(shù)項(xiàng)與展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則________，________.【答案】①4②3【解析】中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為和，所以，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得.對(duì)于，易得通項(xiàng)公式為，其中令得，所以常數(shù)項(xiàng)為.在中，取得常數(shù)的項(xiàng)情況有兩種：選2個(gè)，1個(gè)，0個(gè)；或者選0個(gè)，0個(gè)，3個(gè).所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：4；3.14.已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】由可得，即恒成立，令，則不等式可化為：，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，故要使恒成立，只需，即，即，令，所以，令，則，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，所以，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極值.解：（1），，又，在處的切線方程為，即切線方程為.（2）令，解得，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，x20單調(diào)遞增單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為，無(wú)極小值.16.從甲、乙、丙等7人中選出5人排成一排.（以下問(wèn)題均用數(shù)字作答）（1）甲、乙、丙三人恰有兩人在內(nèi)，有多少種排法?（2）甲、乙、丙三人全在內(nèi)，且甲在乙、丙之間（可以不相鄰）有多少種排法?（3）甲、乙、丙都在內(nèi)，且甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，有多少種排法?解：（1）由于甲、乙、丙三人中恰有兩人內(nèi)，所以可以分3步完成：第1步，從3人中選中2人，有種選法.第2步，從其余4人中選出3人，有種選法.第3步，將選出的5個(gè)人全排列，有種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的排法有種；（2）由于三人全在內(nèi)，且甲在乙、丙之間，所以可以分3步完成：第1步，從其余4人中選出2人，有種選法.第2步，將2人安排到5個(gè)位置，有種方法.第3步，剩余3個(gè)位置排甲、乙、丙三人，有2種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同排法有種；（3）由于甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，所以分3步完成：第1步：從其余4人中選出2人，有種選法.第2步：將甲、乙捆綁與選出的2人排列，有種方法.第3步：將丙插空有3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同排法共有種.17.已知的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512.（1）求展開(kāi)式中有理項(xiàng)有幾項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).解：（1）所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512.令，得，，展開(kāi)式的通項(xiàng)：，，令，，3，6，9，展開(kāi)式中有理項(xiàng)共有4項(xiàng).（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大.則，解得.，，展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第3項(xiàng).18.已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，求證：.解：（1）.①當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2），恒成立，在上單調(diào)遞增，且，設(shè)，，設(shè)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，不妨設(shè)，則，，，，在上單調(diào)遞增，，即.19.①在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于極限的計(jì)算，常會(huì)用到：i）四則運(yùn)算法則：如果，則，，若，則；ii）洛必達(dá)法則1：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則；②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)，均有成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：①；②；（2）試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；并證明：，.解：（1）①根據(jù)洛必達(dá)法則1，.②設(shè)，則，設(shè)，，，.（2），，，則，，，，均有，是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).方法一：由以上同理可得，由①，得，.方法二：，設(shè)，，則，設(shè).，則，在上單調(diào)遞增，又，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，，在上單調(diào)遞增，又，.山東省泰安市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則值為（）A.1 B. C.2 D.e【答案】C【解析】函數(shù)，則，故，所以.故選：C2.若函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，故選：D3.函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象可知為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在每一處的導(dǎo)數(shù)值，即得，設(shè)，則連線的斜率為，由于曲線是上升的，故，所以，作出曲線在處的切線，設(shè)為，連線為，結(jié)合圖象可得的斜率滿足，即，即.故選：B4.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C.69 D.70【答案】A【解析】的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，所以的項(xiàng)的系數(shù)是.故選：A.5.為了落實(shí)五育并舉，全面發(fā)展學(xué)生素質(zhì)，學(xué)校準(zhǔn)備組建書(shū)法、音樂(lè)、美術(shù)、體育社團(tuán)，現(xiàn)將6名同學(xué)分配到這4個(gè)社團(tuán)進(jìn)行培訓(xùn)，每名同學(xué)只分配到1個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A.1200 B.1560 C.2640 D.4800【答案】B【解析】先將6名同學(xué)分為或的四組，共有種，再將4組分到書(shū)法、音樂(lè)、美術(shù)、體育社團(tuán)，共有種，所以共有種.故選：B.6.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因（*）對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，又，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，對(duì)（*）兩邊求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，且，所以，，故選：D8.