2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：思想方法之換元法訓(xùn)練（含答案）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題思想方法之換元法訓(xùn)練

一、選擇題

1.若（/+y2）C^+y2-1）-6=0,則/+/的值是（）

A.2B.3C.-2或3D.2或-3

2.設(shè)實數(shù)滿足/=-2%+1,若x7=a7+6尤+c,則a-26+c的值為（）

A.-14B.14C.-6D.6

2ax+3y=18（其中，是常數(shù)）的解為?=則方程組

3.關(guān)于尤，y的方程組ab

—x+5by=17（y=4

圖花）瑟加尊的解為（

）

x=3B七二

A.

、y=4

x—3.5

C.

2Y—1比22x—1

4.在分式方程+——=5中，設(shè)=y,可得到關(guān)于y的整式方程為（）

XLtXXX

A.j2+5y+5=0B./-5y+5=0C.y2+5y+l=0D./-5y+l=0

5.已知實數(shù)a、b、c滿足：2a+26+c=0,2a-2b+c>0,則（）

A.b>Q,b2-4ac^0B.b>0,b2-2ac^0

C.b<0,b2-4?c^0D.b<0,b2-2ac^0

6.若關(guān)于x的一元二次方程以2+2法-2=0的一個根為x=2022,則關(guān)于x的一元二次方程

CL<-）

-（X+2）2+bx+2b1必有一根為（）

A.x=2020B.x=2021C.x=2022D.x=2023

7.關(guān)于％的方程a（x+m）2+人=0的解是弘=2,X2=l（a,m,b均為常數(shù),aWO）,則

方程Q（x+m+2）2+匕=0的解是（）

A.xi=-2,X2=lB.xi=l,X2=3

C.xi=-4,X2=~1D.無法求解

8.已知實數(shù)x滿足一=4,則x—義的值是（）

X乙XX

A.-2B.1C.-1或2D.-2或1

二、解答題

9.【閱讀材料】

①“換元法”是我們解數(shù)學(xué)題時常用的一種方法.它主要是將一個較為復(fù)雜的表達(dá)式用

一個較為簡單的符號或字母代替，從而簡化問題，降低難度，使問題易于解決.

121

②例如解分式方程—-+--=3時，可以設(shè)—--=y,則原方程可以化為y+2y=3,解

II_LI_L

1

得y=l,即---=1,去分母得x+l=l,所以％=0,檢驗：當(dāng)兀=0時，x+IWO,所以x

%+1

=0是原方程的解.

【基本應(yīng)用】

x2.x

（1）用換元法解方程一:+—=6；

%-2%-2

(2)已知尤，y滿足方程(2/+/+4)(2/+/-4)=20,結(jié)合“換元法”的解題思路,

求2X2+J2的值.

【創(chuàng)新應(yīng)用】

(3)結(jié)合“換元法”的思路探究分解因式(/-4無+2)C?-4x+6)+4.

10.學(xué)習(xí)新方法：把比較復(fù)雜的單項式、多項式看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，

達(dá)到化繁為簡的目的，這種方法稱為“換元法”.請閱讀以下材料，回答問題：

閱讀材料(一)若M=12349X12346,N=12348X12347,試比較A/,N的大小.

解：設(shè)12348=a,那么A/==cT-a-2,N=a(a-1)=a2-a.

因為M-N=(a2-iz-2)-(a2-a)=-2<0,所以M<N.

問題(1)請仿照例題比較下列兩數(shù)大?。喝羰?997657X997655,2=997653X997659,

則PQ.(填“>"或“<”)

閱讀材料(二)已知實數(shù)MZ,〃滿足(2川+/+1)(2/"2+"2-1)=80,試求2m2+"2的值.

解：設(shè)2機2+m=。則原方程變?yōu)?f+1)(r-1)=80,整理得足-1=80,尸=81,所以

t=+9,因為2??+滔20,所以：2M?+〃2=9.

問題(2)已知實數(shù)無、》滿足(2X2+2/+3)(2?+2y2-3)=27,則/+/=；

閱讀材料(三)如圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正

方形.

問題(3)請你直接寫出三個代數(shù)式(a+6)2,/+.，曲之間的等量關(guān)

系：;

圖3

若x滿足(8-x)(%-2)=14,求(2-x)2+(%-8)2的值.

解：設(shè)8-x—a,x-2—b,貝!j(8-x)(尤-2)—ab—14,a+b—(8-x)+(尤-2)—6,

(8-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2X14=8

問題(4)請仿照上面的方法求解下面問題：

①已知(2024-x)(2023-x)=2022,那么(2024-x)2+(2023-x)2的值為.

②已知(機-2022)2+(m-2024)2=104,用換元法求Gn-2023)2的值為.

