2025年遼寧省沈陽市于洪區(qū)中考數(shù)學(xué)零模試卷+答案解析

2025年遼寧省沈陽市于洪區(qū)中考數(shù)學(xué)零模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖是由五個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）

D.

2.截至2025年2月27日16時58分，中國動畫電影《哪吒之魔童鬧?！啡蚱狈浚êA(yù)售及海外）已破140

億元，登頂中國影史票房榜，暫列全球票房榜第8位.將1400000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.140x108B.14x109C.1.4x109D.1.4x1O10

3.下列計算正確的是（）

A.a64-a3=a2B.3a2—2a2=1C.（a+l）2=a2+1D.（a3）4=a12

第1頁，共23頁

c.(7,3)

D.(7,1)

6.不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個，兩個小球除顏色外無其他差別.從中隨機摸出一個小球，放回并搖

勻，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是()

1113

A.—B.—C.—D.—

4324

7.我國民間建筑裝飾圖案中，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)之美.下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

()

8.《孫子算經(jīng)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五

寸；屈繩度之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折

再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設(shè)木長x尺，繩子長y尺，則可以列出的方程組為()

(y—x=4.5(y—x=4.5(z+g=4.5(x+y=4.5

'rr—0.5g=1?14+0.5y—1[x—y—1[y—x—1

9.如圖，在菱形4BCD中，對角線/C,AD相交于點O,點E為CD的中點.若。石=3,則菱形48co的

周長為(

二

A.6B.12C.24D.48

10.已知點4—4,6—2),。⑵m)在同一個函數(shù)圖象上,則這個函數(shù)圖象可能是()

4

A.rB..zly_C._____D.

/o|X/o|\xX

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.若“4—1有意義，則X的取值范圍是_____.

第2頁，共23頁

12.已知蓄電池的電壓。（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：⑷與電阻私單位：。）是反比

例函數(shù)關(guān)系，如表為幾組實驗數(shù)據(jù)，則蓄電池的電壓。=y.

R0???468.??

I/A???964.5???

13.如圖，△48。與△OEF位似，點。為位似中心，已知CM：OD=1：2,

則△ARC與ADEF的周長之比為.

14.如圖，在邊長為2的正方形/BCD中，以點。為圓心，以。C長為半徑作弧，

交對角線8。于點尸，分別以點C,尸為圓心，以大于;CF長為半徑作弧，兩弧交

于點”，作射線。〃交邊于點E,則的長為.

15.如圖，拋物線“=研/+1）（/—3）交x軸于43兩點，交y軸于點C,點。為

拋物線的頂點.若△48。為等腰直角三角形，則a的值為.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題10分）

（1）計算：（1-五）°一2-1+通一|方一1|；

/<-)\、工皆A2.—2x+1

(2)計算：1----——TH

X+1x+1—

17.(本小題8分)

2024年植樹節(jié)來臨之際，某學(xué)校計劃采購一批樹苗，參加“保護環(huán)境，遠離霧霾”植樹節(jié)活動.已知每棵甲

種樹苗比每棵乙種樹苗貴10元用1200元購買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用900元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同.

第3頁，共23頁

(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

(2)學(xué)校決定購買甲，乙兩種樹苗共100棵，實際購買時，甲種樹苗打九折，乙種樹苗的售價不變.學(xué)校用于

購買兩種樹苗的總費用不超過3200元，求最多可購買多少棵甲種樹苗.

18.(本小題8分)

為進一步提升學(xué)生的安全意識，某校舉辦了安全知識競賽，競賽包含理論知識和實踐操作兩個項目.現(xiàn)從全

校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生的理論知識成績(百分制)進行收集、整理、描述和分析.所有學(xué)生的理論知識成

績均高于60分(成績得分用x表示，共分成四組：A.60<x^70；B.70<x80；(7.80<c<90；

0.90W100)，下面給出了部分信息:

信息一:

理論知識成績的頻數(shù)分布直方圖理論知識成績的扇形統(tǒng)計圖

圖1觸

信息二：理論知識成績在C組的數(shù)據(jù)為：81,81,82,82,83,84,84,84,84,85,86,86,86,87,

88,88,88,89,89,89.

