2025年江蘇省宿遷市泗洪縣中考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

九年級(jí)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共8小題,每小題3分，共24分）

1.-2025的相反數(shù)是（）

11

A.-2025B.2025C.---------D.-------

20252025

【答案】B

【解析】

【詳解】本題考查了相反數(shù)的知識(shí),只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)相反數(shù)的定義即可解題.

【分析】解：-2025的相反數(shù)是2025,

故選：B.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

365352

A.rrT-m—mB.mrrT—m2)=mD.(mn)2=mn

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)同底數(shù)基的乘除法、嘉的運(yùn)算法則，進(jìn)行判斷即可.

235

【詳解】A選項(xiàng)，w.w=m,故不符合題意;

B選項(xiàng),m5+m2—m3故符合題意;

C選項(xiàng),（7〃2）3=根6,故不符合題意;

D選項(xiàng),=m2n2,故不符合題意;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘除法、幕的運(yùn)算法則，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

3.小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若Nl=50°,則N2的度數(shù)為（）

C.40°D.50°

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了三角板中角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，理解圖示，掌握

ABCD,N2+NACB+/BCD=180°是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，可得ABCD,NACB=90°,Zl=ZBCD=50°,由N2=180°—90°—50。=40。即可求

解.

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意可得A3CD,NACB=90。,

VZ2+ZACB+ZBCD=180°,

/.Z2=180°-90°-50°=40°,

故選：C.

4.一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖如圖所示，與“學(xué)”字相對(duì)的字是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查正方體展開(kāi)圖中的相對(duì)面，根據(jù)相對(duì)面必定相隔一個(gè)正方形，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由圖可知：與“學(xué)”字相對(duì)的字是心；

故選B.

5.一只不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)

球，記下顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，則2次都摸到紅球的概率是（）

2141

A.-B.-C.-D.一

3293

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概

率的方法是解題的關(guān)鍵.利用畫(huà)樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出2次都摸到紅球的可能結(jié)

果，再利用等可能事件的概率公式求出即可.

【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

第2個(gè)球紅I紅2白紅I紅2白紅1紅2白

一共有9種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球有4種可能的結(jié)果,

4

，P（2次都摸到紅球）=-.

9

故選：C.

f3x-2>4

6.不等式組°,的解集在數(shù)軸上表示為（）

2x<x+6

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基

礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不

等式組的解集.

【詳解】解：解不等式3%—224,得：%>2,

解不等式2x<x+6,得：x<6,

則不等式組的解集為2Wx<6,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：

---11~~?

O26

故選：C.

7.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門(mén)框是不是矩形.下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬

訂的方案，其中正確的是（）

A.測(cè)量對(duì)角線是否互相平分B.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等

C.測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角D.測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了矩形的判定，根據(jù)矩形的判定方法逐一判斷即可求解，掌握矩形的判定方法是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：A、根據(jù)對(duì)角線互相平分只能得出四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等，只能得出四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由三個(gè)角為直角得到另外一個(gè)角也為直角，故可得到四邊形為矩形，故本選項(xiàng)正確；

D、根據(jù)一組對(duì)角是直角不能確定其余兩角為直角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

8.二次函數(shù)y=X2—2x+3在aWx<a+2范圍內(nèi)的最小值為6,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.3B.—1或3C.—3或1D.—3或3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及函數(shù)的最值.利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征找出

V=6時(shí)自變量X的值是解題的關(guān)鍵.利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征找出y=6時(shí)自變量X的值，結(jié)合

aWxWa+2時(shí)，函數(shù)值》的最小值為1,可得到關(guān)于。的一元一次方程，解即可.

【詳解】解：：丁=f—2x+3=（x—1『+2,

...二次函數(shù)y=f—2x+3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,

，二次函數(shù)y=乂-2x+3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的最小值為2,

令丁=6,則爐―2%+3=6，

解得：苞=3,x2--1,

aWxWa+2時(shí)，函數(shù)值,的最小值為6,

。=3或a+2=—1,

a=3或a=-3.