③己知，如圖3,正方形A2C￡)的邊長為x,E,E分別是A。、OC上的點，且AE=1,

CF=3,長方形EMFD的面積是48,分別以MF、DF作正方形，則陰影部分的面積

為.

11.【閱讀】

已知方程X2+2X-1=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為》則尸2無，所以戶與

把彳=或代入已知方程，得改)2+24—1=0.

化簡，得/+4廠4=0,

故所求方程為/+4y-4=0.

這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換元法”.

請用閱讀材料提供的“換元法”求新方程(要求：把所求方程化為一般形式).

【理解】

(1)已知方程7-x-3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別比已知方程根小1,

則所求方程為：;

(2)已知方程f-x-3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反

數(shù).則所求方程為：;

【運用】

(3)已知關(guān)于x的一元二次方程^(aWO)有兩個實數(shù)根n.

①若加20,則關(guān)于尤的方程分+6?+c=0(aWO)的兩根分別是(用

含有機、〃的代數(shù)式表示)；

②一元二次方程的兩個根分別是2租，2”；

(4)方程ax1+bx+c=O(：a^O,c#0,b2-4ac20)的兩個根與方程的

兩個根互為倒數(shù).

【延伸】

(5)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=O(aWO)的兩個實數(shù)根分別為1和一J，

那么關(guān)于y的一元二次方程c(j-2022)2-b(y-2)=-20206-a(cWO)的兩個實

數(shù)根分別為.

12.提出問題:

為解方程(/-2)2-11(/-2)+18=0,我們可以將2視為一個整體，然后可設(shè)

x2-2=y,則(?-2)2=/,于是原方程可轉(zhuǎn)化為11/18=0,解此方程，得yi=2,

y2=9.

當(dāng)yi=2時，x2-2=2,/=4,.\x=±2；

當(dāng)>2=9時，x2-2=9,?=11,'.x-±VT1.

?,?原方程的解為xi=2,尤2=-2,%3--VT1.x4-VT1.

以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

解決問題：

(1)運用上述換元法解方程d-3/-4=0.

延伸拓展：

(2)已知實數(shù)相，”滿足(冽+3〃)(m+3n-2)=2m+6n-4,求4機+12〃-3的值.

13.閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：

例：解方程：一+|x|-2=0.

解:Vx2=|x|2,

方程即為：kl2+w-2=0,

設(shè)ixi=r,原方程轉(zhuǎn)化為：尸+L2=。

解得,11=1,12=-2,

當(dāng)/1=1時，即|尤|=1,.,.Xl=l,X2=-1；

當(dāng)/2=-2時，即|x|=-2,不成立.

，綜上所述，原方程的解是Xl=l,X2=-1.

以上解方程的過程中，將其中㈤作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)3從而將原方程化為關(guān)

于f的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”(“元”即未知數(shù)).

(1)已知方程：?+^-2%---1=0,若設(shè)工+工=機，則利用“換元法”可將原方程化

X乙XX

為關(guān)于m的方程是；

⑵仿照上述方法，解方程《+1-5=。.

14.【情境呈現(xiàn)】:

(2%+3y+4x-3y_7

在解方程組|卓+卓」—如果直接用代入消兀法或加減消元法

求解，運算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4x-3y分別看作一個整

體，通過換元：令"2=2尤+3y、”=4x-3y,可以將原方程組化為手小丁,解得產(chǎn)=產(chǎn)，

|與+卜5加=6

把｛［二一代入加=2x+3y、n=4x-3y,得優(yōu)｝箕/解得｛；￡,所以原方程組解

為匕

【靈活運用工

(1)若方程組產(chǎn)獸y=J的解為，;：，則方程組”-恐咒啖)=i的解

(ax+y=6(y=1(a(x—2)+(y+2)=6

為;

(2)若方程組［6:=Cl的解為『U，其中A為常數(shù).

ka2x+b2y=c2(y=k-2

l1

5a1(%+1)+瓦(y-2)=c

;j1的解：

a_

32(^+1)+2^2(y2)=c2

②是否存在負(fù)f整數(shù)左，使得①中方程組的解滿足尤〉》若存在，請求出k的值；若不存

在，請說明理由.

15.換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)

稱為元.所謂換元法，就是解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，

從而使得復(fù)雜問題簡單化.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元.

(工+工=12

例如解方程組《；，設(shè)機n=K則原方程組可化為圖?；=1如

(—I—=20

1%y

z1

-

l%-

_Q_=8,8

解之得｛［二:，所以原方程組的解為l1

ly-

G_4,-4

運用以上知識解決下列問題：

(1)求值：(1+五+正+17)X(五+13+17+否)一(1+五+否+iy+眄)X(TT+

去+否=

-T—I-------=5

皆的解為.

(2)方程組

-------—=1

x+yx-y

(3)分解因式：(/+4x+3)(?+4x+5)+1=__________________.