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)請通過計算補全頻數(shù)分布直方圖；

(2)求所抽取學(xué)生理論知識成績的中位數(shù)；

(3)請估計全校500名學(xué)生的理論知識成績高于80分的人數(shù)；

(4)某班甲、乙兩位學(xué)生的理論知識成績與實踐操作成績?nèi)绫?，學(xué)校規(guī)定將每位學(xué)生的理論知識和實踐操作

成績按3：2的比例計算其總成績，請通過計算說明甲、乙兩位學(xué)生誰的總成績更高？

學(xué)生理論知識成績/分實踐操作成績/分

甲9282

乙8590

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19.（本小題8分）

某花店購入一批進價為10元/束的康乃馨進行售賣，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進價時，日銷售量沙（

束）與銷售單價/（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示.

（1）求y與x的函數(shù)表達式；

（2）康乃馨銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

20.（本小題8分）

中國古代運用“土圭之法”判別四季.夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至

和冬至日影長度的平均數(shù).某地學(xué)生運用此法進行實踐探索.如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子垂直于

地面，長8尺.在夏至?xí)r，桿子在太陽光線ZC照射下產(chǎn)生的日影為2C；在冬至?xí)r，桿子43在太陽

光線AD照射下產(chǎn)生的日影為已知N4CB=73.4°，ZADB=26.6°.

（1）求冬至?xí)r日影的長度；

（2）求春分和秋分時日影長度（結(jié)果精確到0.1尺）.

（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°比0.45，cos26.6°仁0.89，tan26.6070.50，sin73.4°仁0.96，cos73.4070.29，

tan73.4°弋3.35）

如圖，△AB。內(nèi)接于4B是0。的直徑，點D在◎。上，點C是部的中點，過點C作CEL4D,

垂足為點￡,EC的延長線交的延長線于點F.

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(1)求證：昉是0O的切線；

⑵若ZT=/CAD,_BF=聲，求石0的長.

22.(本小題12分)

如圖，等邊△ABC的邊長為2,過點/作直線點尸在直線上，連接BP,將繞點2順

時針旋轉(zhuǎn)90°得到時，連接CQ,PQ.

(1)如圖1,當(dāng)點。在BC邊上時，求。。的長.

(2)將線段80沿著射線8C方向平移，使點3與點C重合，點。的對應(yīng)點為點〃，得到線段C",連接產(chǎn)”,

QH.①如圖2,當(dāng)△ABP是等邊三角形時，求證：四邊形BCAQ是菱形；

②當(dāng)點尸在射線NN上時，若的面積為24，求/尸的長；

③當(dāng)點尸在射線上時，是否存在點尸，使得△PQH的面積為2e？若存在，請直接寫出/P的長；若

不存在，請說明理由.

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23.(本小題13分)

在平面直角坐標系中，y是關(guān)于自變量x的函數(shù).給定一個實數(shù)機，構(gòu)造一個新函數(shù)當(dāng)/<?n時，y'=y,

y(x<m)

當(dāng)a；》"I時，y'=-y,即/=將變換后的函數(shù)J稱為原函數(shù)〉的界變構(gòu)函數(shù)”.例如:

_y(x》m)

當(dāng)m=1時，一次函數(shù)沙=2的"1界變構(gòu)函數(shù)"為/=<、]、.

[-x(x21)

(1)求一次函數(shù)v=2①—1的“3界變構(gòu)函數(shù)”；

(2)點在也―2)在反比例函數(shù)沙=9的"0界變構(gòu)函數(shù)”上，求f的值；

X

(3)已知關(guān)于x的二次函數(shù)沙=*—a/—a—l(a>0),點(1,一4)在該二次函數(shù)的界變構(gòu)函數(shù)”上.

①求a的值；

②當(dāng)時，該二次函數(shù)的“。界變構(gòu)函數(shù)”娟的取值范圍是—4W/W3,求左的取值范圍.

第7頁，共23頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：從上面看易得上面一層有3個正方形，下面左邊有一個正方形.

故選：A.

找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.

本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

2.【答案】C

【解析】解：1400000000=1.4x109.

故選：C.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1^同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。

時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值》10時，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)

的絕對值＜1時，〃是負數(shù).