故選：D.

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1

9.函數(shù)y中自變量x的取值范圍是.

Jx—3

【答案】x>3

【解析】

【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)

和分式分母不為0的條件.

1fx-3>0fx>3

【詳解】解：要使一，=F在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須1°c〉x>3.

Jx-31x-3wO[XH3

10.分解因式：2府-2=.

【答案】2（m+l）（m-l）

【解析】

【詳解】解：2加一2=2（療一1）=2（加+1）（加一1）.

故答案為2（根+1）0—1）.

11.九年級(jí)體育中考中，某班7位男生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋▎挝唬悍郑?0,35,36,40,36,40,38,這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)是.

【答案】40

【解析】

【分析】本題考查了眾數(shù)的概念，理解并掌握眾數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最

多的數(shù)，根據(jù)眾數(shù)的定義，找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即可求出答案.

【詳解】解：在測(cè)試成績(jī)40,35,36,40,36,40,38中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是40,

，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是40,

故答案為：40.

12.已知反比例函數(shù)y=8的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（—2,1）,當(dāng)x=3時(shí)，，=.

【答案】---

3

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)

鍵.先把點(diǎn)4-3,1）代入丁=與求得左的值，然后將x=3代入，即可求出了的值.

x

【詳解】解：,反比例函數(shù)y=.勺圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（—2,1）,

X

k——2x1=—2,

二反比例函數(shù)解析式為y=-2,

X

2

，當(dāng)九=3時(shí)，y=—，

3

故答案為：—.

3

13.在Rt^ABC中，tanA=—,則sinA=.

2

【答案】2叵

5

【解析】

【分析】本題主要考查三角函數(shù)的求值方法，掌握三角函數(shù)的計(jì)算方法，圖形幾何分析是解題的關(guān)鍵.如

圖所示，根據(jù)tanNA=L,設(shè)5C=x,則AB=2x,運(yùn)用勾股定理可求出AC的值，根據(jù)正弦值的計(jì)算

2

方法即可求解.

【詳解】解：如圖，

Be]

*.*tan/LA.—.二—，則2BC=AB，

AB2

*,?設(shè)BC=x,則AB—2x，

TVABC是直角三角形，4二90。，

???AC=yjBC2+AB2=^X2+(2X)2=氐，

.m八.4BC2x2y/5

??在RtZkABC中，sinA-..=-產(chǎn)-=----,

AC05

故答案為：空.

5

14.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A,B,C,其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),則該圓弧所在圓的圓心

坐標(biāo)為?

【答案】（2,0）

【解析】

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心,

所以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心.

如圖所示，

則圓心是（2,0）,

故答案為：（2,0）.

15.如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊上，以3E為折痕，將ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在

上的點(diǎn)片若VEDE的周長(zhǎng)為8,ECB的周長(zhǎng)為22,則FC的長(zhǎng)為.

【答案】7

【解析】

【分析】由平行四邊形可得對(duì)邊相等，由折疊，可得AE=ERAB=BF,結(jié)合兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)，通過(guò)

列方程可求得FC的長(zhǎng)，本題可解.

【詳解】解：設(shè)。尸=x,FC=y,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

AD=BC,CD=AB，

由折疊性質(zhì)得AE=ERAB=BF,

1/NFDE的周長(zhǎng)為8,FCB的周長(zhǎng)為22,

BC=AD=8—x,AB=CD—x+y,

y+x+y+8-x=22,

解得y=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及圖形的翻折問(wèn)題；解決翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是找到相等的邊,利用等

量關(guān)系列出方程求得答案.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，入射光線經(jīng)過(guò)y軸上點(diǎn)A（o,3）,由無(wú)軸上點(diǎn)C反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

5（-3,1）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（-2.25,0）

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)（0,-3的函數(shù)

解析式，由此即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】如圖，A（0,3）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,-3）,

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)（0,-3）的函數(shù)解析式為y=kx+b,

~3k+b=l

：.1

b=-3

解得，，3

b=—3

y=—x—3

3

令y=0,解得x=-2.25.