(4)解方程組Fx2*+2-3*=111,

12X+1+2x3〃=86.

(5)已知關(guān)于x、y的方程組=G的解是『=求關(guān)于尤、的方程組

ka2x+b2y=c2(y=5

Qi--2a±x+bry=q-%的解

2

a2x—2a2x+b2y=c2—a2"

參考答案

一、選擇題

題號12345678

答案BBCDDACD

1.【解答】解：設(shè)工2+,2=%，根據(jù)題意可得機(m-1)-6=0,

整理可得：(m-3)(m+2)=0,

.*.mi=3,m2=-2（舍去），

?,?加=3,即/+y2=3.

故選：B.

2.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)￡=/=-2x+l,

=(-2x+l)2*x

=4x3-4X2+X

=4(-2x+l)-4—+x

=-4x2-7x+4,

-4x2-7x+4=ax1+bx+c,

?.a=-4,b—-7,c=4,

a-2b+c=-4+14+4=14,

故選：B.

3.點知，x+y、x-y分別相當(dāng)于原方程組中的x、乃據(jù)此列出方程組，解之可得.

%+y=3

【解答】解：由題意知,

x—y=4②'

①+②，得：2x=7,x=3.5,

①-②，得：2y=-1,y=-0.5,

所以方程組的解為?=‘2

(y=-0.5

故選：C.

2%—1%21

4.【解答】解：設(shè)=乃則丁一；二

x乙2x-ly

2%—1比21

分式方程——+--7=5可變?yōu)椋?gt;+三=5,

2%-iy

去分母得：F+l=5y,

整理得：y2-5y+l=0,

故選：D.

5.【解答】解：,??2〃+2Z?+c=0,

2a+c--2b,

V2a-2/?+c>0,

???-2b-2Z?>0,

解得：bVO,

V2a+c=-2b,

.?b=-ct-2，

b^1—2ac=(—ci—引2—2ac

2

=/+a。+彳c-2ac

=(a-獷，

?二(a-今2>o,

'.b1-2ac20,

綜上：b<0,b2-2ac^0,

故選：D.

6.【解答］解：由題知，

方程段（x+2）2+6%+2b=1可變形為a（x+2）2+2b（尤+2）-2=0.

因為關(guān)于x的一元二次方程cur+lbx-2=0的一個根為x=2022,

所以x+2=2022,

解得尤=2020,

CL0

即關(guān)于x的一元二次方程+2）2+bx+2b1的一個根為x=2020.

故選：A.

7?【解答】解：J?關(guān)于x的方程。（x+相）2+b=0的解是x1=-2,X2=l（mm,b均為

常數(shù)，〃W0）,

在方程q（x+m+2）2+^=0中，

x+2=-2或x+2=1,

解得xi=-4,X2=-1,

故選：C.

8.【解答］解：+―y—2+x———2=0

%2x

（X——）之+（x——）-2=0

XX

1

解得兀一三=一2或1.

經(jīng)檢驗，％-］=1和元一］=一2均有實數(shù)根.

所以X—］=—2或1.

故選：D.

二、解答題

9.【解答】解：（1）設(shè)--=m,

x-2

則原方程化為m+2m=6,

解得：m=2,

解得：x=4,

經(jīng)檢驗，x=4是分式方程的解；

（2）設(shè)

則原方程化為（幾+4）（n-4）=20,

整理得：層=36,

則〃=6或〃=-6（舍去），

貝!J2f+/=6；

（3）設(shè)x2-4%=〃，

則(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4

=(。+2)(。+6)+4

=。2+8〃+16

=((2+4)2,

則原式=(x2-4x+4)2

=(x-2)4.

10.【解答】解：(1)依題意，尸=997657X997655=(997656+1)(997656-1)=9976562

-1,

0=997653X997659=(997656-3)(997656+3)=9976562-9,

P-0=9976562一1_(9976562-9)=8>0,

???尸〉。

故答案為：〉；

(2)依題意,設(shè)2/+2y2=f,

則原方程變?yōu)?什3)(L3)=27,

整理得e-9=27,於=36,

.?.￡=±6,因為27+2/三0,所以：2/+2/=6.

則/+『=3；

(3)結(jié)合圖形，運用等面積法，得(〃+/?)2=a2+b2+2ab.