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax1（T的形式，其中14同〈10,〃為整數(shù)，

表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.【答案】D

【解析】解：/、根據(jù)同底數(shù)幕的除法法則可得：a6^a3=a6-3=a3,故N選項錯誤，不符合題意；

B、根據(jù)合并同類項的法則可得：3a2—2a2=（3-2）a2=a2,故2選項錯誤，不符合題意；

。、根據(jù)完全平方公式可得：（a+1）2=＞+2a+1,故。選項錯誤，不符合題意；

。、根據(jù)幕的乘方的法則可得：（＜?）4=a3“="2,故。選項正確，符合題意；

故選：D.

根據(jù)計算結(jié)果進行判斷.

本題考查了關(guān)于嘉的運算、完全平方公式、合并同類項，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)運算法則把各式分別計算

出來.

4.【答案】A

【解析】解：AC

ACDB=NABF=60°，

■:CDLDE,

：,ACDE=90°，1■:5|

：,Z1=180°-60°-90°=30°.

第8頁，共23頁

故選：A.

由平行線的性質(zhì)推出NCDB=NABF=60°，由垂直的定義得到NODE=90°，由平角定義求出

Z1=180°-60°-90°=30°.

本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出ZCDB=ZABF.

5.【答案】B

【解析】解：由題意可得：4(1,0)向左平移3個單位，向上平移1個單位得到點。(—2,1),

,8(4,2)向左平移3個單位，向上平移1個單位得到點D,

.■,0(4-3,2+1),即。(1,3),

故選：B.

利用平移變換的規(guī)律解決問題.

本題考查坐標與圖形變化-平移，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型.

6.【答案】A

【解析】解：列表如下：

紅黃

紅(紅，紅)(紅，黃)

黃(黃，紅)(黃，黃)

共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的都是紅球的結(jié)果有1種，

.?.兩次摸出的都是紅球的概率為

4

故選：A.

列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出的都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：4該圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

2.該圖形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

。.該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：A.

直接根據(jù)軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義逐項判斷即可.

本題考查了軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義，在平面內(nèi)，一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°后能與原來的

第9頁，共23頁

圖形重合，這個圖形叫做中心對稱圖形；一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能重合，這樣的圖

形叫做軸對稱圖形.理解這兩個概念是關(guān)鍵.

8.【答案】A

【解析】解：?.?用繩子去量長木，繩子還剩余4.5尺，

：.y-x—4.5；

?.?將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，

x-0.5沙=1.

45

二根據(jù)題意可列方程組［"—：；'n.

故選：A.

根據(jù)“用繩子去量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺”，即可列出關(guān)于x,y

的二元一次方程組，此題得解.

本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】【分析】

由菱形的性質(zhì)可得出4CLB。，AB=BC=CD=DA,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半得出CO的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論.

本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出=6.

【解答】

解：?.?四邊形為菱形，

：.ACLBD，AB=BC=CD=DA,

「.△COO為直角三角形.

?「OE=3，點￡為線段的中點，

：,CD=2OE=6.

?'?°菱形ABC。—4CD=4x6=24.

故選：C.

10.【答案】B

【解析】解：由題意可得：該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故/,。選項錯誤，不符合題意；

,點4(—4,Tn—2),—2,tn'),且—4<—2,m—2<m,

二在〉軸的左側(cè)了隨x的增大而增大，故。選項錯誤，不符合題意.

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故選：B.

根據(jù)點3(-2,6)，。(2,m)在同一個函數(shù)圖象上，可得該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，再由點4(—4,加—2),

可得在y軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，即可求解.

本題主要查了函數(shù)圖象的識別，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

11.【答案】x)1

【解析】【分析】

本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數(shù)是非負數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式2-1)0,解不等式即可求得x的取值范圍.

【解答】

解：根據(jù)題意得刀一1》0,

解得1.

故答案為：x21.

12.【答案】36

【解析】解：設(shè)電流/與電阻R的函數(shù)關(guān)系式為/=1，

R

把A=6，I=6代入得6=g,

b

,'.(7=36,

故答案為：36.

設(shè)電流/與電阻R的函數(shù)關(guān)系式為/=1，根據(jù)待定系數(shù)法求解即可.

本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】1：2

【解析】解：?.■△48。與△OEP是位似圖形，04：。。=1：2,

4ABC與ADE9的位似比是1：2.