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2.25,0）.

故答案為（-2.25,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)光的反射定理把求點(diǎn)C的坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.秋千吊繩的長(zhǎng)度為3米，當(dāng)秋千擺動(dòng)時(shí)，吊繩向兩邊擺動(dòng)的角度均為30。.則秋千擺動(dòng)的最高位置與

最低位置的高度差為.（結(jié)果精確到01米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73?1.73）

【答案】0.4米

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何問(wèn)題.設(shè)

秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)的位置為C,連接交0c于。，當(dāng)秋千擺至最低點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。為弧A3的中點(diǎn),

由垂徑定理的推論知ABLOC,AD=BD,再解直角△AOD,求得OD,進(jìn)而求出。C即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)的位置為C,連接A3,交OC于D,

由題意得NAOC=30°,

點(diǎn)C為弧A3的中點(diǎn)，0c經(jīng)過(guò)圓心,

AB±OC,AD=BD,AC=BD，

,：ZAOC=30°,OA=OB=OC=3,

.?.在RtAOD中，AD=-OA=-,OD==^AD=，

22tan30°2

DC=OC-OD=3-—?0.4-

2

即它擺動(dòng)至最高位置與最低位置的高度之差為0.4米，

故答案為：0.4米.

18.如圖，ZBAM=ZABN=90°,AB^4,點(diǎn)C是線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。在射線40上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。

作DE1CD交射線BN于點(diǎn)、E，則BE的最小值為.

【答案】4&

【解析】

【分析】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分別取CE,BC的中點(diǎn)

F,G,連接尸G,DF,易證FG是，班。的中位線，得到FG=LBE,FGBE,根據(jù)直角三角形的性

2

質(zhì)可得DF=CF=EF=LcE,當(dāng)。FJLEG時(shí)，。/有最小值，即CE有最小，即可得到

2

BE7CE?-BC2有最小值,證明四邊形AGED是矩形，得到止=AG=3,進(jìn)而得到CE=6,利

用勾股定理即可求解.

【詳解】解：分別取CE,3c的中點(diǎn)￡G,連接尸G,D尸，

則尸G是，的中位線,

AFG=-BE,FGBE,

2

DEICD,

???COE是直角三角形，且NCDE=90。,

，DF=CF=EF=-CE,

2

當(dāng)。時(shí)，OR有最小值，即CE有最小,

V3C=LA3=2為定值，

2

BE=VCE2-BC2有最小值，

此時(shí)，ZA=ZAGF=ZDFG=90°,

；?四邊形AGED是矩形，

DF=AG=AB-BG=AB--BC=3,

2

CE-6,

BE=y]CE2-BC2=4A/2,

BE的最小值為4A歷.

故答案為：4夜.

三、解答題(本大題共4題，每題8分，共32分)

19.計(jì)算：(―2)°+2sin30°—|2—

【答案】6

【解析】

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.根據(jù)絕對(duì)值的意義,

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕及銳角三角函數(shù)分別化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：原式=i+2x^—2+百

2

=A/3?

x2

20.解方程：--=1———

2%—11—2x

【答案】x=-l

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對(duì)所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)

即可得.

【詳解】解:-^=1———

2x-l1-2%

------x------二]1+2

2x-l2x-l

x=2九一1+2

-x=l

x——1J

檢驗(yàn)，當(dāng)x=-l時(shí)，2x-lw0,

???x=_l時(shí)原分式方程的解.

21.如圖，正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在A3延長(zhǎng)線上，且BE=C.求/E的度數(shù).