(4)①由上面過程，記a=2024-x,8=2023-x,

原式等于"=2022,

則(2024-%)2+(2023-x)2=?2+Z?2,

222

運用(3)的結(jié)論，得(〃+")=a+b+2abf

貝!J(〃-b)2=a2+b2-lab,

即[2024-%-(2023-x)]2=tz2+Z?2-2X2022,

解得(2024-x)2+(2023-x)2=?2+Z?2=4045；

②整理原式得[徵-(2023-1)]2+[m-(2023+1)產(chǎn)=104,

：.[(m-2023)+1]2+[(m-2023)-1]2=104,

令t=m-2023,

???(什1)2+(L1)2=104,

貝!J(什1)2+(%-1)2=[(什1)+G-1)]2-2(什1)G-1)=104,

則4?-2?+2=104,

2?=102,

於=51,

???(m-2023)2的值為51；

③依題意，得。尸=X-3,MF=x-1,

??,長方形EMFD的面積是48

(x-1)(x-3)=48=(x-2+1)(x-2-1)

令t=x-2

(什1)(L1)=?-1=48

：.t=±l

.*.x-2=7,x-2=-7,

.*.x=9,x=-5(舍去)

則陰影部分的面積為(X-1)2-(X-3)2=(X-1+X-3)(X-1-X+3)=4%-8=36-

8=28.

n.【解答】解：(1)設(shè)所求方程的根為y,則y=x-l,所以x=y+l,

把x=y+l代入已知方程，得(y+1)2-(y+1)-3=0,

化簡，得y2+y-3=0,

故答案為：F+y-3=0；

(2)設(shè)所求方程的根為y,則＞=-羽所以冗=-乃

把％=-y代入已知方程，得(-y)2-(-y)-3=0,

化簡，得/+廠3=0,

故答案為：F+y-3=0；

(3)①設(shè)關(guān)于x的方程◎+/??+c=0(〃W0)的根為

把xi代入關(guān)于x的方程，得0X1+久/石+c=0,

設(shè)關(guān)于X的一元二次方程Q%2+bx+c=0(〃#0)的根為X2,

把X2代入關(guān)于X的一元二次方程，得a蟾+bx2+c=o,

由此可見XI=據(jù)，

?.,已知關(guān)于x的一元二次方程〃/+加:+c=0(QWO)有兩個實數(shù)根相，n,

???關(guān)于x的方程+c=0(〃W0)的兩根分別是加之、￡

故答案為：機2、〃2；

②由題意得，該一個一元二次方程，它的根分別是已知方程根的2倍，

設(shè)所求方程的根為％3,則X3=2X,所以％=容

把冗=等代入已知方程，得〃(―)2+b(―)+c=0,

222

化簡，得a蜷+2fcn+4c=0,

即ax2+2bx+4c=0,

故答案為：cu?+2Z?x+4c—0；

(4)由題意得，該一個一元二次方程，它的根分別與已知方程根互為倒數(shù)，

設(shè)所求方程的根為》貝■=!，所以x=3

xy

1ii

把犬=-代入已知方程，得a(-)2+b(-)+c=0,

yyy

化簡，得c^+by+a=0,

即c??+bx+a=Q,

故答案為：c/+fcv+〃=O；

(5)c(y-2022)2-b(y-2)=-2020b-a(cWO),

化簡，得。(y-2022)2-b(y-2022)+。=0,

根據(jù)(4)可得，關(guān)于工的一元二次方程的根與關(guān)于2022的一元二次方程的根互為倒

數(shù)，

1

.,.y-2022=

Jx

:關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c^O(aWO)的兩個實數(shù)根分別為1和—

關(guān)于y-2022的一元二次方程c(y-2022)2-b(j-2022)+a=0的兩個實數(shù)根分別

為1和-4,

，關(guān)于y的一元二次方程c(j-2022)2_b(y-2022)+a=0的兩個實數(shù)根分別為2023

和2018,

故答案為:2023、2018.

12.【解答】解：(1)設(shè)/=?

則原方程可轉(zhuǎn)化為/-3y-4=0,

解得：yi=4,y2=-1,

當(dāng)yi=4時，X2=4,；.X=±2；

當(dāng)”=-1,/=-b此方程無解.

，原方程的解為xi=2,%2=-2；

(2)*.*(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,

(m+3n)(m+3n-2)=2(m+3n)-4,

設(shè)m+3n=t,

則/(r-2)=2L4,

整理得：金-4什4=(L2)2=0,

解得：1=2,

m+3n=2,

.,.4m+12n-3=4(m+3n)-3=4X2-3=5.

i

13?【解答】解：(1)設(shè)％+亍=如

11

則久之+/=(%+[A—2=m2—2,

7+—y—2x———1=0可化為：加之-2-2m~1=0,

%，x

BPm2-2m-3=0,

故答案為：m2-2m-3—0；

(2)設(shè)R+1=m,則嚏=m2—1,

原方程可化為：m2-1-m-5=0,

整理得m2-m-6=0,

(m-3)(m+2)=0,

m-3=0或m+2=0,

.,.m=3或-2,

當(dāng)機=3時，J,+1=3,

1

解得

x=*o

當(dāng)機=-2時，+1=-2(