與△OEF的相似比為1：2,

.?.△46。與4。石尸的周長比為1：2,

故答案為：1：2.

根據(jù)位似圖形的概念求出AABC與△OER的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似的兩個三角形是相似三角形、相似三角形的

周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】4-272

第11頁，共23頁

【解析】解：過點￡作EGLB。于點G,

由題意得，DH平分4BDC,

?.?四邊形N3C。是正方形，

ZC=90°>ZDBC=|ZABC=45°，

：,EF=EC，

設(shè)EF=EC=工,貝!IBE=2—4,

.?.在RtZSBGE中，由sin/OBCuK：遮得：片=爛

BE22—x2

解得：x=2y/2-2＞經(jīng)檢驗是分式方程的解，

BE=2-(2\/2-2)=4-2V2-

故答案為：4-2\/2.

過點E作EGLB。于點G,由題意得，平分/ADC，則EF=E。，設(shè)EF=EC="，則BE=2—c,

由團11/。3。="；=遐得^^=迪，求解x,再由BE=B。一EC求解即可.

BE22-x2

本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，解直角三角形，正確作出垂線是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】1

【解析】解：記對稱軸與x軸交于點E,

當(dāng)g=0時，Q(/+1)(I-3)=0,而0刈,

/.x=一1或/=3,

：4T0)，5(3,0),

第12頁，共23頁

.?.48=4,對稱軸為直線立=1，

：,AE=2,

?.?△4RD為等腰直角三角形，只能為N40B=9O°，

.?.NEAD=45°，

。石LLc軸,

.?.△E/O為等腰直角三角形，

,,,ED=EA=2,

將。(1,—2)代入y=a(x+l)(x-3)得：a(l+1)(1-3)=-2,

解得：a=；,

故答案為：

先求出4(—1,0),8(3,0),則可得48=4,對稱軸為直線2=1，那么4￡=2，由△AB。為等腰直角

三角形，可得△及4。為等腰直角三角形，則上O=引力=2,故。(1,—2),再將其代入?/=a(x+1)(/—3),

即可求解.

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與坐標軸的交點問題，求出頂點D的坐標是解題的關(guān)鍵.

Q1

16.【答案】：+四；

2x—1

【解析】解：(1)(1—7T)°-2-1+百一—1|

=1-1+2y2-(\/2-1)

=l-1+2v/2-v/2+l

=(1——+1)+(2v^-\/2)

1+1—2①+1

X+1\x-iy

X—1x+1

1

X—1

(1)先算零指數(shù)幕、負整數(shù)指數(shù)幕和去絕對值，然后計算加減法即可

第13頁，共23頁

（2）先通分括號內(nèi)的式子，同時將括號外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分即可.

本題考查實數(shù)的運算、分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：（1）設(shè)乙種樹苗每棵的價格是x元、則甲種樹苗每棵的價格是儂+10）元,

解得x=30.

經(jīng)檢驗，中=30是原方程的根，

2+10=40,

答：甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是40元和30元；

（2）設(shè)可購買?？眉追N樹苗，

由題意可得：0.9ax40+30x（100—a）W3200.

解得:aW33：,

?「a為正整數(shù)，

.?.a的最大值為33,

答：最多可購買33棵甲種樹苗.

【解析】（1）根據(jù)用1200元購買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用900元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同，可以列出相應(yīng)

的分式方程，然后求解即可；

（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可.

本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和

不等式.

18.【答案】見解析；

83.5；

300名；

甲學(xué)生的總成績高.

【解析】解：（1）根據(jù)題意得：抽取的學(xué)生的總?cè)藬?shù)為5+10%=50名,

8組的頻數(shù)為50-5-20-10=15,

補全頻數(shù)分布直方圖，如下：

第14頁，共23頁

理論知識成績的頻數(shù)分布直方圖

.人數(shù)(頻數(shù))

(2)將數(shù)據(jù)從小到大排列，位于正中間的兩個數(shù)分別為83,84,

二.所抽取學(xué)生理論知識成績的中位數(shù)為理產(chǎn)=83.5(分)；

(3)500x型之竺=300(名)，

即理論知識成績高于80分的人數(shù)為300名；

32

⑷甲學(xué)生的總成績?yōu)?2x——+82x——=88(分),

O十/O十/

乙學(xué)生的總成績?yōu)?5x丁3二+90x$9=87(分)，

3+23+2'

■.-88>87,

甲學(xué)生的總成績高.