【答案】22.5°

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明鹿=50是解題的關(guān)鍵.求得BD=g，證明

BE=BD,利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖，連接3。，

?.?四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

NA=90°,AD=AB=1,

BD=yjAD~+AB2=6，

,?*BE=肥，

???BD=BE，

:.ZE=ZBDE,

:正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上,

ZDBC=45°,ZCBE=90°,

：.ZDBE=ZDBC+ZCBE=135°,

NE=ZBDE=|x（180°-NDBE）=22.5°.

22.在Rt/VLBC中，/C=90°,/5=60°,a=4,解這個(gè)三角形.

【答案】/A=30°,c=8,b=46?

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)

用，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/A，根據(jù)含30度角直角三角形求出c,根據(jù)勾股定

理求出》即可.

【詳解】解:如圖，

：/C=90。，15=60°,

/A=180°—/C—=30°,

a=4,

c=2a=8,

由勾股定理得：bZ-a2=后-下=4盡

四、解答題（本大題共4題，每題10分，共40分）

23.某校為了落實(shí)“五育并舉”，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).在課外活動(dòng)中開(kāi)設(shè)了四個(gè)興趣小組：A.插花組:

B.跳繩組；C.話劇組；D.書(shū)法組.為了解學(xué)生對(duì)每個(gè)興趣小組的參與情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

（2）話劇組所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_(kāi)__________度；

(3)書(shū)法組成績(jī)最好的4名學(xué)生由3名男生和1名女生構(gòu)成.從中隨機(jī)抽取2名參加比賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)

樹(shù)狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率.

【答案】(1)40；圖見(jiàn)解析

(2)72(3)1

【解析】

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，及用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握

知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)由A組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去A、B、。人數(shù)求出C組人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；

(2)用360度乘以C組人數(shù)所占比例即可；

(3)畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公

式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為4+10%=40(名)，

【小問(wèn)2詳解】

Q

解:—X360°=72。,

40

故答案為：72；

【小問(wèn)3詳解】

解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果共有6種，

...剛好抽到1名男生與1名女生的概率為二=〈.

24.某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng).如圖所示，斜坡BE的坡度，=1:、回，距=6m,在B

處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為45。，在E處測(cè)得電線塔QD頂部D的仰角為60°.

(1)求點(diǎn)8離水平地面的高度A3.

(2)求電線塔CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】(1)AB=3m-

(2)電線塔CD的高度(6，^+9)m.

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.

(1)由斜坡5E的坡度/=1:、回，求得絲=」=@,利用正切函數(shù)的定義得到N3E4=30。，據(jù)此

AEV33

求解即可；

(2)作BFLCD于點(diǎn)設(shè)。E=x,先解得到=解RtVDCE得到

EC=*(x+3)米，進(jìn)而得到方程3百+#(x+3)=x，解方程即可得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：：斜坡BE的坡度，=1：JL

.AB1V3

AE63

...A36

?tanNBEA==——，

AE3

ZBEA=30°,

,:BE=6m,

AB=^BE=3（m）；

【小問(wèn)2詳解】

解：作BbLCD于點(diǎn)尸，則四邊形A班C是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

設(shè)DF=xm,

DF

在RtZkDBF中,tanZZ)BF=——

BF

?BP-____"_____JOB

??JLJL——^Vlll,

tan/DBF

在RtZXABE中，AE=y/BE2-AB2=3^>

nr

在RtVD(無(wú)中，DC=D尸+C萬(wàn)=(x+3)m,tanZDEC=——

v7EC

x+3

EC=

tan60°

：.BF=AE+EC,

36T——-(x+3)=x，

,?x—6^/3+6,

???CD=6有+6+3=x=6石+9

答：電線塔CO的高度(66+9)m.

25.如圖，在RtAABC中，ZC=90°.