已知定義在上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，，設(shè)，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BC【解析】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)?，極大值，且極小值，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，共1個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；由A知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；由A知，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，需，即，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，而，即不是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，故函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的不同的球和5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有一個(gè)盒子不放球，共有120種放法C.每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有24種D.將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有5種【答案】ABD【解析】對(duì)于A，每個(gè)球都有5種放法，共有種放法，故A正確；對(duì)于B，把球全部放入盒子內(nèi)，恰有一個(gè)盒子不放球，則有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球，有種放法，故B正確；對(duì)于C，每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有種放法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒，即有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球的放法有5種，故D正確，故選：ABD.11.在探究的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們把二項(xiàng)式系數(shù)寫(xiě)成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的一些規(guī)律，我們稱這個(gè)表為楊輝三角（如圖1），小明在學(xué)完楊輝三角之后進(jìn)行類比探究，將的展開(kāi)式按x的升冪排列，將各項(xiàng)系數(shù)列表如下（如圖2）：上表圖2中第n行的第m個(gè)數(shù)用表示，即展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】依據(jù)題意結(jié)合圖2可知圖2中每一行的每一個(gè)數(shù)等于其上一行頭頂和左右肩上共三個(gè)數(shù)的和（沒(méi)有的用0代替），如：第四行的第三個(gè)數(shù)10，等于上一行頭頂上的數(shù)3加上左右肩上的數(shù)1和6；第三行中第二個(gè)數(shù)3，等于上一行頭頂上的數(shù)1加上左右肩上的數(shù)0（左肩上沒(méi)有數(shù)，故用0代替）和2；所以，對(duì)于A，由上，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由圖可知，以此類推可得，故B對(duì)；對(duì)于C，由上可知正確，故C對(duì)；對(duì)于D，因?yàn)?，，則，所以根據(jù)乘法規(guī)則的展開(kāi)式中的系數(shù)為：，又，其通項(xiàng)為，因?yàn)椋收归_(kāi)式中的系數(shù)為0，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現(xiàn)有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體的六個(gè)頂點(diǎn)，要求，用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有________種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】首先給，兩個(gè)頂點(diǎn)掛彩燈，有種方法，再給頂點(diǎn)掛彩燈，有種方法，①若、掛同一種顏色的彩燈，則有種方法，最后掛點(diǎn)有種方法，故有種；②若、掛不同種顏色的彩燈，此時(shí)掛點(diǎn)有種方法，掛點(diǎn)有種方法，最后掛點(diǎn)有種方法，故有種；綜上可得一共有種不同的方法.故答案為：13.已知的展開(kāi)式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且常數(shù)項(xiàng)與展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則________，________.【答案】①4②3【解析】中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為和，所以，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得.對(duì)于，易得通項(xiàng)公式為，其中令得，所以常數(shù)項(xiàng)為.在中，取得常數(shù)的項(xiàng)情況有兩種：選2個(gè)，1個(gè)，0個(gè)；或者選0個(gè)，0個(gè)，3個(gè).所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：4；3.14.已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】由可得，即恒成立，令，則不等式可化為：，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，故要使恒成立，只需，即，即，令，所以，令，則，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，所以，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極值.解：（1），，又，在處的切線方程為，即切線方程為.（2）令，解得，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，x20單調(diào)遞增單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為，無(wú)極小值.16.從甲、乙、丙等7人中選出5人排成一排.（以下問(wèn)題均用數(shù)字作答）（1）甲、乙、丙三人恰有兩人在內(nèi)，有多少種排法?（2）甲、乙、丙三人全在內(nèi)，且甲在乙、丙之間（可以不相鄰）有多少種排法?（3）甲、乙、丙都在內(nèi)，且甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，有多少種排法?解：（1）由于甲、乙、丙三人中恰有兩人內(nèi)，所以可以分3步完成：第1步，從3人中選中2人，有種選法.第2步，從其余4人中選出3人，有種選法.第3步，將選出的5個(gè)人全排列，有種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的排法有種；（2）由于三人全在內(nèi)，且甲在乙、丙之間，所以可以分3步完成：第1步，從其余4人中選出2人，有種選法.第2步，將2人安排到5個(gè)位置，有種方法.第3步，剩余3個(gè)位置排甲、乙、丙三人，有2種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同排法有種；（3）由于甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，所以分3步完