(1)先求出抽取的學(xué)生的總?cè)藬?shù)，可求出5組的頻數(shù)，即可求解；

(2)根據(jù)題意可得位于正中間的兩個數(shù)分別為83,84,即可求解；

(3)用500乘以成績高于80分的人數(shù)的頻率，即可求解；

(4)分別求出甲、乙兩位學(xué)生的總成績，再比較，即可求解.

本題主要查了頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，加權(quán)平均數(shù)等，掌握數(shù)據(jù)分析能力是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】y=-2x+8Q；

當(dāng)2=25時，卬取最大值為450.

【解析】解：⑴設(shè)g=fcr+b(k/)),

將(14,52),(30,20)代入,

14k+b=52

30k+b=20'

k=-2

解得:

6=80

y=-2x+80；

第15頁，共23頁

(2)設(shè)日銷售利潤為w元.

則可得a=儂-10乂-22+80)

=-2/+1002一800

=—2(/_50rc+625)-800+1250

=—2(2—25)2+450，

當(dāng)立=25時，卬取最大值為450,

答：康乃馨銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元.

(1)設(shè)夕與x的函數(shù)表達式為：y=kx+b(k^,把表格中的兩組數(shù)值代入可得左和6的值，即可求出y與

x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，"=每束康乃馨的利潤X銷售量，把所得函數(shù)解析式整理為頂點式，可得康乃

馨銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少.

本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，用到的知識點為：二次函數(shù)的二次項系數(shù)小于0,求二

次函數(shù)的最大值，可整理成沙=研工-%產(chǎn)+k，二次函數(shù)的最大值為k；也可整理成一般式：y=ax2+bx+c,

最大值為：”1

4a

20.【答案】16尺；

9.2尺.

【解析［解：(1)在Rt/^48。中，/3=90°，48=8尺，乙4。3=26.6°，

AB8

：,BD==16（尺）;

tan/ADB050

⑵在中，ZB=90°，48=8尺，AACB=73.4%

o

:.BC="-=239（尺）,

tanZACB

,?.00=50—8。=13.61尺,

2

,-,-x13.61+2.3979.2(尺)，

，春分和秋分時日影長度為9.2尺.

4R

(1)在RtAAg。中，利用80=—答"解答，即可求解；

tanZADB

AR

(2)在中，利用BC=—^―,可得3c的長度，從而得到CD的長度，即可求解.

''tanAACB

本題主要查了解直角三角形的實際應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

第16頁，共23頁

21.【答案】見解析;

【解析】（1）證明：48是0O的直徑，點。在?O上，點。是后方的中點，如圖1,連接。C,

CD=BC，

.?./1=/3，

-：OA=OC,

Z1=Z2,

，N2=23，

AE//OC

■：CELAD-

ZOCF=ZE=90°，

?「OC是半徑，

是00的切線；

(2)解：AF=ACAD,BF=V3>如圖2,

圖2

Z1=/3=",

第17頁，共23頁

,??NE=90°，

.?.Zl+Z3+ZF=90°)

3ZF=90°

NF=30°

■：AOCF=90°,

,?"00=90°—NF=60°,

-：OB=OC，

△80。為等邊三角形，

：,BO=BC，ACBO=60%

■：ACBO=AF+ABCF,"=30°，

ABCF=AF=3Q°>

,-.BC=BF=V3>

BO—,

60?rxy/3\/3

數(shù)的長為

180~=可7V.

(1)連接OC,由圓周角定理得到/I=N3,然后證明4E7/。。，由CELAD,得到OCLLEF,即可證明;

(2)先證明/1=/3=//，則可求/F=30°，則N_BOC=90°—乙F=60°,可證明△B。。為等邊三角

形，則3。=3C，NCBO=60°，可求NBCF=NF=30°，那么8。=8/=四，則半徑60=通，

再由弧長公式求解.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長

的計算，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】2—孤；

①證明見解析；

②AP=e―1；

③存在點P,使得的面積為2VAP=373+1；理由見解答過程.