AB

（1）尺規(guī)作圖：作RtZVLBC的內(nèi)切圓。。，并分別標(biāo)出0。和A3、BC、C4相切的切點(diǎn)。，瓦/；

（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法，不需證明）

（2）連接OE、OF,四邊形OECF是正方形嗎？為什么？

（3）若AO=6,BD=4,求〉。的半徑廠的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）四邊形OEb是正方形，理由見(jiàn)解析（3）2

【解析】

【分析】（1）首先由三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，確定圓心。，然后過(guò)點(diǎn)。作邊AC的垂

線交AC于點(diǎn)尸，確定半徑，繼而可求得「ABC的內(nèi)切圓；

（2）連接OE,OF,OD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OEL5co尸，AC,求得

NC=NCFO=NCEO=90。,得到四邊形OECF是矩形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

OF=OD,OD=OE,求得OE=OF,得到四邊形QECR是正方形；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OF="=CE=OE=r,根據(jù)切線的性質(zhì)得到

■=4。=6,3七=3。=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，「。為所求：

。是，ABC的內(nèi)切圓,

/.OE±BC,OF±AC,

：.ZC=ZCFO=Z.CEO=90°,

四邊形OECE是矩形,

VAO平分ZCAB,BO平分ZABC,

：.OF=OD,OD=OE,

OE=OF，

，四邊形OEC歹是正方形；

【小問(wèn)3詳解】

解：???四邊形QECF是正方形，

/.OF=CF=CE=OE=r,

。是,ABC的內(nèi)切圓，

：.AF=AD=6

???BE=BD=4

AC=AF+CF—6+r,BC=4+r

AC2+BC2AB2

（6+r）~+（4+r）?=（6+4）一

Ar=2（負(fù)值舍去），即。的半徑r的長(zhǎng)為2.

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，作圖一復(fù)雜作圖，勾股定理，切線的性質(zhì)，正

方形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn).

26.某商店決定購(gòu)A,B兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷(xiāo)售.已知每件A種紀(jì)念品比每件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)

高30元.用1000元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同.

（1）求A,B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出A型紀(jì)念品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如下表，

售價(jià)X元/件50<x<6060<x<80

銷(xiāo)售量（件）100400-5%

求當(dāng)x為何值時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？

【答案】（1）A,8兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是50元和20元；

（2）當(dāng)％=65時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為H25元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)B紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是X元，則A紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是（X+30）元，根據(jù)用1000元購(gòu)進(jìn)A

種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)3種紀(jì)念品的數(shù)量相同，列出分式方程，進(jìn)行求解即可;

(2)設(shè)利潤(rùn)為川元，根據(jù)圖表，利用總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售數(shù)量，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)

的性質(zhì)，求出最值即可;

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)設(shè)B紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是X元，則A紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是(1+30)元,

1000

根據(jù)題意得：—

x%+30

解得：x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原分式方程得解,

...A紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)是x+30=20+30=50元，

答：A,8兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是50和30元.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)利潤(rùn)為w元，由表格，得：

當(dāng)50WxW60時(shí)，w=(x-50)x100=100%-5000,

?：k=100>0,

：.W隨著X的增大而增大，

???當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，利潤(rùn)最大為：100x60-5000=1000元；

當(dāng)60<x<80時(shí)，

w=(x-50)(400-5x)=-5x2+650%-20000=—5(無(wú)一65了+1125,

a——5<0,

，當(dāng)a=65時(shí),利潤(rùn)最大為：1125元，

答：當(dāng)x=65時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1125元.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確的列出分式方

程和函數(shù)表示式，利用函數(shù)的性質(zhì)，求最值是解題的關(guān)鍵.的解

五、解答題(本大題共2題，每題12分，共24分)

27.如圖，拋物線y=—Y+bx+c與x軸交于4(—1,0)、8(4,0)兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)尸是第一象

限內(nèi)拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線PDLx軸于點(diǎn)。，交直線3C于點(diǎn)E.