【解析】⑴解：?.?將AP繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90°得到2。，

：.BP=BQ,/PBQ=90°,

?.,等邊△ABC邊長為2,

,AB=3。=2,AABC=60°,

-：MN//BC,

第18頁，共23頁

AABC=ABAP=60°-ZAPB=180°-APBQ=90°,

.?.在RtZ^APB中，BP=ABxsinZ2=2x=V3-

CQ=BC-BQ=2-V3^

(2)①證明：；△4BP是等邊三角形，

：,BP=BA,

由(1)得=BP=BQ

：.BQ=BC,

由平移得：BQ//HC,BQ=HC,

二四邊形8C7/。是平行四邊形，

-：BQ=BC,

二.平行四邊形8CH0是菱形；

②解：過點P作PGLQH于點”，過點3作8/，4M于點/，交X。延長線于點T,如圖1,

?.?四邊形BCHQ是平行四邊形,

：.QH=BC=2,QH//BC,

-：MN//BC,

MN//BQ

ZT=180°-ZP1B=90°，

■：BILAM,PG±QH,

:.IT=PG，

??,S"QH=^QHxPG,

，2^=；X2XPG,

PG=ZT=2^3-

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由⑴得BI=%，

BT=IT-BI=V3>

■：APBQ=ZAIB=/T=90°,

AIPB=Z.TBQ=90°—APBI,

dPB3LBQT(AAS),

：,PI=BT=弱，

AI=ABxcosZ.MAB=2x—=1,

：,AP=PI-AI=V3-1^

③解：存在點尸，使得△PQH■的面積為2通，AP=3\/3+1；理由如下：

過點。作QKL6C于點K,交MN于點、X,過點8作B/L4M于點/，過點尸作PRLBC交C5延長線于

點R,如圖2,

同理可得刊N〃BC〃Q〃，QH=BC=2,

■：S^PQH=^QHXQX,

2\/3=-x2xQX,

二.QX=2遮，

■：BILAM，PR1BC，

.-.PR//BI,

,I四邊形PR2/為平行四邊形，

,-.PR=BI=V3'PI=BR，

同理可證明：4KB為平行四邊形，

；,IB=XK=%，

同理可得：APRB2ABKQ(AAS),

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QK=BR=QX+KX=2v/3+A/3=3V3，

PI=BR=3\/3，

：,AP=AI+PI=3^3+1.

(1)由旋轉(zhuǎn)得，BP=BQ,=90°,由等邊△ABC可得AB=3。=2,NAB。=60°，由平行得

到乙4BC=ZB4P,ZAPB=90%解Rt^APR得BP=通，則由。Q=6?！狟Q即可求解；

(2)①由△ARP是等邊三角形，結(jié)合(1)可得BQ=R。，由平移得BQ〃HC,BQ=HC,那么四邊形

2C7/0是平行四邊形，再由鄰邊相等，即可證明為菱形；

②過點P作PGLQH于點H,過點B作于點/,交HQ延長線于點7,可證明MN//BQ,IT=PG,

由S^PQH=xPG，求得PG=/T=2g，由⑴得3/=g，則87=/7-3/=禽，證明

△PBI2/XBQT(AAS),那么「/=8/=遮，而4/=ABxcos/MAB=1,故

AP=PI-AI=V3-1^

③過點0作QK_L8C于點K,交友W于點X,過點2作B/L4M于點/，過點尸作PRrB。交C2延長線

于點R,同理可得MN〃BC〃QH,QH=BC=2,由S/^QH=xQX,求得QX=2，^,證得

四邊形網(wǎng)8/為平行四邊形，則P兄=8/=逐，PI=BR,同理可證明四邊形為平行四邊形，則

IB=XK=通,同理可得△PHB之△_BKQ(A4S),則QK=BH=3通，故P/=RR=3V^，則

AP=AI+PI=3\/3+1.

本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵在于正確構(gòu)造全等三角形.

2x—1(優(yōu)<3)

23.【答案】y'=

—2x+1(力23)

—3或3；

①2；

②2(卜<1+2\/2.

【解析】解：(1)由“3界變構(gòu)函數(shù)”的定義得：

當(dāng)2<3時，y'=2x—1,

當(dāng)3時,y'=-(2x-l)=-2^+1,

’26—1(3<3)

.?.一次函數(shù)"=2c—1的“3界變構(gòu)函數(shù)"為"'=<。