(2)求線段？E的最大值；

(3)是否存在以點(diǎn)C、E、P為頂點(diǎn)的三角形與VA3C相似，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】(1)y——%2+3x+4

(2)4

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出。(0,4),再求出直線的解析式為y=—x+4,設(shè)P(p,-p2+3p+4),則

E(p,-p+4),求出PE=—/+4°,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)先求出NCEP=NA3C=45°,根據(jù)以點(diǎn)C、E、P為頂點(diǎn)的三角形與VA3C相似，分

ppPF/、

---=----或---=----,兩種情況討論，設(shè)P，,一廠+3/+4),則E(/,T+4),求出

PE=―〃+4t,CE=^2t,建立方程求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：將4(—1,0)、8(4,0)兩點(diǎn)代入拋物線>=—必+法+以

fO=-l-Z?+c

則《，

0=-16+45+c

仿=3

解得：<

c=4

即拋物線解析式為：y=—f+3x+4；

【小問(wèn)2詳解】

解：將x=0代入y=-X?+3x+4中，則y=4,

AC（0,4）,

又：取4,0）,

設(shè)直線BC的解析為y=kx+A（kw0）,

則4左+4=0,解得：k=-l,

直線BC的解析為y=—x+4,

設(shè)尸（p,—p2+3p+4）,則￡（p,+4）,

PE--p?+4p,

+4p=-（p-2）2+4,且_]<0,

...當(dāng)P=2時(shí)，線段？E有最大值為4；

【小問(wèn)3詳解】

解：存在以點(diǎn)C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與,ABC相似，理由如下:

?.?6（4,0）,。（0,4）,

:.OB=OC=4

ZOBC=ZOCB=45°,

,/PDA軸，

ZBED=NOBC=45。,

：.ZCEP=ZABC=45°,

:以點(diǎn)C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與VA3C相似，

,PECE-PECE

??--------或...-----，

BCABABBC

VA（-1,O）,B（4,O）,C（O,4）,.

/.AB=5,BC=4s/2,

設(shè)尸（/,—廠+3/+4）,則+4）,

/.PE=-』+3/+4—+4)=-t1+4f,C￡=",

+4%—%?+4，yf2t

=----或

55-4收

1211

解得，=0（尸與c重合,舍去）或"一或"一,

54

2

當(dāng)f=m時(shí)，12+3港+4=些,

525

當(dāng)％=時(shí),11l"11,75

11,+3x—1-4二——，

4416

12136

'-.P的坐標(biāo)為或4,16?

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想的應(yīng)用,

28.閱讀理解，并完成下列問(wèn)題:

若空J(rèn),求g

【閱讀】如圖，AD是VABC的中線，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接CP交AD于點(diǎn)E,

AB2CP

的值.

解：過(guò)點(diǎn)P作尸/BC,交AD于點(diǎn)F；

:公PEFsACED,

CECD

'^EP~~PF，

AP_1

~AB~2,

，點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)，

PF是△A5￡）的中位線，

設(shè)PF=m,則BD=CD=2m,

.CE_CD_2m_2

EPPFm'

CE_2

'cF-3'

【理解】某數(shù)學(xué)興趣小組在研究上面問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論:

AP1」CE

(1)當(dāng)二一時(shí)，則，；

AB3CP

AP1,CE

(2)當(dāng)=一時(shí)，則

AB4CP

AP1CE

(3)當(dāng)二一時(shí)，則,并說(shuō)明理由

ABnCP

【拓展】如圖，在、ABCD中，A3=2,3C=4,N3=120。，動(dòng)點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿A3、3C以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接。尸交AC于點(diǎn)E,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/.△ADE的面積為九求

丁與/的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量/的取值范圍.

【解析】

【分析】理解:

(1)過(guò)點(diǎn)P作PE〃3C,交AD于點(diǎn)R利用題干中的方法解答即可;

(2)過(guò)點(diǎn)P作舛〃BC,交AD于點(diǎn)R利用題干中的方法解答即可;

(3)過(guò)點(diǎn)尸作PE〃6C,交AD于點(diǎn)R利用題干中的方法解答即可;

拓展：

利用分類(lèi)討論的思想方法分兩種情況討論解答：①點(diǎn)P在A3邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。尸_